UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL

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1 UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL CADERNO UNIVERSITÁRIO GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Pof. Moc Mnghello Pof. Joge Tdeu Vgs d Silv

2 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR. Intodução: EMENTA DA DISCIPLINA: Mties - Opeções com mties - Mties invesíveis - Deteminntes - Sistems linees - Espço vetoil - Combinção line - Dependênci line - Bse de um espço vetoil - Veto - Ret no espço - O plno. OBJETIVOS GERAL: Que o luno sej cp de plic os conceitos de Álgeb Line e Geometi nos poblems de engenhi. ESPECÍFICOS Ope com mties e clcul mti inves e opeções elementes. Reconhece os tipos de mties. Clcul deteminntes. Resolve sistems de equções plicndo o método de Cme e de Guss. Identific s ccteístics de um veto e epesentá-lo. Ope com vetoes. Identific espços e sub-espços vetoiis. Identific bse de um espço vetoil. Reli podutos ente vetoes. Repesent et ns sus difeentes foms de equções. Resolve poblems que envolvm equções de ets. Detemin equção de plnos. Identific s posições eltivs ente plnos/ets e plnos/plnos. Detemin e econhece equções de cônics. PROGRAMA DA DISCIPLINA Mti tipos, deteminção e opeções - mti inves. Deteminnte - cálculo de deteminntes e popieddes. Sistems linees - clssificção e esolução.

3 Veto - definição, epesentção, ccteístics, tipos de vetoes, veso de um veto, combinção line, dependênci line, espços vetoiis, bse de um espço vetoil, pojeção de vetoes, epessão nlític e lgébic de veto, módulo, distânci ente dois pontos, cossenos dietoes, plelismo e pependiculismo, podutos vetoiis. A et - equções vetoil, pmétic e simétic d et, ângulo ente ets, plelismo e pependiculismo, coplnidde, posições eltivs ente ets. O plno - equção do plno, posições eltivs e distâncis. AVALIAÇÃO: INSTRUMENTOS E CRITÉRIOS A vlição seá feit, bsicmente po dus povs: ª Not: um pov vlendo nove (9,) pontos, com os conteúdos té oitv ul e tblhos com eecícios de plicção vlendo um (,) ponto. ª Not: um pov vlendo oito (8,) pontos n décim oitv ul, com os conteúdos d pimei té décim sétim uls e tblhos vlendo dois (,) pontos. Substituição: um pov com os conteúdos d pimei té décim non uls. A médi p povção é de codo com Resolução nº, de /9/, do Conselho Univesitáio, isto é: Seão elids dus () tividdes p compo dois () gus pciis dunte o peíodo letivo. Depois de feit médi ponded desses gus ( o pimeio com peso e o segundo com peso ), o luno que possui, no mínimo, % de feqüênci e médi pcil igul ou supeio seá considedo povdo.p o luno que tenh feqüênci de % ou mis, ms médi pcil infeio, seá ofeecid um pov de ecupeção cumultiv de conteúdos e competêncis do semeste p substitui um ds nots dos dois pimeios gus (mntendo-se os espectivos pesos de cd gu): Gu (G) Avlição, com peso, com os conteúdos e competêncis desenvolvidos no pimeio bimeste letivo. Gu (G) Avlição, com peso, com todos os conteúdos e competêncis desenvolvidos no semeste letivo. Seá considedo povdo o luno que obtive médi mio ou igul,, clculd pel equção ( G ) ( G ).

4 O luno que não tingi o mínimo eigido teá opotunidde de eli um tividde de evisão gel de conteúdos e competênci e mis um tividde de substituição de um dos gus do semeste. REVISÃO GERAL Seão elbods tividdes individuis p que os lunos possm tblh sus dificulddes com uílio do pofesso. SUBSTITUIÇÃO DE GRAU Seá elid um vlição finl contendo todos os conteúdos e competêncis desenvolvids no semeste letivo. O gu finl seá obtido, substituindo, n equção cim, o vlo d not d substituição de gus pciis G ou G, se escolhido pelo luno, pelo vlo d not d substituição de gus. BIBLIOGRAFIA BÁSICA:. WINTERLE, P. Vetoes e Geometi Anlític. São Pulo: Mkon Books,. p.. STEINBRUCH, A. WINTERLE, P. Geometi Anlític. São Pulo: McGw-Hill, 98. 8p.. HOWARD, A., RORRES, C. Álgeb line com plicções. Poto Alege: Atmed Edito Ltd,.p.. KOLMAN, B. Intodução à Álgeb Line com Aplicções. Rio de Jneio: Pentice-Hll do Bsil ltd, 998.p. COMPLEMENTAR:. BOLDRINI, J. L. Álgeb Line. São Pulo: Hb. 98. p.. BOULOS, P., CAMARGO, I. Geometi nlític - um ttmento vetoil. São Pulo: McGw-Hill, 98.8p.. JÚNIOR, O. G. Mtemátic po ssunto Geometi Pln e Espcil (nº ). São Pulo. Ed. Scipione, MACHADO, A. dos S. Mtemátic tems e Mets Áes e Volumes (nº ). São Pulo. Atul Edito MACHADO, A. dos S. Mtemátic tems e Mets Sistems Linees e Combintói (nº ). São Pulo. Atul Edito LIPSCHUTS, S., LIPSOM M.L., Algeb Line. São Pulo. ed. BOOKMAN., p. REIS, G. L. e Silv V. V., Geometi Anlític. São Pulo: ed. LTC. 99. p.. SANTOS, N. M. dos. Vetoes e Mties. São Pulo: Thomson Lening,. 8p.

5 . MATRIZES:.. CONCEITO: Denomin-se Mti o conjunto de elementos fomdo po m linhs e n coluns, que são disposts em um qudo, com um totl de m.n elementos, que podem se númeos, lets ou lets e númeos... REPRESENTAÇÃO: pelo seguinte qudo: A epesentção de um Mti Retngul de m.n elementos é dd A mn m m m Onde o.º Índice de cd elemento indic su linh e o.º Índice de cd elemento indic su colun, ssim o elemento está loclido n.ª linh e.ª colun. n n mn Obs.: ) Utilim-se lets miúsculs p epesent um Mti. ) A odem de um Mti é dd pelo seu númeo de linhs e coluns. Assim um Mti possui linhs e coluns... TIPOS DE MATRIZES: MATRIZ LINHA: É quel que possui um únic linh, su odem tem fom gel do tipo n. A n [ ] n E.: A ( ) odem X B ( ) C [ 9] odem X odem X

6 tipo m. MATRIZ COLUNA: É quel que possui um únic colun, su odem tem fom gel do B m b b b m E.: P 9 odem X Q odem X MATRIZ RETANGULAR: É quel em que o númeo de linhs é difeente do númeo de coluns, su odem gel é do tipo mn, com m n A mn m m m n n mn E.: M 9 odem X N 8 9 odem X MATRIZ QUADRADA: É quel em que o númeo de linhs é igul o númeo de coluns, su odem gel é do tipo nn, ou esumidmente, odem n. Obs.: c C nn c cn c c c n c n c n cnn As mties qudds possuem um Digonl Pincipl, que é fomd pelos elementos que possuem índices iguis, e um Digonl Secundái, que é fomd pelos elementos cuj som de seus índices esult n.

