ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

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1 M 100 MÂNI ov Sustitutiv 1 de deemo de 009 ução d ov: 100 minutos (não é pemitido uso de luldos) 1ª Questão (3,0 pontos) pl tinul de mss está lid às s e, d um de mss m, e à de mss m. Todos os sólidos são homoêneos. O onjunto está suspenso pel tiulção em e pelo poio simples em F. dotndo o sistem de oodends indido n fiu: ) etemine s oodends do iento d pl tinul ; ) etemine s oodends do iento d ; ) etemine s oodends do iento do sólido omposto pel pl e pel ; d) Fç o dim de opo live do onjunto; e) etemine s omponentes ds eções em e F que sustentm o onjunto. F ª Questão (3,5 pontos) O diso de ento e io ol sem esoe soe pltfom de ento iso O. O mnl em, que onet o diso à peç O, impõe que fe do diso se ltfom mntenh sempe otoonl o semento dunte o movimento. O eio O está sempe n dieção do semento O, onde é o ponto de ontto ente o diso e pltfom, sendo os vesoes i, j, k solidáios à peç O. m elção o efeenil fio, os vetoes de otção d peç O e d pltfom são, espetivmente, ω ω k e ω ω k, mos onstntes, e os pontos e O são fios. dotndo peç O omo efeenil móvel, detemine: k i O ω j efeenil fio ω ) veloidde v e eleção soluts do ponto. ) Os vetoes de otção soluto ω, eltivo ω, e de stmento ω do diso. ) s eleções solut, de stmento e de oiolis do ponto do diso.

2 3ª Questão (3,5 pontos) No sistem mostdo n fiu o ldo, peç homoêne tem mss totl m. m um ddo instnte, o fio que mntém o sistem em equilíio é otdo, pemitindo que peç deslie sem tito o lono do plno de inlinção. etemin, p peç : fio ) posição do iento G; ) O momento de inéi J ZG ; ) O dim de opo live; ede-se, p o instnte imeditmente pós o ompimento do fio, p peç : d) eleção do iento G; e) O veto eleção nul. / / ª Questão Opionl (1,0 ponto) do um sistem de pontos mteiis i, p i 1...N, de msss m i e veloiddes v i, e sendo que enei inéti de um ponto mteil i é dd po d nei inéti (T) p o sistem de pontos mteiis, foçs tuntes no sistem., dedu epessão do Teoem onde τ é o tlho de tods s

3 SOUÇÃO OV SUSTITUTIV 1 de deemo de 009 esolução d 1ª Questão (3,0 pontos) pl tinul de mss está lid às s e, d um om mss m, e à de mss m. Todos os sólidos são homoêneos. O onjunto está suspenso pel tiulção em e pelo poio simples em F. dotndo o sistem de oodends indido n fiu: ) etemine s oodends do iento d pl tinul ; ) etemine s oodends do iento d ; ) etemine s oodends do iento do sólido omposto pel pl e pel ; d) Fç o dim de opo live do onjunto; e) etemine s omponentes ds eções em e F que sustentm o onjunto. F ) l. : ). : ) Sólido omposto : m + m + m + m 0 3 m 3 m + m + m m S + m 7m 3 S m S + m 7m 3 S 7 ) im de opo live : d) eções: usndo s equções univesis de equilíio M F ; 7m ; ( O) F ; M [( 3 / 7) i + ( / 7) j] ( 7m) j + j i i O i i / ; ; F / (1,0): F S

4 esolução d ª Questão (3,5 pontos) O diso de ento e io ol sem esoe soe pltfom de ento O. O mnl em, que onet o diso à peç O, impõe que fe do diso se mntenh sempe otoonl o semento dunte o movimento. O eio O está sempe n dieção do semento O, onde é o ponto de ontto ente o diso e pltfom, sendo os vesoes i, j, k solidáios à peç O. m elção o efeenil fio, os vetoes de otção d peç O e d pltfom são, espetivmente, ω ω k e ω ω k, mos onstntes, e os pontos e O são fios. dotndo peç O omo efeenil móvel, detemine: ) veloidde v e eleção soluts do ponto. ) Os vetoes de otção soluto ω, eltivo iso ltfom ω, e de stmento ω do diso. ) s eleções solut, de stmento e de oiolis do ponto do diso. k i O ω j efeenil fio ω ) omo o enunido infom que os pontos e O são fios e que o veto de otção solut d peç O é ω ω k, onstnte, temos: v v + ω ( ) ωk ( j ) v ωi + & ω ( ) + ω [ ω ( ) ] ω k ω k j ω k ω ωj [ ( )] i ) el definição de movimento de stmento, ω ω ω k No movimento soluto temos: ltfom: v vo + ω ( O) ωk ( j ) v ωi v v + ω ω i + ω i + ω j + ω k k v ω i + ω j ω iso: ( ) ( ) ( ) i ompndo: ωi ωi + ωj ω i ( ω ω ) pel ω ω ω ( ω ω ) j é pel oespondente o movimento eltivo. otnto: Veto de otção eltiv do diso: ( ω ω ) ω j Veto de otção de stmento do diso: ω ω k ( ω ω ) Veto de otção solut do diso: ω j + ω k

5 ) Osevndo fiu, temos que eleção de stmento dos pontos e são iuis: eleção de stmento do ponto : ωj eleção eltiv do ponto : ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) + & ω ω ω ω ω + ω ω j j ( k ) ( ) ω ω [ ( ) ] [( ω ω ) ] j ω ω i k eleção de oiolis do ponto : ( ω ω ) ω v ω k j ( k ) ωk [ ( ω ω ) i ] ω( ω ω ) j eleção solut do ponto : [( ) ] ( ) ( ) [( ) ] ω ω ω ω + + ωj + k ω ω ω j ω + ω ω j + k esolução d 3ª Questão (3,5 pontos) No sistem mostdo n fiu o ldo, peç homoêne tem mss totl m. m um ddo instnte, o fio que mntém o sistem em equilíio é otdo, pemitindo que peç deslie sem tito o lono do plno de inlinção. etemin p peç : ) posição do iento G: m 3 mg sen ( + m) G sen m 3 mg os( + m) G os ) O momento de inéi J G: J J + J G G ( vetil ) G ( ) fio / / onde J G ( vetil) m 1 G ( ) 3 + m m 7m e J + m 1 8 7m J G (1,0) ) O dim de foç do opo live; 7m 8 N T 3/ ou N 3/ om fio m Sem fio m

6 d) eleção do iento G no instnte imeditmente pós o ompimento do fio: usndo o TM p peç : F mg m sen m G G sen e F mg N m os m N m( os) G G + G + & ω ( G ) + ω [ ω ( G )] + & ωk (3 / )(sen i os j) ω (3 / )(sen i os j) G G + & ω(3 / )sen + ω (3 / ) os e) O veto eleção nul: usndo otm p o polo G d peç : d [ I G ]{ ω} + m( G G) G M G dt 3 3 J G & ω k sen N k J & G ω sen m( G + os) 3 J sen [ (3 / )sen G & ω m & ω + ω (3 / )os + os] ω 6 m 7m 18 & sen os [ ω (3 / ) + ]/ + m sen 16 esolução d ª Questão Opionl (1,0 ponto) do um sistem de pontos mteiis i, p i 1..N, de msss m i e veloiddes v i, e sendo que enei inéti de um ponto mteil i é dd po d nei inéti (T) p o sistem de pontos mteiis, foçs tuntes no sistem., dedu epessão do Teoem onde τ é o tlho de tods s Temos: > Intendo de 0 t: >