Matemática D Intensivo V. 1

Transcrição

1 GRITO Mtemátic Intensivo V. ecícios 0) onstuímos et t, tl que t // s e t // : b t s et t divide o ângulo em dois ângulos e b. = 0 (ltenos intenos) b = = 0 = 7 Segue, b = (ltenos intenos). Logo, = 7. 0) δ ξ ^ ^ ^ b ' ' ^ b ^ e δ ' ^ c ' ^ e ' ^ c ^ d ^ d β No pentágono ''''', note que b + ĉ + d + ê + â = 0 (ângulo eteno do polígono). Somndo os ângulos dos tiângulos Δ '', Δ '', Δ '', Δ '', Δ '', teemos: γ + γ + ε + + β + b + ĉ + d + ê + â + b + ĉ + d + ê + â = γ + γ + ε + + β = γ + γ + ε + + β = γ + γ + ε + + β = 80 0) evemos clcul pimeimente o vlo de. t 0 β 80 β s + = 00 (ltenos intenos) 5 = 00 = 0 =. 0 = 0 Lembe que som dos ângulos intenos de um tiângulo qulque é igul 80. í: 80 β = 80 β = 0 β = β = 0. Mtemátic

2 GRITO 0) ĉ = 80 = 80 0 (som dos ângulos intenos) ĉ = 80 0 ê = 80 0 (som dos ângulos intenos) F = ĉ e Ê = ê (oposto pelo vétice) ssim: = 80 0 e Ê = 80 0 No tiângulo Δ, temos: = 80 (som dos ângulos intenos) 80 8 = 0 80 = 8 = 80 8 = 0 05) m elção o Δ M, temos: y = 80 (som dos ângulos intenos) 7 + y = 70 m elção o Δ M, temos: M = + 0 (bissetiz) M + y = 80 (suplement) M = 80 y y + + = 80 (som dos ângulos intenos) + y = 0 y = Obtemos o seguinte sistem: y= () i 7 + y= 70 ii () Fzendo (i) + (ii), teemos: + 7 = 8 = 9 = 9 = 88 = 88 9 = Substituindo = em (ii), teemos: 7. + y = y = 70 y = 70 5 y = Mtemátic

3 GRITO 0) onstuímos et t, tl que t // s e t //. y t s 07) et t divide o ângulo em dus ptes e y. Temos que: = (ltenos intenos) 5 = = y (ltenos intenos) 55 = y = + y = = y = 80 (som dos ângulos intenos são suplementes) y = 0 Temos ind: 5 + y = 80 Obtemos o seguinte sistem: y= i 0 () 5+ y= 80 () ii Fzendo (i) + (ii), temos = 0 = 0 Substituindo = 0 em (i), teemos: 0 y = = y y = 80 Mtemátic

4 GRITO 08) som dos ângulos intenos é dd po S i =. 0 + (n ). 8 (n: númeo de ldos), ms S i = 80 (n ) (n ). 8 = 80 (n ) 0 = 80 (n ) (n ) 8 0 = 5 (n ) 0 = 5n 0 = 5n n = 5 n = 7 09) No tiângulo Δ : = 80 0 = 80 = 80 8 = 8 5 0) onstuímos s ets t e n, tl que t // n // s //, confome figu bio. Note que: K = 70 (ltenos intenos) K = b 70 K = M (ltenos intenos) M = b 70 M = 0 M M = 0 (b 70 ) M = (ltenos intenos) 0 b + 70 = 00 = + b Mtemátic

5 GRITO ) ' = 70 (ltenos intenos // s) = ' ' = 70 (oposto pelo vétice) ' ' = 70 (ltenos intenos t // u) 70 0 ' ' Temos ind '' = 0 (oposto pelo vétice) ssim, no Δ '' : = (teoem do ângulo eteno) = s t u v ) 0 ) ) Sej o ângulo pocudo: (90 ) + 0 = = = = 0 pótem é dd po: = R = R Ldo do tiângulo: = R =. = F No Δ QP : ² = + ² = ² / P Potnto, áe do tiângulo é: = l = ( ) = = ² ² = = Logo, o peímeto é: p = + p = + Mtemátic 5