7 E.: A 8 odem X ou de ª odem dig. Secundái dig. Pincipl B 9 8 X odem ou de ª odem dig. Secundái dig. Pincipl MATRIZ TRANSPOSTA DE UMA MATRIZ: Dd um Mti A, su tnspost é out mti, que se epesent po A t, qundo os elementos ds linhs de um mti são os elementos ds coluns d out mti. A A t Obs.: Os elemento de posição ij d Mti A ocupá posição ji n Mti A t. E.: sendo A 9 9, su tnspost é mti A t 9 9 MATRIZ NULA: É quel em que todos os seus elementos são nulos ( eos ). A B... MATRIZ IDENTIDADE: É quel mti qudd que possui os elementos d Digonl Pincipl iguis e os demis elementos nulos ( eos ). I I I e ssim po dinte.

8 8..8. MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: É quel em que todos os elementos que ficm cim d Digonl Pincipl são nulos ( eos ). A X B MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: É quel em que todos os elementos que ficm bio d Digonl Pincipl são nulos ( eos ). M X / P 8 Q.. CONSTRUÇÃO DE MATRIZES: P se constui um Mti dependemos de su Lei de Fomção, muito embo possm se cids mties sem um lei específic, são pens um montodo de númeos, lets ou lets e númeos. De um modo gel Lei de Fomção depende d posição de cd elemento n mti. E.: Constui s seguintes mties: ) A ( ij ) i j b) B (b ij ) i j c) C (c ij ) < > j i se i j j i se j i j i se,,, Resposts: ) A 8 b) B 8 8 c) C 8

9 .. OPERAÇÕES COM MATRIZES: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO: P sommos ou subtimos dus mties, é necessáio inicilmente que s mties possum mesm odem. A opeção é feit pel dição ou subtção em cd posição ds dus mties esultndo um tecei mti de mesm odem, ou sej, teemos que A mn /- B mn C mn, se todo c ij ij /- b ij. MULTIPLICAÇÃO POR UM NÚMERO: P multiplicmos um númeo po um Mti devemos multiplic todos os seus elementos pelo númeo escolhido, ou sej, teemos que dd Mti A mn Mti B.A mn, é tl que todo b ij. ij. MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES: P multiplicmos dus mties é necessáio inicilmente que.ª mti tenh o númeo de coluns igul o númeo de linhs d.ª mti. P obtemos o elemento c ij d mti poduto, deveemos fe: c ij i.b j i.b j i.b j in.b mj A B C Eemplo: 9 9 MATRIZ INVERSA: Sendo um Mti Qudd A, de odem M. Diemos que Mti A é invesível se eisti B tl que: Not: A. B B. A In ou A. A - In A Mti B é chmd inves d Mti A e seá indicd po A -. ) Se eisti Mti inves, diemos que Mti A é invesível, como contáio el é não-invesível ou singul. b) Eistindo Mti inves, el é únic E: Sendo Mti A, Obtenh su inves. 9

10 b c Solução:. c d c Pel iguldde de Mties, obtemos: b d b d A -

11 .. DETERMINANTES: CONCEITO: Tod Mti Qudd de númeos seá ssocid um númeo, e tod Mti Qudd de Lets ou Lets e Númeo seá ssocido um polinômio. O Númeo ou o Polinômio ssocido um Mti Qudd, obtido de codo com cets egs, seá denomindo de Deteminnte. FORMA DE OBTENÇÃO: O Deteminnte de um Mti Qudd é obtido fendo-se som lgébic dos podutos dos seus elementos, pemutndo-se de todos os modos possíveis s coluns dos elementos d Digonl Pincipl findo-se s linhs, e dmitindose que estes podutos sejm positivos ou negtivos, confome os índices ds coluns de seus ftoes fomem um clsse p ou ímp, espectivmente. CÁLCULO DO DETERMINANTE: É obtido pel difeenç dos podutos dos elementos d digonl pincipl e secundái.. Mti de Segund Odem:... Mti de tecei odem (Reg de Sus): É obtido epetindo-se s pimeis coluns (ou s dus pimeis linhs) dieit d.ª Colun (ou bio d.ª Linh), segui som-se os podutos dos elementos d Digonl Pincipl e ds plels, e subtem-se os podutos dos elementos d Digonl Secundái e ds plels Obs.: Reg de Sus, só se plic deteminntes de tecei odem. PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES: O Deteminnte de um Mti é igul o Deteminnte de su Tnspost;

12 Se um Mti possui um Linh ou Colun de eos o seu deteminnte é nulo; Se um Mti possui Linhs ou Coluns iguis ou popocionis, seu Deteminnte é eo ; O Deteminnte de um Mti Tingul Supeio ou Infeio é igul o poduto dos elementos d Digonl Pincipl; Se tocmos Linhs ou Coluns ente si em um Mti, o seu Deteminnte mud de sinl; Se multiplicmos ou dividimos todos os elementos de um Linh ou Colun de um Mti, po ceto númeo, o Deteminnte d Mti fic multiplicdo po este númeo; Se multiplicmos um Linh ou Colun de um Mti po ceto númeo e o esultdo sommos ou subtimos com out Linh ou Colun d Mti, seu Deteminnte não se lte.. Mti de odem supeio tês: Teoem de Lplce: O Deteminnte de um mti qudd A ( ij ), de odem n, é som do poduto dos elementos de um fil qulque d mti pelos espectivos coftoes. det(a).d.d. D -. (-) n. n D n E: Clcule o deteminnte d mti A, sendo A Solução: Escolhemos pimei linh (o cso) A ( ). ( ) A ( ). ( )

13 A ( ). ( ) 8 como Det A A A A então Det A. ( ).. ( 8) 8 Respost: Det A 8 Obsevção: Note que odem do Deteminnte fic eduid. Note que fic mis fácil qundo escolhemos um fil com mio númeos de eos. Eecícios de plicção: Clcul o vlo dos seguintes deteminntes: ) b) c) d) 9 8 e) f) g) h) i) Resposts: ) 8 b) c) d) 8 e) f) g) h) i) Reg de Chió: O Deteminnte de um Mti D, que possui um elemento ij, é i- gul o Deteminnte obtido supimindo-se n Mti D, linh i e colun j,e substituindo-se os elementos estntes pel difeenç ente cd elemento d Mti estnte e o poduto dos temos ds fils supimids que petençm linh e colun do ele-

