GABARITO. 2 Matemática D 06) 11 = = = 01. Correto. Do enunciado temos que: h = 4r. Portanto, V cilindro. Portanto, por Pitágoras:

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1 Mtemáti D Extensivo V. 8 Exeíios 0) ) 96 dm b) ) (x) p x : () dm Potnto: V b dm b) Os vloes de x devem stisfze s seguintes equções. Sendo V. b. então π.. (x 5x + 8x) 6π dm Potnto x 5x + 8x 0 Do enunido é íz, potnto, x 5x+ 8x x 0 ( x x+ ) Dest fom (x )(x x + ) 0 então x ou x 0) C 0) E Po Pitágos: x x 5 9 Sbendo que: 00π π 5 Sendo. 0 Potnto. x Volume do one: V one.π...π π m x 0) E R 6 6 g Getiz do one: G m Potnto, x 0 6. Sbendo seguinte elção temos, x H R. 6 m 8 Do enunido temos que V T V E Potnto, T.π. (R +. R + ). π T. (R +. R + ). π Sendo T temos, R +. R + 6 R Como g R + e g (R ) + então, (R + ) (R ). R R. 6 e g R + R + R + R + + R Potnto, g 6 + R g Dest fom o volume d iunfeêni é ddo po: V C. π. 7. π 6π m e potnto, T (96π 6π). P e V 6π. P e T V 05) 6 60π. P. 6π. P 0 Sbendo que V.π... 8 Potnto o volume do ilindo vle: V v π. 6π 8 Potnto R 8 6 Mtemáti D

2 06) 0. Coeto. Do enunido temos que:. Potnto, V ilindo π.. π. π Sendo ssim, 8 m áe totl do ilindo seá ilindo π. + π. ilindo π + 8π 0π m 0. Coeto. V.π. π m 0. Inoeto. ltu do ilindo: Diâmeto d bse: D 08. Coeto. V π. π V E. π. π 07) S L é máxim p 6 Do enunido timos seguinte elção: Potnto, + 6 P desobimos o vlo máximo d áe ltel devemos desobi o vlo máximo de ou Potnto m 6 08) 57,5 m Volume do ilindo V π.. 5. π 00π 60 t l 0 P enontmos áe d bse pism é neessáio enont os vloes de T e l. l 09) C l.. os 0. l 5 Potnto, po Pitágos: T ( 5 ) T Potnto, V p Potnto, V T V V p V T 57,5 m O volume de águ que tnsbod é igul o volume do pism. Potnto: Áe d bse do ilindo π. Áe d bse do pism p l. l. l. Colondo em função de l temos, π π l l Potnto, V. V. 0) 0 l.. π. p p p ( π l ). 6 Sbendo que ltu do ilindo então, Volume do ilindo V π.. π.. V π. Volume d esfe V E π. Áe de supefíie esféi: S E π. Áe de supefíie do ilindo: S π.. π. Mtemáti D

3 ) E 0. V S 0. V S E E π π π. π 0. V. π π V V E.π π 6. V E π. S Volume do ilindo V π π Volume de águ V π π Volume se peenido: V S V V 5π(0 9) 5π Volume individul ds esfes: V E π π Potnto VS 5π V π ) 9 R 5 E ) C ) E Volume do one V π.. 8 π. Volume do pism V p l. onde l em função de vle, l os 5. l.. Potnto, V 8π.. 8π π Vp (.. ). 6 ltu do one + x onde, po pitágos, x R x Potnto, R + 9 Volume do one: V π.. π π Volume d esfe V π.. 5π 500π Potnto, V 8. π 8 6, 0, 6 V 500. π E Po Pitágos: x R R 5 R R 5 x 6R R 5 5 Potnto, R + x R + R 9R 5 5 5) E Volume do one V one π.. 08π Volume do ilindo V ilindo π. onde, potnto, 08. π π. ( ) Dest fom: V ilindo π. 7. π 6π ilindo π. π. 9 6π Mtemáti D

