Capítulo 5 Vigas sobre base elástica

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1 Cpítulo 5 Vigs sobre bse elástic Este cpítulo vi presentr s bses pr o estudo estático e elástico d fleão simples de vigs suportds diretmente pelo terreno (ue constitui, então, num poio elástico contínuo pr ests vigs), de trilhos de estrds de ferro (suportdos por dormentes ue, devido à peuen distânci entre estes em relção o comprimento totl, podem ser considerdos como um poio elástico contínuo), de estcs verticis submetids crgs horizontis em seu topo (o terreno em contto com o fuste ds estcs será o poio elástico contínuo) e de uisuer outros tipos de peçs cujos poios elásticos possm, com precisão stisftóri, ser considerdos contínuos. 5.. Vigs de comprimento infinito O poio elástico (solo) eerce sobre vig, em cd seção, um reção de poio proporcionl o deslocmento verticl sofrido por est seção, igul K, sendo K constnte de mol do meio elástico ue serve de poio. hipótese simples de ue reção contínu d bse sej proporcionl o fundmento, é um proimção stisftóri em muitos csos d prátic (eemplo ds estrds de ferro comprovção eperimentl). el curv elástic d vig, tem-se eução diferencil, EI z d )( onde represent intensidde d crg ue tu n vig. r um trecho sem crg, únic forç ue tu é reção distribuíd continumente do ldo d bse e ue tem intensidde K. sendo., Cp. 5 Vigs sobre bse elástic ágin de

2 EI Z d. () Fzendo K EI Z solução gerl d eução cim pode ser escrit d seguinte form, e.cos B.sen e C.cos D.sen () Nos csos prticulres, s constntes rbitráris, B, C e D d solução devem ser determinds por meio de condições em certos pontos tução de um crg concentrd upondo, como eemplo, um únic crg concentrd tundo num vig infinitmente long. O origem ds coordends / imetri consider-se pens metde d vig Usndo solução gerl () pr este cso, determinm-se s constntes rbitráris. dmitindo-se ue o deslocmento verticl e s curvturs, em pontos infinitmente distntes d forç, são iguis zero, tem-se = B =. Logo, e C.cos D.sen () Cp. 5 Vigs sobre bse elástic ágin de

3 s constntes C e D devem ser determinds pels condições n origem, ou sej, =. Neste ponto, linh elástic deve ter tngente horizontl, d X (5) Em () tem-se, d.e C.cos D.sen C.sen D.cos d X C D C D eução () torn-se: C.e cos sen (6) s derivds consecutivs dess eução são: d Ce sen (7) d Ce sen cos (8) d Ce cos constnte C pode ser obtid pel condição de ue o cortnte em =, é igul (9) pr prte direit d vig. r isso, torn-se necessário sber ue: d, EI d V e EI d. EI d X d EI z X EIZ. C C 8 EI Z Cp. 5 Vigs sobre bse elástic ágin de

4 Logo ns euções (6) e (8) respectivmente, tem-se: K.e cos sen com 8 EI EI Z Z e K cos sen (eução dos deslocmentos) () EI Z d e sen cos (eução do momento) () r simplificr, tem-se s euções de funções uilires seguir: e cos sen e sen cos e cos e sen () () () (5) EI Z comprimento de ond ddo pelo período ds funções cosβ e senβ ue fornecem então: Cp. 5 Vigs sobre bse elástic ágin de

5 (6) d (7) d EIZ (8) d EIZ (9) Convenção de sinis: e ositivos p/ bio e Convenção clássic de sinis tbel presentd seguir uili no cálculo do deslocmento, d curvtur, do momento e do cortnte fornecendo os vlores serem substituídos ns euções nteriores (6) e (9): Cp. 5 Vigs sobre bse elástic ágin 5 de

6 Cp. 5 Vigs sobre bse elástic ágin 6 de

7 Eemplo 5. Obter os deslocmentos verticis e os momentos fletores tuntes sob os pontos de plicção ds crgs de 5N indicds bio pr vig infinit cuj rigidez à fleão EI é igul N.m e ue se pói sobre um meio elástico cuj constnte de mol é = N/m. = = = = 5N olução:. KN m K EI. KN.m m m Escolhendo pr origem do sistem de coordends primeir ds crgs concentrds, tem-se prtir d tbel bio, empregndo-se o princípio d superposição dos efeitos, ue: Cp. 5 Vigs sobre bse elástic ágin 7 de

8 β φ,58,667 -, ψ -,8 -,79 -,56 5N. m,8,79,56 8,7N. m 5N. m,58,667,,957 m.. N/ m 5N. m,8,79 7,9N. m 5,58,667, m.. Devido simetri eistente (pois vig é infinit), os vlores encontrdos pr s seções O e são tmbém válidos pr s seções O' e ', respectivmente tução de um crg uniformemente distribuíd ej um vig d figur bio submetid um crg uniformemente distribuíd O deslocmento em C, produzido por um elemento d crg é obtido substituindo-se por n eução (), d 8 EI Z e cos sen l será: O deslocmento em provocdo pel crg distribuíd o longo do comprimento Cp. 5 Vigs sobre bse elástic ágin 8 de