14 mento considedo. Esse Deteminnte deveá se pecedido do sinl ou confome o esultdo de i j do elemento considedo sej p ou ímp. det(d n ) (-) ij.det(d n- ).. SISTEMAS LINEARES:... EQUAÇÃO LINEAR: É tod equção d fom:... n. n b Obs.: Cso b sej igul eo, então Equção Line é dit Homogêne.... SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES: É um conjunto de Equções Linees, e é epesentdo po:... n. n. Onde:,,,, n são viáveis;,,,, n são coeficientes numéicos, b é o temo independente.... n.... n n n nn.... n n n n b b b b n Obs.: ) Denomin-se Solução de um sistem de Equções Linees o conjunto de n vloes que é simultnemente solução de tods s equções do sistem; b) Um Sistem de Equções Linees pode se Possível (qundo dmite solução) ou Impossível (qundo não dmite solução); c) Um Sistem de Equções Linees Possível pode se Detemindo (qundo dmite um únic solução) ou Indetemindo (qundo dmite mis de um solução);

15 d) Dois sistems de Equções Linees são ditos Equivlentes qundo possuem mesm solução.... SOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES nn Reg de Cme: Um Sistem de n Equções Linees com n incógnits, cujo deteminnte d Mti dos Coeficientes ds Incógnits é difeente de eo é Detemindo, e su solução é obtido pel ão ente o Deteminnte que se deiv d Mti dos Coeficientes pel substituição dos Temos Independentes em cd um ds incógnits e o Deteminnte d Mti dos Coeficientes.... n. n.... n.... n n n nn.... n n n n b b b b n Deteminnte ds incógnits d n n n n nn Deteminnte d pimei viável b b n n n n nn.. Deteminnte d enéim viável n n n n b b n n n Resumindo: Sistem Line Possível Admite Soluções Detemindo Admite um únic solução Indetemindo Admite infinits soluções Impossível Não dmite Solução

16 , detemi- EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO ) Dds s Mties A, B, C n: e D ) AB 9 esp. ) b).bc t 9 esp. b) 9 c) B D esp c) d).ab t C 9 esp. d) 9 ) Dds s Mties A 9 e B, esolv o sistem: B A esp. X 9 e Y ) Dds s Mties A e B, esolv o sistem: A B Respost: 9 8 ) Sendo A e B A ) A B esp. ),, esolv os Sistems: b), A B A B b), ) Constui mti A( ij ) cujos elementos stisfem elção ij i j esp.,

17 ) Considendo mti A( ij ) com ij ( i j )², clcul,, e t p que se tenh: A t t ) Clcul o poduto AB sendo, A esp., -, -9, t - e B Resp. 8) P s mties A e B, most que: ) AB BA b) ( AB ) t A t B t 9) Detemin inves ds seguintes mties ) A 8 b) B c) C esp. A esp. B esp. C / / / 8 / d) D esp. D ) Dd mti A, detemin mti X, tl que X A A t esp. ) Clcule X e Y n iguldde: X. Y esp. X e Y

18 8 ) Veifique quis dos seguintes podutos podem se efetudos ) A. B b) A. B c) A. B d) A. B ) Resolv s seguintes equções: ) X. - esp. X / b).x esp. X,, c).x 8 esp. X ) Efetue os podutos ). esp. b) [ ]. esp. [ ] c). [ ] esp. 9 d). esp. e) [ ] 8. esp. [9] f). esp. 9 9

19 9 g). esp. 8 8 h). esp ) Clcule os seguintes deteminntes: ) b) c) d) esp. 8 esp. - esp. eo esp. - ) Resolv s seguintes equções: ) b) c) esp. X e X - esp. X esp. X - ) Sej A ( ij ) um mti qudd de odem tl que ij i² i.j. Clcul o deteminnte de A. esp. - 8) Dd mti A, detemin o deteminnte de (A ¹). esp. ¼ 9) Clcule o deteminnte ds mties. ) A ( ij ) sendo ij i j b) B (b ij ) sendo b ij i² - j c) C (c ij ) sendo c ij i j d) D (d ij ) sendo d ij i j espost: ) - b) c) eo d) eo

20 ) Resolv s equções ) 8 b) c) 8 d) Resposts: ) b) -, c) - d) ± ) Detemine o vlo do deteminnte d mti A ( ij ) de tecei odem onde: ij j se i ; j i j se i ; esp. 8 ) Clcule o deteminnte de A, sendo A ij um mti qudd de tecei odem onde ij > < j se i ; j i j se i ; j i j se i ; esp. 8 ) Resolv s seguintes equções: ) b) c) esp. X esp. X e X esp. X / ) Aplicndo o teoem de Lplce, clcule o vlo do deteminnte ds seguintes mties: ) b) c) d) 9 8 esp. 8 esp. - esp. esp. 8 e) f) g) h)

21 esp. - esp. - esp. esp. - ) Detemine o vlo el de X, no deteminnte: esp. X ) Resolv equção: esp. X -/ ) Resolv os sistems plicndo eg de Cme ) 8 esp. (, ) b) 8 esp. (, ) c) esp. (, ) d) esp. (,, ) e) esp. (,, )

22 f) esp. (,, ) 8) Discuti o sistem segundo os vloes de m e n. m n esp. Se m (s. p. d.) Se m e n (s. p. i.) Se m e n (s. i.) 9) Discuti os sistems ) m esp. se m - (s.p.d.), se m - (s.i.) b) m 8 m esp. se m ± (s.p.d.), se m ± (s.i.) c) m m esp se m - (s.p.d.), se m - (s.i.) d) m esp. se m (s.p.d), se m (s.i) e) m esp. se m - (s.p.d), se m - (s.i) f) m m esp. se m - (s.p.d), se m - (s.i) g) k esp. se k (s.p.d), se k (s.i)

23 h) m n esp. se m - (s.p.d), se m - e n 8 ( s.p.i ) se m - e n 8 (s.i) i) esp. se e - (s.p.d. ), se e - ( s.i.) j) m esp. ( s.p.d. p qulque m ) k) m esp. se m (s.p.d. ), se m ( s.p.i. ) l) k k esp. se k ± ( s.p.d.), se k± ( s.p.i )

24 .8. EXERCÍCIOS SOBRE MATRIZES. Sejm s mties: A, B, C e [ ] D, clcule: ) A B b) B C c) A. C d)b.c e) C.D f)d.a g) D.B. Dds s mties: A. 8 B e C, clcule: ) B A b) A C c) C B d) ) B.(C A. Clcule A, sbendo que. A. Dds s mties: A, B e C, detemine mti X n equção.a B X.C.. Dds s mties A e B, detemine mti X tl que A B X.. Se A, B e C, clcule mti X n equção ( ) ( ) C X B A X.. Sendo A e B, clcule mti X n equção A.X B. 8. Um constuto tem conttos p constui estilos de cs: modeno, mediteâneo e colonil. A quntidde de mteil empegd em cd tipo de cs é dd pel mti:

25 Feo Md Vido Tint Tijolo Colonil Mediteâneo Modeno (Qulque semelhnç dos númeos com elidde é me coincidênci). Utilindo opeções ente mties esolv s seguintes situções: ) Se ele vi constui, e css dos tipos modeno, mediteâneo e colonil, espectivmente, qunts uniddes de cd mteil seão empegds? b) Suponh go que os peços po unidde de feo, mdei, vido, tint e tijolo sejm, espectivmente,, 8,, e uniddes. Qul o peço unitáio de cd tipo de cs? c) Qul o custo totl do mteil empegdo? 9. Dds s mties: A e B, clcule: ) det(a) det(b) b) det(ab). Clcule o deteminnte de cd mti bio: A 9 8 B C π D. Constu mti ( ij ) X A, com j i ij e clcule det(a). Resolv os sistems plicndo eg de Cme: ) ) b ) c w w w w ) d 8 ) e ) f 9 t t t ) g u u u u ) h

26 . Repesente gficmente os pes de ets, indicndo solução do sistem: ) b) c) d) e) f). Resolv s seguintes equções: ) b) c) d) e) 8 w w. Clcule e em cd cso: ) b). Resolve equção. Resolve equção X 8. Resolve equção A.X B, sendo A e B 9. Clcule n equção. Clcule o vlo do deteminnte: cos sen sen cos. Clcule em cd iguldde: ) b) c)

27 . Resolv s equções: ) b) c) d). Clcule o vlo dos deteminntes ds seguintes mties: A B C 8 D E. Se i h g f e d c b, clcule i h g f e d c b. Se i h g f e d c b, clcule i h g f e d c b. Se A é um mti qudd de odem, com det A, clcule o det B, onde B A.. Se A é um mti qudd de odem, com det A, clcule o det B, onde B A. 8. Se A é um mti qudd de odem, tl que det A e A A, clcule det A. 9. Se A é um mti qudd de odem, tl que det A e A -A, clcule det A.

28 . Se A, clcule det (At).. Clcule o deteminnte d mti Detemine solução dos seguintes sistems usndo mties ) b) RESPOSTAS. ). ) 9.. X. X. X b)impossível c) d) e) 8 b) f) [ ] g) [ ] 9 c) d) 9. X 8. ) Feo: Mdei: Vido: Tint: 8 Tijolo: 88 b) Modeno: $ 9, Mediteâneo: $ 8, Colonil: $, c) $., 9. ) b). det(a) det(b) det(c) det(d) 8. A det(a) 8. ) S {(/, -9/,-8/)} b) S {(,-,)} c) S {(,-,)} d) S {(,-,,-)} e) S f) S g) S {(,,,-)} h) S {(,,,)}. ) (,) b) (-,) c) (,) d) (,) e) (,) f) (,-). ) e ; b) e ; c), e ; d) e ; e),, e w. ) e ; b) e ou.. ) ; b) ou ½; c). ) ou ; b) ou ½; c) ou /; d). deta ; detb ; detc 9 ; detd 8 ; dete ) ; ; b) ; ;

29 . INTRODUÇÃO AO ESTUDO DOS VETORES.. Conceitos pelimines Ret oientd Um et é oientd qundo se fi nel um sentido de pecuso, considedo positivo e indicdo po um set. O sentido oposto é negtivo. Chmmos de eio et oientd onde fimos um ponto, chmdo de oigem, e deteminmos um unidde de compimento. Segmento de et oientdo Um segmento oientdo é um segmento de um eio e é detemindo po um p odendo de pontos, onde o pimeio é oigem do segmento e o segundo é etemidde do segmento. O segmento oientdo de oigem A e etemidde B seá epesentdo po AB e, geometicmente, indicdo po um set que cctei visulmente o sentido do segmento. E.: A B et supote Segmento nulo Um segmento é nulo qundo etemidde coincide com oigem. Medid de um segmento Fid um unidde de compimento, cd segmento oientdo podese ssoci um númeo el, não negtivo, que é medid do segmento em elção àquel unidde. A medid do segmento oientdo é seu compimento ou seu módulo. 9

30 Dieção e sentido Os segmentos oientdos não nulos têm mesm dieção se estão num mesm et supote ou em ets supotes plels. Os segmentos oientdos não nulos têm mesmo sentido se tiveem mesm oientção. Cso contáio, têm oientções contáis. Obs.: Só se pode comp os sentidos de dois segmentos oientdos se eles têm mesm dieção. Segmentos opostos Se AB é um segmento oientdo, o segmento BA é oposto AB. Os segmentos opostos têm mesm dieção, mesm medid e oientções (ou sentidos contáios). Ccteístics de um segmento oientdo Um segmento oientdo se cctei po seu compimento (ou módulo), su dieção (et supote) e su oientção (sentido). Segmentos eqüipolentes Dois segmentos AB e CD são eqüipolentes qundo têm mesmo compimento (módulo), mesm dieção e mesm oientção (sentido). Repesentmos equipolênci po AB ~ CD. Espço Ctesino N Geometi de René Desctes, considemos que todo o ponto do espço possui tês dimensões, este ponto P está um distânci finit de um tiedo OXYZ, coespondente um sistem de tês dimensões eis: denomind bsciss que é distânci do ponto P o plno YOZ, denomindo odend que é distânci do ponto P o plno XOZ e, Z denomindo pel cot que é distânci do ponto P o plno XOY Tis númeos,, denominm-se Coodends Ctesins de um ponto P.

31 No Espço Ctesino um ponto definido P (,, ) é epesentdo po um tio odendo de númeos eis (,, )... Definição de veto: É um et oientd qundo se fi nel um sentido de pecuso. Gndes escles e vetoiis. Gnde: é tudo quilo que pode vi quntittivmente. Gnde escl: é quel que só tem módulo ou vlo numéico. Gnde vetoil: é quel que, necessit lém do módulo, dieção e sentido. Um gnde vetoil se epesent po meio de um flech num cet escl. O compimento d flech epesent o módulo do veto, linh sobe qul se encont é dieção do veto e o sentido é indicdo pel flech. Ddo um segmento oientdo AB, chmmos de veto o conjunto de todos os segmentos oientdos eqüipolentes o segmento ddo AB. Este segmento é um epesentnte do veto. E.: B A Se indicmos po V este conjunto, simbolicmente podemos esceve: V { XY / XY ~ AB} onde XY é um segmento qulque do conjunto. O veto detemindo po AB é indicdo po AB ou B A ou V.

