TRABALHO E POTENCIAL ELÉTRICO

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1 NOTA DE AULA PROF. JOSÉ GOMES RIBEIRO FILHO TRABALHO E POTENCIAL ELÉTRICO 01.INTRODUÇÃO O conceito de enegi potencil foi intoduzido no Cpítulo Enegi Mecânic em conexão com foçs consevtivs como gvidde e foç elástic de um mol. Usndo o pincípio d consevção de enegi em um sistem isoldo, evitmos fequentemente tlh dietmente com foçs o esolve polems mecânicos. Neste cpítulo utilizemos o conceito de enegi em nosso estudo d eleticidde. Como foç eletostátic (dd pel lei de Coulom) é consevtiv, os fenômenos eletostáticos podem convenientemente se descitos em temos de um função enegi potencil elétic. Este conceito nos pemite defini um gndez denomind potencil elético, um função escl d posição e, ssim, conduz um meio mis simples de desceve lguns fenômenos eletostáticos do que o método do cmpo elético. Como veemos nos cpítulos susequentes, o conceito de potencil elético é de gnde vlo pático. 0.REVISÃO DE TRABALHO E ENERGIA Qundo um ptícul cegd se desloc em um cmpo elético, o cmpo exece um foç que eliz um tlho soe ptícul. Esse tlho elizdo pode se sempe expesso em temos d enegi potencil elétic. Tl como enegi potencil gvitcionl depende d ltu em que se encont mss soe supefície teeste, enegi potencil elétic depende d posição d ptícul cegd no cmpo elético. Vmos começ fzendo evisão de lguns pontos essenciis do cpítulo tlho e enegi. Inicilmente, qundo um foç F tu soe um ptícul que se move de um ponto té um ponto, o tlho W elizdo pel foç é ddo pel integl de linh: W F d Fcosd (.1) onde d é um deslocmento infinitesiml o longo d tjetói seguid pel ptícul e φ é o ângulo ente F e d em cd ponto d tjetói. Em segundo lug, se foç F fo consevtiv, o tlho elizdo po F pode se sempe expesso em função d enegi potencil elétic U. Qundo ptícul que se move de um ponto no qul enegi potencil é U té um ponto no qul enegi potencil é U, vição d enegi potencil é U = U U e o tlho W elizdo pel foç é ddo W U U (U U ) U (.) Qundo W é positivo, U é mio do que U ; logo, U é negtiv e enegi potencil diminui. Isso é o que ocoe qundo um ol de futeol ci de um ponto mis elevdo () té um ponto mis ixo () so influênci d gvidde d Te; foç d gvidde eliz um tlho positivo, e enegi potencil gvitcionl diminui. Qundo um ol é tid de ixo p cim, foç d gvidde eliz um tlho negtivo dunte o intevlo em que ol está suindo e enegi potencil gvitcionl ument. Em teceio lug, o teoem do tlho enegi fim que vição d enegi cinétic K = K K dunte qulque deslocmento é igul o tlho totl elizdo soe ptícul. Qundo somente foçs consevtivs elizm tlho soe ptícul, então Equção (.) fonece o tlho totl elizdo e K K = (U U ). Gelmente, escevemos esse esultdo n fom K + U = K + U (.3) Ou sej, enegi mecânic totl (enegi cinétic mis enegi potencil) é consevd ns cicunstâncis mencionds. 03.ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA DE DUAS CARGAS PUNTIFORMES Considee inicilmente um cg puntifome situd em um cmpo elético poduzido po um distiuição estátic de cgs. Leme se do cpítulo nteio no qul dissemos que podemos epesent qulque distiuição de cgs como um coleção de cgs puntifomes, e que, potnto, é útil clcul o tlho elizdo soe um cg de teste q 0 que se move no cmpo elético poduzido po um únic cg estátic Q. Tomemos um deslocmento dil d cg teste q 0 como indicdo n Figu.1, de um ponto té um ponto. A foç soe q 0 é dd pel lei de Coulom e seu componente dil é 1

2 Qq F k (.4) FIGURA.1 () A cg q 0 se move o longo de um linh et que se estende dilmente pti d cg q 0. À medid que el se desloc de té, distânci vi de té. Qundo Q e q 0 possuem o mesmo sinl (+ ou ), foç é epulsiv e F é positivo; qundo o sinl de um ds cgs é contáio o d out, foç é ttiv e F é negtivo. A foç não é constnte dunte o deslocmento é peciso integ p clcul o tlho elizdo po ess foç soe q 0 qundo el se desloc de té. Encontmos Qq 1 1 W F d k dqq (.5) O tlho elizdo pel foç elétic p ess tjetói pticul depende pens do ponto inicil e do ponto finl. N vedde, o tlho elizdo é sempe o mesmo p tods s possíveis tjetóis ente e. P pov isso, considee um deslocmento gel (Figu.) no qul e não estejm situdos soe mesm et dil. Pel Equção (.1), o tlho elizdo soe q 0 dunte esse deslocmento é ddo po Qq W Fcosd k cosd FIGURA. O tlho elizdo soe cg q 0 pelo cmpo elético poduzido po um cg q depende somente ds distâncis e. Poém, figu most que cosφ d = d. Ou sej, o tlho elizdo dunte um deslocmento infinitesiml d depende somente d vição d d distânci ente s dus cgs, que fonece o componente dil do deslocmento. Potnto, Equção (.5) é válid tmém p esse deslocmento mis gel; o tlho elizdo pelo cmpo elético E poduzido po Q depende somente de e, e não dos detlhes d tjetói. Concluímos tmém que, se q 0 volt o seu ponto inicil, o tlho elizdo ness tjetói fechd é igul zeo (pois integl n Equção (.5) vi de té ). Esss são s ccteístics necessáis de um foç consevtiv. Vemos que s equções (.) e (.5) são consistentes, se definimos gndez kqq 0 / como enegi potencil U qundo cg q 0 está no ponto um distânci de Q, e se definimos gndez kqq 0 / como enegi potencil U qundo cg q 0 está no ponto um distânci de Q. Logo, enegi potencil U qundo cg q 0 está em um ponto situdo qulque distânci de Q é dd po