6 GRITO 5) 7) H : áe do heágono T : áe do tiângulo H = T l H l = T H = T som dos ldos do heágono e do tiângulo é 9 ldos. ssim: T = 9 = 7 m. ) 99 ' = 0 i ' : zão S i = 80 ( ) = 70 n + n + + n + + n + + n + + n + 5 = 70 n + 5 = 70 (i) Temos ind: n = 5 n = 5 (ii) Substituindo (ii) em (i), temos: n + n = 70 8n = 70 n = 70 8 n = 90 8) ' i = 80 ( ) = 0. = 0 Δ ''' ; Δ 'F ; Δ ' ; Δ ' são equiláteos. e O Δ ''' tem ldos = 5. í: ' = 5 0 = 8 e ssim F = 8 (tiângulo equiláteo). F = 5 8 = 0 Potnto: p = p = 99. e = 0 = 7 (ângulo eteno do pentágono) 5 + e + e = 80 (som dos ângulos intenos) = 80 + = 80 = Mtemátic

7 GRITO 9) est fom montemos um sistem: 0h+ h = 500 0h 0= 00 () ii F Subtindo: 0h + 0 = 00 h = 0 h = 0 0) O tiângulo Δ F é etângulo. ()² = + ² = p =. =. = cm pimei equção: 500 h = 0 + Igulndo: = = (0 + )( 0) 500 = 00 + ² ² = ) 70,8 P 0 ompimento d cec: PT = h 0 h Po Pitágos no Δ, temos que: 5² = ² + 5² = 00 = 0 Áe totl do tpézio : 0( 0 + 0) = = 500 Ms s áes do tpézio PT e PT devem se iguis à metde d áe do tpézio, ou sej, 50. Áe de PT: = h( 0 + ) 0h + h = 500 (i) Áe de PT: = ( 0 h )( 0 ) 0h 0 + h = 00 T b ² = ² + b² (i) Temos ind: b = b = Substituindo (ii) em (i): ² = ² + 7 = ² = 9² + ² 89 = 5² = 9, 5 =, Substituindo em (ii): b =., = 8,8 ntão: p = + b p =., +. 8,8 p = 7, + 97, = 07,8 (ii) Mtemátic 7

8 GRITO ) 07 ) 0. Veddeio. 0. Veddeio. n h m Relção métic: h² = m. n h² =. h² = h = = 5. = 5. = 5 0. Veddeio. li i i i = 80 ( 5 ) = 08 5 F O qudiláteo F é um losngo e ssim: F 08 e ÊF F =. Sbemos que som dos ângulos intenos de um qudiláteo é igul 0, então: = 0 + = 0 = 0 = = 7 ) c: cicunscito i: inscito p i = 8 i = = c = c = ( )² =. = 8 cm² 08. Flso. i = 80 ( 5 ) i = 08 5 i 7 i 7 0. Flso. Pois o ldo do heágono H = =. 0.Veddeio. 0.Flso. H = = Q Q = Q = Q = 08. Veddeio. H = R H = =. Veddeio. Isósceles, pois (ldo do quddo) e  = 90 ( digonl do quddo).. Flso. so contáio H pssi pelo cento do cículo, o que não contece. = = 8 Mtemátic

9 GRITO 5) = = 0 = ) i 7 7 i = 80 ( 5 ) = 08 5 Logo, = = 8) Númeo de digonis é ddo po d = nn ( ), em que n é o númeo de ldos. Sendo ssim: 90 = nn ( ). 90 = n(n ) (distibutiv) 80 = n n n n 80 = 0 Resolvendo equção cim obteemos s ízes: n' = 5 n" = (ldo negtivo não eiste) Potnto, númeo de ldos é ddo po n = 5. O númeo de digonis é ddo po d = nn ( ), em que n é o númeo de ldos. Sendo ssim: 5 = nn ( ). 5 = n(n ) (distibutiv) 70 = n n n n 70 = 0 9) h b h = b Resolvendo equção cim obtemos s ízes: n' = 0 n" = 7 (ldo negtivo não eiste) Potnto, o númeo de ldos é ddo po n = 0. 7) n = 80 ( n ) n 5 = 80 ( 5 ) = 08 5 Temos que: = = = 0 No tiângulo d esqued temos: h = (ltu do tiângulo equiláteo) No tiângulo d dieit temos: = b (ltu do tiângulo equiláteo) = b = b = b s áes dos tiângulos d esqued e d dieit são ddos espectivmente po: =. h e = b.. h. h = = = = =. = b.. b Mtemátic 9