32 Um mesmo veto AB é detemindo po um infinidde de segmentos oientdos, chmdos epesentntes desse veto, e todos eqüipolentes ente si. Assim, um segmento detemin um conjunto que é o veto, e qulque um destes epesentntes detemin o mesmo veto. Potnto, com oigem em cd ponto do espço, podemos visuli um epesentnte de um veto. Usndo um pouco mis noss cpcidde de bstção, se considemos todos os infinitos segmentos oientdos de oigem comum, estemos ccteindo, tvés de epesentnte um só veto. Conseqüentemente, todos os vetoes se chm epesentdos nquele conjunto que imginmos. As ccteístics de um veto V são s mesms de qulque um de seus epesentntes, isto é:o módulo, dieção e o sentido do veto são o módulo, dieção e o sentido de qulque um de seus epesentntes. O módulo de V se indic po V ou po V. Vetoes iguis Dois vetoes são iguis se e somente se foem eqüipolentes ente si. Veto nulo Os segmentos nulos, po seem eqüipolentes ente si, deteminm um único veto, chmdo veto nulo ou veto eo, e que é indicdo po. Vetoes opostos Ddo um veto V AB, o vetoba é o oposto de AB e se indic po AB ou po V. A V B A B V Veto unitáio Um veto é dito unitáio qundo seu módulo é igul um, isto é, qundo V.

33 Veso Veso de um veto não nulo V é o veto unitáio de mesm dieção e mesmo sentido de V. Simbolindo o veso po V é clculdo pel epessão: Eemplo: Detemin o veso do veto V V V v i 8 j Solução: v o ( ; 8) ( ) 8 v o ( ; 8) v o ; Vetoes colinees São vetoes que possuem mesm dieção, isto é, se estão num mesm et supote ou em ets supotes plels. Vetoes coplnes São vetoes que petencem um mesmo plno ou que possuem epesentntes petencentes um mesmo plno. Opeções com vetoes: Os vetoes se somm po métodos geométicos.. Método do polígono p som vetoil: Este método de ch o veto esultnte consiste em desenh escl e, pti de um ponto qulque, cd um dos vetoes ddos, de fom que oigem de um deles coincid com o etemo do nteio. A odem em que se vão tomndo os vetoes é bitái. O compimento do segmento que une o ponto de ptid com o etemo do último veto é o módulo tnto do veto esultnte como do veto equilibnte. O veto esultnte tem po oigem o ponto de ptid e po etemo o do último veto, isto é, o veto equilibnte tem po oigem o etemo do último veto e po etemo o ponto de ptid.

34 A B V C. Método do plelogmo p som vetoil: A esultnte de dois vetoes cujs dieções fomm um ângulo qulque ente si, se epesent po um veto cuj dieção é digonl do plelogmo fomdo com os vetoes ddos e cuj oigem coincide com oigem comum de mbos indicndo ssim seu sentido. A V V B V A B A B cos α Csos pticules: ângulos de, 9 e 8.. Subtção de vetoes: P subti o veto B do veto A bst som, geometicmente, o veto A com o oposto B, isto é, A B A ( B ). P isto é possível utilimos tnto eg do polígono como eg do plelogmo. E.: V A B A B V V. Bses vetoiis: Dente s infinits bses otogonis no plno, um dels é pticulmente impotnte. Tt-se d bse que detemin o conhecido sistem ctesino otogonl O. Os vetoes otogonis e unitáios, neste cso, são simbolidos po i e j, mbos com oigem em o e etemiddes em (,) e (,) espectivmente. O veto seá V i j que podeá se epesentdo po (,) p odendo (epessão nlític do veto ). E: V i - j ou (,-).

35 .. Módulo de um veto (Nom ou Compimento): Sej V i j k ou V (,, ), então V V Onde V ou V é o módulo do veto. Pode-se intepet geometicmente o esultdo encontdo do módulo como sendo o vlo do compimento do veto... Veto definido po dois pontos: Sendo A (, ) e B (, ) Então AB B A logo AB (, ) (, ) AB (, ) isto é, s componentes de AB são obtids subtindo-se ds coodends d etemidde B s coodends d oigem A. Distânci ente dois pontos A B dist (A;B) AB ) ( ) ( Plelismo de dois vetoes Dois vetoes são plelos se, e somente se, sus componentes foem popocionis. Sendo A ( ; ) e B ( ; ) condição de plelismo seá Eemplo: constnte. Sej u (,) e v (, ) então,, logo u // v.

36 .. Ponto médio de um veto: então AM MB. Sej A (, ) e B (, ) e M (, ) o ponto médio do veto AB, Como AM (, ) e MB (, ), pode-se esceve que AM MB (, ) (, ) Sendo ssim pode-se defini: M (, ) (, ).. Poduto Escl ente vetoes Poduto escl e u v ou poduto inteno. Chm-se poduto escl dos vetoes u i j k e v i j k como sendo o númeo el u v Eemplos: ) Sej u i j k e v i j k. Então, u v () () () () ( ) () u v 8. ) Sej u i k e v i j k. Então u v () () () () () ( ) u v Popieddes do Poduto Escl Decoem d definição s seguintes popieddes: ) u.u u ; b) u.v v. u ; c) u.(v w) u.v u. w e (u.v)w u.w v. w ; d) ( α.u).v u.( α.v) α(u.v ) Ângulos ente Vetoes v α u u v Sendo u e v vetoes difeentes de eo e α o ângulo ente eles, podemos constt tvés de opeções geométics (lei dos cossenos e lei dos senos)

37 que u.v u.v cosα com α 8º, então o poduto escl ente dois vetoes não nulos é igul o poduto de seus módulos pelo cosseno do ângulo fomdo ente eles Eemplo: Sej u (,, ) e v (,, ), detemin o ângulo ente u e v. Solução: u.v u.v cosα. cosα ().() ().() ( ).() () () ( ). () () (). cosα cosα 8 cos α cosα ().(9) 8 9 α cos 8 9 Eecícios popostos α ) Detemine o ângulo ente os seguintes pes de vetoes ) i j k e i j k esp. 8 9 b) i j e i j esp. 8 c) i j e i j esp. 8 d) i j k e i j k esp. 9 ) Detemin os ângulos intenos do tiângulo cujos vétices são epesentdos pelos pontos A(,, ), B(,, ) e C(,, ) Resp. A ) B ) 9 C ) Condição de Otogonlidde de dois Vetoes: Dois Vetoes são Otogonis se, e somente se, o poduto escl ente eles fo. Então u v se u.v