3 Qq U k (.6) 04.ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA COM DIVERSAS CARGAS PUNTIFORMES Suponh que o cmpo elético E no qul um cg q 0 se move sej poduzido po um conjunto de cgs puntifomes Q 1, Q, Q 3...,sepds de q 0 pels distâncis 1,, 3... como indic Figu.3. FIGURA.3 A enegi potencil ssocid com cg de teste q 0 no ponto depende ds cgs q 1, q e q 3, em como ds distâncis 1, e 3 ente esss cgs e o ponto. O cmpo elético totl é ddo pel som vetoil dos cmpos eléticos poduzidos pels cgs individuis do conjunto e o tlho totl elizdo soe q 0 dunte qulque deslocmento é som ds contiuições ds cgs individuis. De codo com Equção (.6), concluímos que enegi potencil ssocid com cg de teste q 0 no ponto indicdo n Figu.3 é som lgéic (e não som vetoil) dd po Q Q Q Q U kq... kq (.7) 1 3 I i I Qundo cg q 0 está em outo ponto, enegi potencil é dd pel mesm expessão, poém go 1,... são s distâncis ente Q 1, Q... e o ponto. O tlho elizdo soe cg q 0 qundo el se desloc de um ponto té um ponto o longo de qulque tjetói é igul à difeenç U U de enegi potencil qundo q 0 está em e no ponto. Podemos epesent qulque distiuição de cgs como um conjunto de cgs puntifomes. Potnto, Equção (.7) most que é sempe possível encont um função enegi potencil p qulque cmpo elético estático. A pti disso, podemos conclui que qulque cmpo elético poduzido po um distiuição de cgs estátics dá oigem um foç consevtiv A Equção (.7) fonece enegi potencil ssocid com pesenç d cg de teste q 0 no cmpo elético E poduzido po Q 1,Q,Q 3... Poém, tmém existe um enegi potencil ssocid com o conjunto desss outs cgs. Se inicilmente s cgs Q 1,Q, Q 3... estão sepds po distâncis infinits e segui poximmos dus cgs Q i e Q j de modo que distânci ente els sej ij, enegi potencil totl U é som ds enegis potenciis oiunds ds inteções de cd p de cgs. Podemos esceve o esultdo n fom QQ I j U k (.8) i j Ij Ess som deve se estendid p todos os pes de cgs; não podemos fze i = j (poque isso equivlei intoduzi um temo d inteção d cg com el mesm), e considemos pens i < j p gnti que contmos pens um vez cd p de cgs. Potnto, p levmos em cont inteção d cg Q 3 com cg Q 4, incluímos um temo com i = 3 e j = 4, poém não um temo i = 4 e j = POTENCIAL ELÉTRICO N seção 3.0, exminmos enegi potencil U ssocid com um cg de teste q 0 em um cmpo elético. Ago vmos exmin enegi potencil em um se "po unidde de cg", nlogmente o cso do cmpo elético, que é foç elétic po unidde de cg que tu soe um ptícul no cmpo. Isso conduz o conceito de potencil elético, em gel chmdo simplesmente de potencil. Esse conceito é muito útil p o cálculo ds enegis envolvids em ptículs cegds. Ele tmém fcilit deteminção de um cmpo elético, visto que o potencil elético está intimmente elciondo com o cmpo elético E. P detemin um cmpo elético, gelmente é mis fácil clcul inicilmente o potencil elético e segui ote o cmpo elético pti do potencil elético. Denomin se potencil elético enegi potencil po unidde de cg. Definimos o potencil elético V em qulque ponto de um cmpo elético como enegi potencil U po unidde de cg ssocid com um cg de teste q 0 nesse ponto: 3

4 U V q 0.9 A enegi potencil e cg são escles, de modo que o potencil elético é um gndez escl. De codo com Equção (.9), sus uniddes são otids dividindo se s uniddes de enegi pels uniddes de cg. A unidde SI de potencil elético é chmd de volt (1V) em homengem o cientist itlino e pesquisdo expeimentl d eleticidde Alessnd Volt ( ) sendo igul 1 joule po coulom: 1 V = 1 volt = 1 J/C = 1 joule/coulom. Vmos esceve Equção (.), que igul o tlho elizdo pel foç elétic dunte um deslocmento de té com gndez U = (U U ), usndo se um se de "tlho po unidde de cg". Dividimos ess gndez po q 0 e otemos W U U U V VV V (.10) q0 q0 q0 q0 onde V = U /q 0 é enegi potencil po unidde de cg no ponto e V é definido de modo nálogo. Chmmos V de potencil no ponto e V de potencil no ponto. Logo, o tlho elizdo po unidde de cg pel foç elétic qundo cg se desloc de té é igul o potencil no ponto menos o potencil no ponto. A difeenç V V denomin se potencil de em elção ; lgums vezes, ess difeenç seá evid como V = V V (oseve odem dos índices). Gelmente chmmos isso de difeenç de potencil ente e, poém tt se de lgo que pode se míguo, menos que o ponto de efeênci sej especificdo. Em cicuitos eléticos, que exminemos em cpítulos posteioes, difeenç de potencil ente dois pontos seá chmd de voltgem. P encontmos o potencil V de um únic cg puntifome q, dividimos Equção (.6) po q 0 : U Q V k q 0 (.11) onde é distânci ente cg Q e o ponto onde o potencil está sendo clculdo. Qundo Q é positivo, o potencil po el poduzido é positivo em todos os pontos do espço; qundo Q é negtivo, o potencil po el poduzido é negtivo em qulque ponto. Em mos os csos, V é igul zeo p, qundo distânci ente cg e o ponto é infinit. Oseve que o potencil, do mesmo modo que o cmpo elético, não depende d cg de teste q 0 que foi usd p defini lo. Anlogmente, dividindo se Equção (.7) po q 0 encontmos o potencil poduzido po um conjunto de cgs: U QI V k q 0 (.1) i I Ness expessão, i é distânci ente i ésim cg, Q i e o ponto onde o potencil está sendo clculdo. Assim como o cmpo elético totl de um conjunto de cgs é ddo pel som vetoil de todos os cmpos eléticos poduzidos pels cgs individuis, o potencil elético poduzido po um conjunto de cgs puntifomes é ddo pel som escl dos potenciis poduzidos pels cgs individuis. Considemos, então, o potencil devido um pequeno elemento de cg dq, ttndo esse elemento como um cg pontul (Figu.4). FIGURA.4 O potencil elético no ponto P devido um distiuição contínu de cg pode se clculdo dividindo se distiuição de cg em segmentos de cg dq e somndo se s contiuições p o potencil de todos os segmentos. No cso de um distiuição contínu de cgs o longo de um linh, o longo de um supefície ou de um volume, dividimos s cgs em elementos de cg dq, e som indicd n Equção (.1) se tnsfom em um integl: dq V k (.13) onde é distânci ente o elemento de cg dq e o ponto onde o potencil V está sendo clculdo. 4