4 6) V F F V F V. Flso. 0 6 Rio do ilindo: Po Pitágos: 0 6 m 90 5 I. Veddei. Obseve que é possível peene esfe om quto sólidos onfome desito no enunido, ms sbei sem peene esfe egião ud. 7) m II. Flso. Áe totl do ilindo: ( T ) T π.. π T 8π + 88π T 67π m Áe totl do one: ( T ) T π.. (g + ) T 8π m Potnto: T T 8π 67π 7 III. Flso. Volume do one (V ) V π.. 78π m Volume do ilindo (V ) V π.. V 0π m Potnto: V 0π V 768π IV. Veddeio. O volume do pism exgonl (V p ): V p b. V p 6. 6 V p 56 m. 8) 9 Sbendo que áe d bse d piâmide ( bp ) vle 5. temos que: 6. R. 5 R 6 m Como o volume do ilindo V 60π m temos: π. R. 60π 0 m Po Pitágos temos que, potem do tiângulo ltel d piâmide vle: (. ) + R. 7 m Potnto: L 6. R L 8 7 m st igul o volume d esfe om o volume do ilindo de águ que se elev. π. R π R., onde e são os ios d esfe do ilindo espetivmente: π. 0 π. 0.,5 Potnto: S ) C C C E I. Coeto. eixo ilindo Mtemáti D

5 II. Coet. d plno R R. R R onde é o io d iunfeêni meno e R d iunfeêni mio. Potnto: Áe d iunfeêni meno: m () πr π. R Áe d oo iul π. R π. R π. R π. R π. R ) D ) C Sbendo que o io d iunfeêni vle metde d est do ubo, e que: D d + onde, D, d e são espetivmente, digonl do ubo, digonl do ldo do ubo e est do ubo. Dest fom po Pitágos d d e 00 ( R. ) + () Potnto, Sbendo que est do ubo é o dobo do io então: Volume d esfe V E π. π m III. Coet. Sbendo que geetiz do one é R geetiz do one mio é dd p: G R + R G R Volume do ubo V C b. 8 m Potnto: Potnto, po semelnç de tiângulos: R R R R Dest fom C π. C πr ) C V V V 8 π V π (6 π) y IV. Coet Obseve que é possível peene esfe om quto sólidos, onfome desito no enunido, ms sobim s s uds p peene esfe ompletmente. Po Pitágos temos que est do ubo vle: + x 0) E O volume do líquido é ddo pelo volume d metde do ilindo menos o volume do one: V L πr. H π.. V L 5π π V L π Mtemáti D 5

6 Tmbém po Pitágos temos que est do otedo vle: ( 0 ) + 0 Potnto, áe totl do otedo vle: 8. T, onde T é áe do tiângulo equiláteo de ldo. 8. ) p 0 0 p Potnto, ) V (π ) m Como o io d esfe E e o diâmeto do ubo D E então, po pitágos: Diâmeto d fe do ubo (d) d + d. onde, é est do ubo Potnto, D d + ( E ) ( ) + Então, 6 Potnto, V ( ) 8. m 6) 5 0. Coet. O volume do poliedo é ddo po: V p... m 0. Ed. Um tetedo egul é fomdo po quto tiângulos equiláteos ms, C + Potnto C C Do enunido timos que digonl do ubo é igul o diâmeto d esfe: Digonl d fe do ubo (d) d + d. m Digonl do ubo D + d D + 8 D m Potnto, sbendo que, R D Então: Volume d esfe V E π. R. π π m Volume do ubo V. 8 m Potnto, V V E V π. 8 7) D 0. Ed. Δ. 08. Coet. Sbendo que V, p V se eslelo bst most que V e V V V (C) + () V + V 6. Coet. T 6 ( ) 6 Pimeio lulmos s ests do sólido OPQRST. Po Pitágos: +, onde é est do ubo. 8 Dest fom pótem (p) d fe do sólido OPQRST é, po Pitágos:, 6 Mtemáti D

