10/09/2016 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS DA TERRA DEPARTAMENTO DE GEOMÁTICA AJUSTAMENTO II GA110. Prof. Alvaro Muriel Lima Machado

Transcrição

1 UNIVERSIDDE FEDERL DO PRNÁ SEOR DE IÊNIS D ERR DEPRMENO DE GEOMÁI JUSMENO II G Prof. lvro Muriel Lim Mchdo justmento de Observções Qundo s medids não são feits diretmente sobre s grndezs procurds, ms sim sobre outrs relcionds mtemticmente... Método prmétrico L F( Os vlores observdos justdos podem ser epressos eplicitmente como um função dos prâmetros justdos. Método dos correltos F(L Os vlores observdos justdos devem stisfzer determinds condições (erro de fechmento zero. Método combindo F(, L Os vlores observdos justdos e os prâmetros justdos são ligdos por função não eplícit (não se consegue seprá-los. F(, L Modelo mis genérico que os dois nteriores onde Fzendo-se linerizção do modelo, tem-se: F Resultndo: F(, L F(, L V L b L Lb V F W F(, Lb L F F F(, L F(, Lb ( L b F(, L V W Lb ( L L b

2 n vlores observdos u prâmetros r equções Grus de liberdde r - u sendo necessário que n > r - u Observções > Grus de liberdde ou r < nu Equções r u u r n n V r W r Prâmetros Observções Erros de fechmento Equções Normis φ V PV K ( V W mínimo φ PV K V φ ( V W K φ K PV K V W K 5 Equções Normis Dimensões n r u P observções equções prâmetros n r u V K W Observções: Método dos correltos (Não eistem prâmetros Método prmétrico W F(,L b L -L b L d equção um observção -I L V 6

3 7 Resolução ds Equções Normis W K V P W P K V empo consumido n inversão de um mtriz é proporcionl o cubo de su dimensão. Mtriz com dimensões elevds 8 Resolução ds Equções Normis P M W M M ( ( W M K K P V V L L b (Vetor dos Lgrnginos Mtrizes/vetores conhecidos Lb, o, P Sequênci de Resolução de álculos preliminres de mtrizes W,, pós diverss iterções... 9 Vriânci d Observção de Peso Unitário ( posteriori u r PV V S PV V σˆ Mtriz Vriânci-ovriânci dos Prâmetros ( ˆ M σ Mtriz Vriânci-ovriânci dos Vlores Observdos justdos ] ( [ ˆ P M P P M M M P P L σ Mtriz Vriânci-ovriânci dos Resíduos V P L σˆ Mtriz Vriânci-ovriânci do Erro de Fechmento M W σˆ

4 Dds s coordends observds de qutro pontos, estimr s coordends do centro e o rio d circunferênci que melhor se just os mesmos. σ Pontos σ,,5 6,,5 65,,,, 65,,5 5,,5 Modelo mtemático,, 8,, Sejm, coordends do centro justds r rio justdo ( ( i, i vlores observdos justdos b Modelo linerizdo V W d Vetor dos vlores observdos L b c Vetor Solução Inicil o r 7 e Mtriz dos Pesos P ( P L b

5 f Vetor Erro de Fechmento W F( Lb, wi ( i ( i r g Mtriz F L L b equções 8 observções g Mtriz h Mtriz F 5 5

6 i álculo d Mtriz M M P j álculo do Vetor de orreções ( M M W 6 k álculo do vetor de prâmetros corrigido 7 8 6

7 9 Pr obter o vetor de resíduos tem-se que clculr o vetor dos lgrnginos: K M ( W V P K Vetor ds observções justds L Lb V 7

8 Vriânci posteriori ˆ MV dos prâmetros ˆ σ ( M V PV V PV σ ν o r Um ret deve ser justd três pontos. s seguintes observções form efetuds. Ponto (cm σ²(cm (cm σ² (cm,,,,,,,,8 6,, 5,,8 Modelo mtemático b Mtrizes/vetores conhecidos Lb, o, P L b o: om-se, por eemplo, s dus primeirs equções...,, b P Q,, b P Q b 8