5 Qundo conhecemos um dd coleção de cgs, Equção (.1) gelmente fonece o método mis fácil p clcul o potencil V. Contudo, em lguns polems p os quis o cmpo elético sej fonecido ou fcilmente otido, é mis fácil clcul V pti de E. A foç F soe um cg de teste q 0 é dd po F q0e ; logo, pel Equção (.1), o tlho elizdo pel foç elétic qundo cg de teste se move de té é ddo po W F d q E d 0 Dividindo ess elção po q 0 e compndo com Equção (.10), encontmos V V E d Ecosd (.14) Do mesmo modo que o vlo de W independe d tjetói, o vlo de V V não depende d tjetói que lig té. A Figu.5 most um cg puntifome positiv. O cmpo elético pont p fo d cg, e V= kq/ é positivo p qulque distânci finit ente o ponto e cg. Ao se fst d cg, no mesmo sentido de E, você se desloc p vloes menoes de V; poximndo se d cg, no sentido contáio o de E, você se desloc p vloes mis elevdos de V. P cg negtiv puntifome indicd n Figu.5, o cmpo elético E pont p dento d cg, e V = kq/ é negtivo p qulque distânci finit ente o ponto e cg. Nesse cso, qundo você se poxim d cg, no mesmo sentido de E, você se desloc p vloes decescentes (mis negtivos) de V. Qundo você se fst d cg, no sentido oposto o de E, se desloc p vloes cescentes (menos negtivos) de V. Reg gel válid p qulque cmpo elético: o se move no mesmo sentido de E, você se desloc p vloes decescentes de V, e, movendo se em sentido oposto o de E, se desloc p vloes cescentes de V. FIGURA.5 () Um cg puntifome positiv, () Um cg puntifome negtiv. Em mos os csos, movendo se no mesmo sentido de E, o potencil elético V diminui e, movendo se em sentido oposto o de E, o potencil V ument. 06. SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS As linhs de cmpo uxilim visulizção de um cmpo elético. De modo nálogo, os potenciis em divesos pontos de um cmpo elético podem se epesentdos gficmente po supefícies equipotenciis. Els empegm mesm idei ásic de mps topogáficos como queles usdos po excusionists e lpinists (Figu.6). Em um mp topogáfico, s linhs de contono ligm pontos com mesm ltu. Podei se desenhd qulque quntidde desss linhs, poém é suficiente most lgums linhs de contono p indic ltus igulmente espçds. Qundo um copo de mss m se desloc o longo de um linh de contono, enegi potencil gvitcionl mgy não vi poque ltu pemnece constnte o longo dess linh. Logo, um linh de contono em um mp topogáfico é um linh de enegi potencil gvitcionl constnte. FIGURA.6 Linhs de contono de um mp topogáfico. 5

6 Po nlogi com s linhs de contono em um mp topogáfico, um supefície equipotencil é um supefície em tês dimensões soe qul o potencil elético V pemnece constnte em todos os seus pontos. Qundo um cg de teste q 0 se desloc de um ponto outo soe ess supefície, enegi potencil elétic qv pemnece constnte. Em um egião onde existe um cmpo elético, podemos constui um supefície equipotencil em qulque locl. Nos digms, costum se suficiente most lgums supefícies equipotenciis mis epesenttivs, em gel igulmente espçds, p indic que difeenç de potencil ente dus supefícies djcentes é constnte. Nenhum ponto pode possui dois potenciis difeentes, potnto s supefícies equipotenciis não podem se cuz nem se tngenci. Como enegi potencil não vi qundo um cg de teste se desloc o longo de um supefície equipotencil, o cmpo elético não pode eliz tlho soe ess cg. Potnto, E deve se pependicul à supefície em todos os seus pontos, de modo que foç q 0 E seá sempe pependicul o deslocmento de um cg que se move soe supefície. As linhs de cmpo elético e s supefícies equipotenciis são sempe mutumente pependicules. Gelmente, um linh de cmpo é um cuv e um supefície equipotencil é um supefície cuv. No cso pticul de um cmpo elético unifome, p o qul s linhs de cmpo são ets plels e igulmente espçds, s supefícies equipotenciis são plnos pependicules esss ets. A Figu.7 most divesos njos de cgs. As linhs de cmpo elético estão situds no plno ds cgs; esss linhs cotm s otids pel inteseção ds supefícies equipotenciis com o plno d págin. Em cd ponto de inteseção ente um linh de cmpo elético e um linh equipotencil, s dus cuvs são pependicules. FIGURA.7 Supefícies equipotenciis (linhs tcejds) e linhs do cmpo elético (linhs contínus) p () um cmpo elético unifome poduzido po um plno infinito de cg, () um cg pontul e (c)um dipolo elético. Em todos os csos, s supefícies equipotenciis são pependicules às linhs do cmpo elético em todos os pontos. 07. GRADIENTE DE POTENCIAL O cmpo elético e o potencil são intimmente elciondos. A Equção (.14), e escit segui, expess um specto dess elção: V V E d Qundo conhecemos E em divesos pontos, podemos us ess equção p clcul um difeenç de potencil. Devemos se cpzes de invete ess opeção; qundo se conhece difeenç de potencil em divesos pontos, é possível plic ess equção p clcul E. Considendo V um função ds coodends (x, y, z) de um ponto do espço mostemos que E está elciondo dietmente com s deivds pciis de V em elção x,y e z. N Equção (.14), V V é o potencil de em elção o ponto, ou sej, vição do potencil qundo um ponto se desloc de té. Podemos esceve V V dv dv (.15) onde dv é um vição infinitesiml do potencil que compnh um elemento d tjetói d de té. Compndo com Equção (.14), otemos dv E d Esss dus integis devem possui o mesmo vlo p qulque p de limites e e, p que isso sej vedde, os integndos devem se iguis. Logo, p qulque deslocmento infinitesiml d, dv E d 6

