4.2. ME TODO DE LAGRANGE

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1 Cpítulo 4 Interpolção 4. Introdução Ddos n + pontos do plno P 0 = (x 0, y 0 ), P = (x, y ),, P n = (x n, y n ), tis que x i x j se i j, nosso principl objetivo neste cpítulo é encontrr um função f (x) tl que f (x i ) = y i, i {0,,, n}, ou sej, um função cujo gráfico psse por todos os pontos P i ddos. Vmos denominr ess função f (x) de função de interpolção dos pontos ddos. Neste cpítulo, por um questão de simplicidde, vmos supor que ess função é polinomil e de menor gru possível. Funções de interpolção são muito utilizds em plicções d Mtemátic pr fzer previsões de vlores de funções dentro de certo intervlo. Por exemplo, suponhmos que populção de um cidde tenh crescido em lgums décds de cordo com o que é mostrdo em um tbel: Ano N. hbitntes Podemos encontrr função de interpolção p(x) ssocid esses ddos e, prtir del, fzer previsões d populção d cidde em outros nos do intervlo [950, 000]. Por exemplo, p(975) 4

2 4.. ME TODO DE LAGRANGE 5 dri um ide i rzo vel d populc o no no de 975, enqunto que p(985) dri um estimtiv pr populc o em 985. Observc o es Qundo n = temos pens dois pontos P0 e P. Neste cso, func o de interpolc o e um func o do primeiro gru f (x) = x + b, seu gr fico e um ret e interpolc o e denomind liner. Qundo n =, temos tre s pontos P0, P e P e func o de interpolc o e d form f (x) = x + bx + c cujo gr fico e um pr bol e interpolc o e denomind qudr tic. 4. Me todo de Lgrnge Nest sec o, vmos descrever um me todo de interpolc o proposto pelo mtem tico frnce s Joseph-Louis Lgrnge (76 8). Ddos n + pontos P0 = (x0, y0 ), P = (x, y ),, Pn = (xn, yn ), tis que xi = xj se i = j, definimos os seguintes polino mios ℓ0 (x), ℓ (x),, ℓn (x): ℓ0 (x) = (x x )(x x )(x x ) (x xn ) (x0 x )(x0 x )(x0 x ) (x0 xn ) ℓ (x) = (x x0 )(x x )(x x ) (x xn ) (x x0 )(x x )(x x ) (x xn )

3 6 CAPÍTULO 4. INTERPOLAÇÃO l (x) = (x x 0)(x x )(x x ) (x x n ) (x x 0 )(x x )(x x ) (x x n ). l n (x) = (x x 0)(x x )(x x ) (x x n ) (x n x 0 )(x n x )(x n x ) (x n x n ). Note que n definição de cd l i (x) o x i não prece no numerdor, ms prece váris vezes no denomindor. Vmos gor clculr o vlor de cd l i (x) nos pontos x 0, x,, x n : l 0 (x 0 ) =, l 0 (x ) = 0, l 0 (x ) = 0,, l 0 (x n ) = 0 l (x 0 ) = 0, l (x ) =, l (x ) = 0,, l (x n ) = 0 l (x 0 ) = 0, l (x ) = 0, l (x ) =,, l (x n ) = 0.. l n (x 0 ) = 0, l n (x ) = 0, l n (x ) = 0,, l n (x n ) = Obtivemos desse modo que l i (x j ) = {, se i = j 0, se i j Definindo P (x) = y 0 l 0 (x) + y l (x) + y l (x) + + y n l n (x), temos que: P (x 0 ) = y 0 l 0 (x 0 ) +y }{{} l (x 0 ) +y }{{} l (x 0 ) + + y }{{} n l n (x 0 ) = y }{{} 0 = =0 =0 =0 P (x ) = y 0 l 0 (x ) +y }{{} l (x ) +y }{{} l (x ) + + y }{{} n l n (x ) = y }{{} =0 = =0 =0... P (x n ) = y 0 l 0 (x n ) +y }{{} l (x n ) +y }{{} l (x n ) }{{} =0 =0 =0 + + y n l n (x n ) = y }{{} n = Portnto, P (x i ) = y i pr todo i = 0,,,, n. Isso signific que P (x) é um função de interpolção dos pontos P i e que é denomindo polinômio de interpolção de Lgrnge.

