Gabor Ruszkai/Shutterstock. Matemática B

Transcrição

1 Gbo uszki/suttestock Mtemátic

2 ul 8 Mtemátic eecícios. (nem-m) Um desenist pojetist deveá desen um tmp de pnel em fom cicul. P eliz esse deseno, el dispõe, no momento, de pens um compsso, cujo compimento ds stes é de cm, um tnsfeido e um fol de ppel com um plno ctesino. P esboç o deseno dess tmp, el fstou s stes do compsso de fom que o ângulo fomdo po els fosse de. pont sec está epesentd pelo ponto, pont do gfite está epesentd pelo ponto e cbeç do compsso está epesentd pelo ponto confome figu segui. y º pós conclui o deseno, el o encmin p o seto de podução. o ecebe o deseno com indicção do io d tmp, veificá em qul intevlo este se encont e decidiá o tipo de mteil se utilizdo n su fbicção, de codo com os ddos. Tipo de mteil Intevlo de vloes de io (cm) I < II < III < IV < V < ) I b) II c) III d) IV e) V onsidee,7 como poimção p. O tipo de mteil se utilizdo pelo seto de podução seá =,7 7 cm sen º sen = = = = Potnto, o mteil dequdo seá o IV. º º º 7- polisbe

3 Mtemátic ul 8. (Unicmp-SP) onsidee que o quddo, epesentdo n figu bio, tem ldos de compimento de cm, e que é o ponto médio do segmento. onsequentemente, distânci ente os pontos e seá igul : º º d d é digonl (d) do quddo: d = d = d = cm ) cm b) cm c) cm d) 6 cm é ponto médio de, então: = = d = + cos = = = cm. (uvest-sp) O plelepípedo G, epesentdo n figu, tem medid dos ldos =, = e =. ) b) c) O seno do ângulo  é igul : é digonl do etângulo G: = + = é digonl do quddo : = + = 8 é digonl do etângulo : = + = plicndo lei dos cossenos no tiângulo : G d) e) G = + cos = 8+ 8 cos 8 cos = 8cos = omo ind não foi visto elção fundmentl (sen + cos = ), p detemin o sen, usemos técnic do tiângulo: m = m + = m + m = m= sen =. (Vunesp) Um lnc e um nvio pecoem ots linees no m plno com velociddes constntes de 8 e km/, espectivmente. Sus ots, como most figu, estão definids po ângulos constntes de medids iguis e β, espectivmente. Qundo lnc está no ponto L e o nvio no ponto N, distânci ente eles é de km. β N P y km Sendo o ângulo que lnc fom com et oizontl () e β o ângulo que o nvio fom com et oizontl (t), pssmos um et (s), plel às ets () e (t). O ângulo obtuso no ponto P seá + y. Poém, como s ets são plels, os ângulo e, e y e β são ltenos intenos, potnto = e y = β. L t s β β β Nvio N km L Lnc ssim, o ângulo obtuso em P seá + β. LP = 8 t omo S= v t, NT = t LP 8 t 8 ou sej, = LP = NT, plicndo lei dos cossenos NT t no tiângulo NPL, temos: = NP + LP NP LP cos ( +β) = NP NP NP NP 6 6 = NP + NP + NP = NP NP = km 7- Sendo P o ponto em que lnc colidiá com o nvio, demonste que o ângulo obtuso seá igul + β. m seguid, clcule distânci ente N e P, considendo cos ( +β ) =. 6 6 polisbe