7 8) p p 6 Potnto, L 8. p 6. L 6 m Sbendo que o otedo egul é fomdo po dus piâmides de bse qudd bst lul su est p desobi áe d bse ds piâmides e ssim o volume do otedo. Po Pitágos: ) D 8 Potnto V.. D ( ), onde V m 0) E V. T Potnto o io d esfe iunsit vle: 6 ) D Potnto: V π. V. 6 π Então: R π. π. 6 R 96 O io d iunfeêni é metde do diâmeto do ubo, ujo diâmeto d fe é d e est é. Potnto, po Pitágos d d e D d + D D Como o otedo é egul temos que bse ds dus piâmides que o fomm é um quddo de ldo e ltu igul o io d iunfeêni. Potnto R.. Potnto: V O. 9 Colondo em função de temos po Pitágos que. ) E H F G Potnto: ssim temos que: V. π. 9 V V 7 9 V 8 D 0. Inoet. Po definição s fs de um piâmide deve te um ponto em omum. 0. Coet. Po onstução. 0. Coet. Po onstução. 08. Inoet. Volume d piâmide do CF V p (. ) b. 6 Volume do ubo: C α V ( b. ). Mtemáti D 7

8 Potnto V p V 6. Coet. O ilindo iunsito tem io d bse igul metde do diâmeto d fe do ubo. ) ) Diâmeto d fe do ubo d + d Potnto e V π... π...π Potnto V. π. π V. Inoet. O io é metde d est do ubo. Volume do pism V p. Volume d piâmide V p.. Potnto V V p p... O io d esfe é ddo pel metde do diâmeto do ubo. Então: Áe totl do ubo T Potnto, D d + onde d potnto D + D Dest fom V π. π 6 6 V π 5) 6 6 6) D... π 6 6 Volume do pism exgonl V n b. 6.. V Potnto V. π.., onde, po Pitágos vle: V π. π.. V Potnto, V.. V π. 7) 7 6 π Po onstução temos que est do do ubo iunsito e o diâmeto do ubo insito são iguis o diâmeto d iunfeêni. Potnto, po Pitágos: R +( ) R R Como R então, x V V R ( ) R Dest fom, x ( ) 7 8R R 8 Mtemáti D

9 8) m ) C O diâmeto de um ubo insito em um iunfeêni é igul o diâmeto d mesm potnto, sbendo que áe totl do ubo é m então: 6. 6 Diâmeto d fe do ubo d d. Diâmeto d iunfeêni D d + 6 D D 9 Potnto R D m + π os π. os 60. sen π.. 9 C 9) Sbendo que o io d bse do one é igul metde d est do ubo e que o volume do one é 8π m então V π. 8 m onde 0) C, potnto, 5 7 Potnto 6 e T ) Potnto, V π π 8 O volume do sólido é ddo pel som dos volumes dos dois ones gedos de bse e ltu e do ilindo de bse e ltu. V ones π.. π.. π V ilindos π.. π.. π V T π + π π+ 6π 8 m π Como otção foi em tono d bse temos que bse do one obtido é um iulo om 6 m de io. Potnto, V ( b ) π. π. 6 π ) l l D l C O volume do sólido é ddo pelo volume de um ilindo de bse om io de e ltu menos o volume de um one de io e ltu, potnto: V T π. ( ). π.. V T π. l. π. l π. l Mtemáti D 9

10 ) E D 5) C C Sbendo que tg θ 5 6 então Potnto, V π V π.. π 5 V.. π 8.. π 5 5 Volume de one gedo pel otção do tiângulo D: V D π.. π. Volume do sólido fedo pel votção do tiângulo CD. V CD π.. π.. 9) 6 m e b 0 m V π.. b e V π. b. onde e b são ldos do etângulo. Potnto: π.. b 60π e π. b. 600π 60. b b. 0. b 0000 b 6. 0b b 000 b b 0 50) D Substituindo: y 5 6 V CD π. Potnto VD πl V. πl 6 6) C CD V π. b. e V π.. b 5) C 0 V π.. V π.. 5 5π x Potnto, V b b V π.. 5 π.. b R R 7) E 8) E evolução d figu vi ge um tono de evolução menos um ilindo de io m e ltu 6 m. Potnto, V π. ( + R + R ) π.. 6 V π.6 ( ) π V 9. π 5π 8π O volume é ddo pelo ilindo de io e ltu R menos os dois ones de io e ltu R. Po Pitágos: ( R) R R R R Potnto, V π.. R π. V πr Como evolução não foi omplet temos que o volume do sólido seá: Sbendo que 70 π d então, V. π... V 6. 6π 0 Mtemáti D

