Atividades para classe

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1 RESLUÇÃ DE TIIDDES pítulo 5 Módulo 1: Áes de egiões poligonis Em cd item bio está indicdo o nome do polígono e lgums medids. Detemine áe de cd polígono. PÁGIN 1 oe Desfio ) tiângulo c) losngo áe do polígono egul d figu pode se clculd multiplicndo-se o semipeímeto s do polígono pelo 0 io d cicunfeênci nele inscit. b) etângulo d) plelogmo polígono s Qul é justifictiv p esse cálculo? polígono pode se decomposto em n tiângulos conguentes, onde n é o númeo de ldos do polígono egul, como most figu. nlisndo um desses tiângulos, not-se que medid do ldo do polígono e o io d cicunfeênci inscit são, espectivmente, bse e ltu do tiângulo, logo tiângulo. omo os tiângulos são conguentes, pode-se detemin áe do polígono multiplicndo áe de um tiângulo pel quntidde n de tiângulos gedos pel decomposição, isto é: pol n pol n. bsevndo que o semipeímeto s é igul n, tem-se pol s. PÁGIN 1 tividdes p clsse 1 lcule s áes ds seguintes egiões poligonis. ) c) b) d) ( ) 10 ) ( 5) b) ( 5) c) 1 d) figu pode se decompost em dois tiângulos, sendo um de bse 7 e ltu e outo de bse 5 e ltu 1. Logo, tem-se: ) b) Sej h ltu do etângulo. Pelo teoem de Pitágos, tem-se: h 5 7 h h h 1 h d XXXX 1 h 1 omo o vlo de h não pode se negtivo, h 1. ssim: c) Sej d medid d digonl meno do losngo. Pelo teoem de Pitágos d # 1 0 d 5 00 d 1 d d 1 d 57 d d XXXX 57 d omo d não pode se negtivo, então: d) Em cd cso é ddo um polígono e áe d egião po ele delimitd. Detemine o vlo ds incógnits. ) etângulo c) tpézio cm 11 cm b) tiângulo d) quddo 15 0 cm 1 cm 10 P_YY_M9_R_05_10151.indd :7:

2 RESLUÇÃ DE TIIDDES pítulo 5 ) ( ) 0 Resolvendo equção do o gu, tem-se: d 1 () d 19 d 19 d XXXX e omo o vlo de não pode se negtivo, tem-se cm. ( ) ( ) b) Resolvendo equção, tem-se: 1 e. vlo de não pode se negtivo, então cm. ( ) c) Resolvendo equção, tem-se: 1 7 e. Logo, 7 cm. d) 1 d XXXX 1 1. Então, 1 cm. lcule o que é pedido em cd item. ) áe de um quddo de digonl 1 cm. Sej L o ldo do quddo. Pelo teoem de Pitágos tem-se 1 L d XX L 1. áe do d XX quddo 1 d XX # 1 ( d XX ) 1 7 cm. b) áe de um tiângulo equiláteo de peímeto cm. L L L cm. ltu do tiângulo equiláteo divide-o em dois tiângulos etângulos, de onde é possível clcul ltu pelo teoem de Pitágos: h h 1 h d XXX d XXXXXX 1 d XX áe do tiângulo é b h d XX d XX 1 d XX cm. c) ldo de um tiângulo equiláteo de áe 9 d XX cm. Sej L o ldo do quddo. Su ltu h é clculd pelo teoem de Pitágos: L # h h L h L d XX ssim, áe do tiângulo é dd po: L L d XX L d XX 9 d XX L d XX 9 d XX L d XX d XX L d XX d XX L L d XXX L cm Potnto, L cm. d) áe de um tiângulo equiláteo de ltu cm. h L d XX L d XX L d XX L 1. áe do tiângulo é: d XX 1 d XX 7 d XX d XX 1 d XX cm. 5 Um fábic poduz peçs de ceâmic com s seguintes foms e dimensões. ) etângulo c) plelogmo 17 b) losngo d) tpézio 10 ) Sej b bse do etângulo. Po Pitágos tem-se: b 17 b 9 b 9 b d XXXX 5 b 15. Logo, b 15 cm cm b) Dividindo o losngo em dois tiângulos, um supeio e outo infeio, áe de cd tiângulo seá 1 sen 10 o. ssim, áe do losngo é: 1 sen 10 d XX 1 d XX cm c) 10 0 cm d) lculndo ltu do tpézio po Pitágos: h (1 7) 15 h 9 15 h 15 9 h 5 1 h 1 h d XXXX 1 h 1 cm, logo h 1 cm. ( b) h (1 7) 1 1 cm lcule áe do quddo D em cd cso. ) D 1 cm P_YY_M9_R_05_10151.indd :7:5

3 RESLUÇÃ DE TIIDDES pítulo 5 b) PQRS é quddo de áe cm ) Po Pitágos: 1 L d XX L 1. áe do qu- d XX ddo é, 1 d XX # 19 9 cm. b) onsidendo o ldo do quddo D e y o ldo do quddo PQRS, tem-se: y y d XXX y. omo y é o ldo do quddo PQRS, o vlo negtivo não convém, logo y cm. Note que o tiângulo PQ é etângulo em, de fom que pelo teoem de Pitágos # d XXX 7. vlo negtivo não convém, logo d XXX 7 cm. ssim, ( d XXX 7 ) 7 cm. 7 lcule s áes dos tiângulos. ) b) 15 cm 1 cm 0 cm 15 cm c) d) 10 cm 1 cm D P S 10 cm Q R 10 cm 15 cm No tiângulo ilustdo segui, s medids dos ldos são númeos consecutivos. 1 Se o peímeto desse tiângulo é igul cm, detemine áe do tiângulo. p ( 1) ( ) e 15 Sendo ssim, os ldos do tiângulo são 1, 1 e 15, e su áe pode se obtid pel fómul de Heão: s _ s 1 cm d XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 1 (1 1) (1 15) (1 1) d XXX 1 7 d XXXXXX 705 cm. PÁGIN 19 tividdes p cs 9 Ddo um tiângulo de ldos 17 cm, 5 cm e cm, detemine o que se pede em cd item. ) áe desse tiângulo s _ s 5 cm. d XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 5 (5 17) (5 5) (5 ) 10 cm b) medid d ltu eltiv o ldo de cm. 10 h h 0 15 cm c) io d cicunfeênci nele inscit cm 1 cm ) Sej s o semipeímeto do tiângulo, 1 cm 10 lcule o io d cicunfeênci ilustd segui s _ s s cm. Pel fómul de Heão, tem-se: d XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX ( 15) ( 15) ( 1) d XXXXXXXXXXXX 9 9 d XXXXXX cm. b) h 1 0 h 00 5 h d XXXX 1 h 1 cm, pois o vlo negtivo não convém. Logo: cm. c) L d XX 10 d XX 5 d XX cm d) s _ s 1 cm. Pel fómul de Heão, tem-se: d XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 1 (1 1) (1 15) (1 1) d XXXXXXXXXXXX 1 7 d XXXXXX 705 cm. 15 cm 5 cm 0 cm vlo do semipeímeto é s s 0 cm. áe do tiângulo é d XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 0 (0 15) (0 0) (0 5) 150 cm. omo s, tem-se cm. 11 Dois ldos de um tiângulo têm medids iguis 5 cm e cm espectivmente, e o ângulo fomdo po eles tem medid igul 0. Detemine medid do io d cicunfeênci inscit nesse tiângulo. Dic: use lei dos cossenos p detemin medid do teceio ldo e, depois, fómul de Heão. 1 P_YY_M9_R_05_10151.indd :7:7

