Exame Recuperação de um dos Testes solução abreviada

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1 Exme Recupeção de um dos Testes solução evid 5 de Junho de 5 (h3) Mestdo em Eng Electotécnic e de Computdoes (MEEC) Electomgnetismo e Óptic º semeste de 4-5 Pof João Pulo Silv (esponsável) Pof Pedo Aeu Pof Atu Mlquis Avisos: Dunte elizção do teste/exme não é pemitido o uso de telemóveis e clculdos Identifique clmente tods s folhs do teste/exme Identifique clmente n ª págin d esolução o teste que está ecupe ou exme Inicie esolução de cd um dos polems num nov págin Relize sempe em pimeio lug os cálculos nlíticos e só no finl sustitu pelos vloes numéicos NOTA: Este documento pesent solução evid não incluindo todos os pssos e justificções que devem pece n esolução e que são cotdos Polem [5 vloes] Considee um fio finito de compimento L com um distiuição unifome de cg po unidde de compimento λ > Se-se que o módulo do cmpo eléctico cido po esse fio num ponto soe meditiz um distânci do fio é ddo po: Detemine detlhndo os cálculos: λ L E = π L + [5] ) diecção do cmpo nesse ponto 4 Sol: Considee-se um elemento de cg dq n posição z> que poduz um cmpo eléctico de no ponto P com componentes segundo u z e segundo u Como o ponto P está n meditiz p cd z> existe um z< e como distiuição de cg é unifome o elemento de cg ness posição poduz um cmpo eléctico de componentes iguis ms segundo u e segundo u As componentes veticis cncelm e o cmpo esultnte seá dil [5] ) expessão do cmpo eléctico no limite em que o fio é infinito: L >> L Sol: E lim u u L L 4 z [] c) usndo lei de Guss o cmpo cido po um fio infinito com um distiuição de cgs po unidde de compimento λ um distânci do fio Compe com o esultdo d líne )

2 Sol: Po simeti o cmpo é dil Escolhe-se um supefície gussin (S) de io coxil com o co de ltu h Usndo lei de Guss e o fcto de que E n ns supefícies hoizontis de S: int Q h E h E nds E u que coincide com o esultdo de ) S Considee go distiuição de cgs d figu onde dois ldos têm um cg distiuíd unifomemente λ tendo os outos dois um distiuição unifome de cg λ Detemine detlhndo os cálculos: [] d) o cmpo eléctico no cento do quddo Sol: O cento está n meditiz de todos os ldos com = L/ Os ldos veticis (hoizontis) poduzem cmpos iguis segundo u ( u y ) Po soeposição: E ( ux uy ) L [] e) o potencil eléctico no cento do quddo considendo que este é nulo no infinito Sol: P cd elemento de cg positiv à esqued existe um elemento de cg de sinl oposto à dieit que está à mesm distânci do cento O As contiuições p o potencil nulm-se Aplicndo o mesmo gumento p s cgs nos ldos hoizontis conclui-se que O [] f) enegi necessái p tze um cg pontul q desde infinito té o cento do quddo Se não completou líne e) considee que o potencil no cento do quddo é ϕ Sol: W q( ) O O x Polem [5 vloes] A figu most em cote um condensdo esféico constituído po um conduto mciço e homogéneo de io no qul é depositd um cg Q e po um supefície conduto esféic e homogéne de io > com cg Q O espço ente os condutoes está peenchido po um dieléctico de pemitividde ε Detemine detlhndo os cálculos: [5] ) distiuição de cgs lives em supefície e/ou volume Sol: Conduto em equilíio electostático implic que só há cgs distiuíds em supefície: Q Q 4 4 [5] ) o cmpo eléctico E cido ns tês egiões do espço

