Lista de Exercícios Cálculo de Volumes por Cascas Cilíndricas

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1 List de Eecícios Cálculo de olumes po Cscs Cilíndics ) Use o método ds cscs cilíndics p detemin o volume gedo pel otção o edo do eio y d egião limitd pels cuvs dds. Esoce egião e csc típic. ) y =, y =, =, = f d = π d = π d = π [ ] ( ) = π = π Págin de

2 ) y =, y = + 7 O intecepto ds cuvs ocoe em: = = = = ( ) + = = ou = f d = π 7 + d = π d = π d = π + 9 d = π + 9 d = π + d 6 = π + = 6π = 6π Págin de

3 8 7 = 6π = 6π = 6π = 6π 8 = 6π = 6π ) Use o método ds cscs cilíndics p detemin o volume gedo pel otção o edo do eio d egião limitd pels cuvs dds. Esoce egião e csc típic. ) = + y = y = y =,,, yf ( y ) dy ( ) ( ) = π y + y dy = π y + y dy = π y + y Págin de

4 = π + + = π ( + ) + = π = π ) y =, y = 8, = y = = y yf ( y ) dy 8 = π y y dy 8 = π y y dy 8 = π y dy 7 y = π 7 = π y π = y Págin de

5 6π = 7 6π = 7 6π 7 = 7 768π = ( 8 ) 7 c) y = + y =, 6 O intecepto ds cuvs ocoe em: = = ( ) + = = ou = y y y = = = ± = ± y + y = 6 = 6 y = y yf ( y ) dy 9 y y y dy y = π y y dy + + π Págin 5 de

6 9 y y dy y = π + π y + + y dy 9 y dy = π + π y + y + y dy y y = π + π y + y = π y y y y 5 + π = π y y y y 5 + π = π π = π ( ) ( ) ( ) 5 + π = π 5 + π = π 5 + π = π = π = π 5 = π 5 = π 6 5 = π Págin 6 de

7 ) Se egião n figu gi o edo do eio y p fom um sólido, use Reg do Ponto Médio com n = 5 p estim o volume do sólido. = = = = n 5 5 {[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]} Intevlos =,,,6, 6,8, 8,,, Pontos médios = {,5,7,9, } = πf d π f + f + f + + n f ( n ) n [ ] = π f d π f () + 5 f (5) + 7 f (7) + 9 f (9) + f () 5 [ ] = π f d π = π f d π = π f d π 8 = π f d π Págin 7 de

8 ) A egião limitd pels cuvs dds é gid o edo dos eios especificdos. Detemine o volume do sólido esultnte po qulque método. ) y y = +, = ; o edo do eio. Método do disco: + = = ou = [ ] = π f d = π + d ( ) = π + + d 5 5 = π = π = π + + ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) 5 5 = π = π = π + 5 Págin 8 de

9 = π 8 = π ) y 5, y ( ) = = + ; o edo de =. Método ds cscs cilíndics: + = 5 + = = = ou = f d = π ( ) 5 + d = π ( + ) 5 d = π d = π + + d = π + + ln Págin 9 de

10 = π + + ln = π + + ln + + ln 6 = π + + ln = π + + ln + 6 = π + ln = π + ln ( ) ( ) = π ln = 8π ln c) ( y ) + = ; o edo do eio y. Método do disco: ( y ) ( y ) + = = = y = y = ou y = y = ( y ) ( y ) + = = ( y ) = Págin de

11 [ ] = π f y dy = π ( y ) dy = π y dy = π y y + dy ( ) = π y + y dy ( ) = π y y dy = π y y = π y y = π 8 = π = π 5) Use cscs cilíndics p encont o volume de: ) Um esfe de io. (,) y = (,) (,) Págin de

12 Equção de um cículo com cento em (, ). + y = Equção de um cículo com cento em (, ). + y = y = y = f d π = d = π d Fzendo u = du = d = π d = π u du u = π = π u = π = π = π = π ( ) = π Págin de

13 ) Um cone cicul eto de ltu h e se com io. h Equção d et: y = m + h y = + h f d h = π + h d = π h + d = π h + d = π h + = π h + = π h + + h = π + = π h + 6 πh π h = = 6 Págin de