4 RESLUÇÃ DE TIIDDES pítulo 5 Usndo lei dos cossenos p detemin medid do outo ldo do tiângulo: c 5 5 cos 0 c c d XXX 9 c 7 cm. s 5 7 s 10 cm. d d XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 10 (10 5) (10 ) (10 7) d 10 d XX cm. 10 d XX 10 d XX cm. 1 onsidendo o tiângulo ilustdo, detemine o que se pede em cd item. cm 10 1 cm ) medid do ldo. Sej medid do ldo. 1 cos # e 1 Logo, medid do ldo é 10 cm. b) áe d egião limitd po esse tiângulo. d 1 10 sen 10 d 0 d XX d 15 d XX cm. 1 om dois vétices de um quddo D de áe cm e um ponto P foi detemindo um tiângulo equiláteo P. ) Fç um figu que epesente situção descit em seu cdeno. d) lcule áe do tiângulo. d XX 9 d XX cm 1 onsidee um tiângulo equiláteo cujo peímeto é igul cm. ) Detemine o ldo desse tiângulo. Sej o ldo do tiângulo equiláteo. 1 cm. b) lcule áe desse tiângulo, usndo fómul 1 b sen. tiângulo equiláteo tem os tês ângulos conguentes, que medem 0 º sen 0 7 d XX d XX cm. 15 lcule áe do qudiláteo segui. Dic: tce digonl. 5 9 D 0 digonl divide o qudiláteo em dois tiângulos etângulos. Somndo s áes desses tiângulos tem-se áe do qudiláteo cm. 1 Mciel fez um pip com o fomto mostdo n figu. Sbendo que D é um quddo de ldo e que PD é um tiângulo equiláteo, clcule áe de ppel que foi gst p fo pip. 5 D P D b) Detemine o ldo do quddo. Sej o ldo do quddo. Tem-se cm. c) Detemine o ldo do tiângulo. ldo do tiângulo equiláteo é igul o ldo do quddo, ou sej, cm. bseve que o ldo do tiângulo equiláteo PD é igul à medid d digonl do quddo D. onsidendo o ldo do tiângulo, tem-se d XX cm. Pode-se detemin áe do ppel d seguinte fom: ppel quddo dpd ppel ( d XX ) d XX ppel (1 d XX ) cm. P 1 P_YY_M9_R_05_10151.indd :7:

5 RESLUÇÃ DE TIIDDES pítulo 5 17 Desenhe em seu cdeno um etângulo D. Tome sobe o ldo D um ponto P. Se áe do etângulo é igul cm, qunto vle áe do tiângulo P? Esse esultdo depende d posição do ponto P? Não impot onde estej o ponto P, áe do tiângulo P seá sempe igul e dd po _, bse ltu onde bse vle e ltu. Em pticul, qundo o ponto P coincide com, é fácil visuliz que áe do tiângulo P é metde d áe do etângulo D. (II) 9 y Substituindo (I) em (II) tem-se: 9 (7 ) m (1 ) 1 áe do tpézio é 10 m Logo, cbem no teeno floes. 0 Pte d plnt de um cs é mostd bio. lcule áe d sl. Dic: use semelhnç de tiângulos. P ssim, cm, e não depende d posição do ponto P. D y 9 1 N elboção de um mosico, istine fez o desenho mostdo o ldo. lcule áe do quddo coloido, sbendo que D tmbém é um quddo. D cm hmndo de o meno ldo do tiângulo ssinldo n figu, tem-se: sen 0 sen 0 1 cm. quddo 1 sen 0 # 1 d XX 1 d XX 1 ( d XX )cm. Po Pitágos: 10 m tiângulo mio e o tiângulo os são semelhntes pelo cso, potnto tem-se: 9 10 y (10 y) 9 0 y 7 y cm Pode-se detemin áe d sl d seguinte mnei: sl dmio teço (10 ) 9 sl PÁGIN 1 oe Desfio sl 0 cm Módulo : Polígonos egules e cicunfeêncis inscit e cicunscit Detemine zão ente o io d cicunfeênci inscit e o io R d cicunfeênci cicunscit um mesmo quddo de ldo L. 19 pefeitu de Flolind que plnt floes num teeno que tem fom de um tpézio etângulo, de bses m e 1 m e peímeto m. Se coubeem 10 floes em cd meto quddo, qunts floes pefeitu conseguiá plnt nesse cnteio? m y 1 m 1 9 m (I) y 1 y 7 y 7 zão pedid coesponde à zão ente o pótem do quddo e metde de su digonl. hmndo de o ldo do quddo, tem-se: R d XX R d XX R 1 d XX d XX d XX R d XX L 1 P_YY_M9_R_05_10151.indd :7:9

6 RESLUÇÃ DE TIIDDES pítulo 5 PÁGIN 1 oe álculo mentl figu most dois tiângulos equiláteos, em que cicunfeênci inscit em um deles é cicunscit o outo. Detemine zão ente áe desses tiângulos. onsidendo o tiângulo meno, de ldo l, cicunfeênci está cicunscit ele e seu io pode se escito como R l d XX. onsidendo o tiângulo mio, de ldo L, cicunfeênci está inscit ele e seu io pode se escito como R L d XX. igulndo s dus epessões p o io, tem-se: l d XX L d XX l L Potnto, o ldo do tiângulo meno tem metde d medid do ldo do tiângulo mio. Logo, zão ente s áes dos tiângulos é: L d XX L d L # d XX L L d XX d XX 1 L d XX 1 PÁGIN 1 tividdes p clsse 1 onsidee um quddo de ldo d XX e clcule em seu cdeno o que é pedido em cd um dos itens. ) Su áe. ( d XX ) 7 cm b) Su digonl. d d XX d XX d 1 cm c) io d cicunfeênci nele inscit. d XX d XX cm d) io d cicunfeênci cicunscit ele. R 1 R cm onsidendo um tiângulo equiláteo de ldo 1 cm, detemine o que se pede em cd item. ) ltu do tiângulo. h 1 d XX h d XX cm b) áe desse tiângulo. 1 d XX d XX cm c) io d cicunfeênci inscit. 1 d XX d XX cm d) io d cicunfeênci cicunscit. R 1 d XX R d XX cm onsidee um heágono egul de ldo cm e detemine em seu cdeno o que se pede em cd item. ) áe. d XX 5 d XX cm b) io d cicunfeênci inscit. d XX d XX cm c) io d cicunfeênci cicunscit. io d cicunfeênci cicunscit é igul à medid do ldo do heágono egul, isto é, R cm. Juc tem um mes cujo tmpo tem o fomto de um heágono egul com 1 m de ldo. Ele desej cot esse tmpo p que mes fique com fomto cicul. Qul é o mio diâ meto possível p o novo tmpo? mio diâmeto d possível é igul o diâmeto d cicunfeênci inscit nesse heágono egul de ldo 1 m. ssim: d 1 d XX d d XX m 5 Detemine áe do heágono egul com ldos de medid igul cm, sbendo que o pótem tem medid igul d XX cm. Pode-se detemin áe desse heágono multiplicndo o semipeímeto pelo pótem: s d XX 7 d XX cm io de um cicunfeênci inscit em um tiângulo equiláteo é d XXXX Detemine em seu cdeno o peímeto desse tiângulo. Sejm L o ldo do tiângulo e o io d cicunfeênci. om elção o tiângulo M n figu o ldo, o ângulo M mede 0 (pois vle metde do ângulo inteno do tiângulo equiláteo ). ssim, tem-se: tg 0 d XX d XX L L d XX L d XX d XX Potnto, o ldo do tiângulo mede d XX d XXXX d XX, e o peímeto mede L d XXXX d XX 0 d XXXX 15 d XXX 5 5. M L 15 P_YY_M9_R_05_10151.indd :7:0