7 P intepet ess expessão, escevemos E e d em temos dos seus espectivos componentes : E = ie x +je y + ke z e d = id x + jd y + kd z. Otemos então dv = E x dx + E y dy + E z dz Suponh que o deslocmento sej plelo o eixo Ox; logo, dy = dz= 0. Então, dv=e x dx ou E x = ( V/ x) y,z const, onde os índices sevem p slient que somente x está vindo n deivd; leme se de que V é função de x, y e z. E isso é extmente definição d deivd pcil V/ x. Os componentes y e z de E são elciondos de modo nálogo com s deivds pciis de V coespondentes, potnto temos V V V E x, E y, EZ (.16) x y Z Esss equções são consistentes com s uniddes de V/m do cmpo elético. Podemos esceve E em temos dos vetoes unitáios do seguinte modo: ˆV ˆV ˆ V Ex i j k (.17) x y Z Em notção vetoil, denomin se gdiente seguinte função f: f ˆ i ˆ j kˆ f (.18) x y Z O opedo designdo pelo símolo V denomin se "gd" ou "del". Potnto, em notção vetoil, escevemos E V (.19) A equção nteio pode se lid como "E é o gdiente de V com sinl contáio", ou então " E é igul menos gd de V". A gndez V denomin se gdiente de potencil. Em cd ponto, o gdiente de potencil pont no sentido p o qul V cesce mis pidmente com vição d posição. Potnto, em cd ponto, dieção e o sentido de E coespondem à dieção e o sentido em que V decesce mis pidmente, sendo sempe pependicul à supefície equipotencil que pss no ponto considedo. Isso confim osevção feit nteiomente, segundo qul qundo nos deslocmos no sentido do cmpo elético o potencil elético diminui. A Equção (.19) não depende d escolh pticul do ponto p o qul V é igul zeo. Se mudássemos o vlo desse ponto zeo, o efeito sei fze V vi pelo mesmo vlo constnte e ssim s deivds de V foneceim sempe o mesmo vlo. Qundo E possui um dieção dil em elção um ponto ou um eixo e é distânci té o ponto ou té o eixo, elção coespondente à Equção (.16) é dd po V E (.0) De um modo gel, podemos detemin o cmpo elético poduzido po um distiuição de cgs usndo qulque um dos dois métodos: dietmente, somndo cd cmpo E gedo pels cgs individuis puntifomes, ou então deteminndo pimeio o potencil e depois clculndo seu gdiente p ch o cmpo elético. O segundo método costum se mis fácil poque o potencil é um gndez escl, exigindo n pio hipótese integção de um função escl. O cmpo elético é um gndez vetoil, exigindo deteminção de cd componente p cd elemento de cg e integção sepd p cd componente. Potnto, deixndo de ldo su intepetção fundmentl, o potencil fonece um técnic de cálculo útil p s gndezs de cmpo. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01.Um dipolo elético consiste em dus cgs iguis e oposts sepds po um distânci, como n Figu. Um dipolo elético loclizdo no eixo x. O dipolo está o longo do eixo x e está centdo n oigem. Clcule ) o potencil elético em qulque ponto P o longo do eixo x. ) o cmpo elético em pontos muito distntes do dipolo. 7

8 ) Utilizndo Equção.1, temos Qi q q kq VK K i i x x x ) Se P está longe do dipolo, de tl fom que x>>, então pode se despezdo no temo x e V se ton kq V p (x ) x Utilizndo Equção.16 e esse esultdo, clculmos o cmpo elético em P: V 4kq Ex p (x ) 3 x x 0.Enconte o potencil elético e o cmpo elético em um ponto P situdo no eixo de um nel unifomemente cegdo de io e cg totl Q. O plno do nel é pependicul o eixo x. Um nel unifomemente cegdo de io, cujo plno é pependicul o eixo x. Todos os segmentos dq do nel estão à mesm distânci de qulque ponto P no eixo x. Vmos conside P como estndo um distânci x do cento do nel, como n Figu. O elemento de cg dq está um distânci igul x do ponto P. Dess fom podemos esceve V como dq dq Vk k x Neste cso, cd elemento dq está à mesm distânci de P. Sendo ssim, o temo x pode se emovido d integl e V se eduz k kq V dq x x A únic viável p V nest expessão é x. Pel simeti, podemos ve que, o longo do eixo x, E pode te pens um componente x. Sendo ssim, podemos utiliz Equção.15 p encont mgnitude do cmpo elético em P: dv d 1/ Ex kq (x ) dx dx 1 3/ kq (x ) (x) kqx 3/ (x ) 03.Enconte ) o potencil elético e ) mgnitude do cmpo elético o longo do eixo pependicul e centl de um disco de io unifomemente cegdo com um densidde de cg de supeficil. )Escolhemos o ponto P um distânci x do cento do disco e pegmos um plno do disco pependicul o eixo x. Podemos simplific o polem dividindo o disco em um séie de néis. O potencil elético de cd nel é dd pel Equção kqx Ex 3/ (x ) Considee um nel de io como d e lgu, como indicdo n Figu. A áe de supefície do nel é da =π d,d definição de densidde de cg supeficil, semos que cg soe o nel é da d. 8