4 4.. MÉTODO DE NEWTON 7 Observção As definições dos l i (x) e P (x) podem ser brevids se forem utilizds s notções de produtório e somtório: l i (x) = e P (x) = (y k l i (x)) = y k n x x k n n n x x k x i x k x i x k k=0 k i Exemplo 4. A respeito de um função f (x) é conhecid seguinte tbel de vlores: k=0 x 0 f (x) Determine o polinômio de interpolção P (x) desses pontos e, supondo f (x) P (x), obtenh um estimtiv pr f (/). Solução: Sejm (x 0, y 0 ) = (, 4), (x, y ) = (, 0), (x, y ) = (0, 0), (x, y ) = (, 8) e (x 4, y 4 ) = (, 8). O polinômio de interpolção de Lgrnge é (x x )(x x )(x x )(x x 4 ) P (x) = y 0 (x 0 x )(x 0 x )(x 0 x )(x 0 x 4 ) + y (x x 0 )(x x )(x x )(x x 4 ) (x x 0 )(x x )(x x )(x x 4 ) (x x 0 )(x x )(x x )(x x 4 ) + y (x x 0 )(x x )(x x )(x x 4 ) + y (x x 0 )(x x )(x x )(x x 4 ) (x x 0 )(x x )(x x )(x x 4 ) (x x 0 )(x x )(x x )(x x ) + y 4 (x 4 x 0 )(x 4 x )(x 4 x )(x 4 x ), ou sej, P (x) = 4 (x + )x(x )(x ) ( + )( )( )( ) 0 (x + )x(x )(x ) ( + )( )( )( ) (x + )(x + )(x )(x ) 0 (0 + )(0 + )(0 )(0 ) 8 (x + )(x + )x(x ) ( + )( + )()( ) (x + )(x + )x(x ) + 8 ( + )( + )()( ). Simplificndo, obtemos P (x) = x 4 + x 0. E por fim, previsão pr o vlor de f ( ): 4. Método de Newton 4.. Diferençs dividids f ( ) P ( ) = = 5 6 k=0 = 9, 475. Sej f (x) um função d qul se conhecem seus vlores em n + pontos distintos x 0, x,, x n do seu domínio. Definimos: k=0 k i

5 8 CAPÍTULO 4. INTERPOLAÇÃO f [x 0 ] = f (x 0 ) f [x 0, x ] = f [x ] f [x 0 ] x x 0 f [x 0, x, x ] = f [x, x ] f [x 0, x ] x x 0 f [x 0, x, x, x ] = f [x, x, x ] f [x 0, x, x ] x x 0. f [x 0, x,, x n ] = f [x,, x n ] f [x 0,, x n ] x n x 0. Dizemos que f [x 0, x,, x k ] é diferenç dividid de ordem k de f clculd nos pontos x 0, x,, x k e é denotd de form brevid por k f. Note que o cálculo de um k f depende de tods s j f nteriores pr j < k. Vmos orgnizr s diferençs dividids clculds no formto d seguinte tbel: x f (x) f f n f x 0 f (x 0 ) f [x 0, x ] f [x 0, x, x ] f [x 0, x,, x n ] x f (x ) f [x, x ] f [x, x, x ] x f (x ) f [x, x ] f [x, x, x 4 ].... x n f (x n ) Ess tbel tem um formto tringulr pois os vlores bixo d digonl secundári não são clculdos. Observção A ordem dos pontos x i não influenci no resultdo finl: f [x 0, x ] = f [x, x 0 ], f [x 0, x, x ] = f [x, x, x 0 ] = f [x, x, x 0 ] = f [x, x 0, x ], etc. Exemplo 4. Construir tbel de diferençs dividids d função f (x) cujos vlores conhecidos são ddos seguir: x f (x) Solução: A quntidde de pontos ddos é 6. Logo, n = 6 = 5. Isso signific que últim colun d tbel será do 5 f. Clculmos s seguintes subtrções e divisões:

6 4.. MÉTODO DE NEWTON 9 f : 5 0 ( ) =, 0 f : ( ) ( ) = 4, 4 0 =, 0 ( 4) =, 4 ( ) = 4, 4 f : 4 () =, 4 ( ) 4 0 =, 4 5 = 4 = 4, 0 5 = = 0, 0 ( ) 5 4 = 4 f : ( ) 4 ( ) = 6, = f : ( ) = 60 E, finlmente, montmos seguinte tbel de diferençs dividids: x f (x) f f 4 f 5 f Polinômio de interpolção segundo Newton A prtir d definição de diferenç dividid de ordem de f (x), temos que: f [x 0, x] = f(x) f (x 0) x x 0 Podemos isolr o vlor de f (x) n iguldde nterior pr obtermos: f (x) = f (x 0 ) + (x x 0 )f [x 0, x]. De modo semelhnte, prtir d definição de f [x, x 0, x], obtemos f [x, x 0, x] = f [x 0, x] f [x, x 0 ] x x = de onde obtemos o seguinte vlor pr f (x): f(x) f (x 0 ) x x 0 f [x 0, x ] x x f (x) = f (x 0 ) + (x x 0 )f [x 0, x ] + (x x 0 )(x x )f [x 0, x, x]. E, de modo gerl, prtir d definição de f [x n,, x, x 0, x], obtemos f (x) = f (x 0 ) + (x x 0 )f [x 0, x ] + (x x 0 )(x x )f [x 0, x, x ] + + (x x 0 )(x x ) (x x n )f [x 0, x,, x n, x]