4 ul Mtemátic eecícios. (nem-m) Um mceneio está constuindo um mteil didático que coesponde o encie de peçs de mdei com cm de ltu e foms geométics vids, num bloco de mdei em que cd peç se posicione n pefução com seu fomto coespondente, confome ilust figu. O bloco de mdei já possui tês pefuções ponts de bses distints: um qudd (Q), de ldo cm, um etngul (), com bse cm e ltu cm e um em fom de um tiângulo equiláteo (T), de ldo 6,8 cm, lt eliz um pefução de bse cicul (). O mceneio não que que s outs peçs cibm n pefução cicul e nem que peç de bse cicul cib ns demis pefuções e, p isso, escoleá o diâmeto do cículo que tend tis condições. Pocuou em sus fements um se copo (boc com fomto cicul) p pefu bse em mdei, encontndo cinco eemples, com difeentes medids de diâmetos, como segue: (l),8 cm (II),7 cm (III),6 cm (IV) 7, cm e (V), cm. mndo d i o diâmeto inteno e d e o diâmeto eteno, espectivmente, ds cicunfeêncis inscit e cicunscit s pefuções: T P pefução qudd: d = = = cm i d = = = =,=,6cm e Q P pefução etngul: d = cm i = + = d cm e onsidee, e,7 como poimções p e, espectivmente. P que sej tingido o seu objetivo, qul dos eemples de se copo o mceneio deveá escole? ) I P pefução tingul egul: b) II d = = l = 6,8,7,8 cm i 6,8 c) III = = = d,8 7,7cm e d) IV boc (I),8 cm não seve, pois cbe n pefução tingul. boc (II),7 cm seve, pois não cbe em nenum ds pefuções e nenum objeto ds pefuções cbe nel. e) V Pofesso, se conside inteessnte, teste p s outs ltentivs.. (IT-SP) som ds medids dos ângulos intenos de um polígono egul é 6. ntão, o númeo de digonis desse polígono, que não pssm pelo cento d cicunfeênci que o cicunsceve, é: ) S = ( n ) 8 6 = ( n ) 8 = n n = i n ( n ) ( ) b) 6 O númeo totl de digonis desse polígono seá: d = d = d = 77 c) 7 No entnto, nem tods s digonis pssm pelo cento, vej: O tiângulo equiláteo (n = ) não possui digonis, então é clo que nenum pss pelo cento d) 8 d cicunfeênci cicunscit. O quddo (n = ) tem digonis e s pssm pelo cento. O pentágono egul (n = ) tem digonis e nenum pss pelo cento. O eágono egul (n = 6) Tiângulo Quddo Pentágono eágono e) tem digonis e pssm pelo cento d cicunfeênci cicunscit... ssim, ceg-se à conclusão equiláteo (Q) egul egul de que só teá digonis, pssndo pelo cento d cicunfeênci cicunscit o polígono egul que tem númeo de ldos p (; 6; 8;...; ;...) e o númeo de digonis pssndo pelo cento é metde (T) (P) () do númeo de ldos. Potnto, p o polígono egul de ldos, 7 digonis pens pssão pelo cento e 77 7 = 7 digonis não pssão. polisbe 7-

5 Mtemátic ul. (UGS-S) onsidee um pentágono egul de ldo. Tomndo os pontos médios dos seus ldos, constói-se um pentágono GIJ, como n figu bio. I medid do ângulo inteno do pentágono egul é: ( n ) 8 ( ) 8 = = = 8 i i i Sendo M o ponto médio do ldo I, tç-se meditiz M (figu): J G I º 6º M medid do ldo do pentágono GIJ é: ) sen 6 b) cos 6 c) sen 6 d) cos 6 e) cos 6 ssim, temos: cos 6 = cos 6 = omo I =, temos: cos 6 I = I = cos 6. (uvest-sp) Polongndo-se os ldos de um octógono conveo G, obtém-se um polígono esteldo, confome figu. Os ângulos,,,,, e G fomm um eágono, cuj Polongndo-se e G, fom-se o ângulo. Polongndo- -se e fom-se o ângulo., ssim, polongndo-se convenientemente os ldos, todos os ângulos seão fomdos. figu segui most os ângulos, e : G som vle: 8 ) 8 b) 6 c) 6 G 7 8 d) 7 e) som seá: S = ( n ) G = (6 ) 8 = 7 i Os ângulos,,,, G e fomm outo eágono, cuj som tmbém seá igul 7. O mesmo conteceá com os ângulos,,..., 8. ssim: G = G+ = G+ + = G+ + + = 7 + G = = = = ( G+ ) = [(8 ) 8 ] = = = studo oientdo eecícios 7-. (nem-m) P um limentção sudável, ecomend-se ingei, em elção o totl de clois diáis, 6% de cboidtos, % de poteíns e % de godus. Um nuticionist, p melo visulizção desss pocentgens, que dispo esses ddos em um polígono. l pode fze isso em um tiângulo equiláteo, um losngo, um pentágono egul, um eágono egul ou um octógono egul, desde que o polígono sej dividido em egiões cujs áes sejm popocionis às pocentgens mencionds. l desenou s seguintes figus: polisbe