10 GRITO 0) ) 5 No tiângulo temos: h = 5 (ltu é medin) 5 = l 0 = l Δ 0 = l Δ l Δ = 0 ( ) Δ = 0 Δ = 75 No heágonos, temos: h = l 0 = l l = 0 = 00. = 5. = (teoem d bse médi no tiângulo) 0. Incoeto. O tiângulo Δ está contido no tiângulo Δ. 0. oeto. O peímeto do Δ é ddo po p = =. O semipeímeto é ddo po p = = 5,5. = p( p )( p b)( p c) = 5555, (, 5)( 5, 5 )( 55, ) = 55,. 05,. 5,. 5, =, 75,79 cm Logo,,79 cm < cm. 0. oeto. P que o tiângulo Δ sej obtusângulo, deve se stisfeit seguinte condição: > b + c Sendo ssim, temos 5 > +, de fto, 5 > + = Incoeto. Sbemos que o enconto ds meditizes de um tiângulo obtusângulo é eteno o tiângulo e ind é o cento d cicunfeênci cicunscit.. oeto. p = + + 5, 55, = = 75, = 7575, (, )(, 75 5, )( 75, ) 0. = =. 00. =. = = = = = ) = 75,. 75,. 05,. 0, 75 = 0, 90 = 09, Áe do qudiláteo. = Δ Δ =,79 0,99 =,8 e fto: Δ = Δ Figu som dos ângulos intenos é: = Potnto, incoeto. 0 Mtemátic

11 GRITO Figu 8 = + 5 = + 5 = 9 (contdiz o teoem de Pitágos) Potnto, incoeto. ) oeto. Figu 5 > 8 + = (contdiz condição de eistênci do tiângulo) Potnto, incoeto s //s ) 0. oeto. O ângulo  mede o. Figu P + + = 80 5 = 80 = 80 = 5 P P Usndo teoem de Tles: = 50 (50 ) = (distibutiv). 50 = 00 = 00 = + 00 = 0 = 00 0 = 0 cm 0. Incoeto. 0 cm 0. Incoeto. so contáio, o tiângulo Δ P sei equiláteo, o que não contece, pois os ângulos intenos são difeentes. sen = 0 0,59 = 0 =,59 m 0,59. 0 = 5 Figu Incoeto oeto. Segundo figu temos: P P (cso ângulo ângulo) Potnto, Δ P Δ 08. Incoeto. Note que o tiângulo Δ P é obtusângulo, pois P = 08. O tiângulo Δ P é cutângulo. Potnto não são conguentes.. oeto. Temos P P = 7 e potnto é isósceles. 8 8 P No tiângulo Δ P, temos: = + 8 = 900 = 900 = 0 cm 08. oeto. Tt-se de definição de semelhnç de tiângulo. Mtemátic

12 GRITO 5) 7) onsidee o tiângulo equiláteo de ldo l e ltu h e P um ponto inteio. Note que áe é dd po = lh. N M F l h P l 8 onstuímos um segmento MF tl que F é ponto médio de. ntão, FM // N e temos ind MF = (bse médi p tiângulo). l Fç ligção do ponto P os vétices fomndo os tiângulos Δ P ; Δ P e Δ P. Note que Δ FM Δ N. í temos: 8 =. =. 8 7 =. 8 = 7 8 = Temos que: Δ = ΔP + ΔP + ΔP ) Sendo ssim, lh ld ld ld = = = 8 y 8 No tiângulo, temos: = (8 ) + = + 0 = + 0 = 00 = 00 = = = 8 5 l h = l d + l d + l d h = d + d + d. h = d + d + d = 9 e h = l, temos: 9 = l 8 = l 8 = l (cionlizndo) 8 = l l = 8) icuncento, pois o ponto P seá o cento d cicunfeênci o tiângulo. Mtemátic