7 40 CAPÍTULO 4. INTERPOLAÇÃO Ess expnsão de f (x) serve de motivção pr definição do seguinte polinômio P (x) que é denomindo polinômio de interpolção de Newton: P (x) = f (x 0 ) + (x x 0 )f [x 0, x ] + (x x 0 )(x x )f [x 0, x, x ] + + (x x 0 )(x x ) (x x n )f [x 0, x,, x n, x n ] Note que diferenç entre os desenvolvimentos de f (x) e de P (x) está pens no finl ds expressões: em um prece x e n outr prece x n. Observção: Ddos n + pontos, pode-se mostrr que o totl de dições, multiplicções e divisões usds no cálculo do polinômio de interpolção pelo método de Lgrnge é de n + n operções e pelo método de Newton é de n +5n 0 operções. Por exemplo, pr n = 0 o método de Lgrnge us 8 operções, enqunto que o de Newton us 70. Em gerl, o método de Newton requer sempre menos operções do que o de Lgrnge. Vej gráfico seguir. Exemplo 4. Construir tbel de diferençs dividids d função f (x) cujos vlores conhecidos são ddos seguir e determine seu polinômio de interpolção. x - 0 f (x) A prtir do polinômio de interpolção obtido, obtenh um estimtiv pr f (/). Solução: A prtir dos vlores ddos, fzendo diverss operções de subtrção e divisão ( ( 8), = 7, ( ) 0 ( ) = = 9, etc.) montmos tbel de tods s diferençs dividids de f (x):

8 4.. MÉTODO DE NEWTON 4 x f (x) f f f 4 f A prtir dos elementos d primeir linh e primeir colun d tbel (com exceção pens do elemento d últim linh d primeir colun) escrevemos o polinômio de interpolção: P (x) = 8 + (x ( )) + ( 9)(x ( ))(x 0) + (x ( ))(x 0)(x ) Simplificndo expressão nterior, obtemos P (x) = x 4 0x + x + + (x ( ))(x 0)(x )(x ) A prtir dí, obtemos tmbém que f ( ) P ( ) = = 8 6 =, 475. Exemplo 4.4 Usndo o método de interpolção de Newton, obtenh um estimtiv pr f (0), sendo f (x) um função cujos vlores conhecidos são: Solução: A tbel de diferençs dividids é: x - 5 f (x) x f (x) f f f 4 f A prtir d primeir linh e primeir colun d tbel, escrevemos o polinômio de interpolção segundo o método de Newton: P (x) = 4 + (x ( )) + 5 (x ( ))(x ) + ( )(x ( ))(x )(x ) 4 + (x ( ))(x )(x )(x ) 7 Efetundo tods s multiplicções e dições indicds e simplificndo, obtemos P (x) = 7 x x x x 7 6.

9 4 CAPÍTULO 4. INTERPOLAÇÃO E supondo f (x) P (x) obtemos finlmente que f (0) P (0) = 7 6. (OBS.: Pr obter f (0) não é necessário simplificr o polinômio P (x), podemos clculr esse vlor n expressão pr P (x) ntes de efetur qulquer multiplicção ou dição). 4.4 Cálculo do erro d interpolção O seguinte teorem pode ser usdo pr clculr o erro de interpolção, ou sej, o erro cometido n substituição de f (x) pelo P (x), onde P (x) é o polinômio de interpolção (não importndo qul tenh sido o método pr obtê-lo). Teorem 4.4. Consideremos os pontos x 0 < x < x < < x n um totl de n + pontos ddos no domínio de um função f (x). Se f (x) for continumente derivável té ordem n + e se P (x) for o polinômio de interpolção de f (x) nesses pontos ddos, então em qulquer x [x 0, x n ] temos que o erro bsoluto d interpolção ε x é ddo por ε x = f (x) P (x) = x x 0 x x x x x x n f (n+) (c) (n + )! onde c é lgum ponto do interior do intervlo [x 0, x n ]. A demonstrção pode ser encontrd ns referêncis bibliográfics como [7] ou []. 4.5 Exercícios Propostos (P0) Sbendo que o gráfico d função logritmo nturl pss pelos pontos P = (, 0; 0, 6947), P = (, 5; 0, 969) e P = (, 0;, 0986), determine seu polinômio de interpolção e, prtir dele, obtenh um proximção pr ln(, 7). Resp.: P (x) = 0, 08646x + 0, 8695x 0, , ln(, 7) 0, (P) O gráfico d função seno pss pelos pontos A = ( π 6, ), B = ( π 4, ), C = ( π, ) e D = ( π, ). Usndo seu polinômio de interpolção nesses pontos, obtenh um proximção pr sen( π 5 ). Resp.: sen( π 5 ) 0, 9586 (P) De cordo com informções d págin do IBGE n Internet, populção d cidde de João Pesso nos nos 99, 996 e 000 er , e hbitntes, respectivmente. Usndo interpolção polinomil, obtenh um estimtiv pr populção de João Pesso no no de 998. Resp.: 5785 hb. (P) Determine um função polinomil cujo gráfico psse pelos pontos A = (, ), B = (0, ), C = (, ), D = (, 7) e E = (, ). Resp.: P (x) = x 4 4x + 5x

10 4.5. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 4 (P4) Sejm x 0, x e x números reis e f (x) um função de um vriável. Mostre que f [x 0, x ] = f [x, x 0 ] e que f [x 0, x, x ] = f [x, x, x 0 ]. (P5) O Teorem Fundmentl d Álgebr firm que um polinômio não nulo de gru n tem extmente n rízes (reis ou complexs). Usndo este resultdo, mostre que o polinômio de interpolção P L (x) dos pontos d tbel x x 0 x x... x n y y 0 y y... y n obtido segundo fórmul de Lgrnge e o polinômio P N (x) obtido segundo fórmul de Newton coincidem. (Sugestão: conte qunts rízes tem o polinômio f (x) = P L (x) P N (x) e conclu).