11 5) C 5) V t. s e V π. s. t Potnto, V π. t. s. t V π. s. t s O volume é ddo pelo volume do one gedo pel otção do tiângulo C menos o volume do one gedo pelo tiângulo DCE. V π.. π.. 5) C V 6π 56) tg θ tg α 8 Potnto, k + 8 k k Dest fom: V π. (k). (k + ) π. k. (k + ) V π. (8k k + 8k k ) V π. (k + k ) Substituindo k temos: V π. (. +. ) 7π C 55) e V π.., onde e Potnto, V π.. π 57) C Sendo e Potnto V π.. π.. V π.. π. V π. π. K + x θ α x K Como tg α 8 então C K D x² + x² x Obseve que otionndo o tiângulo em tono de su ipotenus obtemos dois ones iguis. Mtemáti D

12 59) E N P M Q Obseve que o volume do sólido gedo pel otção do plelogmo em tono d et supote do ldo MQ é igul o volume do ilindo de io e ltu. ssim: V π. ². 58) D 5 sen 5 Logo, V.. π. ². V.. π.. V.. π.. V π 60) Sejm: V O volume do objeto sólido V F volume finl (águ + objeto sólido) V volume águ V π. ()². π V F π. ()². π Logo, V O V F V V O π π π 6 6) E D E 6) ) Ds figus pesentds, que melo epesent plnifição do bebedouo é quel que pee n ltentiv E uniddes de áe m F m V semiesfe. π V semiesfe. π. 8π m³ C V ilindo π². V ilindo π. ². π m³ V poudo V semiesfe V ilindo V poudo 8π π 7π m³ 5 5 C No ΔDC, temos: C² 5² + ² C No ΔCD, temos: C² 5² + 5² C 5 D Mtemáti D

13 No ΔC, temos: 6) D V 0 m V π. ². V π. π². V π³ ( ) 5 M M² M C + M² M² 50 V π m π m Sendo áe do ΔC, temos: ? V ². H V (π)². H V π². H b) uniddes de ompimento O volume V do tetedo CD, de bse CD, é: V V 50. 6) D Considendo o tiângulo C omo bse do tetedo CD, temos que distâni do vétie D o plno que ontém o tiângulo C é su ltu. ssim: m³ π m 57 V vsilme π. ². V vsilme. (0,). 0,8 m³ Quntidde vsilmes Vdemdo m 5 vsilmes V 08, m vsilme 65) π π V V π²h π³ H π. 78,5% ssim, ouve um edução de poximdmente %. Mteil: ilindo R$,00 po m² one R$,00 po m² Cilindo: l π ilindo l. (,).. 5, m² R$,00 R$50, ilindo Cone: g g² ² + ² g 5. l π.. g one l (,).. 5 6,8 m² R$,00 R$88,. one Custo p onstução de um isten: 50, + 88, R$8,6 Mtemáti D

14 66) 68) Note que o o oesponde à iunfeêni d bse do one, ssim: α. π. 5. π. 0 πr πr R m 67) 9 8 m V V D 6 m Obseve que, omo espessu ds pedes do ilindo deve se de m, temos que onside dois ios, um extemno (R ) e outo inteno (R ). Logo, R 8 m e R 7 m. ssim, V pedes πr. πr. V pedes π(r R ) V pedes,. 0 (8² 7²) 9 m³ P que o ilindo de umbo isole ompletmente substâni diotiv, devemos onside sus tmps. ssim: R P deteminmos o volume de águ V é peiso enont o io R d iunfeêni definid pelo nível de águ no one. Po semelnç, temos: R R. ssim, V π.. V 9 π. 6 π Logo, V V 9 π ) 70) V tmps πr. V tmps. (,). (7)². 07,7 m³ Logo, V totl V pedes + V tmps V totl ,7 9,7 m³ d o tem-se 60 minutos. Em os, á minutos. Se é ministdo,5 m de medimento po minuto, o volume de medimento ministdo é de,5 m m. O eipiente é onstituido de um ilindo iul eto om 9 m de ltu e um one, tmbém iul eto, e de m de ltu. Sendo o io d bse de mbos de m, o volume do eipiente é igul : V π. ². 9 + π ². 60π m³ V m³ 80 m. Desontd quntidde ministd, estm (80 60) m 0 m de medimento. V tç π. ². 0 0π m³ V gelo.. π. ³ π m³ Mtemáti D