9 álculos preliminres de mtrizes W,, b W b b 5 Resolução ds Equções Normis M P ( M M W 6 Iterções 7 9

10 8 Pr obter o vetor de resíduos tem-se que clculr o vetor dos lgrnginos: K M ( W V P K 9 Vetor ds observções justds L Lb V

11 Estimtiv d precisão Vriânci d Observção de Peso Unitário ( posteriori V PV V PV σˆ S r u Mtriz Vriânci-ovriânci dos Vlores Observdos justdos L ˆ σ [ P P M ( M M P P M P ] Estimtiv d precisão Mtriz Vriânci-ovriânci dos Prâmetros ˆ ( σ M De um triângulo isósceles mediu-se os dois ldos e ltur. s observções form, l,m; l,m; l 8,5m. s observções têm precisão igul e não são correlcionds. Determinr estimtiv MMQ pr bse.

12 Mtrizes/vetores conhecidos Lb, o, P o: [ ] [,] om-se, por eemplo, primeir equção... l l, 8,5 álculos preliminres de mtrizes W,, l l W l l 5 Resolução ds Equções Normis M P ( M M W 6

13 Iterções 7 8 Pr obter o vetor de resíduos tem-se que clculr o vetor dos lgrnginos: K M ( W V P K 9

14 Vetor ds observções justds L Lb V N figur bio, s distâncis O,,, e O form observds, conforme tbel ne, com MV conhecid. Os ângulos mostrdos n figur são ssumidos constntes. Estimr s coordends de por MMQ. Segmentos Medids(m O l, l 5,55 l 77,75 O l 8,6 L b 5 cm 5 Modelo mtemático Y o o l sin(5 l sin(5 l o o l cos(5 l cos(5 Y l F(, L o o l sin(5 l sin(5 l Y l o o Y l cos(5 l cos(5

15 Mtrizes/vetores conhecidos Lb, o, P Y om-se, por eemplo, s dus primeirs equções... o ( l l sin(5 l o Y ( l l cos(5 álculos preliminres de mtrizes W,, Resolução ds Equções Normis M P ( M M W 5 5

16 Iterções 6 7 Pr obter o vetor de resíduos tem-se que clculr o vetor dos lgrnginos: K M ( W V P K 8 6

17 Vetor ds observções justds L Lb V 9 om referênci o triângulo bio,α,α 95, α 5, l,m e l 55,m. s observções não são correlcionds, o desvio pdrão de cd ângulo observdo é 5, e o desvio pdrão de cd ldo observdo é,m. Estimr e h vi justmento por MMQ. lcule tmbém MV. 5 Quntos grus de liberdde presentm s nosss observções? Quntos ângulos definem o formto de um triângulo? Quntos ldos são necessários pr se definir escl? Segue-se que eistem grus de liberdde. 5 7

18 Modelo mtemático F(, L 5 Mtrizes/vetores conhecidos Lb, o, P h 5 Mtrizes/vetores conhecidos Lb, o, P 5 8

19 álculos preliminres de mtrizes W,, 55 álculos preliminres de mtrizes W,, 56 Resolução ds Equções Normis M P ( M M W Iterções 57 9

20 No FreeMt Pr obter o vetor de resíduos tem-se que clculr o vetor dos lgrnginos: K M ( W V P K 6

21 Vetor ds observções justds L Lb V 6 Estimtiv d precisão Vriânci d Observção de Peso Unitário ( posteriori V PV V PV σˆ S r u Mtriz Vriânci-ovriânci dos Vlores Observdos justdos L ˆ σ [ P P M ( M M P P M P ] 6 Estimtiv d precisão Mtriz Vriânci-ovriânci dos Prâmetros ˆ ( σ M 6

