DESAFIOS. π e. π

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1 DESAFIOS ENZO MATEMÁTICA 01-(FUVEST) Sejm x e y dois números reis, com 0<x < 2 π e 2 π <y < π, stisfzendo seny = 5 4 e 11senx + 5cos(y x) = 3. Nesss condições, determine ) cosy. b) sen2x. 02-(FUVEST) No sistem ortogonl de coordends crtesins Oxy d figur, estão representdos circunferênci de centro n origem e rio 3, bem como o gráfico d função 8 y = x Nesss condições, determine ) s coordends dos pontos A, B, C, D de interseção d circunferênci com o gráfico d função. b) áre do pentágono OABCD.

2 03-(FUVEST) Em um mes de bilhr, coloc-se um bol brnc n posição B e um bol vermelh n posição V, conforme o esquem bixo. Deve-se jogr bol brnc de modo que el sig trjetóri indicd n figur e tinj bol vermelh. Assumindo que, em cd colisão d bol brnc com um ds bords d mes, os ângulos de incidênci e de reflexão são iguis, que distânci x do vértice Q deve-se jogr bol brnc?

3 04-(FUVEST) Determine solução (x, y), y >1, pr o sistem de equções log log y ( 9x 35) ( 27 81) 3 y x = 6 = 3

4 05-(FUVEST) No triângulo ABC d figur, medin AM, reltiv o ldo BC é perpendiculr o ldo AB. Sbe-se tmbém que BC = 4 e AM = 1. Se α é medid do ângulo ABC, determine ) senα b) o comprimento AC. c) ltur do triângulo ABC reltiv o ldo AB d) áre do triângulo AMC. 06-(ITA) Considere s funções f(x) = função compost fog é igul A) 1. B) 2.C) 3.D) 4.E) 5. 4 x + 2 x 3 2x 1 e g(x) = 2 x 2x + 1. A multiplicidde ds rízes não reis d

5 07-(ITA) Um mostr de estrngeiros, em que 18% são proficientes em inglês, relizou um exme pr clssificr su proficiênci nest língu. Dos estrngeiros que são proficientes em inglês, 75% form clssificdos como proficientes. Entre os não proficientes em inglês, 7% form clssificdos como proficientes. Um estrngeiro dest mostr, escolhido o cso, foi clssificdo como proficiente em inglês. A probbilidde deste estrngeiro ser efetivmente proficiente nest língu é de proximdmente A) 73%. B) 70%. C) 68%.D) 65%.E) 64%. 08-(ITA) Considere o triângulo ABC de ldos = BC, b = AC e c = AB e ângulos internos α= CÂB, β = ABC e γ = BCA. Sbendo-se que equção x2 2bxcos + b2 2 = 0 dmite c como riz dupl, pode-se firmr que A) α= 90º. B) β = 60º. C) γ = 90º. D) O triângulo é retângulo pens se α = 45º. E) O triângulo é retângulo e b é hipotenus. 09-(ITA) Sejm C um circunferênci de rio R >4 e centro (0, 0) e AB um cord de C. Sbendo que (1, 3) é ponto médio de AB, então um equção d ret que contém AB é A) y + 3x 6 = 0. B) 3y + x 10 = 0 C) 2y + x 7 = 0 D) y + x 4 = 0. E) 2y + 3x 9 = (ITA) Um esfer é colocd no interior de um cone circulr reto de 8cm de ltur e de 60º de ângulo de vértice. Os pontos de contto d esfer com superfície lterl do cone definem um circunferênci e distm 2 3 cm do vértice do cone. O volume do cone não ocupdo pel esfer, em cm³, é igul )416π/9 b)480π/9 c)500π/9 d)512π/9 e) 542π/9

6 11-(ITA) Considere um populção de igul número de homens e mulheres, em que sejm dltônicos 5% dos homens e 0,25% ds mulheres. Indique probbilidde de que sej mulher um pesso dltônic seleciond o cso ness populção. )1/21 b) 1/8 c)3/11 d) 5/21 e) 1/ 4 12-(ITA) Os vlores de x IR, pr os quis função rel dd por está definid, f ( x) = 5 2x 1 6 formm o conjunto A) [0, 1]. B) [ 5, 6]. C) [ 5, 0] [1, ). D) (, 0] [1, 6]. E) [ 5, 0] [1, 6]. 13-(ITA) A divisão de um polinômio f(x) por (x 1) (x 2) tem resto x + 1. Se os restos ds divisões de f(x) por x 1 e x 2 são, respectivmente, os números e b, então ² + b² vle A) 13. B) 5 C) 2 D) 1. E) (ITA) Dd função qudrátic 2 2 f ( x) = x ln + x ln ln 4 3 temos que A) equção f (x) = 0 não possui rízes reis. B) equção f(x) = 0 possui dus rízes reis distints e o gráfico de f possui concvidde pr cim. C) equção f (x) = 0 possui dus rízes reis iguis e o gráfico de f possui concvidde pr bixo. D) o vlor máximo de f é E) o vlor máximo de f é ln 2.ln3 ln3 ln 2 ln 2.ln3 2 ln 3 ln 2

