Num sistema tridimensional um ponto pode ser localizado pela intersecção de três superfícies.

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1 Sistems de cooden otogonis - 1 ELECTROMGNETISMO s leis do electomgnetismo são invintes em elção o sistem de cooden utilido. Muits vees solução de um poblem específico eque utilição de um sistem de cooden popido à esolução do poblem. Num sistem tidimensionl um ponto pode se loclido pel intesecção de tês supefícies. Se ssumimos que s tês supefícies são descits po u 1, u e u 3 (os u s podem não se compimentos) e se ests supefícies foem pependicules ente si, temos um sistem de cooden otogonl. lgums supefícies epesent po u i podem se supefícies cuvs. Vmos conside que u1, u e u3 são os vectoes unitáios tês diecções cooden. Estes vectoes são chmdos de vectoes de bse. u1 u u 3 u u 3 u u3 u1 u.. u u u u 3 u 3 u1.. 1 u1 u1 u u u 3 u 3 0 1

2 Sistems de cooden otogonis - ELECTROMGNETISMO Qulque vecto pode se descito como som sus componentes ns tês diecções otogonis: + + u1 u1 u u u 3 Em cálculo vectoil fequentemente é necessáio clcul integis de linh, supefície e de volume. Em qulque um dos csos necessitmos de epimi vição difeencil do compimento n coespondente vição difeencil num cooden. No entnto, lgum cooden podeão não se um compimento (u 1, u, e/ou u 3 ) e é necessáio um fcto que convet vição difeencil du i num vição de compimento dl i u 3 dl i h du i i Onde h i é denomindo de coeficiente mético. P um diecção bitái temos: dl dl + dl + u 1 1 u u 3 dl ( h d ) + ( h d ) ( h d ) d l + u1 1 u1 u u u u 3

3 Sistems de cooden otogonis - 3 ELECTROMGNETISMO O volume difeencil dv fomdo pels vições infinitesimis du 1, du e du 3 ns diecções u1, u e u3 é dl 1 dl dl 3 ou dv h h h du du du Áe difeencil 1 noml (pependicul) o vecto de bse u1 é u3 dl 1 1 u u1 d s1 h h3 du du3 d s h1 h3 du1 du3 d s3 h1 h du1 du dl

4 ELECTROMGNETISMO Sistems de cooden otogonis - 4 o Cooden Ctesins (u 1, u, u 3 ) (,, ) Um ponto P( 1, 1, 1 ) em cooden ctesins esult d intesecção de tês plnos definidos po 1, 1 e 1. É um sistem que tem como vectoes de bse, e Vecto em cooden ctesins: + + Poduto inteno de dois vectoes em cooden ctesins:.b B + B + B B B B B + +.

5 Sistems de cooden otogonis - 5 o Cooden Ctesins ELECTROMGNETISMO Poduto eteno de dois vectoes em cooden ctesins: ( B B ) + ( B B ) + ( B B ) B B B B B Como, e são compimentos, todos os coeficientes méticos são unitáios h 1 h h 3 1 Ds epessões nteioes podemos conclui que: dl d + d + d d d d d d d dv d d d

6 Sistems de cooden otogonis - 6 o Cooden Ctesins ELECTROMGNETISMO N figu está epesentdo um volume difeencil no ponto (,, ) que esult vições d, d e d. s supefícies, e nomis às diecções, e estão tmbém indic.

7 Sistems de cooden otogonis - 7 o Cooden Cilíndics ELECTROMGNETISMO Vecto em cooden cilíndics: (u 1, u, u 3 ) (, f, ) Em cooden cilíndics um ponto P( 1, f 1, 1 ) esult d intesecção de: o um supefície cilíndic de io 1 com eio em ; o um meio plno que contém o eio e que f um ngulo f1 com o plno ; o um plno plelo com

8 Sistems de cooden otogonis - 8 o Cooden Cilíndics ELECTROMGNETISMO Dus tês cooden são compimentos ( e ) e potnto h 1 h 1. No entnto, f é um ngulo que eque o coeficiente mético h de modo convete dl em d. N figu está epesentdo um elemento de volume no ponto (, f, ) que esult vições infinitesimis d, df e d. epessão p o compimento difeencil em cooden cilíndics é então: dl d + d + d

9 Sistems de cooden otogonis - 9 o Cooden Cilíndics ELECTROMGNETISMO s epessões p s áes difeenciis e p o volume difeencil são: d d d d dv d d d d d Tnsfomção de cooden cilíndics em cooden ctesins: cos sin Tnsfomção de cooden ctesins em cooden cilíndics: tn + 1

10 Sistems de cooden otogonis - 10 o Cooden Esféics ELECTROMGNETISMO Vecto em cooden esféics: (u 1, u, u 3 ) (, q, f) Em cooden esféics um ponto P( 1, q 1, f 1 ) esult d intesecção de: o um supefície esféic com cento n oigem e io igul 1; o um cone cicul com o vétice n oigem, eio coincidente com e que f um ngulo q1 com ; o um meio plno que contém o eio e que f um ngulo f 1 com o plno. + +

11 Sistems de cooden otogonis - 11 o Cooden Esféics ELECTROMGNETISMO Em cooden esféics (u 1 ) é um compimento, q e f (u e u 3 ) são ngulos. São necessáios os coeficientes méticos h e h 3 p convete dq e df em compimentos. h 3 h sin dl d + d + sind

12 Sistems de cooden otogonis - 1 o Cooden Esféics ELECTROMGNETISMO s epessões p s áes difeenciis e volume difeencil que esultm vições difeenciis d, dq e df são: sind d sind d d d dv sind dd Tnsfomção de cooden esféics em cooden ctesins: sin cos sin sin cos Tnsfomção de cooden ctesins em cooden esféics: tn 1 + tn 1 + +

13 Sistems de cooden otogonis - 13 ELECTROMGNETISMO Relções ente os sistems de cooden Cooden ctesins (,, ) Cooden cilíndics (, f, ) Cooden esféics (, q, f) Vectoes de bse u1 u u 3 Coeficientes méticos Volume difeencil h h 1 h3 1 1 sinq dv ddd ddfd sinqddqdf

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