9 e cos sen e cos sen 8 EI Z b 8 EI Z b e cos e cos b () r vlores de e b grndes, os vlores de e -β e e -βb serão peuenos e o deslocmento será igul proimdmente /, ou sej, em pontos muito fstdos ds etremiddes d prte crregd d vig, fleão d brr pode ser desprezd e pode-se dmitir ue crg uniformemente distribuíd é trnsmitid diretmente à bse elástic. Comprndo-se eução () com eução () e observndo-se s euções () (5), tem-se, b () d b () b () b () upondo gor um seção situd for do trecho compreendido sob o crregmento. eguindo-se o mesmo procedimento dotndo nteriormente, tem-se, e b b cos sen e cos e cos b Cp. 5 Vigs sobre bse elástic ágin 9 de

10 Logo, utilizndo-se s euções () (5), tem-se, b (5) d b (6) b (7) b (8) 5... tução de um crg momento ej vig infinit bio submetid à tução de um crg momento plicd n origem, ode-se fzer o problem recir no cso de crg concentrd substituindo-se crg momento por um binário com tendendo pr zero. lim lim Entretnto, sbe-se ue, d f lim h h f h é definição de derivd. Cp. 5 Vigs sobre bse elástic ágin de

11 (9) d () () () Eemplo 5. Obter o deslocmento e o momento fletor no ponto d vig infinit bio sbendo-se ue EI = 9 N.mm e β = 6, - mm -. Cp. 5 Vigs sobre bse elástic ágin de

12 = 5 N/mm = N.m N olução: ) Crg concentrd =N b K EI EI 6 mm,7n/ mm 9 N.mm onto 6,,5mm,7,97N. m 6, ) Crg distribuíd b 5,777,9,7,6mm b 5 6,8N.m,89,9 6, 6,, 76,9 b 6, 58,7 b,,777 b,9,89 b, Vigs semi-infinits 5... Vigs semi-infinits com bordo livre Cp. 5 Vigs sobre bse elástic ágin de

13 ej vig semi-infinit cim, submetid o crregmento indicdo, ue se desej resolver. rocur-se então mneir pel ul pode-se fzer com ue su resolução reci n solução de um vig infinit (problem resolvido nteriormente). r resolver vig infinit cim (sem e ) consider-se su diferenç estátic d vig semi-infinit como sendo eistênci em, de um momento fletor e de um esforço cortnte ue mntém continuidde entre os trechos semi-infinitos d vig à esuerd e à direit de. e = =, euivle dizer ue não eiste ção estátic d prte (crregd) d vig à direit de sobre prte (descrregd) d vig esuerd de, ue não estri, então, trblhndo. Deste modo, fzendo desprecer e pr vig infinit, su resolução será idêntic d vig semi-infinit inicil. Isto pode fcilmente ser conseguido plicndo-se à vig infinit, em es, um crg verticl e um momento tis ue promovm o precimento, em, de um momento fletor (- ) e de um esforço cortnte (- ) ue tornem intiv prte d vig infinit à esuerd de. Dest form, Cp. 5 Vigs sobre bse elástic ágin de

14 Cp. 5 Vigs sobre bse elástic ágin de (com = ) Obtendo-se então,. ssim, resolução d vig semi-infinit será resolução d vig infinit submetid o crregmento d semi-infinit, crescido ds crgs e definids cim, tuntes em es. Eemplo 5. Resolver vig semi-infinit bio: olução: fim de evitr problems com condições de contorno, supõese plicdo em DIR, pr determinção de e. +

15 ubstituindo-se ns euções () e () / + Logo d d Eemplo 5. r vig semi-infinit bio, submetid o crregmento indicdo, obter o momento fletor sob o ponto de plicção d crg. Cp. 5 Vigs sobre bse elástic ágin 5 de

16 Cp. 5 Vigs sobre bse elástic ágin 6 de olução: O momento fletor pedido pode ser obtido prtir d vig infinit bio onde e podem ser obtidos trvés ds euções () e () e Logo, o momento tunte sob crg, plicndo-se o princípio d superposição dos efeitos será, B B

17 5.. Vigs Finits 5... Cso de bordos livres s crgs,, B e B são plicds em es e B dir respectivmente. s prtes à esuerd de e à direit de B ds vigs infinits ficm inertes. endo então,, B e B os esforços cortntes e momentos fletores tuntes, n vig infinit, ns seções e B, devidos o mesmo crregmento ue o plicdo n vig finit, s crgs O, O, OB e OB devem stisfzer às condições: B B B o B B B l B B B B Heténi propôs um rtifício de combinção de crgs trnsformndo o sistem de euções com incógnits em sistems independentes de euções e incógnits. Cp. 5 Vigs sobre bse elástic ágin 7 de

18 Cp. 5 Vigs sobre bse elástic ágin 8 de ) Cso simétrico (== em e B e e ) olução: Es Es Onde sen senr e E E

19 Cp. 5 Vigs sobre bse elástic ágin 9 de b) Cso nti-simétrico E E Onde sen senh e E E Eemplo 5. Clculr o deslocmento verticl e o momento fletor sob crg pr vig finit de bordos livres com βl =. olução: Como o crregmento é simétrico, deve-se utilizr pens s euções d prte simétric obtids nteriormente. e ddos por: Es

20 Cp. 5 Vigs sobre bse elástic ágin de Es como,,5,9 Empregndo-se o princípio d superposição dos efeitos, tem-se: K c c como c EJ,, EJ,5 c, c