ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Departamento de Engenharia Mecânica

Transcrição

1 D x E RESOLUÇÃO i z k j 1ª Questão (3,5 pontos). O qudo, com fom de um tiângulo etângulo isósceles, é constituído po tês bs ticulds ente si e de peso despezível. O qudo é ticuldo em e ligdo em dois cbos D e E inclindos de 45º com veticl, confome indicdo n figu. O plno fom um ângulo β (0 β 90) conhecido com o plno yz. Em plic-se um cg veticl P. Pede-se: () indic se estutu d figu é isostátic, hipostátic ou hipeestátic; (b) desenh os digms de copo live ds bs, e e dos nós e. (c) detemin s tções nos cbos D e E e s foçs ns bs, e, indicndo se são de tção ou de compessão. estutu é hipostátic, pois não existem vínculos que impeçm de gi em tono do eixo z. Po outo ldo, s foçs nel tuntes não intoduzem momentos em tono de z, o que possibilit o equilíbio. Os digms de copo live solicitdos são pesentdos ns figus bixo. β y P u F F F F z z F F F F P u F D F E F F y Escevendo-se s equções de equilíbio p o nó, tem-se: Fui = 0 F F = 0 F = F (1) (1 ponto)

2 Fzi = 0 P F = 0 F P = (compimid) () ( ) F P ( 1) e = (tciond) onsidendo-se go o equilíbio do nó, temos s seguintes foçs tuntes: F D = F D ( j + k ) F E = F E ( i k ) F F cos βj F sin βi = P cos βj P sin βi F Fk = (5) = (6) Escevendo-se equção vetoil de equilíbio do nó, tem-se: F = 0 F i D + F E + F + F = 0 F D (3) (4) ( j + k ) + FE ( i k ) + P( cos β j sin βi ) Fk = 0 esolução do coespondente sistem de equções escles pemite detemin s incógnits emnescentes do poblem: FE P sin β = 0 FE = P sin β FD + P cos β = 0 FD = P cos β D E (compimid) F F F = 0 F = P( sin β + cos β )

3 ª Questão (3,0 pontos). pltfom de tnspote o ldo desloc-se com velocidde constnte v em elção o efeencil fixo O' IJ K. Um tudo hidáulico fz com que mp inclind sej eguid com velocidde ngul Ω de módulo constnte. Um cilindo de cento e io R ol sem escoeg sobe mp inclind, tendo como ponto de contto. O cilindo possui, no instnte mostdo, velocidde ngul ω e celeção ngul ω & em elção à mp. No mesmo instnte, o ângulo ente mp inclind e hoizontl é θ=45º e distânci ente os pontos e O é d. Pede-se, descevendo os esultdos no sistem Oi jk J, solidáio O I à mp inclind: () s velociddes eltiv, de stmento e bsolut do ponto ; (b) s celeções eltiv, de stmento, complement e bsolud do do ponto ; (c) os vetoes otção e celeção ngul bsolutos do cilindo de cento. v ω ω θ Ω O j i RESOLUÇÃO P um obsevdo solidáio à mp, o ponto do cilindo tem velocidde nul, já que este eliz movimento de olmento puo sobe mp. Dess fom, tem-se: v = v + ω k Rj = ωr ( ) i velocidde de stmento do ponto do cilindo, é: v = v + Ωk O = vi Ωk di + Rj = vi + ΩRi + Ωdj = v v O = v ( ) ( ) ( ) [( I. i ) i + ( I. j ) j] + ΩRi + Ωdj [ i j] Ri dj ( R v ) i ( d v ) j R v i cos + sinθ + Ω + Ω = Ω cosθ + Ω sinθ = Ω + Ωd j θ Potnto, velocidde bsolut de, é: v = v + v = ω Ri + ΩR i + Ωd j = ωr + ΩR i + Ωd j omo o cento do cilindo eliz movimento etilíneo, su celeção eltiv o efeencil é: = v& = & ωri celeção de stmento de, é: & = + Ω O + Ω Ω O O ( ) ( ) [ ] = ( O) Ωk [ Ωk ( di + Rj) ] = Ω ( di Rj ) Oi jk móvel, celeção complement de é: = ω v = Ωk ωri = ΩωR c ( ) ( ) j

4 celeção bsolut de, é: = + + = & ωri + Ω di Rj ΩωRj = & ωr + Ω i Ω + Ωω R c O veto otção bsolut do disco, é: ω = ω + ω = ( ω + Ω)k bs ( ) ( ) ( ) j O veto celeção otcionl bsolut do disco, é: & ω = & ω + & ω + ω ω = & ωk bs

5 j i m 3ª Questão (3,5 pontos). Dois cilindos iguis de io e mss m, inteligdos po meio de ticulções um cbo inextensível de compimento L e mss despezível, sobem um mp de inclinção α sob ção de um toque T plicdo o cilindo dinteio. dmitindo-se que mbos os cilindos olem sem escoeg e que o coeficiente de tito ente eles e mp sej µ, pede-se:. desenh os digms de copo live dos dois cilindos; b. clcul celeção ngul dos cilindos; c. clcul foç de tção no cbo; d. detemin o máximo vlo do toque plicdo em p que não oco escoegmento do cilindo dinteio. RESOLUÇÃO mbos os cilindos elizm movimento de olmento puo. O cilindo tseio moviment-se sob ção d foç peso, d foç de contto H i + N j e d foç Fi tnsmitid pel b; o cilindo dinteio move-se sob ção d foç peso, d foç de contcto H1 i + N1 j, do toque Tk plicdo o eixo e d foç Fi tnsmitid pel b. plicndo-se o cilindo tseio o TM e o TQM ( pólo I ), tem-se: (1 ponto) F H mg sinα = m (Eq.1) N mg cosα 0 (Eq.) = α H L mg ω ω& I N α T m α & 1 3 mg sin F = J I ω m m ( & ω) m & ω z = + = (Eq.3) plicndo-se o cilindo dinteio o TM e o TQM (pólo I 1 ), tem-se: F H 1 F mg sin α = m (Eq.4) N 1 mg cosα = 0 (Eq.5) 3 F + mg sinα T = J I ( & ω) m & ω z = (Eq.6) omo mbos os cilindos elizm movimento de olmento puo, tem-se: g = ω& (Eq.7) F mg T I 1 N α ω ω & 1 H 1

6 Somndo-se s equções (3) e (6), obtém-se: mg sinα T = 3m & ω T mg sin α ω& = (Eq.8) 3m Substituindo-se (8) em (3), obtém-se: 3 1 F = mg sin α + m & ω = mg sinα + ( T mg sinα ) T F = (Eq.9) Substituindo-se (7) e (9) em (4), obtém-se: T T mg sinα H1 = + mg sin α + 3 5T mg sinα H 1 = + (Eq.10) 6 3 P que não oco deslizmento do cilindo dinteio, deve-se te: 5T mg sinα H 1 = + µ N1 = µ mg cosα 6 3 T ( 3µ cosα sinα )mg (Eq.11) 5