38 Eemplo: Sej u (,, ) e v (,, ), então u.v ( ).() ().() ( ).() logo u v. Eecícios popostos ) Pov que os seguintes pes de vetoes são otogonis ) i e k b) u 8 i j k e v i j k c) u (,, ) e v (,, ) Ângulos Dietoes e cossenos Dietoes de um veto. k i u γ β α j α, β e γ que u fom com os vetoes i, j Ângulos dietoes de u são os ângulos e k, espectivmente Cossenos dietoes de v são os cossenos de seus ângulos dietoes, espectivmente, cos α, cosβ e cos γ. cos α u. i u. i cosα u cosβ u. j u. j cosβ u cos γ u.k u. k cos γ u então u (cosα,cos β,cos γ) (,,) u u 8

39 obseve que os cossenos dietoes são pecismente os componentes do veso de u, e como o veso é um veto unitáio, timos cos α cos β cos γ E. ) Sej u i j k então seus ângulos dietoes são: o '' cos α α 9,8 cosβ β o ', '' cos γ γ o ' '' ) Os ângulos dietoes de um veto são o, o e γ. cos o cos cos o α cos cos β cos γ γ logo o o γ ou Pojeção Otogonl de um Veto sobe o Outo. Ddos os vetoes u e v não nulos e α o ângulo ente eles. Dus situções são possíveis, sendo α um ângulo gudo ou obtuso. v v α α Eemplo: v P u v P u O veto pojeção é ddo po v P Detemin o veto pojetção de v u u u u v i j k sobe u i j k. Solução: v P v u.().().( ) u u ()² ()² ( )² v u u,,,, u u ( ) 9

40 .. Poduto Vetoil ente vetoes Poduto Vetoil ente dois vetoes k j i u e k j i v, plicdos nest odem e epesentdos po v u, que se lê, (u vetoil v ) o qul femos uso de deteminntes, teoem de Lplce ou eg de Sus. k j i v u v ou k j i v u Ests mneis pátics nos popicim fciliddes. Note que femos uso de deteminntes pes de não se deteminnte, pois pimei linh é fomd po vetoes e não escles. Eemplo: Clcule v u, sendo k j i u e k j i v Solução k j i v u ) Aplicndo eg de Sus j i k j k i 8 v u k j i v u b) Aplicndo o teoem de Lplce k j i v u ( ) ( ) ( ) k j i 8 v u k j i v u

41 Consideções sobe u v º. u v ( u v) o poduto vetoil não é comuttivo. º. u v se, e somente se u // v. º. o veto u v é simultnemente otogonl u e v. u v v u Eemplo: u v é pependicul os vetoes u e v. Ddos os vetoes u (,, ) e v (,, ) pov que Solução u v i j k (, 8,) então: ( u v) u (, 8,) (,, ) ( u v) v (, 8,) (,, ) 8 8 Módulo do Poduto Vetoil Quisque que sejm os vetoes não nulos u e v, obtém-se tvés de igulddes lgébics, u v u v sen θ. Onde θ é o ângulo ente os vetoes u e v. v θ u

42 Intepetção Geométic do módulo do Poduto Vetoil. Ddo o plelogmo definido pelos vetoes u e v v h θ u A áe deste plelogmo é dd po Áe (bse) (ltu) no cso bse é u e ltu h é v sen θ, então: Áe u v sen θ u v logo o módulo do poduto vetoil é numeicmente igul áe do plelogmo detemindo pelos vetoes u e v. Eemplo: e v i j k. Clcule áe do plelogmo definido pelos vetoes u i j k Solução: u v i u v Áe j k i j k Áe (,, ) ( ) ( ) ( ) 8 Eecícios de Fição: ) Clcule áe do tiângulo cujos vétices são os pontos A(,,); B(,,) e C(,,). Respost: A, ) Detemine os ângulos intenos do tiângulo cujos vétices são os pontos A(,,), B(,,) e C(,,). Respost: Â º 8 ; Bˆ º ; Ĉ 8º 9

43 ) Detemine áe do plelogmo fomdo pelos pontos A(,,), B(,,), C(,,) e D(,,). Respost: ) Clcule áe do plelogmo definido pelos vetoes u (,,-) e v (,-,). ) Detemin um veto de módulo otogonl u (,,) e v (,,). v,, v Respost: ( ) ou (,, ) ) Ddos os vetoes u (,,-) e v (,,), clcul: ) A áe do plelogmo detemindo po u e v ; b) A ltu do plelogmo eltivo à bse definid pelo veto u. Respost: ) ±, ; b), ) Clcule distânci do ponto P(,, ) à et que pss po dois pontos distintos A(,,) e B(,,). Respost :, 8) Clcule áe do plelogmo definido pelos vetoes u (,,) e v (,,-). Respost:,.8. Poduto Misto ente vetoes O poduto misto ente tês vetoes u, v e w, é ddo utilindo o poduto escl e o poduto vetoil. Sendo os vetoes u i j k, v i j k e w i j k definimos o poduto misto e indicmos como ( u.( v w)), (( u. v) w) u, v, w. ou simplesmente ( ) Então: i j k u.. ( v w) (,, ) Eemplo: w (,, ). Clcul o poduto misto ente os vetoes u (,, ),v (,, ) e

44 Solução: ( u,v,w) 8 Obs: O poduto misto é um deteminnte e p tnto s sus popieddes são válids, poém lgums não possuem sentido como po eemplo, dicion um fil à out. Se dois dos vetoes foem plelos o poduto misto é eo, pois os vetoes são coplnes. Eemplo: coplnes. Veific se os vetoes u i k, v i j k e w i j k são Solução: ( u,v,w) Como os vetoes não são coplnes. Intepetção Geométic do módulo do Poduto Misto. Su pincipl plicção é n Geometi, pois o vlo bsoluto do Poduto Misto é o volume do plelepípedo fomdo pelos vetoes não-coplnes. Volume (áe d bse). (ltu) V u v. w. cosθ θ w h v V w. ( u v) u V ( u,v,w ) Eemplo.

