UFPA / PPGEE. Equação de Onda. Rodrigo M. S. de Oliveira
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1 UFPA / PPGEE Equção de Ond Rodigo M. S. de Olivei
2 A Equção de Ond As equções otcionis de Mwell, no domínio do tempo, p meios não dispesivos e Isotópicos, são dds po: Fd Ampèe Qundo é clculdo o otcionl em mbos os membos d lei de Fd, temos Sbe-se, pti d deinição de gdiente, que Então ou
3 A Equção de Ond Lembndo-se d lei de Guss p o Cmpo elético, tem-se A Equção de Ond p o cmpo Elético De om simil, tem-se A Equção de Ond p o cmpo Mgnético Qundo egião é live de ontes ( e, tem-se
4 E qundo o meio não é condutivo (s 0, tem-se Fom gel d equção de ond: v, com v sendo velocidde de popgção.. me Dess om, No espço live, m m 0 4 p 0-7 e e e v m e 4p m/s. (Velocidde d luz no vácuo. A pti dest inomção, Mwell coelcionou luz com o eletomgnetismo! [] [] J. C. Mwell, A dnmicl theo o the electomgnetic ield, Philosophicl Tnsctions o the Rol Societ o London, vol. 55, pp , 864.
5 A Equção de Ond Fom hmônic Fom hmônic dos cmpos Qundo s deivds pimei e segund são clculds em elção t, obsev-se que Dess om:. E de mnei simil, tem-se p o cmpo H :
6 A Equção de Ond Fom hmônic P egiões lives de ontes, temos s equções vetoiis: Constnte de popgção Qundo s 0, temos: Constnte de tenução (NP / m Constnte de se (d / m com
7 A Equção de Ond Fom hmônic - Soluções Coodends etngules meio isolnte peeito (s0 e sem ontes Como então Obsevndo que ge um veto nulo, e que têm-se s equções escles:
8 A Equção de Ond Fom hmônic - Soluções P componente E, tem-se de om epndid: Aplicndo o método de viáveis sepáveis p equção cim, dmite-se, pincípio, que e que, dess om, temos logo, dividindo equção po gh e obsevndo que s deivds são de to odináis : Como b é um constnte, cd pcel d equção cim deve se um constnte. Então b b b z b
9 A Equção de Ond Fom hmônic - Soluções De om que (Equção de estição d d d g d d h dz b b b z g h A equção Então: Logo: d d b 0 é um EDO line de odem com coeicientes constntes d Aep( B AB ep( B d d b AB ep( B Aep( B 0 b d
10 A Equção de Ond Fom hmônic - Soluções d d b AB B ep( B b Aep( B b 0 0 B b jb com j Como há dus izes p B e Aep(B, vemos então, po supeposição, que Utilizndo elção de Eule, é imedito que tmbém stisz EDO. De om nálog, têm-se
11 A Equção de Ond Fom hmônic - Soluções A composição d solução depende d compleidde do poblem se nlizdo. Eemplo: gui de ond. Considee o gui de ond o ldo Lemb que
12 Velocidde de se P... Considee um ponto P. F( z, t cos( t b z P seguimos o ponto P, o gumento do cosseno não deve vi. Isto é Deivndo em elção t : t b z C dz b 0 dt b v z 0 v z (Velocidde de se b
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14 Meio com peds (s 0 e live de ontes (J i q ve M i q vm 0 Com: Então: Constnte de popgção Constnte de tenução (NP / m Constnte de se (d / m
15 Meio com peds (s 0 e live de ontes (J i q ve M i q vm 0 Como então Ptindo de us-se o método de sepção de viáveis, e dmite-se que Então.. Dividindo equção po gh e obsevndo que s deivds são de to odináis : Obsev-se que g + g + g z g
16 Meio com peds (s 0 e live de ontes (J i q ve M i q vm 0 Então, p pimei constnte (g, tem-se: d d g 0 d Aep( B d AB ep( B d d g AB B ep( B g Aep( B g 0 0 Potnto: B g g ou ou ou
![Meio com peds (s 0 e live de ontes (J i q ve M i q vm 0 Tl como visto ntes: P eponencil em consideção [ep(-g z z], o cso em que ond vij n dieção +z [tl como sugeido po ep(-g z z] e pesent tenução em](/docs-images/99/139622191/images/17-5.jpg "su mplitude, epesentndo s peds devido s, ocoe qundo g z z + j b z.")
