x podem ser reais ou complexos. Nós estamos interessados apenas nas raízes reais. O exemplo mais simples de raiz é da equação linear.

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1 CAPÍTULO ZEROS DE FUNÇÕES. INTRODUÇÃO Neste cpítulo pocumos esolve polems que fequentemente ocoem n áe de engenhi e ciêncis ets, que consiste n esolução de divesos tipos de equções. Sendo esss equções esolvids com pocessos numéicos. Sej f : I, I, contínu no intevlo I. Se I é tl que f( ), diemos que é um iz ou um zeo d função f. Em lguns csos, po eemplo, ns equções polinomiis, os vloes que nulm f() podem se eis ou compleos. Nós estmos inteessdos pens ns ízes eis. O eemplo mis simples de iz é d equção line. Se, e eis e, então é um iz, e é únic. P equção qudátic c, com, e c eis e temos dus ízes. 4c e 4c, com 4c P polinômios de gu meno ou igul 4, eistem métodos dietos de deteminção de ízes. O mtemático Fncês Glois mostou que p gus supeioes 4 não eistem métodos dietos de deteminção ds ízes. Potnto, vmos estud pocessos numéicos itetivos. A idéi centl é pti de um poimção inicil d iz e em seguid efin ess poimção po meio de um pocesso itetivo. Po pocesso itetivo, entendemos um pocesso que clcul um sequênci de poimções,,..., d solução desejd., Se o vlo eto d iz e o vlo poimdo otido pós plicção do lgoitmo em um númeo finito de vezes, então é o eo. Como não podemos detemin o vlo eto do eo, um vez que deteminção depende, definimos: Em gel definimos. p, com pevimente definido. ), sendo f ( ) e (pequeno).

2 ) f () sej pequeno. Osevção : Sej vlo eto de iz vlo poimdo está póimo de, poém f( ) não é pequen. Osevção : f( ) pequeno iz poimd que não est póim e f( ) é. TEOREMA : Teoem de Bolzno Se f : I, I é um função contínu e ( ). ( ) que f( ). f f, então eiste um íz, O gáfico que segue most váios tipos de ízes que podem ocoe em um intevlo. tl

3 . TEOREMA : Se f : I é um função continu e f ( ). f ( ) e f '( ) é sempe positiv ou sempe negtiv em,, então eiste nesse intevlo um únic iz. Semos ind que: f >,, Se '( ) f <,, Se '( ), então f() é cescente., então f() é decescente. Osevção : Devemos detemin pimeimente o intevlo onde se encontm s ízes. Eemplo : Dd função f ( ) 9, detemin intevlo onde se encontm s ízes. A função é contínu, pois é um polinômio. P veific su monotonicidde fzemos deivd pimei e plicmos o teoem. Assim ' f '( ) 9 f '( ) (pontos etemos) '' Logo o sinl d deivd pimei é dd po : f '( ), p ou ( função é cescente) e f '( ), p ( função é decescente). Logo podemos conclui que eistem ízes nos intevlos indicdos 4,,,

4 Outo pocesso p deteminção dos intevlos onde se encontm s ízes é ddo po: 9 9, podemos chm g() (páol cúic) e h( ) 9 (et) e pocumos gficmente os vloes que tonm iguldde g( ) h( ) veddei. h ( ) = 9 - g() = ³ Osevndo o gáfico podemos esceve que s ízes estão nos intevlos: 4,,, Eemplo : Dd função encontm ízes. f : definid po ( ) 5 f e detemin intevlo onde se Usndo o pocesso gáfico e igulndo 5e 5e chmndo g() h( ) 5. e Osevndo o gáfico podemos conclui que iz,. h( ) 5e Osevndo o gáfico podemos veific que iz, est no intevlo g() 4

5 Eemplo : Dd função encontm ízes. Escevendo f : definid po f ( ) log detemin intevlo onde se. log log log g( ) log e h () h () Osevndo o gáfico podemos veific que iz est no intevlo, ou ind no intevlo [,;,8] g( ) log Eecícios de plicção : D os intevlos onde se loclizm s ízes p s funções. ) f : definid po f ( ) cos ) f : definid po f ( ) e c) f : definid po f ( ) = e ln d) f : definid po f ( ) e 4. MÉTODOS ITERATIVOS Vimos té o momento pens o intevlo no qul se encont iz, go pocumos o vlo poimdo d iz. O pocesso itetivo consiste de um sequênci de instuções que são eecutds psso psso. 4.. MÉTODO DA BIPARTIÇÃO OU BISSEÇÃO O teoem de Bolzno nos sugee um pocesso stnte simples p ch um poimção d iz de um função. Supondo que f :[, ] é contínu no intevlo e, tl que f ( ). f ( ) e ind que iz estej no intevlo., 5