45 Qul o volume do plelepípedo detemindo pelos vetoes u i j k, v i j k e w i j k Solução: v ( u,v,w ) 9 Eecícios de fição: ) Detemin o volume do plelepípedo definido pelos vetoes u,,, v,, e w,, esp. ( ) ( ) ( ) ) Clcule o volume do plelepípedo definido pelos vetoes ) u (,, ), v (,, ) e w (,, ) u,,, v,, e w,, b) ( ) ( ) ( ) esp esp ) Ddos os vetoes u (,, ), v (,, ) e w (,k, ) que o volume detemindo pelos vetoes, clcul o vlo de k p u, v e w sej uniddes de volume. ) Veific se os vetoes são coplnes ) u (,, ), v (,, ) e w (,, ) u,,, v,, e w,, b) ( ) ( ) ( ) Resp. k ± ou esp sim esp não ) Clcul distânci do ponto D(,, ) o plno detemindo pelos pontos A(,,), B(, -, ) e C(,, ). Resp., ) Clcul o volume do tetedo ABCD cujos ldos são AB (,, ), AC (,, ) e AD (,, ) esp ) Clcul o volume e ltu do plelepípedo fomdo pelos vetoes u (,, ), v (,, ) e w (,, ) eltiv à bse detemind pelos vetoes u e v esp. v h 8) Repesent gficmente o tetedo ABCD e clcul seu volume, ddos A(,, ), B(,, ), C(,, ) e D(,, ). esp. 9,

46 v.. ESTUDO DA RETA (, b, c) um númeo el. A e é plel o veto. Um ponto P(,, ) petence à et se, e somente se, AP t v, onde t é Sej et que contém o ponto (,, ) AP t v P A t v onde P A t v Em temos de coodends, temos: (,, ) ( ) t(,b,c ) Denomind Equção Vetoil d Ret. Denominmos v de veto dieto d et e t de pâmeto. A P v Eemplo: dieção de u (,,) Detemine equção vetoil d et que pss po A(,, - ) e tem. Solução: (,, ) (,, ) t(,,) p lgum el t. Obs: P se obte um ponto dest et bst tibui t um vlo pticul. Po e- emplo, p t. (,, ) (,, - ) (, -, ) (,, ) (,, - ) ( 9, -, ) (,, ) (, -, ) que é um ponto d et

47 Equções Pmétics d et Dd equção vetoil d et: P A t v (,,) (,, ) t(, b, c) (,, ) ( t, bt, ct ) b Obtém-se bt ct que são s equções pmétics d et Eemplo: Detemin s equções pmétics d et que pss pelo ponto A v,, (, -, -) e é plel o veto ( ) Solução: Equção vetoil (,, ) (,, ) t(,, ) Equções pmétics t t t Eemplo: Ddo o ponto A(,, ) e o veto v (,, ), detemin: ) As equções pmétics d et que pss po A e tem dieção de v b) Tês pontos de, B, C e D de pâmetos t, t, t, espectivmente. c) O ponto de cuj bsciss é. d) Veific se os pontos E(,, 8 ) e F(,, ) petencem. Solução: ) t t t

48 b) t ( ) ( ) t ( ) ( ) t ( ) ( ) 9 B(,, ) C(,, 9 ) D(,, ) c) então t t como t ( ) ( ) 9 Potnto o ponto é (, 9, ) d) Um ponto petence se stisf s equções de. t t 8 t t t t t t t E(,, 8 ) F(, ) t t t po tn toe po tn to F Ret definid po dois pontos: No cso d et definid po dois pontos podemos escolhe o ponto d et como sendo A ou B, isto é et que pss po A(ou B) e tem dieção do veto AB. Eemplo: B (, -, ). Esceve s equções pmétics d et que pss po A (,, ) e

49 Solução t bt ct Escolhemos (,, ) A(,, ) e v AB B A (,, ) A Então t t t Equções Simétics d et De modo equivlente ds equções pmétics t, bt, ct com bc, temos t, t, t, então po b c compção temos pontos (,, ) b t e tem dieção do veto (, b, c). que são s equções que pssm pelos Eemplo: v, (, ) Sej et que pss pelo ponto (,, ). Su equção simétic seá A e tem dieção do Equções eduids d et. Obtêm-se s equções eduids pti ds equções simétics, epessndo dus viáveis e em função de. Ests equções seão sempe n fom eduid. m n p q Eemplo: Epess s equções eduids d et que pss pelo ponto A (, v,,, ) e plel o veto ( )

50 Solução: As equções pmétics são: isolndo e em função de, obtemos: Onde: são s equções eduid de, em função d viável. Ângulos ente dus ets θ v θ v Denominmos ângulo ente dus ets e o meno ângulo ente os seus vetoes dietoes. Sendo θ este ângulo e θ 9 temos o cosθ v v.v v Eemplo: Detemin o ângulo ente s ets t t e t

51 Solução: v (,, ) e v (,, ) cosθ ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos θ θ cos o θ

52 .. EXERCÍCIOS SOBRE A RETA. Detemine equção vetoil d et que pss pelo ponto A (,,-) e tem dieção do veto v (,,).. Veifique se os pontos P (9,-,-) e Q (,-,) petencem à et do eecício nteio.. Detemine s equções pmétics d et que pss pelo ponto A(,-,) e é plel o veto v (,, ).. Detemine o ponto d et do eecício nteio qundo t.. Detemine s equções pmétics d et que pss pelos pontos A (,,-) e B (,,).. Detemine s equções simétics d et que pss po A (,,) e B (-,,-).. Detemine s equções simétics d et que pss pelo ponto A (-,,-) e tem dieção do veto v i k. 8. Veifique se os pontos A (,,-), B (,,-) e C (-,-,-) são colinees. 9. Veifique se os pontos P (,-,) e P (,-,) petencem à et de equções.. Clcule m e n p que o ponto P (,m,n) petenç à et de equções t t t. Veifique se os pontos A (-,,-), B (,,) e C (,-,) são colinees.

53 8. Clcule o vlo de m p que os pontos A (,m,), B (,,-) e C (-,,-) sejm colinees.. Clcule o ângulo ente s ets: ) : t t t e s: b) t: e u: c) v: t t t e w: d) p: e q:. Detemin o vlo de n p que sej de º o ângulo ente s ets: : e s: n. Clcul o vlo de m p que s ets seguintes sejm plels: : mt t e s:. Veifique se s ets bio são plels ou otogonis: ) definid po A (-,,) e B (,-,) e definid po A (-,,-) e B (-,,-) b) : 8 e :. Clcul m p que s ets bio sejm otogonis: : m e s: t t t

54 8. A et que pss pelos pontos A(-,,) e B(,,) é plel à et detemind po C(,-,-) e D(,,). Detemine o ponto D. m 9. A et : é otogonl à et detemind pelos pontos A (,,m) e B (-,m,m). Clcule m.. Clcul o vlo de m p que sejm coplnes s seguintes ets: ) : b) u: e s: e v: m m c) t: m m e w:. Clcul o ponto de intesecção ente s ets: ) p: e q: b) : e s: t t t c) t: e u: d) v: e w:. Dds s ets bio, detemin: ) o ponto de intesecção ente s e t; b) o ângulo ente e s. : s: t: t t t 9

55 . Dds s ets bio, clcule: ) o vlo de m p que s ets e s sejm concoentes; b) o ponto de intesecção ente ests ets p este vlo de m. : t t mt s: RESPOSTA. (,,) (,,-) t.(,-,). P sim; Q não. t t t. P(,,).. t t t. 8. Sim 9. Somente P. m -; n -. Sim. m. ) º b) º c) º d) 8º. ou.. ) Plels; b) Otogonis. m 8 8. D(,,) 9. m ou m. ) b) c). ) (,,) b) (,,9) c) (,,-) d) (,-,). ) (,,-) b) º. ) m b) (-,-,-)