17 Meio com peds (s 0 e live de ontes (J i q ve M i q vm 0 Tl como visto ntes: P eponencil em consideção [ep(-g z z], o cso em que ond vij n dieção +z [tl como sugeido po ep(-g z z] e pesent tenução em su mplitude, epesentndo s peds devido s, ocoe qundo g z z + j b z. - Ond vijndo n dieção +z, decindo eponencilmente - Ond vijndo n dieção -z, decindo eponencilmente - Ond vijndo n dieção -z, cescendo eponencilmente - Ond vijndo n dieção +z, cescendo eponencilmente Potnto: g i i + j b i
18 Ttmento em Coodends Cilíndics Meio sem peds (s 0 e live de ontes (J i q ve M i q vm 0 Equção de ond: Em coodends etngules, temos: ( P um escl V (b P um veto A A ˆ Aˆ A A ˆ z z
19 ( P um escl Ttmento em Coodends Cilíndics Considee um unção (,. Então cos( cos( sin( sin( tn sin( cos( h Potnto: Logo: h cos( sin( sin( cos( sin( sin( cos( h h h Substituindo:
20 ( P um escl Ttmento em Coodends Cilíndics sin( ; cos( h cos( sin( sin( cos( sin( sin( cos( Então: sin( cos( ( sin ( sin sin( cos( cos( sin( cos( sin( ( cos h sin( cos( h Cálculo de cos( sin( g g g g Então: g sin( cos( cos( sin( cos( cos( sin(
21 g sin( cos( cos( sin( cos( cos( sin( Ttmento em Coodends Cilíndics ( P um escl sin( sin( cos( cos( tn Então cos( sin( ( cos ( cos cos( sin( sin( cos( sin( cos( ( sin g sin( cos( ( sin ( sin sin( cos( cos( sin( cos( sin( ( cos h +
22 Ttmento em Coodends Cilíndics ( sin ( sin ( cos ( cos ( cos ( sin Po im: A A A ˆ ˆ (b Lplcino de um veto A A A A A A A A ˆ ˆ Ns pimeis uls, viu-se que: Então ˆ cos( ˆ sin( ˆ ˆ sin( ˆ cos( ˆ A z z A A E A A A A ˆ ˆ ˆ A A cos + A sin A ( A sin + A cos
23 Ttmento em Coodends Cilíndics Meio sem peds (s 0 e live de ontes (J i q ve M i q vm 0 Equção de ond: E z z E E E E E E E ˆ ˆ ˆ A pti d equção de ond, veiic-se po compção que: Aplicndo o Lplcino de em Coodends Cilíndics: E
24 Ttmento em Coodends Cilíndics Meio sem peds (s 0 e live de ontes (J i q ve M i q vm 0 Em coodends cilíndics, o Lplcino de um escl,, z é ddo po Então, considendo-se equção, com E z, temos Aplicndo-se novmente o método de Sepção ds Viáveis, temos Potnto, encont-se po substituição:
25 Ttmento em Coodends Cilíndics Meio sem peds (s 0 e live de ontes (J i q ve M i q vm 0 Dividindo-se mbos os membos po gh, tem-se Função de z Então: Função de Logo:
26 Ttmento em Coodends Cilíndics Meio sem peds (s 0 e live de ontes (J i q ve M i q vm 0 Fzendo: (Equção de estição Cheg-se (Equção de Bessel p (.. Aplicndo-se o método de Fobenius, veiic-se que: Bessel Hnkel
27 Séie de Potêncis Apoimção de ( em tono de : Revisão ( n 0 n ( n Idéi undmentl: Séie de potêncis ( 0 0( ( ( 3( P o ponto, temos: 0 ( 0(0 (0 (0... ou sej: ( 0 0 ( P clcul, pte-se de (: '( 0 ( (... P o ponto temos: '( '( 0 P clcul, pte-se de (: 0 ''( 0 0 ( 6 ( 3 P o ponto temos: ''( ''( /. P clcul 3, pte-se de (3 (: '''( ( P o ponto temos: 0 3 (3... ( 6 ( ( / 6.