7 RESLUÇÃ DE TIIDDES pítulo 5 7 lcule o io d cicunfeênci inscit em um heágono egul, de codo com situção descit em cd item. ) ldo do heágono mede m. d XX d XX m b) áe do heágono mede 150 d XX cm. Sej o ldo do heágono, então: 150 d XX d XX cm 10 d XX 5 d XX cm c) digonl mio do heágono mede 0 d XX cm. digonl mio, que lig um vétice do heágono o vétice oposto, tem medid igul o dobo d medid do ldo do heágono egul, de fom que o ldo desse heágono mede 10 d XX cm. ssim, 10 d XX d XX 15 cm. d) digonl meno do heágono mede 1 cm. Sej o ldo do heágono egul. b) digonl do quddo mede 0 cm. 0 0 cm c) ldo do quddo mede cm. d d XX cm d XX 1 d XX cm d) io d cicunfeênci nele inscit mede 5 cm cm d 10 d XX cm 10 d XX 5 d XX cm 9 heágono d figu é egul e tem pótem igul cm. cm 1 cm Pelo teoem de Pitágos, tem-se: ( ) 1 () d XX cm. 1 d XX d XX,5 cm. e) io d cicunfeênci cicunscit o heágono mede cm. ldo do heágono egul é igul o io d cicunfeênci cicunscit, logo o io d cicunfeênci inscit vle: d XX d XX cm lcule o io d cicunfeênci cicunscit um quddo, em cd cso pesentdo nos itens bio. medid do io d cicunfeênci cicunscit um quddo é igul à metde d medid d digonl desse quddo. let epesent o ldo do quddo ns esoluções segui. ) áe do quddo mede 19 cm. 19 d XXXX 19 1 cm d 1 d XX cm 1 d XX 7 d XX cm Detemine áe desse heágono. Sej medid do ldo desse heágono, logo: d XX 1 d XX cm áe do heágono é dd pelo poduto do semipeímeto pelo pótem: 1 d XX _ 1 d XX d XX d XX 1 d XX 7 d XX cm 10 dono de um loj de binquedos estv à pocu de um logotipo p epesent empes dele. Um dos funcionáios d empes sugeiu o logotipo que se vê bio: um quddo inscito em um cicunfeênci, que está inscit em um tiângulo equiláteo. Se o ldo do quddo mede cm, detemine em seu cdeno áe do tiângulo equiláteo. Sejm o ldo do tiângulo equiláteo, h ltu do tiângulo e d digonl do quddo. bseve que o io d cicunfeênci é igul d, de modo que h d. ssim: h d XX h 9 d XX cm pti d ltu clcul-se medid do ldo do tiângulo: 9 d XX d XX 1 d XX cm d XX E pti do ldo clcul-se 1 d XX d XX # d XX d XX d d d 5 d XX cm 1 P_YY_M9_R_05_10151.indd :7:1

8 RESLUÇÃ DE TIIDDES pítulo 5 PÁGIN 15 tividdes p cs 11 Detemine o peímeto de um polígono egul, sbendo que o pótem desse polígono tem medid igul 1 cm e áe dele é igul 57 cm. Sejm s o semipeímeto e p o peímeto do polígono egul. Sbendo que áe pode se escit como o poduto do semipeímeto pelo pótem tem-se: 57 s 1 s cm p p 9 cm 1 Detemine medid do pótem do tiângulo equiláteo d figu, sbendo que o io d cicunfeênci ilustd é igul R 5 cm. 0 Sej medid do pótem. ssim, tem-se: sen 0 R 1 R 5,5 cm 1 Um quddo está inscito num cicunfeênci de io igul 10 cm. ) Fç em seu cdeno um desenho que epesente situção descit. 10 cm b) Detemine medid do pótem desse quddo. d XX d XX 0 d XX cm pótem mede metde do ldo, logo: 0 d XX 10 d XX d XX d XX 5 d XX cm c) lcule áe do 0 d XX # cm d) Detemine o io d cicunfeênci cicunscit esse quddo. Se o quddo está inscito n cicunfeênci, cicunfeênci está cicunscit o quddo, e seu io é R 5 10 cm. 1 figu most um tiângulo equiláteo e um heágono egul, cuj áe é igul 9 d XX cm. Sejm o ldo do heágono, o io do cículo e y o ldo do tiângulo. Detemine: ) ldo do heágono. 9 d XX d XX 9 d XXX cm b) io do cículo. io do cículo coesponde o pótem do heágono: d XX d XX cm c) ldo do tiângulo. d XX y d XX y 1 cm d) áe do tiângulo. 1 d XX d XX cm 15 s polígonos n figu bio são egules, e o ldo do tiângulo mede dm. lcule o que se pede em cd item. ) ltu do tiângulo. h d XX h d XX dm b) io do cículo. L d XX d XX d XX dm, onde L é o ldo do tiângulo. c) ldo do quddo. ldo do quddo tem medid igul o dobo do io do cículo, ou sej: d XX d XX dm 1 d item most um polígono egul. lcule os ios ds cicunfeêncis cicunscits eles. ) c) b) 1 1 ) R 1 d XX R d XX b) R 1 d XX R d XX c) io tem mesm medid que o ldo do heágono: R L d) ângulo centl do octógono mede 0 5. Usndo lei dos cossenos: ( d XXXXXXX d ) cos5 d) d XX d XX d XX ( d XX ) d XX d X 1 1 d XX 17 P_YY_M9_R_05_10151.indd :7:

9 RESLUÇÃ DE TIIDDES pítulo 5 17 figu most um quddo de ldo m inscito em um cicunfeênci que está inscit em um heágono egul. Detemine o que se pede em cd item. ) digonl do quddo. d d XX m b) io do cículo. diâmeto do cículo tem medid igul à digonl do quddo. ssim, o io do cículo mede d XX d XX m c) ldo do heágono. Sej o ldo do heágono. 0 cos 0 d XX d XX ssim, d XX d XX d XX d XX d XX d XX d XX m. d) áe do heágono. ( d XX ) d XX d XX d XX m 1 s heágonos mostdos n figu o ldo são egules. Detemine zão ente áe do mio e áe do meno. onsidee o io d cicunfeênci, o ldo do heágono meno e y o ldo do heágono mio. ldo do heágono meno tem medid igul à do io d cicunfeênci: meno d XX meno d XX Dividindo o heágono mio em seis tiângulos, ltu de cd um dos tiângulos tem medid igul à do io d cicunfeênci. ssim, y d XX y d XX d XX # d XX mio mio d XX mio meno mio meno 1 mio d XX d XX mio d XX d XX meno d XX 19 onsidee o decágono egul inscito n cicunfeênci de io R 10 m. R L 1 R h ) Utilize elção sen 1 0,1 e clcule medid do ldo L do decágono. L L L sen 1 R 10 0,1 10 L 0,1 10 L L,1 L, m b) Utilize cos 1 0,95 p detemin medid do pótem desse polígono. pótem coesponde à ltu h do tiângulo d figu cim. cos 1 h R h 10 0,95 h 10 h 10 0,95 h 9,5 m c) Detemine em seu cdeno áe desse decágono. áe do decágono é obtid multiplicndo áe de um tiângulo po 10: PÁGIN 19 9,5, 10 9,5 m Módulo : ompimento d cicunfeênci, áe do cículo e de sus ptes tividdes p clsse 1 Detemine em seu cdeno o que se pede em cd item. ) io de um cicunfeênci cujo compimento é igul 1 cm cm b) compimento de um cicunfeênci cujo io tem medid igul cm. 1 cm c) áe de um cículo de io cm. cm d) io de um cículo de áe cm. d XXX cm lcule em seu cdeno o diâmeto de um cicunfeênci cujo compimento é igul cm. d d cm Se o io de um cículo fo duplicdo, qunts vezes ument áe desse cículo? áe de um cículo de io é. Se o io fo duplicdo pssá vle, e nov áe seá: (). Potnto, áe ument vezes. 1 P_YY_M9_R_05_10151.indd :7:5

10 RESLUÇÃ DE TIIDDES pítulo 5 Detemine em seu cdeno o compimento de cd um ds cicunfeêncis segui. ) c) 5 b) d) 1 0 ) 11 cm cm b) Fechndo um tiângulo como n tividde item ), tem-se: # 9 5 5,5 1 1 ) 5 Usndo Pitágos: b) Unindo o cento o ponto onde o segmento tnge cicunfeênci, tem-se um tiângulo etângulo de ldos, e ( ). Usndo Pitágos tem-se: ( ) 1 c) d 0 d) Unindo o cento o ponto onde o segmento intecept cicunfeênci, tem-se um tiângulo etângulo de ldos, 1 e (1 ). Usndo Pitágos tem-se: 1 (1 ) 1 1 Logo, o compimento é 1. 5 Detemine em seu cdeno áe de cd um dos cículos segui. ) c) cm Fechndo o tiângulo etângulo como n figu e plicndo o teoem de Pitágos tem-se: (1 ) ssim, áe do cículo 15 # 5. d) Fechndo o tiângulo etângulo e usndo Pitágos temse: 9 ( ) Um co, ndndo num estd etilíne, pecoe 00 metos. Qunts volts deu od do co se o diâmeto d od é igul 0, metos? io d od é metde do diâmeto: 0, 0, m compimento d od é 0, 1, m ssim, cd volt d od, o co pecoe cec de 1, meto. númeo totl de volts d od pós o co hve pecoido 00 metos é 00 1, 159,. 7 Qul é áe de um cículo cujo diâmeto é igul 1 cm? 1 9 cm 9 1 cm Detemine em seu cdeno o compimento de cd um dos cos destcdos, sbendo que o io de cd cicunfeênci é igul 1 cm. ) 1 90 _ cm 0 b) d) b) 0º 1 0 _ cm P_YY_M9_R_05_10151.indd :7:7