9 A unifomemente cegd com um io de um disco encont se em um plno pependicul o eixo x. O cálculo do potencil elético em qulque ponto P soe o eixo x é simplificd, dividindo o disco em muitos néis de áe π d cd. Assim, o potencil no ponto P devido à este nel é kdq kd dv (x ) 1/ (x ) 1/ P encont o potencil elético totl em P, que som mis de todos os néis que compõem o disco. Ou sej, nós integmos dv de =0 =: d 1/ Vk k (x ) d 0 1/ (x ) 0 Este integl é d fom u n du e tem o vlo u n+1 /n+1 com n= 1/ e u= +x onde e isso dá Vk x 1/ x ) Podemos encont o cmpo elético em qulque ponto xil como dv x Ex k1 1/ dx (x ) O cálculo de V e E p um ponto itáio fo do eixo é mis difícil de execut, e nós não ttmos est situção neste texto. 04.Um hste de compimento situdo o longo do eixo x tem um cg totl Q e um densidde de cg line unifome λ=q /. Enconte o potencil elético num ponto P loclizdo no eixo Y um distânci um d oigem. A linh de cg unifome de compimento situdo o longo do eixo x. P clcul o potencil elético em P, linh de cg é dividid em segmentos cd um de compimento dx e cd um cegndo um cg dq =λdx. O elemento de compimento dx tem um cg dq = λdx. P esse elemento um distânci x do ponto P, podemos expess o potencil no ponto P devido este elemento como kdq kdx dv 1/ (x ) P ote o potencil totl em P, integmos est expessão soe os limites x = 0 té x=. Notndo que k e λ são constntes, nós chmos que dx Q dx Vk k 0 1/ 0 1/ (x ) (x ) Ess integl tem o seguinte vlo dx 1/ ln 1/ x (x ) (x ) Avlindo V, vemos que 9

10 1/ kq ( ) V ln 05.Dus cgs puntifomes estão loclizds soe o eixo Ox, q 1 = e no ponto x = 0 e q = +e no ponto x =. ) Clcule o tlho elizdo po um foç exten p tze um tecei cg puntifome q 3 = +e do infinito té o ponto x =. ) Clcule enegi potencil totl do sistem constituído pels tês cgs. ) O tlho elizdo soe q 3 po um foç exten F ext é igul à difeenç de dus gndezs: enegi potencil U ssocid com q 3 qundo el está no ponto x = e enegi potencil qundo el está no infinito. Esse último vlo é zeo, de modo que o tlho elizdo é igul U. As distâncis ente s cgs são: 13 = e 3 =, então, de codo com Equção (.7), Q1 Q e e e W U kq3 ke k 13 3 Qundo tzemos q 3 do infinito o longo do eixo +Ox, el é tíd po Q 1, poém é epelid mis fotemente po Q ; potnto, o tlho elizdo p tze Q 3 té x deve se positivo. ) A enegi potencil totl do conjunto ds tês cgs é dd pel Equção (4.11): QQ I j QQ 1 QQ 1 3 QQ 3 ee ee ee e Uk k k k i j Ij Como U < 0, o sistem possui um enegi potencil mis ix do que tei se s distâncis ente s cgs fossem infinits. Um foç exten pecisi eliz um tlho negtivo p tze do infinito s tês cgs té sus posições no conjunto e eliz um tlho positivo p fstá ls de volt p o infinito. 06.Integndo o cmpo elético como n Equção (.14), detemine o potencil um distânci d cg Q. Sej V o potencil um distânci d cg puntifome. Como de costume, escolhemos o vlo zeo p o potencil em um ponto situdo um distânci infinit d cg. P encontmos V, considemos o ponto n Equção (.14) situdo um distânci e o ponto no infinito. P fzemos integl, podemos escolhe qulque tjetói que ligue esses dois pontos; tjetói mis conveniente é um linh et dil, como indicdo n Figu, de modo que d é dieção dil e possui módulo d. Considendo q positivo, E e d são sempe plelos, potnto (φ = 0 e equção (4.17) fonece o esultdo kq kq kq V0 E d d 0 kq V Isso está de codo com Equção (.11) Cálculo do potencil pel integl do cmpo E p um únic cg puntifome. 07.Um esfe conduto mciç sem ucos possui um io R e um cg totl Q. Detemine o potencil em todos os pontos do exteio e do inteio d esfe. Já usmos lei de Guss p most que em todos os pontos do exteio d esfe o cmpo elético é o mesmo que sei poduzido emovendo se esfe e colocndo se em seu cento um cg puntifome Q. Considemos V = 0 no infinito, como no cso de um cg puntifome. Potnto, o potencil poduzido pel esfe um distânci de seu cento é igul o potencil poduzido po um cg puntifome Q situd no cento d esfe: kq V 10