13 GRITO 9) No tiângulo etângulo vmos chm o cteto, y o cteto hoizontl e H hipotenus. cod esticd e ele diz que e m mio que o bmbu. Temos s seguintes infomções: =? y = 7 H = + Pelo teoem de Pitágos, temos: H = + y ( + ) = = = 9 = 9 = 5 = 5 =,5 m 0) 8 0. oeto. O númeo de digonis é ddo po: d = nn ( ) O númeo de ldos de um pentágono é n = 5. lculndo o númeo de digonis, temos: d = 55 ( ) 5. = = 5 Logo, n = d. 08. oeto. 0. Incoet. h H + + = 80 (som dos ângulos intenos 9 = 80 são suplementes) = 80 = 0 9 O ângulo é ddo po: =. 0 = 80 o. oeto. efinição de ângulo n cicunfeênci. H = + H = + 5 H = 00 H = 00 H = 0 (teoem de Pitágos) h. H =. (elção métic no h. 0 =. tiângulo etângulo) h = =. = 9, cm Incoet. p = = = 0 = 0 = 0 = 0 Logo, =. 0 = 0 e = 0 ) F 0 G / Note que O OG, pois são io d semicicunfeênci. No tiângulo O; temos: = + = + = 5 = 5 5 = Segue que áe do etângulo FGH é dd po R =. = 5 = 5. Temos ind que áe do quddo é dd po Q =. R 5 = = 5 Q Mtemátic

14 GRITO ) I. Veddeio. Os ldos // (Plelogmo). é tnsvesl e. Temos  (ltenos intenos). ssim: + β = 80 II. Veddeio. β Inicilmente tcemos s bissetizes dos F e F dos ângulos  e, espectivmente. í os ângulos ÂF F F = ( ). Note que F Ê (ltenos intenos). Potnto, os segmentos F e têm mesm inclinção em elção o segmento e ssim concluímos que são plelos. F ) 0. oet. Sej o ângulo. Seu suplemento é ddo po 80. Segue que zão ente dois ângulos suplementes é: = = (80 ) 5 = 70 9 = 70 = 70 = 80 o 9 O complemento de = 80 o é ddo po = 0 o. 08. Incoeto. P que possmos fom um tiângulo com ldos, b e c devemos te s seguintes condições: < b + c b < + c c < + b O que não contece, pois > 9 + =.. Incoeto. Sem ped de genelidde temos o io = m. O compimento d cicunfeênci = π. = π =,8 m. go se o io ument um meto temos = + = m. O compimento d cicunfeênci: = π. = π =,5 m Potnto, umentou,8 m.. oeto. Tês pontos sempe pssm po um único plno e ssim são colinees. III. Veddeio. Pois o quddo stisfz s definições bio: Plelogmo ldos plelos. Retângulo plelogmo e ângulos etos. Losngo plelogmo e ldos iguis. ) 0. Incoeto. onsidee o quddo de ldo. = Se duplicmos os ldos, obtemos: = () = Potnto, =. 0. Incoeto. P que psse um só et é necessáio que sejm colinees (linhds), o que não necessimente pode contece. Sej y =. No tiângulo, temos: y = +.. cos 0 (lei dos cossenos) y = 5 ( cos 0) (cos 0 = cos 0) y = 5 +. y = 5 + y = 7 y = 7 = y 7 =. 5) O peímeto do etângulo é =. Sejm e y os ldos meno e mio dos etângulos, espectivmente. Mtemátic

15 GRITO Obtemos o seguinte sistem: = b b 00 = 00 + b= 50 = 50 b Fzendo (ii) (i), temos: = 50 m () i () ii áe do quddo é dd po = 8. y =. Note que y =, ssim: 8y = 8. = = = = = = (cionlizndo) =. = Segue que o peímeto do etângulo é ddo po p = =. = cm. ) ) = 50 m; b = 50 m b) = 5(5 ) 5 7) 98 Segue substituindo = 5 em (i), temos: 50 = 00 b b = 50 m Potnto, = 50 m e b = 50 m. b) Temos: p = + b + 00 = 50 b = 50 No tiângulo PTS, temos: Potnto, áe do tpézio: = ( 00 + bh ) ( ). 5 5 = = ( 50 ). 5 5.( 50 ). 5 5 = = 5. (5 ) 5 Sejm, y, z, l e m os ldos dos etângulos, confome figu bio. ) Temos que: p = + b + 00 = 50 + b = 50 Temos ind no Δ PS 00 b cos 0 = = 00 b. = 00 b Note que o peímeto do etângulo é: p = + y + k + z + l + m + + y + k + z + l + m p = ( + y + k + z + l + m) p = p = 98 = h + 00 b = + ( ) h = h = + h ( = h + 50 ) Mtemátic 5