6 ul Mtemátic eecícios. (nem-m) Viveios de lgosts são constuídos, po coopetivs locis de pescdoes, em fomto de pisms eto-etngules, fidos o solo e com tels fleíveis de mesm ltu, cpzes de supot coosão min. P cd viveio se constuído, coopetiv utiliz integlmente metos linees dess tel, que é usd pens ns lteis. Nível do m y Quis devem se os vloes de e de y, em meto, p que áe d bse do viveio sej máim? ) e. b) e. c) e. d) e. e) e. tel é dobd de fom que su bse ten fom de um etângulo de dimensões e y. áe dess bse seá: S = y. O peímeto seá: + y = ntão, + y = y = ; ssim, temos: S = ( ) = S = ( ) = ; = S = ( ) = ; = S = ( ) = 6; = S = ( ) = Potnto, p = encontmos áe máim S = 6 e y =. Pofesso, obseve que função S = ( ) é um pábol invetid, seu vlo máimo está ns coodends do vétice V = outo cmino de esolução.. (Vunesp) figu indic um tpézio no plno ctesino. b, ou sej, esse sei y G áe do tpézio é som ds áes do tiângulo com o qudiláteo. áe do qudiláteo é áe do etângulo G menos s áes dos tiângulos G e. S = S = 6 S = + S = 8 u.. áe desse tpézio, n unidde qudd definid pelos eios coodendos, é igul : ) 6 b) 7 c) 8 d) 7 e) 7- polisbe

7 Mtemátic ul. (uvest-sp) N figu, o etângulo tem ldos de compimentos = e =. Sejm M o ponto médio do ldo e N o ponto médio do ldo. Os segmentos M e inteceptm o segmento N nos pontos e, espectivmente. N M N º M ) b) c) d) e) áe do tiângulo é igul : ~ N: G é um quddo, então M ~ G: = = S = S S S S S 6 = = = G. (Unicmp-SP) onsidee o quddo de ldo > eibido n figu bio. Sej () função que ssoci cd áe d egião escu. O gáfico d função y = () no plno ctesino é ddo po: ) y c) y áe sombed é áe do quddo de ldo menos s áes dos dois tiângulos etângulos conguentes de ldos e. ( ) S= S= ( ) S= função S = é do pimeio gu em, potnto seu gáfico é um et. b) y d) y 7- polisbe

8 ul Mtemátic eecícios. (OMM) Qul é áe, em centímetos quddos, de um cicunfeênci inscit em um tiângulo equiláteo, sbendo que este tiângulo está inscito em um cicunfeênci de compimento igul π cm? 7π ) π icento b) O compimento d cicunfeênci mio é: π= π = cm π = = = c) áe do cículo meno seá: π S S S d) cm =π =π π = 6 π e). (nem-m) O popietáio de um pque quático desej constui um piscin em sus dependêncis. figu epesent vist supeio dess piscin, que é fomd po tês setoes cicules idênticos, com ângulo centl igul 6. O io deve se um númeo ntul. 6º áe de tês setoes cicules de 6 é equivlente áe de um seto de 8, ou sej, meio cículo: S = π zendo π = : S = omo o popietáio desej que ess áe sej meno que já eistente: < < 8 < 8 < 8,8 O pque quático já cont com um piscin em fomto etngul com dimensões m m. O popietáio que que áe ocupd pel nov piscin sej meno que ocupd pel piscin já eistente. onsidee, como poimção p π. O mio vlo possível p, em metos, deveá se: ) 6 b) 8 c) d) e). (Unicmp-SP) figu bio eibe um seto cicul dividido em dus egiões de mesm áe. zão b é igul : Sejm S, S s áes ds egiões ssinlds e S áe totl, espectivmente. b áe d egião S seá: S = π 6 ( b) áe d egião S seá: S = π + 6 ) + b) + c) d) S S b áe d egião S seá: S = S S Segundo o enuncido, S = S, potnto: S S = S S = S ntão, temos: π + = π ( b) b + b = b b = ( b) ± ( b) ( b ) = b± 8b b± b = = = b± b = b (+ ) = + b 7- polisbe

9 Mtemátic ul. (uvest-sp) São dds tês cicunfeêncis de io, dus dus tngentes. Os pontos de tngênci são P, P e P. P P P lcule em função de : ) O compimento do ldo do tiângulo equiláteo T, detemindo pels tês ets que são definids pel seguinte eigênci: cd um dels é tngente dus ds cicunfeêncis e não intecept tecei; O P P P º º O ldo (L) do tiângulo T (Δ) seá: L = + O O O ˆ = O ˆ = tg = = = ( ) L= + L= + b) áe do eágono não conveo cujos ldos são os segmentos, ligndo cd ponto P, P e P os dois vétices do tiângulo T mis póimos ele. áe do eágono não conveo é áe do tiângulo equiláteo T de ldo L menos áe dos tiângulos P, P e P, cujos vloes são conguentes. L L ssim: S = ( + ) ( + ) S = = + ( ) + S ( ) S = ( + + ) S = + 6+ S = + [ ] [ ] 7- polisbe