11 Cpítulo 5 Cálculo de Integris 5. Introdução O cálculo de integris definids é importnte porque está ssocido diversos problems de Físic, de Equções Diferenciis, problems geométricos tis como o cálculo de comprimento de curvs, áres de superfícies, volumes de sólidos, entre outros. Por isso, é conveniente que se tenh técnics de cálculos que sejm eficientes e, preferencilmente, de fácil utilizção. Se um função é contínu em [, b], então o Teorem Fundmentl do Cálculo firm que b f (x)dx = F (b) F () onde F (x) = f (x) pr todo x [, b]. Isso signific que o cálculo de um integrl é imedito qundo se conhece um primitiv F (x) pr função f (x). No entnto, o cálculo de um primitiv pode ser muito trblhoso ou té mesmo impossível de ser efetudo por meios elementres, ou sej, usndo somente s funções elementres (polinomiis, trigonométrics, exponenciis, logrítmics etc.). Por exemplo, s primitivs ds funções e x, sen x x e cos x não são elementres. O cálculo numérico proximdo, em gerl, consiste no cálculo de um somtório em vez d primitiv de lgum função. Muits vezes, somtórios com poucs prcels produzem bons resultdos. As fórmuls usds no cálculo numérico de integris simples são chmds fórmuls de qudrtur. 5. Regr dos Trpézios Algums técnics de cálculo proximdo de integris consistem n proximção d função f (x) por um polinômio de interpolção P (x) e, ssim, usr b P (x)dx como sendo um proximção de b f (x)dx. Se P (x) for do primeiro gru, isto é, se for ret que pss pelos pontos (, f ()) e (b, f (b)), então temos Regr dos Trpézios. 44

12 5.. REGRA DOS TRAPÉZIOS 45 N figur, temos um trpézio deitdo de ltur medindo h = b e bses medindo f () e f (b). Logo, su áre é dd por b [f () + f (b)]. Ess será proximção que usremos pr o vlor de b f (x)dx, ou sej, b f (x)dx h (f () + f (b)). Pode-se mostrr que o erro bsoluto dess proximção é ε = h f (c) pr lgum c [, b]. Qunto mior o vlor de n, mis próximo de zero será o vlor de h e menor será o erro bsoluto. Exemplo 5. Usndo regr dos trpézios, vmos clculr obtido com o vlor exto d integrl. dx e comprr o resultdo + x Solução: Temos =, b =, h = b = e f (x) = +x. Portnto, pel regr dos trpézios, b O vlor exto dess integrl é f (x)dx h (f () + f (b)) = 4 ( + ) = 7 4 ln( + x) = 0, = ln() ln(/) = ln(4/) = 0, Portnto, o erro bsoluto cometido com utilizção d regr dos trpézios é de 0, , 6667 = 0,

13 46 CAPÍTULO 5. CÁLCULO DE INTEGRAIS Regr dos Trpézios Compost Sendo n um inteiro positivo, vmos dividir o intervlo [, b] em n prtes de mesmo comprimento h = b n. Sejm x j = + jh com j = 0,,..., n. Temos: = x 0 < x < x < x < x 4 < < x n < x n < x n = b. Sej y j = f (x j ). Aplicndo regr nterior nos intervlos [x 0, x ], [x, x ],... [x n, x n ], obtemos: xn x 0 f (x)dx = x x 0 f (x)dx + x x f (x)dx + + xn x n f (x)dx h (y 0 + y ) + h (y + y ) + + h (y n + y n ) = h (y 0 + y + y + y + y y n + y n + y n ). Obtemos ssim regr dos trpézios compost ou regr dos trpézios repetid com psso h: ou, brevidmente, b b f (x)dx h (y 0 + y + y + y + + y n + y n ) f (x)dx h n t i y i, onde t i =,,,,...,,. i=0 Exemplo 5. Clculr I = + x dx usndo regr dos trpézios com n = 6. Solução: Considerndo f (x) = + x, =, b = e h = b n x i = + ih e y i = f (x i ), temos os seguintes resultdos: = 6 = 0, 6667, e clculndo

14 5.. REGRA DE SIMPSON 47 i x i y i t i 0,00000,44,6667,6087,,8586,50000,0965 4,66667,768 5,8,6760 6,00000,00000 Aplicndo fórmul d regr dos trpézios compost: I h n (y i t i ) =, 06, que é o vlor proximdo d integrl dd. i=0 5. Regr de Simpson Sej f (x) contínu em [, b] e c = +b o ponto médio desse intervlo. A regr de Simpson pr o cálculo de b f (x)dx consiste em proximr ess integrl por b P (x)dx, onde P (x) é o polinômio de interpolção qudrátic de f nos pontos (, f ()), (b, f (b)) e (c, f (c)). Usndo fórmul de interpolção de Lgrnge, temos que (x b)(x c) )(x c) )(x b) P (x) = f () + f (b)(x + f (c)(x ( b)( c) (b )(b c) (c )(c b). Sej h = b. Então, c = + h e b = + h. Logo, P (x) = (x h)(x h) (x )(x h) f () + f (b) + h h Thoms Simpson, 70-76, mtemático inglês (x )(x h) f (c). ( h )