16 GRITO ( 50 ) = h ( ) = h = h = h 50 5 = h 8) h = 50 5 h = 5( 5) h = = =. = R 50) 0 0. Incoet. som dos ângulos de um qudiláteo qulque é 0 o. 0. oet O 9) 5 5 omo é bissetiz do ângulo, temos. Ms Ê (ltenos intenos), logo Ê, dí o Δ é isósceles e ssim = 5. Potnto: p = = + 0 = Note que Δ O Δ O (cso L 0 ). í temos O Ô. omo O + Ô + 0 = 80 (suplementes) O + O = 0 O = 0. No Δ O os ângulos O Ô, e como os ângulos de um tiângulo qulque são suplementes, concluímos que O Ô = 0 e potnto Δ O é equiláteo e ssim =. om os Δ O Δ O temos =. Potnto, p = oet. h H Sej: : io d cicunfeênci inscit R: io d cicunfeênci cicunscit l: ldo do quddo : digonl do quddo = l = = R = = = No tiângulo H, temos H =. Temos ind, segundo o teoem de Pitágos: = h + = h = h h = áe do tpézio é dd po ( + ). = =. =. Mtemátic

17 GRITO 08. oeto. Somndo tês ldos de qulque tpézio notmos que som seá.. oeto. Note que o ângulo ÂO = 0 = π. 5) 0 Pimei dobdu: y 5) 5 y/ / p = y + = 5 Segund dobdu: y 5 5) H = (5 ) + ( ). H = + H = 7 8 O vlo máimo p é ddo po V = b : Δ = b c = 7 = 7 = ( 8). y Q p y Note que os tiângulos bio têm mesm áe dos tiângulos Δ Q e Δ P e possuem mesm bse e ltu. Q p Potnto, = Δ + Δ = 0. y p = y + = Temos o seguinte sistem: y + = 5 () i y + = () ii y/ Fzendo (i) (ii), temos: = = =. = 0 Substituindo = 0 em (i), temos: y + 0 = 5 y + 0 = 5 y = 5 0 y = y = y = 8 / = 0. Incoeto. Pois = 0 e y = Incoeto. Pois = 0 e y = oeto. 0 8 =. 08. Incoeto. Pois meno dimensão é y = 8. Som = 0 (et) Mtemátic 7

18 GRITO 5) 5) θ 0 0. oeto. Nos tiângulos inscitos e, s medids d hipotenus são diâmeto d cicunfeênci e potnto são tiângulos etângulos. 0. oeto. Os ângulos Ê 90 e potnto é um etângulo omo o ângulo inscito Ê eneg o mesmo compimento de co que o ângulo centl Ô, temos. Ê = O. 5 = = θ = 90 Δ O é etângulo em O. π = πr R = cm = R + R = + = 8 = 8 =. = 57) O polígono é um quddo: p =. = cm 55) 0 β π πr 5π 5 π cm π. 5 π =. π R (R = cm) 0π =.. 0π 5 = =. π (π = 80 ) = = 50 O Δ O é isósceles, então O = Ô = O ângulo O é eteno o tiângulo O, logo medid + =. O tiângulo O tmbém é isósceles, logo O mede. O ângulo Ô é eteno o tiângulo O, logo β =. + =. ntão zão ente s medids dos ângulos Ô e Ô é:. =. 58) omo P é um ponto inteio à cicunfeênci, temos que: P. P = P. P. =. P = P P = 8 Mtemátic

19 GRITO o plic o teoem de Pitágos no Δ P e Δ P, temos: 0) = + = + = 0 = 0 = + = + = 80 = 5 pti d lei dos senos no Δ, obtemos: c 0 = R = R sen( ) P 0 = P. R 0. 5 = R R= 50 = 5. = 5 h h = T(φ) =. h =. h =. = S(φ) = π. π. S( ϕ) π. π = = = T( ϕ) ) 59) F h O ângulo O Ô (Δ O é isósceles), temos ind que O Ô (Δ O é isósceles), ms O ÂO + Ô ÂO + ÂO = ÂO. O O O Segue que: = O + ÂO O + O = O O = ssim: O + O = π (suplementes) O = π O O = π pti do Δ F obtemos o ldo (l) do quddo. l = + = = l = = (cionlizção) l = Ms = h, em que é digonl do quddo. ind no Δ F, temos: h =. (elção métic no tiângulo etângulo) h = h = (cionliz) h = Mtemátic 9