11 RESLUÇÃ DE TIIDDES pítulo 5 c) d) e) 10º 150º 5º 1 5 cm _ cm 0 _ cm 0 9 lcule áe de um coo cicul detemind po dus cicunfeêncis de ios de medids 1 cm e 1 cm. (1 1 ) (19 1) 5 cm 10 Detemine áe em cm de cd um dos setoes cicules destcdos em vemelho, sbendo que o io de cd cículo é igul 1 cm. ) c) b) 15º 50º d) ) cm 0 b) _ cm 0 c) _ cm 0 d) 1 0 cm 0 150º 0º 11 Dus biciclets ptem, em um mesmo instnte, de um mesmo ponto de um pist cicul, poém em sentidos opostos. s velociddes são espectivmente m/s e m/s. pós 0 segundos ocoe o pimeio enconto ds biciclets. Detemine em seu cdeno o io d pist. pós 0 segundos, pimei biciclet pecoeu 0 0 metos, e segund pecoeu 0 10 metos. omo em 0 segundos ocoe o pimeio enconto ds dus, isso signific que nesse instnte s dus, junts, pecoem todo o compimento d cicunfeênci m m 1 s cos d figu têm o mesmo compimento, e o cento ds cicunfeêncis que os deteminm são os pontos, e. Detemine em seu cdeno o peímeto d figu fomd 1 cm po esses cos. tiângulo é equiláteo, de modo que seus ângulos intenos são todos iguis 0. Logo, cd co d figu coesponde um co de 0 de um cicunfeênci de io 1 cm, e o compimento 1 0 de cd um desses cos é _ cm. 0 Potnto o peímeto do tiângulo cuvilíneo é: p p 1 cm. PÁGIN 150 tividdes p cs 1 Detemine em seu cdeno o que se pede em cd item. ) áe de um seto cicul de 0 cujo co mede cm cm cm 0 9 b) áe de um cículo cuj cicunfeênci mede cm. 1 cm 1 cm c) compimento de um cicunfeênci cujo cículo tem áe igul 9 cm. 9 9 d XXXX 9 17 cm 17 cm d) áe de um cículo no qul um co de 0 mede 1 cm cm 0 19 cm 1 cod de um cicunfeênci detemin um co de 0. Se o co tem 0 cm de compimento, detemine medid do io desse cículo cm 15 Detemine em seu cdeno o compimento de cd um ds cicunfeêncis segui. ) c) b) d) D D P_YY_M9_R_05_10151.indd :7:0

12 RESLUÇÃ DE TIIDDES pítulo 5 ) onsidee hipotenus do tiângulo etângulo, s o seu semipeímeto e o io d cicunfeênci inscit, então: 1 1 d XXXXX s _ s Escevendo áe do tiângulo como _ bse ltu e igulndo com out epessão p mesm áe, s, tem-se: b) Note que ltu do tpézio é o diâmeto d cicunfeênci inscit e, po Pitágos, pode-se detemin o ldo do tpézio como most figu: Num ci etngul, João colocou lts de tint de mesmo diâmeto, como most figu bio. Detemine em seu cdeno áe de cd um dos cículos que coespondem às tmps ds lts, sbendo que o peímeto d ci etngul é cm. peímeto do etângulo pode se escito em função do io dos cículos, como most figu. cm 1 cm cm 9 cm D 5 1 () 1 d XXXXXXXXXX 1 omo o tpézio está cicunscito, som ds medids de dois ldos opostos é igul à som ds medids dos outos dois ldos: d XXXXXXXXXX d XXXXXXXXXX 1 9 ( d XXXXXXXXXX 1 ) (9 ) () c) omo o tpézio é isósceles, D. lém disso o tpézio está cicunscito, de modo que som dos ldos opostos é igul. ssim, 1 D D D 1. D () d XXX 1. d) digonl de um quddo de ldo é d XX, de modo que o ldo desse quddo mede 10. Esse tmbém é o vlo do diâmeto d cicunfeênci, de modo que seu io mede ssim, lcule em seu cdeno áe d egião eteio à cicunfeênci meno e inteio à cicunfeênci mio. io d cicunfeênci mio mede o dobo do d meno: R. áe pedid é clculd subtindo áe d cicunfeênci meno d áe d mio: 1 1 s ods dinteis de um tto têm 0 cm de io e dão 0 volts no mesmo intevlo de tempo em que s ods tseis dão volts. lcule em seu cdeno o diâmeto ds ods tseis. 0 volts ds ods dinteis coespondem cm. volts ds ods tseis equivlem cm. omo s ods dão esss volts no mesmo intevlo de tempo, os compimentos pecoidos po els são iguis. Então, tem-se: cm ssim, o diâmeto ds ods tseis é 50 cm 100 cm 1 m. 11 P_YY_M9_R_05_10151.indd :7:1

13 RESLUÇÃ DE TIIDDES pítulo 5 19 láudio mediu cod de um cículo e obteve dm. Se ess cod dist dm do cento do cículo, qunto mede cicunfeênci coespondente? ( 1) figu segui most dus cicunfeêncis tngentes intenmente, sendo que meno tngenci o diâmeto d mio. lcule em seu cdeno o compimento d cicunfeênci meno. 9 d XXX 5 5 dm 5 10 dm 0 No tiângulo equiláteo o ldo, o ponto mé dio de cd um dos espectivos ldos coesponde o cento ds cicunfeêncis 0 que dete- minm os cos d figu. Sbendo que o ldo do tiângulo tem medid igul 9 m, clcule o peímeto d figu fomd po esses cos. figu é fomd po cos de cicunfeênci cujos centos são os pontos médios dos ldos, potnto o io de cd co é igul à metde d medid do ldo do tiângulo, ou sej,,5 m. lém disso, pelo fto de o tiângulo se equiláteo, os cos compeendem um ângulo de 0. ssim, o peímeto d figu é obtido multiplicndo o compimento de cd co po : 0 P,5 P P 9 m 0 1 Lucin que encomend de um fábic de móveis um mes cicul p pessos, de modo que cd pesso disponh de um co de 0 cm o sent-se ness mes. lcule qunto deve medi o diâmeto d mes. Se cd um ds pessos dispoá de um co de 0 cm, o compimento totl d cicunfeênci seá de 0 cm 0 cm. Então tem-se: 0 cm 0 cm 0 cm Potnto, o diâmeto d mes deve se 0 15, cm N figu, T é ponto de tngênci e PS é secnte à cicunfeênci. Detemine o compimento dess cicunfeênci. S 1 T P 1 Sejm D o diâmeto d cicunfeênci mio, R o io d cicunfeênci mio e o io d cicunfeênci meno. D 70 9 R D R 9 (9 ) PÁGIN tividdes p cs lcule distânci poimd, em metos, pecoid po um pneu de 900 mm de diâmeto, o d um volt complet. d 900 mm 0,9 m d 0,5 m 0,5, m 5 Se umentmos em cm o io de um cicunfeênci, quntos centímetos umentá o seu compimento? compimento inicil de um cicunfeênci de io é. Se o io ument p ( ), o novo compimento seá: ( ) Potnto, o compimento ument em cm. Dus polis de ios iguis 1 cm são ligds po um coei. lcule o compimento poimdo d coei, sbendo que distânci ente os centos ds polis é igul 0 cm. (Use,1.) Sej o compimento d coei , cm 7 P embulh sovetes de csquinh, um máquin ecot folhs com fomto de tiângulo equiláteo de ldo cm, pndo um pte dels p eciclgem, como indicdo em vede n figu. Detemine 1 P_YY_M9_R_05_10151.indd :7:

14 RESLUÇÃ DE TIIDDES pítulo 5 em seu cdeno áe d p, sbendo que o co tem cento em. 0 pte vede do esquem segui epesent um jdim de fomto cicul, e em volt dele um clçd, fomd po cicunfeêncis concêntics. jdim m ltu h do tiângulo equiláteo é o io do co que tem cento em. h L d XX d XX h d XX áe pedid é clculd subtindo áe do seto cicul d áe do tiângulo equiláteo: L d XX h 0 d XX 0 ( d XX ) d XX ( d XX ) cm Detemine em seu cdeno áe d egião sombed d figu segui. 0º cm 0º cm 10º Pode-se detemin áe d egião sombed clculndo difeenç ente áe do seto cicul de ângulo 10º e io cm e áe do tiângulo isósceles. Potnto: 10 1 sen d XX 1 9 d XX ( d XX )cm 9 Um cicunfeênci está inscit em um tiângulo de ldos cm, 10 cm e 1 cm. Detemine o que é pedido em cd item. ) áe desse tiângulo s s 15 cm d XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 15 (15 ) (15 10) (15 1) 15 d XX cm b) io dess cicunfeênci. áe do tiângulo pode se escit como s, onde é o io d cicunfeênci inscit. ssim, d XX d XX cm. c) áe d egião eten à cicunfeênci e inten o tiângulo. st subti áe do cículo d áe do tiângulo: 15 d XX ( d XX ) 15 d XX (5 d XX ) cm ) Qul lgu d clçd? io d cicunfeênci meno é metde do ldo do # e o io d cicunfeênci mio é metde d digonl do d XX #. Potnto, lgu d clçd é difeenç ente metde d digonl do quddo e metde do ldo do quddo, ou sej: d XX d XX ( d XX 1) m b) Qul é áe d clçd? Subtindo áe do cículo meno d áe do cículo mio: ( d XX ) 1 1 m 1 figu o ldo, fomd po cículos, most o esquem de um boneco de neve. Se o compimento dos bços do boneco é de dm, clcule áe d egião eteio o boneco e inteio o cículo mio. m n omo most figu, o io do cículo mio é m n, o io do cículo d cbeç do boneco é m e o io do cículo do copo é n. Pels elções métics do tiângulo etângulo, tem-se: m n m n m n m n m mn n # m 0 n m 1 mn n m n mn 1 dm Detemine em seu cdeno o peímeto d figu fomd pelos cos, cujos centos são os vétices do quddo de ldo cm. D 1 P_YY_M9_R_05_10151.indd :7:

15 esolução de tividdes pítulo 5 Dic: detemine o compimento de um dos cos e multiplique ess medid po oito. d co foi dividido em tês ptes conguentes e há, o todo, cos. ângulo compeendido po cd co é 90, e o io de cd co é igul o ldo do quddo: cm.?? ? _ 5? 5 cm clçd em tono de um piscin cicul é delimitd po dus cicunfeêncis concêntics: um de 9, m e out de 11,0 m. lcule em seu cdeno lgu poimd dess clçd.? , m? 5 9, 5 15 m Lgu m 15 m 5 m Detemine em seu cdeno o compimento d cicunfeênci meno, sbendo que s tês semicicunfeêncis têm centos n et. 1 ( 1 ) 5 (1 ) ? 5 5 cículo de diâmeto tem p cm de compimento, e seu diâmeto foi dividido em ptes iguis. zul melo ede álculo do diâmeto do cículo:? d 5 d 5 cm diâmeto foi dividido em ptes conguentes de 5 cm, logo o io do cículo pequeno n figu cim mede cm e o io do outo cículo mede cm. ) lcule áe d egião zul. áe d egião zul que petence à pte supeio do cículo coesponde à áe de um semicículo de io cm: áe d egião zul que petence à pte infeio do cículo pode se clculd subtindo áe do semicículo de io cm d áe do semicículo gnde, de io 1 cm: 1 ssim, áe totl d egião zul é obtid somndo os esultdos obtidos cim: 5 1 # cm b) lcule áe d egião mel. Po simeti, áe d egião vede é conguente à áe d egião zul. Potnto, áe d egião mel é clculd subtindo dus áes coespondentes à egião zul d áe do cículo gnde: 5 1? cm c) lcule o peímeto d egião mel. peímeto d egião mel coesponde o compimento de dois semicículos de io cm somdo o compimento de dois semicículos de io cm: 5? 1? 5 cm d) lcule o peímeto d egião zul. peímeto d egião zul coesponde o compimento de um semicículo de io 1 cm somdo o compimento de um semicículo de io cm somdo o compimento de um semicículo de io cm cm e) bsevndo áe e o peímeto ds e giões clculds nteiomente, o que você pode conclui? s egiões zul, mel e vede têm áes conguentes e medid dos seus peímetos é igul à medid do peímeto d cicunfeênci mio. Módulo : Relções métics no cículo Págin 15: tividdes p clsse 1 Em cd um dos itens bio, escev elção ente s medids dos segmentos indicdos. ) b b 5 k k b) c) z b w y b y b 5 y 5 zw 5 yb 1 5P_YY_M9_R_05_10151.indd ::

16 RESLUÇÃ DE TIIDDES pítulo 5 d) ( ) ( ) Usndo elção ente segmento tngente e secnte, detemine o vlo de s e w nos itens seguintes. ) s ( ) s 1 s 9 e) s ( ) b) 5 w w (w 5) w 5w 0 w f) b c bc ( ) ( ) Detemine o vlo ds incógnits em cd um dos itens bio. ) b) c) 9 1 k 1 1 t k 1 k 1 (1 t) (1 t) t 0 t t lcule o compimento d cod. D ( 1) ( 7) ( 5) ( ) lcule o compimento do segmento P. 1 ( ) ( ) ( 1 ) 1 ( ) ( ) e não convém, pois lguns dos segmentos ficm negtivos. ssim, 5 e P 5 1. Detemine o io do cículo e o ângulo indicdo n figu P d) 11 f ( f) ( 11) 1 f f,5 ( ) ( 7) omo o io mede 7, o tiângulo desenhdo n figu cim é equiláteo de ldo 7, de modo que o ângulo indicdo mede 0º. 15 P_YY_M9_R_05_10151.indd :7:

17 RESLUÇÃ DE TIIDDES pítulo 5 7 lcule o io do cículo mostdo bio. Po potênci de ponto, veific-se que medid do outo segmento d figu tmbém é 17. Pelo teoem de Pitágos, de codo com figu, # Detemine os vloes ds incógnits e b. b 9 b (b 9) ( 5) b 9b b 9b 0 b ( ) ( 9) 1 5 c) d) ) ( 5) 9 ( 5) b) ( ) ( ) c) ( ) ( ) 0 d) ( ) ( ) ( ) ( ) Detemine o vlo ds incógnits e y n figu bio. 9 Um cicunfeênci que tngenci um ldo de um tiângulo e o polongmento dos outos dois é chmd de e-inscit do tiângulo. Detemine o io d cicunfeênci e-inscit do tiângulo etângulo ilustdo segui. y 10 Sej h ltu do tiângulo. h 10 h 100 h h bsev-se então que os dois segmentos indicdos n figu, po seem tngentes à cicunfeênci e possuíem um ponto comum fo del, são conguentes, de fom que mbos medem. Pel figu cim, tem-se: 10 cm PÁGIN 155 tividdes p cs 10 Detemine o vlo d incógnit em cd um dos itens bio. ) b) Dento d cicunfeênci: ( ) ( ) e não convém pois lguns segmentos ficm negtivos, logo. Fo d cicunfeênci: () y (y ) Substituindo tem-se: 1 y (y 7) y 7y 1 0 y 1 9 e y 1. y 1 não convém, pois lguns segmentos ficm negtivos. ssim, e y 9. 1 Detemine s medids indicds po incógnits nos itens bio. ) b) P_YY_M9_R_05_10151.indd :7:51