15 48 CAPÍTULO 5. CÁLCULO DE INTEGRAIS Clculndo integrl de P (x) no intervlo [, b] = [, + h], obtemos: +h P (x)dx = f () + f (b) + f (c) +h +h +h x x hx + + h + h dx h x x hx + + h dx h x + x + hx h dx. ( h ) Clculndo tods s integris definids indicds e simplificndo, obtemos: b f (x)dx h [ ( ) ] + b f () + 4f + f (b) Pode-se mostrr que o erro bsoluto dess proximção é ε = h5 90 f (4) (c) pr lgum c [, b]. Qunto mior o n, menores serão o h e o erro bsoluto d proximção d integrl. Exemplo 5. Clculr novmente integrl do Exemplo 5., usndo fórmul nterior. Solução: Temos que f (x) = + x, =, b = e h = (b )/ = /. Portnto, I h + b 0, 5 [f () + 4f ( ) + f (b)] = [f () + 4f (, 5) + f ()] =, 06. Dess form, observmos que é um vlor muito próximo do que foi encontrdo no Exemplo 5.. Observção: Apesr de trblhoso, é possível se mostrr que e que f (4) (c) f (4) (x) = 45x ( + x ) / + 4x 5 ( + x ) 5/ 5x 8 6( + x ) 7/ se c [, ]. Dí, o erro ϵ d proximção desse exemplo é tl que ϵ h5 90 f (4) (c) (0, 5)5 90 5, 0 4. Exemplo 5.4 A elipse x + y b =, 0 < b < pode ser prmetrizd por x(t) = cos t, y(t) = b sen t, 0 t π. Clcule o comprimento dess elipse usndo regr de Simpson sbendo que esse comprimento é ddo por C = 4 π 0 (x (t)) + (y (t)) dt. Solução: Derivndo x(t) e y(t) com relção t, obtemos x (t) = sen t e y (t) = b cos t. Logo, o comprimento d elipse é ddo por C = 4 π 0 cos t + b sen t dt = 4 π [ = 4 0 π 0 ( sen t) + b sen t dt ( b ) ] π sen t dt = 4 ( k sen t) dt, 0

16 5.. REGRA DE SIMPSON 49 onde k = b. Dí, C = 4 π 0 k sen t dt. f (t) = k sen t e h = π 0 = π 4 comprimento d elipse é ddo por C π + 4 k ( temos que C 4 h ) + k = π ( Usndo regr de Simpson com ( f (0) + 4f ( π 4 ) + f ( π )) e, portnto, o + 6 ( k ) + ) k, ou sej, C π ( + 8( k ) + k ), onde k = b. Não há como obter um respost ext pr o comprimento d elipse, usndo-se pens s funções elementres. Regr de Simpson Compost Vmos dividir o intervlo [, b] em n prtes, sendo n um inteiro positivo pr. Por simplicidde, podemos supor prtes de mesmo comprimento h = b n. Sejm x j = + jh e y j = f (x j ) com j = 0,,, n. Temos: = x 0 < x < x < x < x 4 < < x n < x n < x n = b. Aplicndo fórmul nterior nos intervlos [x 0, x ], [x, x 4 ], [x n, x n ], obtemos: b f (x) dx = xn x 0 f (x)dx = x x 0 f (x)dx + x4 x f (x)dx + + xn x n f (x)dx h (y 0 + 4y + y ) + h (y + 4y + y 4 ) + + h (y n + 4y n + y n ) = h (y 0 + 4y + y + 4y + y y n + 4y n + y n ). Obtemos ssim regr de Simpson compost de psso h, com n pontos: b ou, brevidmente, b f (x)dx h (y 0 + 4y + y + 4y + y y n + 4y n + y n ) f (x)dx h n c i y i, onde c i =, 4,, 4,,, 4,, 4,. i=0 Denotndo por I n o vlor de I = b f (x)dx clculdo pel regr de Simpson com n pontos, é possível se mostrr que um estimtiv pr o erro bsoluto d proximção de I por I n é ddo por ε = I n I n, se n for um inteiro múltiplo de 4. 5

17 50 CAPÍTULO 5. CÁLCULO DE INTEGRAIS Exemplo 5.5 Usndo regr de Simpson compost com n = 8, clcule I = x dx. Solução: Sejm f (x) = +x e [, b] = [0, ]. Temos que h = b n dess form seguinte tbel: = 8 = 0, 5. Construímos i x i y i = f (x i ) c i 0 0, 000 4, , 5, , 50, , 75, , 500, , 65, , 750, , 875, , 000, Observe que x 0 = e x n = x 8 = b. I h n (c i y i ) = i=0 0, 5 ( 4, , , , , , , , , ) =, 459. Note que o vlor exto dess integrl é I = 4 rctg(x) 0 = 4(rctg rctg 0) = 4( π 4 0) = π. e x Exemplo 5.6 Clcule I = dx usndo regr de Simpson compost com n = 8, depois 0 + ex com n = 4, e obtenh um estimtiv pr o erro d proximção. Solução: Sejm f (x) = ex +e e [, b] = [0, ]. Se n = 8, então h = b x n = 8 = 0, 5 e, se n = 4, então H = b n = 4 = 0, 5. Construímos dess form seguinte tbel de vlores: i x i y i = f (x i ) c i k j 0 0, 00 0, , 5 0, , 50 0, , 75 0, , 00 0, , 5 0, , 50 0, , 75 0, , 00 0, 90