20 GRITO omo =, temos = =. áe do quddo meno é dd po: =. =. = áe do cículo é dd po: =. π. π π = = 8 Áe sombed = π 8 ) ) b) c) 9 d) π 9 ssim, sendo medid do ângulo Â, temos: cos = = 9 = omo  é um ângulo inteno do tiângulo, segue que: = 0. Vmos go conside o tiângulo n figu segui. Obseve que tl tiângulo é isósceles, pois O = O = O =. ssim, os ângulos O e O medem mbos 0, e o ângulo Ô, po su vez, mede ) ( ) =. (elção métic n cicunfeênci) ( ) = ( + ) ( ) =. 8 =. = 8 ( ) = 8 = b) o plic o teoem de Pitágos no Δ, temos: (8 ) = ( ) +. =. + 9 = 8 + = 9 8 = = = Logo, = = =. c) Pimeimente, vmos detemin medid do ângulo Â. P isso, obseve que o tiângulo é etângulo em, já que se tt de um tiângulo inscito num cicunfeênci e um dos seus ldos é o diâmeto. 0 ) Logo, áe do tiângulo O pode se clculd po: S O = O. O sen 0 =... S = 9 d) áe d egião hchud coesponde à difeenç ente áe do seto cicul detemind pelo co e áe do tiângulo O. ssim, temos: S = 0 0. πr S O =. π. 9 S = π áe é dd po T = = 0,. = 0, m = 0,. = 0, m =. 0, = 0, m =. 0, = 0, m 5 =. 0, = 0, m =. = m 7 = 0,7. = 0,7 m Mtemátic

21 GRITO 8 =. = m 9 = 0,. = 0, m 0 =. = m = 0,. = 0, m =, +, + 0, + 0,8 + 0, + + 0, , + + T + 0, = 8,8 m 8 l ) Não há gbito coeto (cnceldo pel cfe). 5) No tiângulo temos: = l = (8 ) + = l = + + = l = + 8),5 cm plicndo o teoem de Pitágos no Δ, temos: l = + = 5 l = 5 ssim, áe de plntio d gm seá =.. =.. = m. Já áe d colocção d ceâmic seá = 5. 5 = 5 m. 9) cm =.,5 = 9 cm = 9,. 0 m T = = ,. 0 = 55 m ) S = πr π = πr R = O ldo de cd tiângulo: l =. R. cos 0 l =. l = O ldo meno é do ldo mio, então: plicndo o teoem de Pitágos, temos: = + = + + = + + = = 0 Resolvendo equção obtemos s ízes = 5 e = 7, como > 0 temos = 5. Segue áe do heágono: = =. = = (t) 70) L = l = = Potnto, áe é dd po: =. L = = y y 0 7) Mtemátic

22 GRITO + y = 0 Áe é dd po: = p. P = + y = + y P = = = 7) ntão: =. = cm 75 y + = (cionlizção) = + = + + = ( ) = + Logo, p = = + + Vmos à áe: = ysen = ysen = 8.( + ). (. ). = = + ( = + ) = + = Lei dos senos: y sen 5 = sen 0 = y sen 5 sen 0 y = = = y y = (cionlizção) Lei dos senos: sen 75 = sen 5 Ms, sen 5 = sen(5 + 0) = sen 5 = + = =. + = + = + 7) Sej áe do cículo e áe do quddo. áe sombed é dd po =. = πr = l em que l é o ldo do quddo, ssim: = l R = l l = R (cionlizção) l = R l = R ntão: = (R ) = R Potnto: = = πr R R ( π ) = Mtemátic

23 GRITO 7) 7) = h =. = Temos que: h = l = l =. l =. (cionlizndo) l = Logo, áe do tiângulo Δ = ( ) =.. = Áe do cículo: = πr = π. = π. m Áe do quddo: =. = m áe totl é dd po: ( + n). (y + k) Temos:. y = (i) k. = 8 (ii) y. n = 9 (iii) Somndo: (ii) e (iii), temos: y + yn = + 9 = y( + n) = (iv) (ii) e (ii), temos: y + k = 8 + (y + k) = (v) Multiplicndo (iv) e (v), obtemos: y. ( + n). (y + k) =. = y. ( + n) (y + k) = ( + n) (y + k) = ( + n) (y + k) = ( + n) (y + k) = Potnto, áe utilizd seá dd po: = Δ + = + π 8, m Mtemátic