7 15-(ITA) O rio d bse de um cone circulr reto é igul à médi ritmétic d ltur e gertriz do cone. Sbendo-se que o volume do cone é 128πm³, temos que o rio d bse e ltur do cone medem, respectivmente, em metros: A) 9 e 8 B) 8 e 6 C) 8 e 7 D) 9 e 6 E) 10 e 8 16-(ITA) Considere circunferênci inscrit num triângulo isósceles com bse de 6cm e ltur de 4cm. Sej t ret tngente est circunferênci e prlel à bse do triângulo. O segmento de t compreendido entre os ldos do triângulo mede A) 1cm B) 1,5cm C) 2cm D) 2,5cm E) 3cm

8 17-(ITA) Considere três polígonos regulres tis que os números que expressm quntidde de ldos de cd um constitum um progressão ritmétic. Sbe-se que o produto destes três números é igul 585 e que som de todos os ângulos internos dos três polígonos é igul 3780º. O número totl ds digonis nestes três polígonos é igul : A) 63 B) 69 C) 90 D) 97 E) (ITA) Retirm-se 3 bols de um urn que contém 4 bols verdes, 5 bols zuis e 7 bols brncs. Se P1 é probbilidde de não sir bol zul e P2 é probbilidde de tods s bols sírem com mesm cor, então lterntiv que mis se proxim de P1 + P2 é A) 0,21. D) 0,35. B) 0,25. E) 0,40. C) 0,28.

9 p x = x x + x x 19-(ITA) Sobre o polinômio ( ) podemos firmr que A) x = 2 não é riz de p B) p só dmite rízes reis, sendo um dels inteir, dus rcionis e dus irrcionis C) p dmite um únic riz rel, sendo el um riz inteir D) p só dmite rízes reis, sendo dus dels inteirs E) p dmite somente 3 rízes reis, sendo um dels inteir e dus irrcionis 20-(UNICAMP) Considere mtriz A = , cujos coeficientes são números reis. ) Suponh que extmente seis elementos dess mtriz são iguis zero. Supondo tmbém que não há nenhum informção dicionl sobre A, clcule probbilidde de que o determinnte dess mtriz não sej nulo. b) Suponh, gor, que ij = 0 pr todo elemento em que j > i, e que ij = i j + 1 pr os elementos em que j i. Determine mtriz A, nesse cso, e clcule su invers, 1 A.

10 21-(UNICAMMP) Dois sites de relcionmento desejm umentr o número de integrntes usndo estrtégis gressivs de propgnd. O site A, que tem 150 prticipntes tulmente, esper conseguir 100 novos integrntes em um período de um semn e dobrr o número de novos prticipntes cd semn subsequente. Assim, entrrão 100 internuts novos n primeir semn, 200 n segund, 400 n terceir, e ssim por dinte. Por su vez, o site B, que já tem 2200 membros, credit que conseguirá mis 100 ssocidos n primeir semn e que, cd semn subsequente, umentrá o número de internuts novos em 100 pessos. Ou sej, 100 novos membros entrrão no site B n primeir semn, 200 entrrão n segund, 300 n terceir, etc. ) Quntos membros novos o site A esper trir dqui 6 semns? Quntos ssocidos o site A esper ter dqui 6 semns? b) Em qunts semns o site B esper chegr à mrc dos membros?

11 22-(UNICAMP) Um csl convidou seis migos pr ssistirem um peç tetrl. Chegndo o tetro, descobrirm que, em cd fil d sl, s poltrons erm numerds em ordem crescente. Assim, por exemplo, poltron 1 de um fil er sucedid pel poltron 2 d mesm fil, que, por su vez, er sucedid pel poltron 3, e ssim por dinte. ) Suponh que s oito pessos receberm ingressos com numerção consecutiv de um mesm fil e que os ingressos form distribuídos entre els de form letóri. Qul probbilidde de o csl ter recebido ingressos de poltrons vizinhs? b) Suponh que primeir fil do tetro tenh 8 cdeirs, segund fil tenh 2 cdeirs mis que primeir, terceir fil tenh 2 cdeirs mis que segund e ssim sucessivmente té últim fil. Determine o número de cdeirs d sl em função de n, o número de fils que sl contém. Em seguid, considerndo que sl tem 144 cdeirs, clcule o vlor de n. 23-(UNICAMP) Pedro precis comprr x borrchs, y lápis e z cnets. Após fzer um levntmento em dus ppelris, Pedro descobriu que ppelri A cobr R$23,00 pelo conjunto de borrchs, lápis e cnets, enqunto ppelri B cobr R$25,00 pelo mesmo mteril. Em seu levntmento, Pedro descobriu que ppelri A cobr R$ 1,00 pel borrch, R$2,00 pelo lápis e R$3,00 pel cnet e que ppelri B cobr R$1,00 pel borrch, R$1,00 pelo lápis e R$4,00 pel cnet. ) Forneç o número de lápis e de borrchs que Pedro precis comprr em função do número de cnets que ele pretende dquirir. b) Levndo em cont que x 1, y 1 e z 1, e que esss três vriáveis são inteirs, determine tods s possíveis quntiddes de lápis, borrchs e cnets que Pedro desej comprr.

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