6 O pocesso consiste em dividi o intevlo o meio e plic o teoem de Bolzno e em seguid tom-se novmente um novo suintevlo ssim:, e,. Se f ( ). f ( ), isso indic que iz est no intevlo, ou se f ( ). f ( ), isso indic que iz est no intevlo,. Assim, sucessivmente. Devemos ence s iteções qundo medid do intevlo fo meno que um vlo pevimente estelecido. f() ( ) / i eo máimo inicil. eo igul ou meno que dus vezes pecisão desejd. Resumindo, se f( ) e f ( ) e se,logo é iz f( ), logo,logo Se i é o eo máimo inicil pós n iteções então... i / /... logo, i e no limite lim n n, isto signific que o n n númeo de iteções pode se pevisto, pois sendo Eemplo 4: n segue, log n n log e potnto log n D o númeo de iteções usndo o método d issecção p função f : definid po f ( ) log, sendo iz dd no intevlo[,] e p,. n 6

7 Ptindo de log n, segue n log log log log 6,64 7 Eemplo 5: Detemin iz d função f : definid po f ( ) log. ssim P deteminmos o intevlo onde se encontm s ízes usmos o pocesso gáfico, log e log. Chmndo g( ) log e h, segue o gáfico g( ) log h, A intesecção ente s funções g( ) log e h, most que iz est no intevlo [,] ou no intevlo [,4;,6], ou ind no intevlo [,5;,6], então ssumimos o intevlo,5;,6 i é o eo máimo inicil i =,6,4,, Adotmos com eo finl f, e montmos tel dos vloes. f() f() f().f() =(+)/ f() -,5 -,5,6,85 -,55,486,,5 -,5,55,486 -,55 -,4,5,55 -,4,55,486 -,575,98,5,55 -,4,575,98 -,55,75,5,55 -,4,55,75 -,58,65,65,55 -,4,58,65 -,5656 -,8,,5656 -,8,58,65 -,574,9,56,5656 -,8,574,9 -,5695 -,55,78,5695 -,55,574,9 -,575 -,8,9,575 -,8,574,9 -,575,, Potnto iz é dd po,575 7

8 Eecícios de plicção : i) D os intevlos onde se loclizm s ízes p s funções. ii) Detemin iz usndo o método d issecção ou iptição com 5 css decimis. iii) Adote como eo finl f, e montndo tel dos vloes. ) f : definid po f ( ) cos ) f : definid po f ( ) e ln c) f : definid po f ( ) e d) f : definid po f ( ) log e) f : definid po f ( ) = ln Respost: ),799 ),5674 c) -,5674 d),565 e),76. Use o modelo que segue. f() f() f().f() =(+)/ f() - 8

9 4.. MÉTODO DA REGULA FALSI O pocesso d iptição consistiu em dividi o intevlo o meio (médi itmétic) e plic o teoem de Bolzno, go usemos médi itmétic ponded. Supondo que :[, ] iz estej no intevlo., f é contínu no intevlo, e tl que f ( ). f ( ) e ind que (, f ( )) Usndo semelhnç de tiângulos segue: f () f ( )( ) f ( )( ) f () [ f ( ) f ( )] f ( ) f ( ), logo, (, f ( )) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) se f( ) P este gáfico podemos dot um novo intevlo chmndo o ponto e plic novmente médi ponded p o intevlo [, ]. Eemplo 6: Detemin iz d função f : definid po f () e. Adotemos como intevlo inicil [,] e como eo finl f, f() f() f().f() f() f() f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f() -,788,58 -,58 -,4656,86,9 -,788,86,9 -,9 -,449,788, -,788,786, -, -,64,7695,94 -,788,7695,94 -,94,47,7655,87 -,788,7655,86 -,87 -,86,7678,87 -,788,7678,87 -,87 -,67,769,7 -,788,769,7 -,7 -,,767,8 Adotemos como intevlo inicil [,] e como eo finl f, Potnto, iz é =,767 9

10 4.. Osevções qunto convegênci. quto csos: P plicção Método d Regul flsi devemos te: ) A função f :[, ] deve se contínu em [,]. ) Deve vle o Teoem de Bolzno f ( ). f ( ). c) Nesse intevlo deve hve um únic iz. d) A deivd segund f"( ) não mud de sinl no intevlo. Dest mnei podemos te º cso: Sejm vlids s condições ) função f :[, ] é contínu em [,], ) vle o Teoem de Bolzno f ( ). f ( ) e c) nesse intevlo deve hve um únic iz. Sejm os pontos P(, f ( )) e Q(, f ( )) soe cuv e tcemos et po PQ que encont o eio o em como indicdo n figu. P f() f() f() Q f ( ) Se,então é fio. f"( ) Assim, pss ocup o vlo de, nov et po P (, f ( )) e Q(, f ( )) encont o eio o no ponto e go pss se e um nov et po P (, f ( )) e que encont o eio em, ssim epetimos o pocesso té ch iz. º cso: Sejm vlids s condições ) função f :[, ] é contínu em [,], ) vle o Teoem de Bolzno f ( ). f ( ) e c) nesse intevlo deve hve um únic iz. Sejm os pontos P(, f ( )) e Q(, f ( )) soe cuv e tcemos et po PQ que encont o eio o em como indicdo n figu.