18 5.. REGRA DE SIMPSON 5 Portnto, proximção pr I fornecid pel plicção d regr de Simpson com 8 pontos é I 8 = h 8 (c i y i ) = i=0 0, 5 ( 0, , , , , , , , , 90) = 0, , enqunto que proximção fornecid pel regr de Simpson com 4 pontos é I 4 = H 4 j=0 (k j y j ) = 0, 5 ( 0, , , , , 90) = 0, Concluímos prtir dí que um estimtiv pr o erro no cálculo de I 8 é ε = I 8 I 4 5 = 5, Exemplo 5.7 Clculr um proximção pr I = 4x 5 (x 5 + x + ) dx usndo regr de Simpson compost com n = 8 e com n = 6. Obter um estimtiv pr o erro d proximção. Sejm =, b =, n = 6, h = b n = 0, 065 e f (x) = 4x 5 (x 5 +x+). i x i y i c i k j 0,0000 0,,065 0, ,50 0, ,875 0, ,500 0, ,5 0, ,750 0, ,475 0, ,5000 0, ,565 0, ,650 0, ,6875 0, ,7500 0, ,85 0, ,8750 0, ,975 0, ,0000 0,

19 5 CAPÍTULO 5. CÁLCULO DE INTEGRAIS Logo, o vlor proximdo qundo n = 6 é: I 6 = 0, i=0 (c i y i ) = 0, Qundo n = 8, temos h = 0, 5 e o vlor proximdo d integrl é: I 8 = 0, 5 8 (k j y j ) = 0, Portnto, estimtiv de erro no cálculo de I 6 é ddo por ϵ = I 6 I Regr de Guss j=0 = 0, Diverss regrs de qudrtur podem ser obtids o se proximr integrl f (x)dx por um somtório do tipo A f (x ) + A f (x ) + + A n f (x n ) onde o vlor de n é previmente escolhido. Surpreendentemente, esss regrs podem levr bons resultdos mesmo com vlores pequenos de n. Tudo depende d escolh que se venh fzer pr os A i e pr os x i. Pr permitir que esses vlores de A i e x i possm ser clculdos, condições dicionis são dds. Consideremos um função f (x) definid em um intervlo [, b] e n um inteiro positivo. A regr de Guss ou regr de Guss-Legendre pr o cálculo de f (x)dx, consiste em escrever f (x)dx A f (x ) + A f (x ) + + A n f (x n ) (5.) onde A, A n, x, x n são constntes e de tl form que ess fórmul sej ext (erro nulo) qundo f (x) for um polinômio de gru no máximo igul n Cso prticulr simples d regr de Guss Consideremos, inicilmente, o cso prticulr em que [, b] = [, ] e n =. Assim, vmos determinr s constntes A, A, x, x de tl form que f (x)dx A f (x ) + A f (x ) sej ext qundo f (x) for polinomil de gru no mximo n =, ou sej, qundo f (x) for um polinômio de gru 0,, ou. No cso prticulr em que f (x) = (polinômio de gru 0) fórmul deve ser ext, logo, f (x)dx = dx = A + A A + A =. Além disso, qundo f (x) = x (polinômio tmbém conhecid como qudrtur gussin

20 5.4. REGRA DE GAUSS 5 de gru ), devemos ter que xdx = 0 = A x + A x ; qundo f (x) = x, devemos ter x dx = = A x + A x e qundo f (x) = x, devemos ter x dx = 0 = A x + A x. Obtemos dess form o seguinte sistem não-liner: A + A = A x + A x = 0 A x + A x = A x + A x = 0 Se pudéssemos ter A = 0 como um possível solução, então, substituindo n primeir e segund equções, obterímos A = e x = 0. Substituindo tudo isso n terceir equção, obterímos 0 =, o que é um bsurdo. Concluímos ssim que A = 0 não pode ser solução, ou sej, que A 0. De modo nálogo, podemos concluir tmbém que A 0. Se tivéssemos x = 0 como solução, então, o substituirmos n segund equção obterímos A x = 0. Como A 0, deverímos ter x = 0. Substituindo tudo n segund equção obterímos 0 =, um bsurdo. Logo, x 0. Anlogmente, temos tmbém x 0. Multiplicndo segund equção por x, obtemos A x +A x x = 0. Subtrindo dess equção qurt equção do sistem, obtemos A x (x x ) = 0 x x = 0 x = x. Não podemos ter x = x, porque se isso fosse sustituído n segund equção forneceri A + A = 0 o que contrri o fto de que A + A =. Logo, x = x. Substituindo n terceir equção e usndo primeir equção, obtemos = A x + A x = (A + A )x = x, ou sej, x =. Concluímos então que x = = ou x = =. Suponhmos x =. Então, x = x = e substituindo n segund equção, obtemos A = A que substituído n primeir equção fornece A = A =. Se x = obterímos lgo equivlente. Assim, solução do sistem é x = x = e A = A = e, portnto, regr de Guss qundo [, b] = [, ] e n = se reduz f (x)dx f ( ) + f ou, usndo um notção deciml com 0 css decimis ( f (x)dx f (0, ) + f ( 0, ). ) Exemplo 5.8 Vmos clculr x dx usndo regr que cbmos de obter. Solução: Neste cso, f (x) = x, logo, f (x)dx f (0, 5775)+f ( 0, 5775) =, 580. Pr comprção, o vlor exto dess integrl é π + =, 5708.