11 O potencil n supefície d esfe é ddo po V sup = Q/4πε 0 R. O cmpo elético E é igul zeo em todos os pontos no inteio d esfe; em cso contáio, ocoei um movimento de cgs dento d esfe. Potnto, se um cg de teste se deslocsse de um ponto p outo no inteio d esfe, nenhum tlho sei elizdo soe ess cg. Isso signific que o potencil é constnte em todos os pontos no inteio d esfe e seu vlo é igul o potencil n supefície d esfe, ou sej, Q/4πε 0 R. O cmpo elético e o potencil de um cg positiv Q são indicdos em função de n Figu. Nesse cso, o cmpo elético pont dilmente p fo d esfe. À medid que você se fst d esfe, no mesmo sentido de E, V diminui (como e de espe). O cmpo elético n supefície d esfe possui módulo ddo po E sup = Q /4πε 0 R. O módulo do cmpo elético E e o potencil V p pontos no inteio e no exteio de um conduto esféico com um cg positiv. 08.Clcule o potencil um distânci de um fio cegdo muito longo com um densidde de cg line (cg po unidde de compimento) igul λ. Veificmos no Exemplo 3.6 (Seção 3.5) que o cmpo elético um distânci de um fio cegdo muito longo (Figu ) ou fo de um cilindo conduto muito longo (Figu ) possui um único componente dil ddo po 1 E 0 Cmpo elético fo de () um fio muito longo cegdo positivmente; () um cilindo muito longo cegdo positivmente. Podemos clcul o potencil integndo E como indic Equção (.14). Visto que o cmpo elético possui um único componente dil, o poduto escl E d é igul E d. Logo, o potencil em qulque ponto em elção qulque outo ponto, situdos distâncis e do fio, é ddo po d VV E d Ed ln 0 0 Se considemos V = 0 em um ponto no infinito, veificemos que V se ton infinito: V ln 0 Isso most que, se tentmos defini V como zeo em um ponto no infinito, então V deveá se igul infinito p qulque distânci finit do fio. Logo, esse não é um modo útil p defini V p esse polem! Ess dificuldde, confome dissemos nteiomente, é explicd poque pópi distiuição de cgs se estende té o infinito. P conton ess dificuldde, leme se de que você pode defini V como zeo em qulque ponto que desej. Vmos conside V = 0 em um ponto situdo um distânci dil itái 0. Então, o potencil V = V em um ponto um distânci dil é ddo po V 0 = (λ/πε 0 ) In ( 0 /), ou 11

12 0 V ln 0 Ess elção tmém fonece o potencil elético de um cilindo conduto cegdo, poém considendo pens vloes de iguis ou mioes do que o io R do cilindo. Se escolhemos 0 como o io R do cilindo, então V = 0 qundo = R; logo, p qulque ponto > R, temos R V ln 0 onde é distânci medid pti do eixo do cilindo. No inteio do cilindo, E 0 e V possui o mesmo vlo (zeo) existente n supefície do cilindo. 09.Um cg elétic Q está distiuíd unifomemente o longo de um fio etilíneo ou soe um fin de compimento. Clcule o potencil o longo d et pependicul pssndo no cento d em um ponto P situdo um distânci x de seu cento. FIGURA 4.15 Cálculo do potencil elético o longo d et pependicul pssndo no cento de um fin de compimento. Ess é mesm situção descit nteiomente. Como nquele exemplo, um elemento de cg dq coespondente um elemento de compimento dy é ddo po dq = (Q/)dy. A distânci ente dq e o ponto P é igul x y, e o potencil infinitesiml dv no ponto P é ddo po Q dy dv k x y P otemos o potencil no ponto P poduzido pel intei, integmos dv o longo do compimento d de y = té y = +: Q V k x y dy Você pode pocu ess integl em um tel. O esultdo é Q x Vk ln x Qundo o vlo de x é muito elevdo, o potencil V deve tende zeo; convidmos você pov esse esultdo. 10.Pel Equção (.11), o potencil de um cg puntifome Q um distânci dil é ddo po V = Q/4πε 0. Clcule o veto cmpo elético pti dess expessão de V. Pel simeti do polem, o cmpo elético possui somente componente dil; logo, usmos Equção (.10) de modo que o veto cmpo elético é ddo po V kq kq E kq EE ˆ ˆ 1

13 EXERCÍCIOS PARA RESOLVER 01. O cmpo elético em um detemindo locl é nulo. Este fto signific, necessimente, que o potencil elético no mesmo locl tmém é igul zeo? Use um ponto soe linh ente os dois pontos de cg idênticos como um exemplo p poi o seu ciocínio. 0.Existe um enegi potencil elétic qundo dois pótons estão sepdos po um cet distânci. A enegi potencil elétic ument, diminui ou pemnece mesm qundo ) os dois pótons são sustituídos po elétons ) pens um dos pótons é sustituído po um eléton? Justifique s sus esposts. 03. Um póton é fixdo em um locl. Um eléton é solto do epouso e pemite se que ele sof um colisão com o póton. Depois s posições do póton e do eléton são tocds, e o mesmo expeimento é epetido. Qul tem mio velocidde escl qundo s colisões ocoem, o póton ou o eléton? Justifique su espost 04.Um cg de teste positiv é colocd em um cmpo elético. Em que dieção cg deve se deslocd em elção o cmpo, de modo que cg estej sujeit um potencil elético constnte? Explique. 05.Se um ptícul cegd positivmente se move n dieção de um cmpo elético, su enegi potencil elétic ument, diminui ou pemnece mesm? E no cso de um ptícul cegd negtivmente? 06.Considee um ponto em que E = Ei. A pti desse ponto, dê um dieção (em temos de um veto unitáio) em que o potencil ) umente ) diminu c) pemneç o mesmo. 07.Um ptícul cegd se move n dieção de um cmpo elético e su enegi potencil ument. Qul é o sinl d cg d ptícul? 08.Se se conhece o vlo numéico do cmpo elético em um único ponto do espço, é possível, com se ness infomção, detemin o potencil nquele ponto? Em cso fimtivo, como? 09.Se se conhece um expessão do cmpo elético em temos de coodends em um egião do espço, pode se us ess infomção p detemin difeenç de potencil ente dois pontos dento d egião? Em cso fimtivo, como? 10.Você ecee tef de gud um instumento de pecisão de modo que ele não fique exposto cmpos eléticos. Explique como pode fze isso. 11.Os dispositivos de cicuitos integdos são envolvidos em mteil conduto qundo mzendos ou emcdos. Po quê? 1. Um cg de +9q é fixd um vétice de um quddo, enqunto um cg de 8q é fixd o vétice digonlmente oposto. Que cg, em função de q, de vei se fixd no cento do quddo p que o potencil sej nulo em cd um dos dois vétices vzios? 13. Quto cgs idêntics (+,0 μc cd) são tzids do infinito e fixds fomndo um linh et. As cgs estão loclizds 0,40 m de distânci um d out. Detemine enegi potencil elétic deste gupo. 14. Dois pótons estão se movimentndo um em dieção o outo. Qundo eles estão em distntes, sus velociddes escles iniciis são iguis 3, m/s. Qul distânci d poximção máxim? 15. Dus cgs pontuis idêntics de + 1,7 μc são fixds os vétices digonlmente opostos de um quddo. A tecei cg é, então, fixd no cento do quddo, de tl modo que el fç com que os potenciis nos vétices vzios mudem de sinis sem mud de módulos. Ache o sinl e o módulo d tecei cg. 13

