2ª Lei de Newton. Quando a partícula de massa m é actuada pela força a aceleração da partícula tem de satisfazer a equação

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1 ª Lei de Newton ª Lei de Newton: Se foç esultnte ctunte num ptícul é difeente de zeo, então ptícul teá um celeção popocionl à intensidde d foç esultnte n diecção dess esultnte. P um ptícul sujeit às foçs constntes,,, 3, 3 L constnte 3 mss, m Qundo ptícul de mss m é ctud pel foç celeção d ptícul tem de stisfze equção m, celeção tem de se medid em elção um sistem de eixos Newtonino de efeenci, i.e., sem celeção e sem movimento de otção. Se foç que ctu num pícul é zeo, ptícul não tem celeção, i.e., ou mntém-se estcionái ou está em movimento ectilíneo com velocidde constnte -

2 Momentum line ou quntidde de movimento de um ptícul Substituíndo celeção pel deivd d velocidde, temos dv m dt d dl ( mv) dt dt L momentum line ou quntidde de movimento d ptícul Pincipio d Consevção do Momentum Line ou d quntidde de Movimento de um ptícul: Se esultnte ds foçs ctuntes num ptícul, é zeo, o momentum line ou quntidde de movimento pemnece constnte tnto em intensidde como diecção. -

3 Sistems de uniddes evisão Sistem Intencionl de Uniddes (SI): s uniddes de bse são compimento (m), mss (kg), e tempo (segundo). unidde de foç é deivd tendo de se comptível com ª Lei de Newton: N ( kg) m s kg m s U.S. Custom Units: s uniddes de bse são unidde de foç (lb), compimento (ft), e tempo (segundo). unidde de mss é deivd: lbm lb 3. ft s slug ft lb s lb s ft - 3

4 Equções do Movimento ª Lei de Newton: m solução p o movimento d ptícul é obtid tvés ds equções de equilibio, p s coodends ectngules x,,z: ( i + j + k ) m( i + j + k ) x x x m mx && x z m m && x z z z m mz && z No cso de o movimento se expesso pels componentes tngencil e noml: t t m t dv m dt n n m n v m ρ - 4

5 Equilibio Dinâmico Um expessão ltentiv à ª Lei de Newton: m 0 m vecto de inéci Com inclusão do vecto de inéci, o sistem de foçs que ctum num ptícul é equivlente zeo. Diz-se que ptícul está em Equilibio Dinâmico. Os vectoes de inéci são usulmente designdos po foçs de inéci um vez que medem esistênci que s ptículs ofeecem às lteções no seu movimento, i.e. lteções de velocidde ou diecção. s foçs de inéci podem se, conceptulmente, úteis ms não são como s foçs de contcto ou foçs gvitcionis bodds n estátic. - 5

6 Exemplo: Um cix com mss de 50 Kg está em epouso num plno hoizonl, com o qul o coeficiente de tito cinético é 0.3. Se fo execid foç de 400 N indicd, detemin velocidde d cix o fim de 3 s, pti do epouso. - 6

7 m 50 Kg W 50 x N - 7

8 Exemplo: Um bloco com peso de 00-lb está em epouso num plno hoizonl. Clcul intensidde d foç P necessái p confei o bloco um celeção de 0 ft/s p dieit. O coeficiente de tito cinético ente o bloco e o plno hoizontl é µ k

9 Resolve s equções do movimento p o bloco, segundo s diecções ectngules x, O m W g x lb s 6. ft µ N k 0.5N 00lb 3. ft s x m : P cos N 0 : ( )( ) 6.lb s ft 0 ft s 6.lb N P sin 30 00lb s incógnits são: foç plicd P ; e ecção noml o plno N. Resolvendo: N P sin lb P cos ( P sin lb) 6.lb P 5 lb - 9

10 Exemplo: peç suspens ilustd n figu o ldo tem um mss de 3000 Kg. peç é elevd po um gu tvés do gncho H e sbe-se que, ptindo inicilmente do epouso, tinge um velocidde de elevção de 00 mm/s em 0.3 s. Clcul foç de tcção nos cbos e C, dunte este intevlo de tempo de 0.3 s, ssumindo um celeção constnte. - 0

11 Exemplo: O moto M pux o cbo com um celeção constnte, de tl fom que cix com mss de 0 Kg se move p cim um distânci s 6 m em 3 s, ptindo do epouso. Detemin foç de tcção no cbo, sbendo que o coeficiente de tito cinético ente cix e o plno inclindo é de