18 RESLUÇÃ DE TIIDDES pítulo 5 c) 10 ) onsidendo o ponto de intesecção ente os segmentos d figu, tem-se: ( 7) ( 7) b) 9 ( 9) c) (10 ) (10 ) d) d XXXX 5 1 d) (1 1 ) 1 9 (Esses esultdos tmbém podem se obtidos po Pitágos.) 1 Detemine o io do cículo mostdo n figu bio. ( ) ( ) meno e mio distânci do ponto P o cículo ilustdo bio são iguis cm e cm. lcule o compimento do segmento PT, em que T é ponto de tngênci. T PT 5 PT d XXXX 5 1 cm 15 segmento PT é tngente à cicunfeênci, no ponto T, e tem medid igul cm. Detemine s medids d mio e d meno distânci de P té cicunfeênci, sbendo que o io del mede 10 cm. P Sej meno distânci, logo, seá mio distânci. Então: T 10 P ( 0) PT cm cm ssim, mio distânci mede cm, e meno, 1 cm. 1 ltu do tiângulo, eltiv, é diâmeto do cículo mostdo. lcule distânci indicd po d. h Pel potênci de ponto, de codo com figu, tem-se: ( ) 9 Pelo teoem de Pitágos, detemin-se: h ( ) h 9 1 h plicndo novmente potênci de ponto, esceve-se o vlo de y em função de d, isto é: y d (d ) y d d Pelo teoem de Pitágos, clcul-se: ( d) h y Substituindo os vloes de h e y e desenvolvendo tem-se: 1d d d d d 1 d 17 N figu bio, é ponto de tngênci, 0 cm e D 10 cm. Detemine o compimento d cod. D cm D 0 cm om elção o ponto E tem-se: E E DE E (D DE) DE (0 DE) DE E 0 DE DE (I) plicndo o teoem de Pitágos o tiângulo E tem-se: E E E E 0 (DE 10) 00 DE 0 DE 100 E 00 DE 0 DE (II) Substituindo (I) em (II): 0 DE DE 00 DE 0 DE 50 DE 00 DE cm Substituindo esse esultdo em (I): E E d XXXX 1 1 cm Logo, E 0 DE E 0 cm Finlmente, plicndo o teoem de Pitágos o tiângulo E tem-se: E E d XXXX 70 1 d XX 5 cm y d E D 17 P_YY_M9_R_05_10151.indd :7:5

19 RESLUÇÃ DE TIIDDES pítulo 5 1 Detemine medid do segmento, tngente à cicunfeênci no ponto. 1 5 Sej o io do cículo. om elção o ponto à esqued do ponto tem-se: ( ) ( ) Então, com elção o ponto, tem-se: ( ) ( 1 ) 1 9 cm Ttmento d infomção Le e intepet gáficos que se complementm PÁGIN 15 olet de infomção Um ognizção não-govenmentl petende elbo lguns cusos p jud pessos necessitds consegui um ecolocção pofissionl. om ess finlidde, fom nlisdos lguns estudos do Deptmento Intesindicl de Esttístic e Estudos Socioeconômicos (Dieese), n egião metopolitn de São Pulo. ej dois dos gáficos nlisdos pel NG. T em % 5 1, , TX DE DESEMPREG TTL PR SEX N REGIÃ METRPLITN DE SÃ PUL 1,7 17, , , 1,9 001, 1, 00 Homens,1 17, 00 1, 1, 00 Mulhees 19,7 1, 005 1, 1, 00 17, 1, 007 no Semns TEMP MÉDI DE PRUR DE EMPREG, PR SEX N REGIÃ METRPLITN DE SÃ PUL 7 5 Homens 5 50 Mulhees Totl Disponível em: < cesso em: 1 m. 00. PÁGIN 15 gnizção d infomção pimeio é um gáfico de linhs que pesent pocentgem de desempegdos, po seo, n egião metopolitn de São Pulo, no peíodo de segundo é um gáfico de bs que pesent o tempo médio, em semns, de pocu de empego. Note que esse gáfico, lém de most os ddos sepdos po seo, tmbém pesent médi totl dos ddos. 1 P_YY_M9_R_05_10151.indd :7:5

20 esolução de tividdes pítulo 5 opie tbel segui em seu cdeno e complete-, obsevndo os ddos dos gáficos pesentdos. Populção economicmente tiv (com condição de est em tividde) n egião metopolitn de São Pulo no 00 ondição de tividde Populção economicmente tiv cupdos Desempegdos Tempo médio de pocu de empego em semns Homens Mulhees Totl , % de , % de Populção economicmente tiv (com condição de est em tividde) n egião metopolitn de São Pulo no 007 ondição de tividde Populção economicmente tiv cupdos Desempegdos Tempo médio de pocu de empego em semns Homens Mulhees Totl , % de , % de Ddos obtidos em: < cesso em: 1 m. 00. Págin 157 Leitu de ddos ) ompndo quntidde de pessos desempegds em 00 e 007, é possível veific um umento ou diminuição nesse gupo de pessos? Diminuição. b) Qul gupo de desempegdos se pesent em mio quntidde no no de 00, o de homens ou de mulhees? Em 007 tmbém se veific o mesmo fto? Mulhees. Sim. c) De codo com os ddos nos dois nos considedos, sobe o tempo médio, em semns, que ho- mens e mulhees pssm pocundo um empego, qul gupo pocu po mis tempo? Mulhees d) nlisndo s esposts nteioes, qul gupo se pesent com mio dificuldde p conquist um ecolocção no mecdo de tblho, o de homens ou o de mulhees? s mulhees fomm o gupo que pesent mio dificuldde p conquist um ecolocção no mecdo de tblho. Págin 157 omunicção de esultdos pti d obsevção dos gáficos, d nálise d tbel e ds questões nteioes, monte em seu cdeno um tbel, indicndo vição (difeenç ente os ddos de 00 e 007) d quntidde de pessos de cd um dos gupos nlisdos (populção economicmente tiv, ocupdos, desempegdos e tempo médio de pocu de empego). Populção economicmente tiv (com condição de est em tividde) n egião metopolitn de São Pulo vição ente os nos de 00 e 007 ondição de tividde Populção economicmente tiv Homens Mulhees Totl cupdos Desempegdos Tempo médio de pocu de empego em semns Págin Fç você Um empes petende ci um site n intenet e, p isso, pecis veific qul é o melho seto de tução e quis s egiões com mio númeo de usuáios. s gáficos segui mostm os esultdos sobe utilizção d intenet no sil. Fç nálise dos gáficos p esponde às pegunts. Depois, comunique os esultdos obtidos USUÁRIS D INTERNET (EM MILHÕES) 10 EU 1 hin 50 Jpão lemnh Índi 9 sil 19 5P_YY_M9_R_05_10151.indd ::5

21 RESLUÇÃ DE TIIDDES pítulo 5 USUÁRIS D INTERNET N RSIL Sul 0% Note % Nodeste 1% Sudeste 5% ento-este 1% FINLIDDE D UTILIZÇÃ D INTERNET Estudo e pendizdo omunicção com outs pessos Lze (jogos, vídeos, etc) Leitu de jonis e evists Pesquis de infomções geis Tnsções bncáis omps ) sil pode se considedo um bom mecdo p empess de intenet? Sim, pois é o o pís em númeo de usuáios. b) Qul é egião com mio quntidde de usuáios d intenet? Qunts pessos estão conectds ness egião? egião com mio númeo de usuáios d intenet é Sudeste, com 5% dos usuáios. gáfico de coluns infom que o númeo de usuáios de intenet no sil é 9 milhões, logo tem-se: 5% de 9 milhões 0, pessos c) ite os tês mos de tividdes com mio finlidde de utilizção d intenet. É possível fim que são os setoes mis indicdos p investimento dess empes? Educção, comunicção e lze. Sim. PÁGIN 10 Questões globis 1 Dois pneus de um tto estão em pé, encostdos um no outo, em um supefície pln, como most figu. onsidendo s medids indicds, clcule o diâmeto do pneu mio. R R Tç-se o tiângulo etângulo confome figu cim, e em seguid plic-se o teoem de Pitágos. (R ) (R ) R R R R R R R dm d R 1 dm Detemine em seu cdeno áe de cd um dos tiângulos segui. ) b) P_YY_M9_R_05_10151.indd :7:55