21 54 CAPÍTULO 5. CÁLCULO DE INTEGRAIS 5.4. Mudnç de vriável Qundo o intervlo de integrção [, b] não for igul [, ], então um fzemos um simples mudnç de vriável (b )t + b + x = e obtemos um nov integrl definid no intervlo [, ] cujo vlor coincide com o d integrl dd: b ( ) (b )t + b + b f (x)dx = f dt. Note que, neste cso, deve ser usdo que dx = b dt Polinômios de Legendre Nest seção, precismos de lguns resultdos básicos envolvendo os polinômios de Legendre que são definidos como sendo os polinômios d form d n P n (x) = [ (x ) n] com n = 0,,,... n n! dx n Esses notáveis polinômios ocorrem em váris plicções ns áres mis diverss como Equções Diferenciis, Eletromgnetismo, entre outrs. Escolhendo um vlor pr n, expndindo enésim potênci de (x ) e clculndo derivd enésim, podemos escrever o polinômio em um formto mis fmilir. Por exemplo, d P (x) =! dx [(x ) ] = 48 dx (x 6 x 4 + x ) = 48 (0x 7x) = (5x x). Os seis primeiros polinômios de Legendre são P 0 (x) =, P (x) = x, P (x) = (x ), d P (x) = (5x x), (5.) P 4 (x) = 8 (5x 4 0x + ), P 5 (x) = 8 (6x 5 70x + 5x). Adrien-Mrie Legendre (75-8), mtemático frncês

22 5.4. REGRA DE GAUSS Cso gerl d regr de Guss N fórmul f (x)dx A f (x ) + A f (x ) + + A n f (x n ) os coeficientes A i são chmdos pesos e os x i são chmdos bscisss. Escolhido o vlor de n, podemos obter os pesos e s bscisss dess regr. Pr isso, substituímos sucessivmente f (x) por, x, x, x n n fórmul nterior e obtemos o seguinte sistem: A + A + + A n = A x + A x + + A n x n = 0. A x n + A x n + + A n x n A x n + A x n + + A n x n. n =. n n = 0 O sistem não-liner de n equções e n vriáveis nterior é de difícil solução. Ms é possível mostrr que x, x,, x n são s rízes do polinômio de Legendre P n (x) e que A i = ( x i ) n [P n (x i )] Aqui, presentmos ess fórmul sem demonstrção somente título de informção dicionl. Exemplo 5.9 Obter os pesos e bscisss d regr de Guss qundo n =. Solução: O polinômio de Legendre de gru é P (x) = (5x x) = x (5x ), cujs rízes são x = 5, x = 0 e x = 5. Substituindo esses vlores ns três primeirs equções do sistem 5.4.4, obtemos: A + A + A = 5 A + 5 A = 0 5 A + 5 A = cuj solução é A = A = 5 9, A = 8 9. Portnto, f (x)dx 5 ) ( ) ( 9 f f (0) f 5 N hor de efetur os cálculos, é conveniente usr que 5 0, Exemplo 5.0 Use regr de Guss com n = pr clculr um vlor proximdo pr integrl x + x dx. 4

23 56 CAPÍTULO 5. CÁLCULO DE INTEGRAIS Solução: Como o intervlo de integrção [, b] = [, ] é diferente de [, ], precismos fzer um mudnç de vriável x = (b )t+b+ que, neste cso, é x = t+5. Temos: x t+5 I = + x dx = 4 + ( ) t+5 4 dt = g(t)dt t+5 ( +( t+5 onde g(t) = ) 4). Logo, I 5 9 g( 0, ) g(0) + 5 9g(0, ) = 0, Neste cso, como primitiv é igul rctg(x ), concluímos que o vlor exto d integrl é rctg(9) rctg(4) = 0, Tbel de pesos e bscisss d regr de Guss A tbel seguir foi construíd determinndo-se s rízes x i dos polinômios de Legendre de gru n, pr n {,, 4, 5, 6, 7, 8}. Os pesos A i form clculdos usndo-se fórmul A i = ( x i ) n [P n (x i )]. n bscisss pesos x = x = 0, A = A = x = x = 0, A = A = 0, x = 0 A = 0, x = x = 0, 8666 A = A = 0, x = x 4 = 0, A = A 4 = 0, x = x = 0, A = A = 0, x = x 4 = 0, A = A 4 = 0, x 5 = 0 A 5 = 0, x = x = 0, A = A = 0, x = x 4 = 0, A = A 4 = 0, x 5 = x 6 = 0, A 5 = A 6 = 0, x = x = 0, A = A = 0, x = x 4 = 0, A = A 4 = 0, x 5 = x 6 = 0, A 5 = A 6 = 0, x 7 = 0 A 7 = 0, x = x = 0, A = A = 0, 0856 x = x 4 = 0, A = A 4 = 0, 8045 x 5 = x 6 = 0, A 5 = A 6 = 0, x 7 = x 8 = 0, A 7 = A 8 = 0, Note que cd peso ssocido bsciss não nul prece repetido: um vez ssocido um bsciss positiv e outr vez ssocido um bsciss negtiv. Os vlores de x i podem ser permutdos, desde que se fç mesm permutção com os respectivos A i.

