ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

Transcrição

1 SOL OLITÉNI UNIVSI SÃO ULO venid ofesso Mello Moes, nº , São ulo, S Telefone: (0xx) x: (0xx) eptmento de ngenhi Mecânic M 00 MÂNI de setembo de 009 QUSTÃO (3 pontos): figu most um cubo homogêneo de peso pk e est "" Sobe o cubo gem s foçs pk 3 plicd no ponto H e pi pj plicd no ponto O, e um bináio de momento M 3pi + 4 pj + pk ede-se: i k O z j H y () (0,) etemin esultnte ; (b) (,0) etemin o momento M O em elção o ponto O; (c) (0,) Veific se é possível eduzi o sistem um únic foç, justificndo; (d) (,0) etemin o módulo do momento mínimo do sistem de foçs ddo x esultnte do sistem de foçs ddo é: + + p i p j + p k (espost ) Notndo que G (,, ) é o bicento do cubo, o momento em elção o pólo O do sistem de foçs ddo, é: ( G O) + ( H O) + ( O O) + M M O ou sej: M O i j k i j k ( 3pi + pj + pk ) p 0 0 3p pi + pj + pk M O (espost b) Um sistem de foçs é edutível um únic foç se e somente se esultnte é não-nul e o invinte escl I M O 0 o sistem de foçs ddo, tem-se: I M O ( pi + pj + pk )( pi pj + pk ) p 0p + p 8p 0 omo o invinte escl do sistem de foçs ddo é difeente de zeo, esse sistem não é edutível um únic foç (espost c)

2 SOL OLITÉNI UNIVSI SÃO ULO venid ofesso Mello Moes, nº , São ulo, S Telefone: (0xx) x: (0xx) eptmento de ngenhi Mecânic O módulo do momento mínimo de um sistem de foçs é ddo po: M M O omo ( pi pj + pk )( pi pj + pk ) 6 p esult que: ( pi + pj + pk ) ( pi pj + pk ) 4 6 p M 6 p 3 (espost d) QUSTÃO (3, pontos): estutu mostd n figu é compost po bs biticulds, de mss despezível Sbendo que o vínculo em é um ticulção e em um poio simples, pede-se: () (,) s eções extens; (b) (,0) foç n b, indicndo se é de tção ou de compessão; (c) (,0) foç n b, indicndo se é de tção ou de compessão G onstuímos o digm de equilíbio d estutu e deteminmos s eções vincules medinte plicção ds equções de equilíbio, ou sej: G X Y x 0 X 0 Y

3 SOL OLITÉNI UNIVSI SÃO ULO venid ofesso Mello Moes, nº , São ulo, S Telefone: (0xx) x: (0xx) eptmento de ngenhi Mecânic M 0 Y Y 7 (espost ) y 0 Y 4 deteminmos s foçs tuntes ns bs plicemos o Método dos Nós o nó igm de copo live do nó : 4 y (Tção) (espost b) deteminmos s foçs tuntes n b plicemos o Método ds seções o longo de um secção que cot s bs G, G e G G G M G (ompessão) (espost c)

4 SOL OLITÉNI UNIVSI SÃO ULO venid ofesso Mello Moes, nº , São ulo, S Telefone: (0xx) x: (0xx) eptmento de ngenhi Mecânic QUSTÃO 3 (3, pontos): estutu d figu á compost po dus bs de peso despezível b, contínu e de compimento, é ticuld em e poid em sobe extemidde d b No ponto de contcto ente s dus bs o coeficiente de tito é µ o ponto d b pende-se um cbo pssnte po um sistem de dus polis um ticuld em e out móvel, confome indicdo n figu elo cento d poli móvel supot-se um mss de peso ede-se: olis de peso despezível H () (,0) O digm de copo live ds bs e ; (b) (,) s eções em e em ; (c) (,0) O vlo mínimo de µ p que estutu se mntenh em equilíbio sob ção d foç Item (): igms de copo live ds bs O omo b está em equilíbio sujeit pens dus foçs em sus extemiddes, els devem se iguis e dietmente oposts b, po seu tuno, está em equilíbio sob ção de pens 3 foçs (necessimente coplnes); logo, els deveão se ou concoentes ou plels omo

5 SOL OLITÉNI UNIVSI SÃO ULO venid ofesso Mello Moes, nº , São ulo, S Telefone: (0xx) x: (0xx) eptmento de ngenhi Mecânic dus desss foçs têm dieções conhecids foç hoizontl plicd pelo sistem de polis e foç de contcto plicd pel b o longo de su dieção s tês foçs mencionds são concoentes (vide digm de copo live d b ) Item (b): eções em e em s equções de equilíbio d b, são: x x y + 0 y + 4 M z esolvendo-se o sistem de equções nteioes, obtêm-se: x e y i + j i + j Item (c): Vlo mínimo de µ p stisfze às condições de equilíbio eção veticl sej, y é devid à foç de tito no contcto ente s bs e, ou t y µ N µ x µ µ µ otnto, deve-se te µ 0, p que estutu se mntenh em equilíbio QUSTÃO 4 / opttiv ( ponto): do um sistem S {( ), (, ),, K (, )}, n n não, pove que sempe é possível inclui nesse equilibdo de foçs i plicds os pontos i sistem um não nul plicd em um ponto de fom eduzi o sistem de foçs { } {(, ), (, ), (, ),, K ( )} S S, n, n um únic foç Supoemos, inicilmente, que o sistem S sej equivlente um bináio (figu ), ou sej, S,, {( ) ( )},

6 SOL OLITÉNI UNIVSI SÃO ULO venid ofesso Mello Moes, nº , São ulo, S Telefone: (0xx) x: (0xx) eptmento de ngenhi Mecânic Nesse cso, se cescentmos o sistem oiginl S um foç plicd o ponto (figu ), esultá o sistem S S {(, )} {(, ), (, ), (, )} Notndo que o sistem de foçs {(, ), (, )} é equivlente o sistem nulo, concluímos que o novo sistem de foçs S é equivlente um únic foç, ou sej, S {(, ) } (figu ) S {( ) } S S, () S {( )}, () dmitiemos, em seguid, que o sistem oiginl S sej edutível um foç e um bináio M O Nesse cso, podemos epesent S po um toço plicdo um ponto do,,, onde h é o momento eixo centl de foçs, ou sej, S é equivlente {( ) ( )} mínimo, plelo à dieção de cescentemos S um nov foç, plicd um ponto bitáio, ms com linh de ção petencente um plno noml o eixo centl do S S, sistem oiginl de foçs (vide figu ) eduzindo-se o novo sistem {( )} um ponto qulque do eixo centl (vide figu b), consttmos que o momento dicionl cusdo po em tem mesm dieção de M otnto, se fo plicd em um ponto M, ou sej, se o ponto de plicção d foç fo ddo de fom que ( ) po + ( M ) + λ () M M

7 SOL OLITÉNI UNIVSI SÃO ULO venid ofesso Mello Moes, nº , São ulo, S Telefone: (0xx) x: (0xx) eptmento de ngenhi Mecânic o sistem S S {(, ) } seá equivlente um únic foç (vide figus c e d) eixo centl M M eixo M () (b) + (c) (d) dmitindo-se, finlmente, que o sistem oiginl S sej, de pe si, equivlente um únic foç v, o pocedimento nteio pode se plicdo, bstndo obsev que foç dicionl deve se plicd em lgum ponto de fom que s linhs de ção de v e sejm concoentes