dv = πr 2 dx dv = π[f(x)] 2 dx b 8.2- Volume de Sólidos de Revolução

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1 8.- Volume de Sóldos de Revolução Um egão tdmensonl (S) que possu s popeddes ) e ) segu é um sóldo: ) A fonte de S consste em um númeo fnto de supefíces lss que se nteceptm num númeo fnto de ests que po su vez, podem se ntecept num númeo fnto de vétces. ) S é um egão lmtd. Eemplos de sóldos (esfe, cone ccul, cuo, clndo) 8..- Sóldos de Revolução - Método do Dsco Um sóldo de evolução se fom d segunte mne: Dd um egão R pln e l um lnh et que pode toc ou não em R e que estej no mesmo plno de R. Gndo-se R em tono de l, fom-se um egão chmd de sóldo de evolução. S R l l Áe pln Gndo o gáfco de um função f() tem-se: f() Sóldo gedo pel Rotção. f() dv d dv [f()] d V [f ()] d Áe pln Cálculo do elemento de volume Dscpln de Cálculo Dfeencl e Integl I Pof. Slete Souz de Olve Buffon

2 Eecícos ) Usndo o método do dsco ccul, clcule o volume do sóldo gedo pel evolução d egão so função f(), no ntevlo [,]. (,8) (,8) (,) R (,) Áe pln Elemento de volume 7 V f [ ( )] d [ ] d d 7 7 8,6,99(und vol) ) Ach o volume gedo pel função f() em [-, ] - Sem-cículo em otção Sóldo gedo pel otção do sem-cículo V [ f ( )] d [ ] d [ 6 que é o volume d esfe ged!!! ]d Dscpln de Cálculo Dfeencl e Integl I Pof. Slete Souz de Olve Buffon

3 Um egão pln pode se gd em tono do eo o nvés do eo, e novmente um sóldo de evolução seá gedo. R g() g() d dv Áe pln gndo em Sóldo de evolução d áe pln em tono de V [ g()] d d que é o volume do sóldo Eecícos ) Clcule o volume gedo pel páol gndo em tono do eo de, no ntevlo [,]. Sóldo gedo pel Páol de evolução Seção pln páol gndo em V [ g( )] d d [ ] d d 8 V 8, und. de vol. O Método do Dsco pode se estenddo p o Método dos Anés Ccules. Este método suge qundo áe de evolução é lmtd po dus funções f() e g(), tl que f() > g(), p todo [,]. Dscpln de Cálculo Dfeencl e Integl I Pof. Slete Souz de Olve Buffon

4 f() d Anel pojetdo g() g() f() dv Áe pln em evolução Sóldo gedo pel evolução O elemento de volume do nel é ddo po: de fom que o volume todo é ddo po: dv [f()] d - [g()] d { [f()] - [g()] } d V dv {[ f ( )] [ g( )] }d Note que o vão nteno é descontdo pel sutção dos dos volumes. Eecíco ) Clcul, usndo o método dos nés ccules, o volume fomdo pel otção d egão ente e. (-,) R (,) Áe ente páol e et em evolução. Sol: Fço f() e g() (pos f() > g()) Pontos de Intesecção: f() g(), sto é: Sóldo de evolução Dscpln de Cálculo Dfeencl e Integl I Pof. Slete Souz de Olve Buffon

5 - - (' - e '' ) e (' e '' ) V dv [( ) ( ) ] d [( ) ( )] [ ]d ( ) ( ).. ( ) ( ) logo V,89 (und. de vol.) Se evolução fo em tono do eo, como po eemplo p s funções F() e G(), tem-se: dv { [F()] - [G()] } d de fom que o volume todo é ddo po: g() f() d dv Áe ente cuvs, em evolução Sóldo gedo pel áe em evolução V dv {[ F( )] [ G( )] }d As vezes, o sóldo de evolução é gedo em tono de um eo eteno que pode se plelo "" ou "". O método dos nés ccules, pode se plcdo, desde que se dentfque o o do go. Dscpln de Cálculo Dfeencl e Integl I Pof. Slete Souz de Olve Buffon