11 Q(, f()) f( ) Se,então é fio. Assim, f"( ) pss ocup o vlo de, nov et po P (, f ( )) e Q(, f ( )) encont o eio o no ponto e go pss se e um nov et po P (, f ( )) e que encont o eio em, ssim epetimos o pocesso té ch iz P(, f()) º cso: Anlogmente como nos dois csos nteioes mostemos o ponto fio Q(, f()) Se f"( ), então é fio. f( ) P(, f()) 4º cso: Anlogmente como nos dois csos nteioes mostemos o ponto fio Q(, f()) Se f"( ), então é fio. f ( ) P(, f())

12 Osevção 4: Em todos os csos os vloes de i se encontm no intevlo ente iz e o ponto não fio do intevlo e lim i Eecícios de plicção : i. i) D os intevlos onde se loclizm s ízes p s funções. ii) Detemin iz usndo o método d Regul flsi com 5 css decimis. iii) Adote como eo finl f, e montndo tel dos vloes. ) f : definid po f ( ) ) f : definid po f ( ) = e c) f : definid po f ( ),e d) f f e) f : definid po f ( ) 7 f) f : 4 definid po f ( ) 4 : definid po ( ) 5 f() f() f().f() f() f() f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f() 4.. MÉTODO DE NEWTON OU MÉTODO DAS TANGENTES Sej :[, ] e, tl que f ( ). f ( ) e ind que iz estej no intevlo., Neste cso o teoem de Bolzno fim que eiste um iz nesse intevlo e tl que f( ). Do gáfico que segue podemos esceve: f contínu no intevlo

13 P No tiângulo PQR, PR tg f '( ) f '( ) ou QR P f( ) f '( ) P Q R f () tg f '( ), deteminndo, segue f() f '( ), logo f () f '( ), genelizndo f( ) f '( ) e, potnto, temos fómul gel de Newton... n n f( n ) f '( ) n Eemplo 7: Detemin iz d função f : definid po f ( ). Adotemos como intevlo inicil [,] e como eo finl f, Aplicndo fómul de Newton segue n n f( n ) f '( ) n n n n n n n, fzendo, n= segue n n n f( ) 6,5 f (,5),5 f '( ). 4,5,4667 f (,4667),695.,5

14 4,4667 ^,44 f (,44),.,4667,44 ^,44 f (,44),, logo iz é,44.,44 Eemplo 8: Detemin iz d função f : definid po f ( ). Adotemos como intevlo inicil [,] e como eo finl f, e Aplicndo fómul de Newton segue: f( n ) n n f '( ) = n n, logo n n n n n n n n e p segue,75 f (,75),784 4 (,75),6865 (,75) (,,6865),684 (,6865) 4... Osevções qunto convegênci. f (,6865),895 P plicção Método de Newton devemos te: ) A função f :[, ] deve se contínu em [,]. ) Deve vle o Teoem de Bolzno f ( ). f ( ). c) Nesse intevlo deve hve um únic iz. f (,684), e iz é,684. d) As deivd f '( ) e f"( ) não mudem de sinl no intevlo. Eecícios de plicção 4: i) D os intevlos onde se loclizm s ízes p s funções. ii) Detemin iz usndo o método de Newton com 5 css decimis. iii) Adote como eo finl f, e montndo tel dos vloes. 4

15 ) f : definid po f ( ) ) f : definid po f ( ) = c) f : definid po f ( ) e,e d) e) f) g) f f : definid po ( ) 5 f f : definid po ( ) 7 f f 4 : definid po ( ) 4 f f 4 : definid po ( ) Resposts dos eecícios Eecícios de plicção ) ) f()=cos- g()= f()=-e^+ g()= h()=cos =,799 =,469 h()=e^- c) d) f()=e^(-)+ln h()=e^() g()= / h()=e^(-) =,5674 =,5674 g()= - ln f()=e^(-)+ln 5

16 Eecícios de plicção ),799 ),5674 c),5674 d),565 e),76 Eecícios de plicção ),877 ),5674 c),4894 e,784 d),978 e),469 f),546 e,496 Eecícios de plicção 4 ),877 ),5674 c),4894 e,784 d),978 e),469 f),58 e,6 g),6787 e,8 6