28 A Séie de Tlo ( n 0 n ( n (0 0 ( ( ( ( ( (3 3 (... / / /. /6. Fom gel de n n ( n ( n! Séie de Tlo: ( n 0 ( n! ( n ( n
29 Séie de Potêncis - Eemplos - Apoimção de ( cos ( em tono de 0: 0 3 ( cos( 0( ( ( 3( ( 0! (0 '(! ''(! ( 3! (3 cos(0 sin(0 6 cos(0 sin(0 0 0 n ( n ( n! ( 4! (4 ( 5! (5 ( 6! (6 4 4 ( cos( 4 70 E- cos( cos(0 sin(0 5! cos(0 6!
30 Séie de Potêncis - Eemplos - Apoimção de ( sin ( em tono de 0: 0 3 ( sin( 0( ( ( 3( ( 0! (0 '(! ''(! ( 3! (3 sin(0 cos(0 6 sin(0 0 cos(0 0 6 n ( n ( n! ( sin( 6 0 E. sin( ( 4! (4 ( 5! (5 ( 6! ( sin(0 cos(0 5! sin(0 6! 0 0 0
31 Séie de Potêncis - Eemplos 3- Apoimção de ( ep ( i e i em tono de 0, com i ( ( ep( i ( ( ( ( '(! ( 0! (0 ''(! ( 3! (3 ep( i ep( i.0 i ep( i.0 i 6 i i ep( i.0 ep( i.0 4 n 6 i ( n ( n! ( 4! (4 ( 5! (5 ( 6! (6... i. ep( i cos( i.sin( (Fómul de Eule ! i 3 i 6 4 i ep( i.0 5 ep( i.0 ep( i i
32 Solucionndo equções dieenciis usndo séies Sej equção dieencil de segund odem line d om em que p( e q( são unções quisque. Neste cso, podemos esqueve solução em temos de um séie de potêncis, ou sej: desde que p( e q( sejm unções deinids em 0. Neste cso, podemos esceve s seguintes epnsões em temos d séie de Tlo em tono de 0: Em 0, temos, potnto: que é um equção de coeicientes constntes.
33 Solucionndo equções dieenciis usndo séies As possiveis unções que stiszem são eponenciis de ou potêncis de multiplicds po eponenciis. As dus possibiliddes podem se epesss em temos d séie nteiomente pesentd. Eemplo: clcul solução de + 0 usndo séie de potêncis. s dus pimeis pcels (p n0 e n d pimei som são nuls. Então temos Pode-se coigi o índice d pimei pcel zendo-se
34 então, zendo-se s devids substituições n pimei som, temos como k é pens um índice, podemos esceve (substituindo-se k po n A equção dieencil ic, potnto, d seguinte om: P que séie (som dê zeo, os coeicientes de n devem se nulos, pois 0. Então
35 ou (Relção de ecoênci. Obseve que p e que p
36 Solucionndo equções dieenciis usndo séies Ou sej: que é etmente Método de Fobenius Sej equção em que s unções ( e g( são deinids em 0. Com: (0 o e g(0 g o.