15 7) Logo, V tnsboddo V gelo V tç V tnsboddo π 0π π m³. Obseve que o volume d esfe é igul o ésimo do volume de águ no eipiente ilíndio, ssim: V esfe V esido ilindo πr³ π². 0 R³ 0. ². R.. R 0 0 tem-se: R k.. ( ), em que k é um onstnte númei. 7) 0 0. Veddeio.. (. ), fzendo 0 k, 0 0 Do ΔC, tem-se: 0² ()² + ()² 00 ² + ² 8² 00 ² ssim: V ilindo π². V C π². V C π³ V C π(5 )³ V C 500 π m³ C d 0. Veddeio. R 0 m R 0 m R 0 m g Po semelnç de tiângulos, temos: R R 0 0 g g g. R 0 m ssim: g² ² + ² ()² ² + 0² ² 900 ² 00 0 m. Mtemáti D 5

16 0. Flso. m R 0 m V m³ m R$ 6, x R$0,005. m x O V O tiângulo O é etângulo, logo: 0² ² + ² ² ² Flso. R 0 m 5 m 6 m V m³ 0 m R$ 096, x R$0,00. m x 0. Flso. C π² C π. 0² C 00π C 0 m² 6. Flso. esfe π. R² E. π. 0² E. (,). 00 E 0 m² tetedo. l T 0². 900 T 50 m² 7) 0. Flso. V π.( ). π V π.. π V > V > V V π π.. 0. Flso. V 9 m 7) D R V esfe πr³ R V one πr².. πr². R πr³ Logo, V E. V C. 08. Veddeio. V l ( 0 ) V 000 ( ) 000 m³ 6. Veddeio. 8 log 9 (9²) log 9 9² log 9 9 log 9 9 log V semiesfe V. π³ π³ V ilindo V π². π³ V one V π². π³ Como s msss dos sólidos são iguis, isto é, m m m, tem-se: 8 m 6 m * m d. V * m d. V d. * m d. V π d. π d. π 6 Mtemáti D

17 d d d ( ) d d d. Considendo os vloes indidos n tbel, s msss espeífis que tendem esss igulddes são: m d d d 6 6 m mss espeífi d oesponde à do one. Logo, esse sólido foi onstuído om substâni z. 75) 5 9 m Cilndo: b π π ² π ². V C π². π π ². 6. Piâmide: 76) D V 6 V V V 7 V V 7 V 9 Logo, V tono V V V tono O volume de águ no tnque seá luldo pel som dos volumes V e V : V 0 V V m³ 60 5 Considendo, H ltu do tiângulo equiláteo d bse d piâmide, tem-se: H H H H V nível de águ no tnque 0 m 0 m ² + l ² + l 5 m ssim, T l T m² e V m³. O volume V d piâmide meno é detemindo pel elção: V x 75,. 0 0 m 0 m. 60 V 50 m³ x x 7,5 m³ ssim, V b. Logo, V águ V + V V águ 7 50 m³ 7,5 dm³ 7,5 Mtemáti D 7

18 77) V esfe πr³ V tono one π.h. R R R R πhr Logo, πr³ 7 πhr 6R H. 7 79) C Sejm s ets: : x 0 (eixo dos y) s: x y 0 y x t: x + y 5 0 y 5 x Repesentndo ests ets no plno tesino, tem-se: y 78) V sovete V semiesfe + V one 5 V sovete. π. 6³ + π. 6². 88π m³ s No one, tem-se: V volume one mio e V volume one meno. 5 x R 6 m t Obseve que otionndo o tiângulo em tono do eixo ds y obtemos dois ones de mesm bse. m m ssim, V π². π m³ e V V V 7 V V V 7 V V 7π 6 π m³ Logo, V onsumido 88π 6 π 88π m³. ssim, V π. ². 6 π e V π. ². 6 π. Logo, V sólido V + V 6 π 6π 80π +. 8 Mtemáti D