6 Eecícos Ach o volume do sóldo gedo pel evolução d egão R em tono do eo 6. R é lmtd pelos gáfcos de e. 6 - (,) (6 / ) R 6 / d dv (-,) 6 Páol gndo em tono de um eo eteno Polóde gedo pel otção Sol: P solmos fzemos: Tmém temos: se. 6 ± Os: E o eteno 6 - e I o nteno V dv ( )d E I V 6 d d 6 6 d 6 ( ) ( ) ( ) ,6 8,8 (und. vol.) Dscpln de Cálculo Dfeencl e Integl I Pof. Slete Souz de Olve Buffon 6

7 ) Ddos os gáfcos e, detemne o volume d egão, p o cso d áe pln g em. d dv Cuv do o gu gndo em De / Sejm: F() E (o eteno) G() / I / (o nteno) Csc clíndc ged 8 V d d.8 8 Ms ( ) Então V 8,8, (und. vol.) 8..- Método do Invóluco Clíndco Este método us cscs clíndcs o nvés de dscos. 6 d h dv Clndo Csc clíndc Dscpln de Cálculo Dfeencl e Integl I Pof. Slete Souz de Olve Buffon 7

8 compmento d csc V h dv hd V hd Se áe pln de evolução estve lmtd pels funções f() e g(), no ntevlo, confome most fgu: dv d h f() g() d Áe pln ente cuvs, em Revolução e em tono de Sóldo gedo pel áe em evolução. Os: temos: h f - g V [f () g()] d Eecícos ) Clcul o volume de evolução em tono de lmtdo po /,, em [,] (, / ) / h - / - d Áe gndo em Csc clídc que ge o volume element Sejm f() / e g() 7 / V [ f ( ) g( )] d [ ] d [ ]d 7 / Dscpln de Cálculo Dfeencl e Integl I Pof. Slete Souz de Olve Buffon 8

9 7 / 7 / 7 /.7 7 / (9,78) 8,6 7, (und vol.) ) Use o método ds cscs clíndcs p clcul o volume gedo pel otção d áe R em tono de -. R é lmtd pelos gáfcos de, e. h - d - - Áe pln gndo em Tono do eo - Se Sóldo gedo P P - (-) h - - dv h d dv ( )( - )d ( ) V [ 8 ] d 8.. V V V V,8 (und. vol.) 6 Dscpln de Cálculo Dfeencl e Integl I Pof. Slete Souz de Olve Buffon 9

10 ) Detemn o volume gedo pel evolução em tono do eo d egão lmtd po, e o eo. V ( ) d V d V. V u.v. ) Detemn o volume gedo pel evolução em tono do eo d egão lmtd po., eo e. ± V V ( ) V d V u.v. ) Detemn o volume gedo pel evolução em tono do eo d áe lmtd pels cuvs e. d Dscpln de Cálculo Dfeencl e Integl I Pof. Slete Souz de Olve Buffon

11 Dscpln de Cálculo Dfeencl e Integl I Pof. Slete Souz de Olve Buffon - Pontos de nteseção - Volume 8.- Compmento de Acos de Cuvs Sej f () contínu e devável em [, ]. P f () P n n n lm d d d Sej f () e. ( ) ( ) u.v. V 8 V V d V d V

12 Dscpln de Cálculo Dfeencl e Integl I Pof. Slete Souz de Olve Buffon d d d Eecícos ) Detemn o compmento do co d cuv ) ( f ente os pontos P (8, ) e P (7, 9). d d d 7 8. d d 9. d d d d 9 d d d ) Clcul o compmento de um ccunfeênc de o.

13 Dscpln de Cálculo Dfeencl e Integl I Pof. Slete Souz de Olve Buffon d d d ( ) ( ) ( ) ( ) d d d d d d d d.csen d d Áe de Supefíce de Revolução Sej f () contínu e devável em [, ]. ± - -. té

14 Dscpln de Cálculo Dfeencl e Integl I Pof. Slete Souz de Olve Buffon f () f ( ) ) ( f S ) ( f S n n d ) ( f lm S d d d ) ( f S ou ( ) d ) f`( S Supefíce ged pel evolução do eo. Sej f (). f () f ( )

15 Eecícos d S d Supefíce ged pel evolução em tono do eo. d ) Detemn áe d supefíce otd pel evolução d cuv eo. S d d d d d d d d d d. d S S S ( ) ( ) S 7 6, ente e em tono do. d..d Dscpln de Cálculo Dfeencl e Integl I Pof. Slete Souz de Olve Buffon

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