14 16. Um cg positiv de +q 1 está loclizd 3,00 m à esqued de um cg negtiv q. As cgs têm módulos difeentes. N linh que pss pels cgs, o cmpo elético esultnte é nulo em um ponto 1,00 m à dieit d cg negtiv. Nest linh existem tmém dois pontos onde o potencil é nulo. Loclize estes dois pontos em elção à cg negtiv. 17. Tês cgs puntifomes são posicionds soe o eixo x: q 1 n oigem, q em x =,0 m e q 3 em x = 16, 0 m. Se q 1 = q =, 0μC e q 3 =, 0μC ) Detemine o potencil elético em x = 0, y = 3, 0 m. ) Qul é enegi potencil elétic cumuld neste sistem de tês cgs? 18. Detemine o cmpo E x, E y e E z, p os potenciis seguintes, ddos em volts,: ) V(x) = x; ) V(x) = x; c) V(x, y) = xy; d) V(x, y) = 1500xy 040x y; e) V(x, y, z) = 1500zy 040x y + 10z. 19. Otenh po integção o potencil elético de um nel de cg Q e io R num ponto genéico z soe o eixo do nel, supondo o mesmo centdo n oigem O de um sistem de coodends ctesino e disposto no plno xy. 0. Considee um ponto em que E = Eî. A pti desse ponto, dê um dieção (em temos de um veto unitáio) em que o potencil ) umente ) diminu, c) pemneç o mesmo. 1.Um cg puntifome q 1 é mntid em epouso n oigem. Um segund cg puntifome q é colocd em um ponto e enegi potencil elétic desse conjunto de dus cgs é igul 5, J. Qundo segund cg se desloc té um ponto, o tlho elizdo pel foç elétic soe cg é igul 1, J. Qul é enegi potencil elétic desse conjunto de cgs qundo segund cg se encont no ponto?. Tês cgs puntifomes, cd um dels com cg igul +1,0 μc, são colocds nos vétices de um tiângulo equiláteo de ldo 0,500 m. Qul é enegi potencil do sistem? (Considee U igul zeo qundo distânci ente s cgs fo infinit.) 3. Um cg puntifome q 1 = 4,00 nc é mntid em epouso n oigem e um segund cg puntifome q = 3,00 nc é colocd soe o eixo Ox no ponto x = +0,0 cm. Um tecei cg puntifome q 3 =,00 nc deve se colocd soe o eixo Ox ente q 1 e q. Considee enegi potencil igul zeo qundo distânci ente s cgs fo infinit, ) Qul seá enegi potencil do sistem qundo cg q 3 fo colocd no ponto x = +10,0 cm? ) Em que ponto cg q 1 deve se colocd p que enegi potencil do sistem sej igul zeo? 4. Tês cgs puntifomes, inicilmente muito fstds ente si, estão soe os vétices de um tiângulo equiláteo de ldo igul d. Dus desss cgs são idêntics e possuem cg q. Desejmos eliz um tlho líquido igul zeo p coloc s tês cgs nos vétices do tiângulo; qul deve se o vlo d tecei cg? 5. Dus cgs puntifomes positivs, cd um com módulo q, são fixds soe o eixo Oy nos pontos y = e y =. Considee zeo o potencil um distânci infinit ds cgs. ) Fç um digm p most s posições ds cgs. ) Qul é o potencil V 0 n oigem? c) Moste que o potencil em qulque ponto soe o eixo Ox é ddo po k x d) Fç um gáfico do potencil soe o eixo Ox em função de x de x = 4 té x = +4. e) Qul é o potencil qundo x>>? Explique como esse esultdo é otido. 6.Um cg positiv +q está loclizd no ponto x = 0 e y = e um cg negtiv q está loclizd no ponto x = 0 e y = +. 14