37 Método de Fobenius Em tono de 0 ( 0, temos, potnto ou A solução dest equção é d om Isto pode se obsevdo qundo substitui-se ( n equção destcd, de onde vem Como 0, tem-se Que é um equção de segundo gu p p. Ou sej, p eiste e elmente ( p.
38 Método de Fobenius Dess om, é dequdo ssumi que, de um om gel, tem-se (séie de Fobenius Eemplo: clcul solução de usndo séie de Fobenius. Solução: Substituindo, e em + + 0, temos ou
39 Método de Fobenius Obsevndo que. p 0 e que temos Nest som, p gup os temos, podemos sep s pcels d pimei som ssocids n 0 e n. Assim: P pimei som, obsev-se que Então
40 Método de Fobenius Como. 0, temos obigtoimente que ( ( (3 * D pimei equção, vemos que Potnto ou (p 0 0. P segund equção, temos s seguintes possibiliddes Cso : Cso : Cso 3: P tecei equção, plicmos os tês csos cim sepdmente. Assim Cso : como p, temos
41 Método de Fobenius (elção de ecoênci Aplicndo elção de ecoênci cim, temos Como então (lemb que qui p Finlmente ( Solução gel
42 Método de Fobenius Cso : 0 e p Todos os coeicientes com índices ímpes são nulos, pois dependem dietmente de. Além disso, como p : Então: Cso 3: 0 e p 0 Todos os coeicientes com índices ímpes são nulos, pois dependem dietmente de. Como p 0, temos
43 Equção de Bessel Método de Fobenius Sej equção (Equção de Bessel n é um inteio. Aplicndo-se o método de Fobenius, temos Então, s deivds pimei e segund de são dds po e Substituindo s tês últims equções n equção de Bessel, temos ou ind, eognizndo os temos
44 Equção de Bessel Método de Fobenius Com p 0 Escevendo os temos eltivos j 0 e j, temos p o pimeio somtóio: Reognizndo o segundo somtóio, temos: Como p 0, temos então
45 Equção de Bessel Método de Fobenius P gnti iguldde cim, os coeicientes do polinômio em devem se nul. Assim, ( ( (3 A solução d pimei equção é pois. Se tblhmos com p + n, equção ( eque que 0. Além disso, vê-se que (3 nos dá seguinte elção de ecoênci: Como 0, veiic-se que 3 0, 5 0,
46 Equção de Bessel Método de Fobenius Índices pes: Ou sej: k k Escolh de Bessel p 0 :
47 Equção de Bessel Método de Fobenius Então, temos séie com (Função de Bessel do pimeio tipo de odem n Zeos d unção de Bessel Númeo do zeo
48 Função de Bessel Odem não intei P odens n não inteis, podemos geneliz o toil usndo unção G. Deinição: Função G Not-se que, como então: Além disso, como Então, p um inteio n, tem-se
49 Função G Eemplo Clcul G(/ Fzendo t dt e t /, temos Como Então
50 Função G Obseve que integl dupl pode se vist como um integl de supeície no pimeio qudnte (considendo-se todo o plno el. Então, usndo coodends cilíndics, podemos ze Então Potnto
51 Função G Função de Bessel Odem não intei Escolh de Bessel p 0 :. Então, considendo-se odem não intei, temos Logo: Eecício: Most que.
52 Função de Bessel Odem negtiv Como Então P um n inteio, temos Se izemos, então Linemente dependentes p odens inteis
53 Equção de Bessel Solução Gel J n (? Função de Bessel do Segundo Tipo (ou unção de Neumnn: Aplicndo eg de l Hôspitl, temos
54 Equção de Bessel Solução Gel P veiic que N n ( stisz equção de Bessel, bst obsev que Deivndo em elção, temos Multiplicndo segund equção po ( n e subtindo- d pimei, temos
55 Equção de Bessel Solução Gel Obsev que E que Potnto Há independênci Line ente J e N!!
56 Tblho: Most que
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