22 6 Dois sistems de coordends retngulres, e, estão relciondos trvés de trnslção e rotção. Pr o cso bidimensionl de trnsformção do sistem pr o, plicm-se s seguintes epressões: inco pontos form medidos (sem correlção; precisão igul em cd sistem de coordends: Ponto,,7 8,57 6,7 5,,98,7 5,9,8 6, 5,86 7,865 7,8,9 5,55 5,67 5,6 8,8 8,88, n (observções u ( prâmetros r (equções Grus de liberdde r u Modelo mtemático F(, L 66 Mtrizes/vetores conhecidos Lb, o, P [ ] b L L,,,899 8,6 5,9 5,,98,7,98 5, 6,7,,7 8,57,7, P I Resolvendo-se um sistem de equções, usndo-se os dois primeiros pontos:

23 67 álculos preliminres de mtrizes W,,,9,6,,689,,7,,,, W álculos preliminres de mtrizes W,, 69 Resolução ds Equções Normis P M W M M (

24 No FreeMt

25 equção do plno é usulmente dd por b cz d. Sbe-se tmbém que três pontos determinm um plno. Logo, três prâmetros são suficientes pr equção cim. Segue-se que equção pode ser reescrit como b cz. Dds s coordends tridimensionis de qutro pontos pertencentes um plno, determinr os prâmetros, b e c por MMQ. Use proimção ; b, e c -. Ponto Y Z, -,,9 -,,,, -,, -,,,9 n (observções u ( prâmetros r (equções 7 Modelo mtemático F(, L b cz b cz b cz b cz 7 Mtrizes/vetores conhecidos Lb, o, P L b,,,9,,,,,,,,,9 P I b c 75 5

26 álculos preliminres de mtrizes W,, 76 álculos preliminres de mtrizes W,, 77 Resolução ds Equções Normis M P ( M M W Primeir iterção 78 6

27 No FreeMt... Lb [.;-.;.9;-.;.;.;.;-.;.;-.;.;.9]; P ee(; o [;;-]; 79 8 justr prábol dois pontos ddos (; e (;. Modelo mtemático F(, L n (observções u ( prâmetros r (equções 8 7

28 Mtrizes/vetores conhecidos Lb, o, P L b P I o pode ser clculdo prtir de qulquer um ds dus equções. Sej, por eemplo, primeir equção: [ ] [,] / 8 álculos preliminres de mtrizes W,, 8 Resolução ds Equções Normis M P ( M M W Primeir iterção Segund iterção 8 8

29 No FreeMt Microsoft Eqution. Dd poligonl enqudrd d figur bio, os pontos e D são estções horizontis de controle com coordends, Y conhecids. Os pontos e E são mrcos de zimute pr s estções e D, respectivmente. justr s coordends horizontis ds estções e, dds s observções seguintes. Ângulo o α 7 5'" o α 85 ' " o α 8 6' 9" σ Distânci (m σ(m d8,8,6 d7,,6 d7,,6 Pontos (m Y (m 878,9 8,86 D 99,5 88,96 Direções zimutes 68 5,7 DE 9 57,5 86 Prâmetros,,, Observções mínims α, d, d Informções redundntes D, D, DE Grus de liberdde r u n 6 (observções u ( prâmetros r 7 (equções zimutes α π D α π DE D α π ( α π α π (( α π α π α π 87 9

30 88 Modelo mtemático π α π α π α *cos( ( * *cos( ( * *cos( ( * D DE D D D D D D sen D sen sen *cos( ( * *cos( ( * *cos( ( * π α π α π α D DE D D D D D D sen D sen sen 89 Verificção ds observções: álculo de DE D D,, 9 Mtrizes/vetores conhecidos Lb, o, P

31 Mtrizes/vetores conhecidos Lb, o, P D 9 Mtrizes/vetores conhecidos Lb, o, P 9 álculos preliminres de mtrizes W,, 9

32 álculos preliminres de mtrizes W,, 9 álculos preliminres de mtrizes W,, 95 Resolução ds Equções Normis M P ( M M W [ ] [ ] * Primeir iterção [ ] 96

33 No FreeMt