15 ) Fç um digm p most s posições ds cgs, ) Deduz um elção p o potencil V em qulque ponto soe o eixo Ox em função d coodend x. Considee zeo o potencil um distânci infinit ds cgs, c) Fç um gáfico do potencil soe o eixo Ox em função de x de x = 4 té x = +4. d) Qul sei espost do item () se s cgs tocssem de posição, ou sej, se +q fosse loclizd em y = + e q em y =? 7.A um cet distânci de um cg puntifome, o potencil e o módulo do cmpo elético são ddos espectivmente po 4,98 V e 1,0 V/m. (Considee zeo o potencil um distânci infinit d cg.) ) Qul é o vlo dess distânci? ) Qul é o módulo d cg? c) O cmpo elético está oientdo p dento ou p fo d cg? 8. Um fio etilíneo infinito possui um densidde line de cg igul 5, C/m. Um póton (mss 1, kg, cg +1, C) está um distânci de 18,0 cm do fio e se desloc dilmente no sentido do fio com velocidde igul 1, m/s. Até que distânci mínim do fio o póton pode se poxim? 9. Um hste isolnte fin é encuvd fomndo um co cicul de io e um cg elétic totl Q é distiuíd unifomemente o longo d hste. Considendo o potencil igul zeo um distânci infinit, clcule o potencil no cento de cuvtu do co. 30. Considee tês cgs pontuis q 1, q e q 3, colocds nos vétices de um tiângulo eqüiláteo de ldo igul L. ) Detemine o potencil elético no ponto onde se situ cg q 1. ) Clcule o tlho elizdo po um foç exten p desloc cg q 1 do vétice do tiângulo té o infinito. c) Clcule enegi potencil do sistem 31. Considee um esfe mciç e homogêne de io e cg Q. Detemine o potencil poduzido po est distiuição nos pontos extenos est esfe. 3. Detemine o módulo do cmpo elético poduzido po um esfe homogêne com cg Q e io p os pontos situdos no inteio d esfe, ou sej, p. 33. Um distiuição de cgs com simeti esféic poduz, fo d distiuição, um cmpo elético ddo po: E= + ˆ ˆ 3 onde e são constntes, é distânci o cento d distiuição e ˆ é o veto unitáio do veto posição. Otenh expessão do potencil elético em função de. 34. O potencil de um distiuição de cgs com simeti pln é ddo po: V= x x 3 onde e são constntes com dimensões popids p ton expessão do potencil dimensionlmente homogêne. Detemine expessão do módulo do cmpo elético. 35. Um cet distiuição de cgs poduz um potencil elético ddo po: V= xy + xy Detemine: ) o componente E x do cmpo elético; ) o componente E y do cmpo elético; c) o módulo do cmpo elético esultnte. 36.Dê um exemplo de um distiuição de cgs que poduz cmpo elético nulo num ponto, ms potencil difeente de zeo no mesmo ponto. 37. Considee um conjunto de n cgs pontuis de mesmo sinl (tods els são positivs ou tods são negtivs). ) O cmpo elético poduzido po este conjunto de cgs de mesmo sinl pode se nul em lgum ponto do univeso lém do infinito? ) Existe lgum ponto em que o potencil se nul? 15

16 38. Indique pelo menos um configução contendo tês cgs pontuis sepds po distâncis finits, de tl modo que enegi potencil do sistem sej igul zeo. 39. Considee um esfe de io R com um cg q distiuíd unifomemente no volume d esfe. Em que ponto no exteio d esfe o potencil se eduz à metde do vlo do potencil n supefície d esfe? 40. As cgs q 1 e q estão fixs em posições específics, q estndo loclizd um distânci d dieit de q 1. Um tecei cg q 3 é, então, fixd n linh que une q 1 e q um distânci d dieit de q. A tecei cg é escolhid de mnei que enegi potencil do gupo sej nul; ou sej, enegi potencil tem o mesmo vlo que quele ds tês cgs qundo els estão mplmente sepds. Detemine q 3, supondo que ) q 1 = q = q ) q 1 = q e q = q. Expesse s sus esposts em temos de q. 41. Um eléton e um póton, ptindo do epouso, são celedos tvés de um difeenç de potencil elético de mesmo módulo. No pocesso, o eléton dquie um velocidde escl v e, enqunto o póton dquie um velocidde v p. ) Qundo cd ptícul é celed pti do epouso, el gnh enegi cinétic. Há ped ou gnho de enegi potencil elétic? ) O eléton gnh mis, menos ou mesm quntidde de enegi cinétic que o póton? c) v e é mio, meno ou igul v p? Justifique s sus esposts. 4. Um cg pontul positiv está envolt po um supefície eqüipotencil A, que tem um io A. Um cg de teste positiv se move d supefície A p out supefície eqüipotencil B, que tem um io B. No pocesso, foç elétic eliz tlho negtivo, ) A foç elétic que tu soe cg de teste tem mesm dieção e sentido que o deslocmento d cg de teste? ) B é mio ou meno do que A? Explique s sus esposts 43. () Clcule velocidde de um póton que é celedo pti do epouso po um difeenç de potencil de 10 V. () Clcule velocidde de um eléton que é celedo pel mesm difeenç de potencil. 44. () Enconte o potencil um distânci de 1,00 cm de um póton. () Qul é difeenç de potencil ente dois pontos que estão 1,00 cm e,00 cm de um póton? (c) Repit os itens () e () p um eléton. 45. Demonste que quntidde de tlho necessái p coloc quto cgs pontuis idêntics de mgnitude Q nos cntos de um quddo de ldo s é 5,41kQ /s. 46. O potencil elético dento de um conduto esféico cegdo de io R é ddo po V = kq/r e fo do conduto é ddo po V= kq/. Utilizndo E = dv/d, deive o cmpo elético ) dento e ) fo dess distiuição de cg. 47. Em um detemind egião do espço, o potencil elético é ddo po V = 5x 3x y + yz. Enconte s expessões p s componentes x, y e z do cmpo elético ness egião. Qul é mgnitude do cmpo no ponto P, cujs coodends são (1, 0, ) m? 48. Considee um nel de io R com cg totl Q unifomemente distiuíd po seu peímeto. Qul é difeenç de potencil ente o cento do nel e um ponto no seu eixo um distânci R do cento? 49. Um de compimento L (Figu) se encont soe o eixo x com su extemidde esqued n oigem. El tem um densidde de cg não unifome λ = αx, onde é um constnte positiv, ) Quis são s uniddes de α? ) Clcule o potencil elético em A. 16

17 50. P o njo descito no polem nteio, clcule o potencil elético no ponto B que se encont n issetiz pependicul d um distânci cim do eixo x. 51. O eixo x é o eixo de simeti de um nel unifomemente cegdo de io R e cg Q. Um cg pontul Q de mss M está loclizd no cento do nel. Qundo el é levemente deslocd, cg pontul cele o longo do eixo x p o infinito. Demonste que velocidde finl d cg pontul é / 5.Clcul o tlho de um opedo p mont o sistem constituído pels quto cgs elétics puntifomes e positivs, de vlo q, disposts em um quddo de ldo, como most figu que se segue. O meio é o vácuo e constnte eletostátíc é K O. 17

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