12 Exemplo: O pêndulo de m desceve um co de ciculo num plno veticl. Se foç de tcção no cbo é.5 vezes o peso do pêndulo p posição ilustd, clcul velocidde e celeção do pêndulo ness posição. -

13 Esceve s equções do movimento do pêndulo segundo s componentes tngencil e noml, e clcul s celeções noml e tngencil: t m t : mg sin 30 m t g sin 30 t t 4.9m s n m n :.5mg n g mg cos30 (.5 cos30 ) n m n 6.03m s Clcul velocidde pti d celeção noml: n v v ρn ρ ( )( ) m 6.03m s v ±5.66m s - 3

14 Exemplo: Detemin velocidde de pojecto de um cuv de utoestd com o io ρ 0 m, com um declive ltel de θ 8 o. Conside que, velocidde de pojecto de um cuv com declive ltel é velocidde p qul o veículo deve cicul sem que sej execid um foç de tito ltel ns sus ods. - 4

15 Resolve s equções do movimento p o veículo segundo s diecções veticl e noml: O veículo desceve um movimento hoizontl o longo de um tjectói cicul, com um componente noml d celeção diigid p o cento d tjectói. s foçs que ctum no veículo são o seu peso e ecção noml à supeficie d estd. 0 : n m n : R cosθ W R W cosθ R sinθ W g W sinθ cosθ n 0 W g v ρ Resolve em odem à velocidde: v v gρ tn θ ( 9.8 m s )( 0 m ) tn m s 70.4 Km h - 5

16 Exemplo: (movimento dependente) Os dois blocos e, ilustdos, ptem do epouso. O tito no plno hoizontl e ns oldns é despezável, e o peso d oldn C é igulmente despezável. Detemin celeção de cd bloco e foç de tcção no cbo. - 6

17 O x Esceve s elções cinemátics p os movimentos dependentes e celeções dos blocos: Esceve s equções do movimento p os blocos e p oldn: m x T m m : ( 00kg) : ( )( ) 300kg 9.8m s T ( 300kg) T T g T m x m 940N - C C T 0 : 0 ( 300kg) - 7

18 O x Combin s elções cinemátics com s equções do movimento p esolve em odem às celeções e foç de tcção no cbo: T T T x ( 00kg) 940N - ( 300kg) 940N - T T ( 300kg)( ) T N ( 50kg) ( 00kg) m ( 00kg) T s 4.0m 680 N s 840 N - 8

19 Exemplo: O bloco com peso de -lb inici o movimento pti do epouso e escoeg sobe um cunh com peso de 30-lb, que está poid sobe um supefície hoizontl. Despezndo o tito, detemin: () celeção d cunh, e (b) celeção do bloco em elção à cunh. - 9

20 + x - 0

21 O bloco tem o seu movimento dependente do movimento d cunh + Equções do movimento p cunh e p o bloco : m x N 0.5N : sin 30 m ( W g) x x m W x m sin 30 ( cos30 ): ( W g)( cos30 ) cos30 + g sin 30 N m m ( sin 30 ): W cos30 30 ( W g) sin -

22 Resolve em odem às celeções: 0.5N ( W g) N W cos30 ( W g) sin 30 ( W g) W cos30 ( W g) gw cos30 W + W sin 30 ( 3. ft s )( lb) cos30 ( 30lb) + ( lb) sin ft sin 30 s cos30 + g sin 30 ( ) ( ) 5.07 ft s cos ft s sin ft s -

23 Poblem de evisão: Um utomóvel com mss de 500 Kg desloc-se num toço de estd num plno hoizontl e descele com constnte, desde um velocidde de 00 Km/h em p um velocidde de 50 Km/h qundo pss em C. O io de cuvtu ρ d estd em é de 400 m e em C é de 80 m. Detemin foç hoizontl totl execid pel estd sobe os pneus do utomóvel, ns posições, e C. O ponto é o ponto de inflexão onde cuvtu mud. - 3

24 - 4

25 - 5

26 Impulso e Quntidde de Movimento D ª Lei de Newton: d v dt dt d mv t t dt ( mv ) m ( ) mv mv quntidde de movimento t t dt Imp mv + Imp impulso d mv foç Quntidde de movimento finl Quntidde de movimento inicil + Impulso d foç dunte o intevlo de tempo Uniddes do Impulso: [N.s][kg.m/s] 6