22 RESLUÇÃ DE TIIDDES pítulo 5 c) 0 s efeêncis pesentds no tiângulo o ldo seão usds p esolução dos itens ) e b). d) ) n 0 n n b Áe Áe 00 b) n b n (n 9) 0 n 9n 00 0 n 1 h m n h 9 1 h 1 (9 1) 1 Áe Áe 150 s efeêncis pesentds no tiângulo o ldo seão usds p esolução dos itens c) e d). c) sen 0 h c c 1 c c 1 tg 0 b c d XX b 1 b d XX Áe 1 d XX c 0 m Áe d XX h c m n b b h n P d) Se o ângulo é 0, o ângulo P tmbém é 0. om elção P tem-se: tg 0 h d XX h h 1 d XX d XX d XX h 1 d XX h d XX E com elção tem-se: tg 0 m h d XX d XX m m 1 ssim, tem-se, p áe do tiângulo : Áe (1 ) d XX Áe d XX Áe 7 d XX Dois ldos de um tiângulo medem cm e 5 cm e fomm um ângulo de 10. Detemine o io d cicunfeênci inscit nesse tiângulo. Dic: use lei dos cossenos p detemin o teceio ldo. Tomndo-se s medids dos ldos tem-se: 5 sen 10 d 15 d XX d d 15 d XX 1 d 15 d XX cm (l) II) Sej o ldo cuj medid não foi dd no enuncido. Pel lei dos cossenos tem-se: 5 5 cos # cm (II) onsidendo-se que áe do tiângulo pode se escit como s, onde é o io d cicunfeênci inscit e s é o semipeímeto, tem-se: b c #, onde, b e c epesentm s medids dos ldos. Substituindo os esultdos de (I) e (II) tem-se: 15 d 5 7 # 15 d XX 15 d XX cm ndé e le desenhm, cd um, um cicunfeênci de io 1 cm. ndé desenhou um heágono inscito n cicunfeênci e le desenhou um tiângulo cicunscito. Qul dos dois polígonos tem mio peímeto: o de ndé ou o de le? ndé le P o heágono: L R 1 cm P Heágono 1 7 cm P o tiângulo: R L d XX L R d XX d XX d XX R d XX L 1 d XX L d XX P Tiângulo d XX P Tiângulo 7 d XX cm Logo o polígono de le possui mio peímeto: 7 d XX cm. de ndé tem peímeto igul 7 cm. Esse esultdo podei se veificdo intuitivmente, um vez que o peímeto do heágono inscito é necessimente meno que o d cicunfeênci, e o peímeto do tiângulo cicunscito é necessimente mio. 5 Um estei vi olndo ente dus ods cujos centos distm 1 cm um do outo, como mostdo segui. Detemine o compimento do segmento d estei compeendido ente os pontos em que el tngenci s ods, destcdo em vemelho n figu. vemelho 11 P_YY_M9_R_05_10151.indd :7:5

23 RESLUÇÃ DE TIIDDES pítulo 5 Unindo-se os centos ds ods obtém-se seguinte figu, onde b é o vlo pocudo. 1 s dois tiângulos etângulos fomdos são semelhntes pelo cso. Logo: cm 11 ssim, cm. 11 plicndo o teoem de Pitágos nos dois tiângulos etângulos d figu tem-se: (1 11 # cm 11 b 1 11 # 9 b 9 11 b b cm 11 Logo, b b 0 b 0 cm 11 Dois cículos de io 7 igul dm estão fios em um estutu etngul D, como P 7 most figu. Ddo que PQ 7 dm, detemine em seu cdeno D 7 Q áe do etângulo. plicndo potênci de ponto os vétices do etângulo cheg-se às medids d figu cim. Usndo Pitágos tem-se: ( 7 ) ( ) ( 7 ) ( 7) ( ) (9 ) Logo, áe do etângulo é ( ) ( 7 ) ( ) ( 7 ) dm. 7 qudiláteo D segui é um losngo e 1 d XX 5. Detemine em seu cdeno áe desse losngo. b D 1 Sej E o ponto em que se fom o ângulo eto n figu pesentd no enuncido. plicndo o teoem de Pitágos o tiângulo E, tem-se: 1 E (1 d XX 5 ) 1 E 70 E 57 E cm Sej medid do ldo do losngo, de modo que o ldo ED mede. Logo, plicndo o teoem de Pitágos no tiângulo ED, tem-se: 1 ( ) cm áe do losngo (que tmbém é um plelogmo) pode se clculd multiplicndo bse pel ltu: cm. Detemine em seu cdeno áe de um tpézio etângulo cujo peímeto é igul cm e cujs bses têm medid igul 5 cm e 11 cm. 5 cm 5 cm cm 11 cm Sej h o vlo de um dos ldos não plelos (e o mesmo tempo ltu do tpézio) e medid do outo ldo não plelo. No tiângulo etângulo fomdo n figu, tem-se: h h (I) omo o peímeto do tpézio é igul cm, tem-se: h 5 11 h 1 (II) Substituindo (II) em (I), tem-se: (1 ) 0 10 cm h 1 h 1 10 h cm (5 11) Áe Áe cm 9 Detemine em seu cdeno áe de um t- 10 pézio isósceles cujs h bses medem 5 cm e 10 cm e cujo peímeto mede 1 cm. 5 Sej h ltu do tpézio e medid dos ldos não plelos. plicndo o teoem de Pitágos em um dos tiângulos etângulos: h 1 h 1 (I) Sbendo que o peímeto é igul 1 cm, tem-se: cm (II) Substituindo (II) em (I), tem-se: h 5 1 h 7 h cm (5 10) Áe cm h h 1 P_YY_M9_R_05_10151.indd :7:5

24 RESLUÇÃ DE TIIDDES pítulo 5 10 Um tpézio isósceles tem peímeto 0 cm e bse meno cm. lcule o io d cicunfeênci nele inscit. Sejm medid d bse cm mio, medid dos ldos não plelos do tpézio e medid do io d cicunfeênci inscit. ltu- do tpézio seá, confome descito n figu. b omo o tpézio está cicunscito à cicunfeênci, tem-se que (I) omo o peímeto do tpézio é igul 0 cm, tem-se que 0 0 (II) Substituindo (I) em (II) tem-se: cm Logo, 0 cm omo o tpézio é isósceles, tem-se que ( ) b b 1 cm plicndo o teoem de Pitágos no tiângulo, tem-se: () b cm 11 Detemine áe de um tiângulo isósceles, sbendo que ltu eltiv à bse mede cm e que som dos ldos conguentes ecede bse em cm. Tomndo-se como medid de cd um dos ldos conguentes e b medid d bse, tem-se que: b b (I) plicndo o teoem de Pitágos no tiângulo fomdo pel ltu eltiv à bse, um dos ldos conguentes e metde d medid d bse, b # (II) Substituindo (I) em (II), b b # b _ b b 1 b 1 b b b b 1 cm Logo, tem-se: Áe 1 Áe cm 1 bissetiz de um dos ângulos gudos de um tiângulo etângulo divide o 5 y ldo oposto em dois segmentos de compimentos cm e 5 cm. Detemine áe do tiângulo. hmndo de medid de um dos ctetos, o outo cteto ficá dividido, pel bissetiz do ângulo gudo, em dus ptes, sendo um com cm e out com 5 cm. hmndo de y medid d hipotenus, pelo teoem d bissetiz inten tem-se: y y y (I) plicndo o teoem de Pitágos no tiângulo etângulo: 9 y (II) Substituindo (I) em (II) tem-se: 5 # cm Áe cm bs.: Se s medids de e 5 cm foem tocds de lug, s equções levm um vlo negtivo p, não hvendo potnto solução possível. 1 Um tpézio isósceles de ltu 7 cm e bses cm e cm está inscito em um cicunfeênci. ) Fç um esboço d figu em seu cdeno. b) Detemine medid d digonl desse tpézio. d 7 1 E1 D onsidendo o tiângulo etângulo E tem-se: 7 7 d 9 9 d 9 d 7 d XX cm c) Detemine medid do compimento d cicunfeênci. nlisndo os tiângulos etângulos d figu, tem-se: 7 (I) (7 ) (II) 0 (7 ) 0 (9 1 ) Substituindo o vlo de n equção (I), detemin-se : cm 1 P_YY_M9_R_05_10151.indd :7:59