56 .. O PLANO Ddo um ponto A (,, ) petencente um plno π e sej v (, b, c) um veto otogonl um plno. Um ponto P(,, ) petence π, se o veto AP otogonl v. ( AP) v. (,b,c )(.,, ) ( ), b( ) c( ) b c b c e sendo b c d, teemos: b c d que é equção gel do Plno Eemplo v (,, ) Obte equção gel do plno, que pss pelo ponto (,, ) como um veto noml. P e tem Solução: b c d como v é noml o plno, d e P é um ponto do plno ( ) ( ) ( ) d d - então equção gel do plno é Eemplo Detemine equção ctesin do plno que contém o ponto P(, -, ) e é pependicul o veto v i j k. Solução b c d

57 como v é noml o plno, d e petence o plno ( ) ( ) ( ) d d - então equção gel do plno é Equção vetoil e Equções Pmétics do plno sendo A (,, ) um ponto petencente um plno e u (,b,c ) e v(,b, ) estes plno, poém u e v não plelos. c dois vetoes plelos Um ponto P(,, ) petence o plno se, e somente se, eistem númeos eis h e t tis que P A h.u t v, ou em coodends (,, ) (,, ) h(, b, c ) t(, b, ) com h,t R. c que é equção vetoil do plno. Os vetoes u e v são os vetoes dietoes do plno. Obtém-se (,,) ( h t, b h b t, c h c t) ou ind são s equções pmétics do plno. h t b h b t c h c t que Eemplo Obte equção vetoil do plno que pss pelo ponto A (,, ) e é u,, e v,, plel os vetoes ( ) ( ) Solução: Equção vetoil : (,, ) (,, ) h(,, - ) t(,, - ) h t Equções pmétics h t h t i Como o veto u v (,,) j k

58 É simultnemente otogonl v u e, ele é um veto noml o plno. Então d c b d como A petence o plno ( ) ( ) ( ) 8 d d então equção gel do plno é 8 Equção do plno que pss po tês pontos Atvés do poduto misto é possível obte equção do plno que pss po tês pontos. Um condição necessái e suficiente p que um ponto P petenç o plno detemindo pelos pontos P e,,p P é que ( ) P P, P P P, P sendo ( ) ( ) ( ) ( ),, e P,, P,,, P,,, P, em temos de coodends podemos esceve: ou ind d onde : ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) d então Eemplo Obte equção ctesin do plno que pss pelos pontos ( ) ( ) ( ).,, P e,, P,,, P Solução: onde Eemplo:

59 Obte equção gel do plno que pss pelos pontos ( ) ( ) ( ),, C e,, P,,, P Solução: onde

60 .. EXERCÍCIOS SOBRE O PLANO. Detemine equção do plno que pss pelos pontos M(,,), N(,,-) e Q(,,).. Veifique se os pontos (,,), (,,-), (,,) e (,-,) petencem o mesmo plno.. Detemine equção do plno que pss pelo ponto A(,-,) sendo o veto noml n (,, ).. Detemin equção gel do plno que pss pelo ponto A(,-,), sendo n (,, ) um veto noml ele.. Detemine equção do plno que pss pelo ponto A(,,-) e é plelo o plno --.. Estbelece equção gel do plno que pss pelos pontos A(,,-), B(,-,) e C(,,).. A equção de um plno é. Descev como se pesent este plno em elção os eios,,. 8. Detemine o ângulo ente os plnos π : --8 e π : Ddo o plno π: -, detemine: ) Os pontos onde intecept os eios, e. b) O peímeto do tiângulo fomdo po estes pontos. c) Repesente geometicmente este tiângulo.. Detemine equção do plno, em cd cso: ) Que pss pelos pontos A(-,,), B(,-,) e C(,,-). b) Que pss pelos pontos A(,,), B(-,-,-) e C(,,). c) Que pss pelos pontos A(,,), B(),,) e C(,,). d) Que pss pelo ponto A(,,) e tem veto noml n (,, ). e) Que pss pelo ponto A(,-,) e tem veto noml n (,, ).. Clcul equção do plno que pss pelo ponto P(,-,), sendo plelo o plno --.. Ach equção do plno que pss pelos pontos A(,,) e B(,,), sendo pependicul o plno Clcul equção do plno que pss pelos pontos A(,-,) e B(,-,), sendo pependicul o plno --9.

61 . Ach equção do plno que pss pelo ponto A(,,-), sendo pependicul os plnos - e -. Um plno pss pelos pontos (,,), (,,) e pel oigem. Detemine equção deste plno.. Sej o plelepípedo de dimensões, e epesentdo bio: Detemine:. As equções d et que pss po AF. b. As equções d et que pss po AB. c. As equções d et que pss po EF. d. As equções d et que pss po AC. e. As equções d et que pss po A. f. A equção do plno que contém os pontos ABCD. g. A equção do plno que contém os pontos ABGF. RESPOSTAS. -9. Não Plno plelo o plno, pssndo po 8. 8º 9. ) (,,), (,,), (,,) b). ) - b) - c) d) - e) ) b) f) g) b) t d) t e) t t t

62 . Bibliogfi: BÁSICA:. WINTERLE, P., STEINBRUCH, A. Algeb line. São Pulo: ª ed. McGw- Hill, 98.8p.. STEINBRUCH, A. WINTERLE, P. Geometi Anlític. São Pulo: McGw- Hill, 98. 8p.. HOWARD, A., RORRES, C. Álgeb line com plicções. Poto Alege: Atmed Edito Ltd,.p.. KOLMAN, B. Intodução à Álgeb Line com Aplicções. Rio de Jneio: Pentice-Hll do Bsil ltd, 998.p. COMPLEMENTAR:. BOLDRINI, J. L. Álgeb Line. São Pulo: Hb. 98. p.. BOULOS, P., CAMARGO, I. Geometi nlític - um ttmento vetoil. São Pulo: McGw-Hill, 98.8p.. JÚNIOR, O. G. Mtemátic po ssunto Geometi Pln e Espcil (nº ). São Pulo. Ed. Scipione, MACHADO, A. dos S. Mtemátic tems e Mets Áes e Volumes (nº ). São Pulo. Atul Edito MACHADO, A. dos S. Mtemátic tems e Mets Sistems Linees e Combintói (nº ). São Pulo. Atul Edito LIPSCHUTS, S., LIPSOM M.L., Algeb Line. São Pulo. ed. BOOKMAN., p. REIS, G. L. e Silv V. V., Geometi Anlític. São Pulo: ed. LTC. 99. p.