24 5.4. REGRA DE GAUSS 57 Exemplo 5. Usndo regr de Guss com n = 4, clcule um proximção pr dx = ln, x + Solução: D tbel, temos: x = x = 0, 8666, A = A = 0, , x = x 4 = 0, , A = A 4 = 0, Sendo f (x) = x+, temos Exemplo 5. Clcule I = f (x)dx A f (x ) + A f (x ) + A f (x ) + A 4 f (x 4 ) =, cos(x) dx usndo regr de Guss com n = 4. + x 4 Solução: O intervlo de integrção é [, b] = [, 5] [, ]. Fzendo mudnç de vriável: (b )t + b + x =, obtemos x = t+7 dx = dt. Substituindo n integrl dd, obtemos: Consideremos F (t) = I = cos( t+7 ) + ( t+7 )4 dt. t+7 cos( ) + ( t+7 e s bscisss e pesos copidos d tbel nterior: )4 Abscisss: t = t = 0, 8666, t = t 4 = 0, Pesos: A = A = 0, , A = A 4 = 0, A plicção d regr de Guss com n = 4 fornece seguinte proximção pr integrl: Exemplo 5. Clcule I = I A F (t ) + A F (t ) + A F (t ) + A 4 F (t 4 ) = 0, dx usndo regr de Guss com n = 5. x(x 0 + ) Solução: O intervlo de integrção é [, b] = [, ] [, ]. Logo, devemos fzer um mudnç (b )t + b + de vriável: x =, ou sej, x = t+4 = t + dx = dt. Substituindo em I, obtemos: I = (t + )((t + ) 0 + ) dt. Consideremos F (t) = (t + )((t + ) 0 + ) s bscisss tmbém poderim ser denotds por x, x, x, x 4. pode-se mostrr que o vlor exto dess integrl é 0, e s bscisss e pesos copidos d tbel nterior:

25 58 CAPÍTULO 5. CÁLCULO DE INTEGRAIS Abscisss : x = x = 0, , x = x 4 = 0, , x 5 = 0 Pesos: A = A = 0, , A = A 4 = 0, , A 5 = 0, A plicção d regr de Guss com n = 5 é: I A F (x ) + A F (x ) + A F (x ) + A 4 F (x 4 ) + A 5 F (x 5 ) = 0, Exercícios Propostos (P6) Usndo regr dos trpézios com n = 0 clcule (P7) Clcule (P8) Clcule + x dx. Resp.:, dx usndo regr de Guss com n = 4. x 4 + Resp.:, 9667 ( ) x dx usndo regr de Guss com n = 5. Resp.: 5, (P9) Deduz um fórmul de integrção d form ( f (x) dx ω f ) + ω f (0) + ω f ( ) que clcule integrl de polinômios de gru menor do que ou igul no intervlo [, ] de form ext. Resp.: f (x)dx 4 f ( ) f (0) + 4 f ( ) (P40) Clcule 7 5 ln(ln(x))dx usndo regr de Simpson com n = 8 e com n = 4 e obtenh um estimtiv pr o erro d proximção. Resp.: I 8 =, 580, I 4 =, 584, ε =, (P4) ) Clcule integrl dx usndo regr de Simpson com n = 8; x 4 + b) Sbendo que o vlor exto dess integrl é 4 ln( + ) + π 4 clcule o erro bsoluto cometido n proximção do item (). Resp.:, 74740, ε =, (P4) Usndo regr de Simpson com n = 0, clcule o comprimento C d elipse x 4 + y 7 = sbendo que el pode ser prmetrizd por α(t) = ( cos t, 7 sen t), 0 t π, e que C = π 0 α (t) dt. Resp.: C = 4, s bscisss tmbém poderim ser denotds por t, t, t, t 4 e t 5. pode-se mostrr que o vlor exto dess integrl é ln ln 5 ln = 0, e que o erro bsoluto do cálculo d integrl é de 9,

26 5.5. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 59 (P4) Um crro percorre um pist em 84 segundos. A velocidde do crro cd intervlo de 6 segundos está mostrd n seguinte tbel: t(s) v(m/s) Qul é o comprimento d pist? Resp.: 5 m (P44) Determine P 5 (x), o polinômio de Legendre de gru 5, e tods s sus rízes que são s bscisss d regr de Guss com n = 5. (Sugestão: use definição e ftore o polinômio; use mudnç de vriável x = y). Resp.: P 5 (x) = x 8 (6x 4 70x +5), x = 0, x = , x = x, x 4 = , x 5 = x 4 (P45) Sej R =. Usndo regr de Guss com n = 5, clcule I = R R [f (x) g(x)] dx, onde f (x) = R x e g(x) = f (x). Note que I corresponde à áre de um círculo de rio R. Resp.:, (P46) Sejm A, A,... A n os pesos e x, x,..., x n s bscisss d regr de Guss pr o cálculo n n de integris. Mostre que A i = e A i x i = 0. i= i=