25 RESLUÇÃ DE TIIDDES pítulo 5 PÁGIN 11 Questões globis 1 Louenço fez figu o ldo, em que P 5 cm e P 1 cm. Detemine o que se pede em cd item. 1 ) io d cicunfeênci. plicndo potênci de ponto os vétices e cheg-se às medids d figu cim. ssim, o cteto mede 5 e o cteto mede 1. plicndo o teoem de Pitágos: (5 ) (1 ) (1 5) d 17 1 (0) d 9 0 d d XXXX (não convém), 17 cm ssim, o io d cicunfeênci inscit é cm. b) s medids dos ctetos do tiângulo. Medids dos ctetos: 5 5 cm cm cm c) áe do tiângulo. Áe Áe 0 cm 15 Detemine s ltus indicds nos polígonos bio. ) c) 7 9 b) d) Losngo ) Tomndo-se como bse e 9 como ltu: Áe 9 Áe Tomndo-se 7 como bse e como ltu: Áe 7 Igulndo s epessões p áe: 7 1 b) Tomndo-se como bse e 1 como ltu: Áe P Tomndo-se 1 como bse e como ltu: Áe 1 Igulndo s epessões p áe: 7 1 c) hmndo medid dos ldos não plelos de, tem- -se, pelo fto do tpézio est 5 cicunscito: 10 5 plicndo-se o teoem de Pitágos no tiângulo fomdo pel ltu, pte d bse e um dos ldos não plelos: d) áe do losngo pode se escit como o poduto ds medids de sus digonis dividido po : (0 0) (15 15) Sej y medid do ldo do losngo. Um vez que s digonis de um losngo são pependicules, plicndo-se o teoem de Pitágos em um dos quto tiângulos intenos que compõem figu tem-se: 0 15 y 00 5 y y 5 omo o losngo é um plelogmo, áe pode se clculd tmbém d seguinte mnei: Áe do losngo 5 Igulndo s epessões p s áes: sl de Ptíci é etngul e mede m po 10 m. sl de láudi tmbém é etngul e mede m po 10 m. mbs mplim sus sls m n lgu e m no compimento. Qul ds dus teve mio gnho pecentul em áe n sl? Áe d sl de Ptíci ntes d mplição: 10 0 m Áe d sl de Ptíci depois d mplição: 1 9 m Pecentul de mplição: 9 1, o pecentul 0 de mplição foi de 0, ou 0%. Áe d sl de láudi ntes d mplição: 10 0 m Áe d sl de láudi depois d mplição: m Pecentul de mplição: 10 1,5 o pecentul 0 de mplição foi de 0,5 ou 50%. Logo, Ptíci teve mio gnho pecentul de áe n sl: 0%. 17 Detemine áe do tpézio bio. medid d ltu do tpézio (e do outo ldo não plelo) é igul à medid do diâmeto d cicunfeênci inscit, ou sej, mede 1. y 0 1 P_YY_M9_R_05_10151.indd ::00

26 RESLUÇÃ DE TIIDDES pítulo 5 Sej medid d bse meno epesentd po e medid d bse mio epesentd po y. (I) plicndo o teoem de Pitágos no tiângulo indicdo n figu cim tem-se: 1 y 0 y 00 1 y 5 y 1 (II) omo o tpézio está cicunscito tem-se: y 0 1 y Substituindo (I) em (II): 1 1 [( y) ] h Logo, Áe [( 1) ] 1 ( ) 1 _ Detemine áe de um tpézio de bse médi 1 cm e ltu 15 cm. Se bse médi mede 1 cm, então: b 1 b 1 b cm, onde epesent medid d bse mio e b medid d bse meno. ( b) 15 Áe Áe 10 cm 19 zão ente o ldo de um tiângulo equiláteo e o ldo de um quddo é igul. Detemine zão ente s áes. hmndo de medid do ldo do quddo e b medid do ldo do tiângulo equiláteo: b b (I) Áe tiângulo b d XX (II) Substituindo (I) em (II): Áe tiângulo () d XX 1 d XX d XX Áe quddo Logo, zão pedid d XX zão d XX 0 Pulo desenhou um quddo de ldo 1 cm inscito em um cicunfeênci. Min desenhou um tiângulo equiláteo inscito n mesm cicunfeênci. Qunto mede o ldo do tiângulo que Min desenhou? Pulo d Min 0 Se o quddo está inscito n cicunfeênci, então medid d digonl do quddo e medid do diâmeto d cicunfeênci são iguis. Logo, epesentndo-se medid d digonl do quddo po d e medid do io d cicunfeênci po, tem-se: d 1 d XX d 1 d XX d XX cm. No tiângulo equiláteo inscito, epesentndo-se medid d ltu po h, e medid do pótem po, obsev-se que h (I) sen 0 d XX 1 d XX d XX d XX d XX cm (II) Substituindo (II) em (I): h d XX d XX h 1 d XX cm. Repesentndo medid do ldo do tiângulo equiláteo po, esceve-se o seno de um dos ângulos d bse do tiângulo em função de e : sen 0 h d XX 1 d XX d XX d XX d XX d XX d XX d XX d XX d XX. d XX d XX cm 1 s cicunfeêncis mostds bio têm ios iguis 1 cm, e os polígonos nels inscitos são egules. Detemine os ldos desses polígonos. ) b) c) ) Repesentndo digonl do quddo po d, o io d cicunfeênci po e o ldo do quddo po : omo d e d d XX, então d XX 1 d XX d XX d XX d XX d XX 1 d XX cm b) Repesentndo ltu do tiângulo po h, o io d cicunfeênci po, o ldo do tiângulo po e o pótem do tiângulo po : 0 sen cm omo h tem-se h 1 9 h 7 cm Pode-se então esceve o seno de um ângulo d bse do tiângulo equiláteo em função de e : sen 0 h d XX 7 d XX 7 5 d XX 5 d XX d XX d XX 5 d XX 1 d XX cm 15 P_YY_M9_R_05_10151.indd ::0

27 RESLUÇÃ DE TIIDDES pítulo 5 c) onsidendo que um heágono egul pode se dividido em tiângulos equiláteos, medid do ldo de cd um desses tiângulos é do io d cicunfeênci. d ldo do heágono é tmbém ldo de um desses tiângulos, e potnto mede 1 cm. seguinte desenho é fomdo po dus cicunfeêncis cujos centos são e P. Sbendo que M é ponto médio d cod, detemine os ios ds cicunfeêncis, ddo que P 1 cm e 0 cm d cicunfeênci mostd bio tem io igul 1 cm, e os polígonos que s cicunscevem são egules. Detemine s medids dos ldos desses polígonos. ) b) c) ) Repesentndo o io d cicunfeênci po e o ldo do quddo po : 1 cm b) Repesentndo ltu do tiângulo po h, o io d cicunfeênci po, o ldo do tiângulo po e distânci ente o cento d cicunfeênci e o vétice do tiângulo po b, tem-se: sen 0 b 1 1 b cm b b h b h 1 h 5 cm Escevendo o seno do ângulo d bse em função de h e : sen 0 h d XX 5 d XX 5 10 d XX 10 d XX d XX d XX 10 d XX d XX cm c) Sejm o io d cicunfeênci e o ldo do heágono. omo o heágono pode se decomposto em seis tiângulos equiláteos, tom-se um deles e veific-se, po tigonometi, que: tg 0 d XX 1 d XX 1 d XX d XX d XX d XX d XX 1 d XX cm onsidee o io d cicunfeênci meno e 1 o io d cicunfeênci mio, confome most figu. Pelo teoem de Pitágos, tem-se: ( 1) ( 1) s ios medem 5 cm e 1 cm. s dus cicunfeêncis mostds bio são tngentes. onsidee s medids indicds e clcule o io d meno. cm cm omo s cicunfeêncis são tngentes, veificm- -se dois tiângulos semelhntes (pelo cso ), sendo que cd um deles possui como vétice o cento de um ds cicunfeêncis. Repesentndo medid do io d cicunfeênci meno po e estbelecendo s elções de semelhnç tem-se: d 1 (10) d 1 d XXXX cm ou 9 cm omo o io não pode se negtivo, 9 cm. 5 Pintndo um pede de um escol, um pinto fez o desenho mostdo bio. Detemine áe do tiângulo E D E Repesentndo medid de po, de po y e de DE po z, tem-se: (y 1 z) (I) d 1 P_YY_M9_R_05_10151.indd ::0