3 Sol: Po simeti esféic os cmpos são diis P < está-se dento de um conduto em equilíio electostático pelo que D E P << escolhe-se um supefície gussin (S) esféic de io concêntic com figu Otém-se: D D Q 4 D nds Q E live 4 u S P > cg inteio é Q Q = pelo que D E [] c) densidde e o vlo totl d cg de polizção p = + Detemine tmém densidde e o vlo totl d cg de polizção p = Compe s cgs totis de polizção otids ns dus supefícies Detemine densidde volúmic de cg de polizção no dieléctico em como cg totl do dieléctico Sol: Só há vecto polizção dento do dieléctico pelo que Q P D u 4 pol P D liv A noml exteio em = + (= ) coincide com u ( u ) Logo Q pol pol ( ) P next Q 4 Q pol pol ( ) P next Q Q 4 diel pol pol Pelo que Q Q Q [] d) difeenç de potencil ente os condutoes e cpcidde do condensdo Utilize cpcidde p clcul enegi mzend no condensdo Sol: Escolhendo um pecuso de integção segundo u ente = e = temos Q Q V ( ) ( ) E d C 4 4 V Q Q U E C 8 [] e) densidde de enegi no dieléctico usndo- p detemin enegi totl do sistem Compe com o que oteve n líne d) Sol: Temos: Q Q 4 U E E dv d 4 8 que coincide com o esultdo d líne nteio Polem 3 [55 vloes] Num cicuito eléctico colocdo no utiliz-se um co cilíndico de coe de io R cuj condutividde eléctic é σ C pemitividde eléctic ε e susceptiilidde mgnétic χ m = (o coe é dimgnético) Admit que o compimento l do co é muito mio que todos os ios envolvidos no polem Sendo Q

4 que o cmpo eléctico no inteio do co é constnte e ddo po E = E u z detemine detlhndo os cálculos (qundo plicável em temos de E ): [5] ) coente eléctic I existente no co Sol: J E E u I J nds J R E R c c z c secção do conduto [5] ) esistênci eléctic do co Sol: R S R c c [5] c) potênci dissipd po efeito de Joule Sol: P RI R E c [] d) expessão do vecto de indução mgnétic coente I Sol: Po simeti o cmpo tem diecção de fechd cicul (Γ) de io no plno pependicul z B em todos os pontos do espço em temos d u em coodends cilíndics Escolhendo um cuv u e com cento no eixo do cilindo tem-se: I R tv H H d i I R R No inteio do mteil (<R ) B H ( ) H ; no vácuo (>R) B H Como tl I u B ( ) I R R u R Admit go que envolve o co de io R po um coo cilíndic coxil com o mesmo compimento de ios R e R 3 [5] e) Que coente eléctic I tem de cicul no conduto exteno po fom nul o cmpo mgnético n egião > R 3? Dig se este esultdo depende do mteil conduto que compõe o co exteno se coe ou outo? Sol: Escolhendo um cuv fechd cicul (Γ) de io >R 3 no plno pependicul u z e com cento no eixo do cilindo tem-se: H H d I I I I Este esultdo não depende do mteil do conduto exteno [5] f) Suponh que se eti o co inteio Detemine foç que o co cilíndico exteio com coente I povoc num filmento conduto de compimento l com um coente I colocdo de fom plel os cos um distânci d << l do co exteio como ilustdo n figu Sol: Hvendo pens o conduto exteio e po nlogi com líne d) otém-se n posição = R 3+d do filmento

5 I u R3 d B que é constnte em todos os pontos do filmento A foç soe o filmento é I I Fmg I d B filmento u R d 3 Polem 4 [45 vloes] Um lse emite dição electomgnétic polizd e monocomátic com um potênci P = mw Est dição vij no vzio so fom de ond electomgnétic pln e incide com um ângulo de incidênci θi n supefície pln de um vido que possui um índice de efcção n = 3 O cmpo eléctico d ond pode se descito tvés ds componentes plel E e pependicul E o plno de incidênci que coincide com o plno d págin Se-se que: Detemine justificdmente: E = E sin ω t k u E = E sin ω t k u π k = x + y [m ] 3 [] ) diecção de popgção e o tipo de polizção d ond 7 3 Sol: A fse d ond contém k kx x k y y kz z x y donde k 3 k ux uy e 3 uk ux uy k Como E está em fse com E polizção é line [] ) fequênci d ond e pemitividde eléctic do vido Sol: f Hz vzio v k 3 No vido µ= µ pelo que: n 3 3 vido vido [] c) intensidde I d ond em função de E Sendo que secção do feixe lse é e que P = I A detemine E Sol: E E E 5E n sin si P 5E 5E I S E H A Z Z A = m 6

6 donde E = 4 Vm [] d) expessão ds dus componentes do cmpo mgnético d ond incidente: B e B em função de E Sol: D figu esult que uk u u uk u u donde: uk E 7 B 8 sin( t k ) u u T c [5] e) qul tei de se o ângulo de incidênci p que um ds componentes do cmpo eléctico d ond eflectid despecesse Que componente despecei? Sol: Qundo o ângulo incidente coincide com o ângulo de Bewste despece componente plel d ond eflectid Isso ocoe p n B n ctn ctn 3 / 3 ng cos sin 3 6 ctn( 3 / 4) ctn( 4 / 3) Z H uk E Z E B v ( )