27 Pincipio do Impulso e d Quntidde de Movimento t m v + d t m v t ou: t ( mv ) ( ),( ) ( ) x + xdt mvx mv + dt mv t t t Qundo mis que um ptícul está envolvid, podemos conside cd ptícul sepdmente, ou som s quntiddes de movimento e os impulsos p todo o sistem de ptículs: t mv + dt mv t Not: s foçs de cção e ecção execids pels ptículs, ums sobe s outs, têm impulsos que se nulm mutumente. pens os impulsos de foçs extens pecism de se considedos. 7

28 P um sistem de ptículs: t mv + dt mv Se o somtóio ds foçs mv mv extens é zeo t Veific-se consevção d quntidde de movimento mv mv 0 mv + mv v v m m Os bcos movem-se em sentidos opostos 8

29 oçs Impulsivs: oçs que ctum n ptícul dunte um intevlo de tempo muito cuto, ms que são suficientemente gndes p povoc um vição significtiv n quntidde de movimento d ptícul: Qundo um foç impulsiv ctu sobe um ptícul (po ex. num bol de ténis), elção ente o impulso e quntidde de movimento pode esceve-se: mv + t m v oçs não-impulsivs: foçs p s quis é pequeno, e consequentemente, o impulso pode se despezdo (po ex. o peso d bol de ténis). t 9

30 Exemplo: Um veículo utomóvel com mss de 84.4 kg está em movimento, num mp com inclinção de 5, com um velocidde de km/h, qundo os tvões são ctudos oiginndo um foç de tvgem totl de 667 N. Detemin o tempo necessáio p o veículo se imobiliz, utilizndo o pincipio do impulso e d quntidde de movimento. 30

31 Pincipio do Impulso e d quntidde de movimento: t mv + dt mv t plicndo o pincipio n diecção plel o plno inclindo: mv + ( mg sin 5 ) t t 0 ( )( ) ( ) sin 5 t 667t 0 t 9.5 s 3

32 Exemplo: 36.6 m/s 4.4 m/s Um bol de bsebll, com mss de 3.4 g, é tid com um velocidde 4.4 m/s. pós o impcto no tco, bol dquie um velocidde de 36.6 m/s n diecção ilustd n figu. Se dução do impcto ente bol e o tco foi de 0.05 s, detemin o vlo médio d foç impulsiv execid pel bol no impcto, utilizndo o pincipio do impulso e d quntidde de movimento. 3

33 Pincipio do impulso e quntidde de movimento: mv + t mv 36.6 m/s mv cos40 + x t mv ( ) ( ) ( ) cos 40 x Diecção x : N x 4.4 m/s 0 + t mv sin 40 ( ) ( ) sin 40 Diecção : 77.9 N i + j ( 396.4) ( 77.9) 77.9 N N N N 33

34 Exemplo: Um pcote de 0 kg ci de um mp sobe o cinho, de mss 4 kg, com um velocidde de 3 m/s, confome ilustdo n figu. Sbendo que o cinho incilmente está em epouso, e pode ol livemente sem tito, detemin: () (b) (c) velocidde finl do cinho, O impulso execido pelo cinho sobe o pcote fcção de enegi pedid no impcto 34

35 plicndo o pincipio do impulso e d quntidde de movimento o sistem pcote + cinho : mv + t mv Diecção x : m p v + ( mp + mc ) Imp v ( ) m v cos m + m v p p c ( 0)( 3) cos30 ( 0 + 5) v v 0.74 m/s Veific-se consevção d quntidde de movimento n diecção x p o sistem pcote+cinho 35

36 plicndo o mesmo pincipio o pcote isoldmente, p clcul foç impulsiv execid sobe o mesmo, pti d vição do seu momento ngul, temos: mpv + t m v p Diecção x : Diecção : m v cos30 + t m v p x p ( 0)( 3) cos30 ( 0) ( )( ) + t v x t 8.56 N s x m sin30 0 pv + t 0 3 sin30 + t 0 t 5 N s t ( 8.56 ) i + Imp ( 5 ) j t 3.9 N s 36

37 P detemin fcção de enegi pedid, clculm-se s enegis cinétics inicil e finl: Enegi inicil: Enegi finl: T p ( )( ) m v J ( ) ( )( ) T m + m v J p c T T T