ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

Transcrição

1 M 100 MÂNI Seund ro 19 de outuro de 010 Durção d ro: 100 minutos (não é ermitido o uso de clculdors ) QUSTÃ 1 (3,0 ontos): Sendo que os dois discos têm o mesmo rio e o mesmo eso m, e que o coeficiente de trito tem o mesmo lor µ em todos os conttos, ede-se: ) desenhr o dirm de coro lire de cd disco; ) clculr tods s forçs n situção de equilírio; c) determinr o lor imo de µ r que o equilírio se ossíel. d) r esse lor imo de µ clculr o máximo lor de comtíel com o equilírio. QUSTÃ (3,5 ontos): onsidere um oin com um co enroldo conforme mostrdo n fiur. rio de enrolmento é e o rio de rolmento é. Sendo que não há escorremento entre oin e o suorte fixo e que o co é trciondo horiontlmente com elocidde constnte, ede-se: ) o I e o etor de rotção ω d ) elocidde e celerção do centro eométrico d k i c) celerção do onto d d) dier se o co está se enrolndo ou desenrolndo. Justifique. QUSTÃ 3 (3,5 ontos): disco está conectdo elo seu centro à eç or um mncl, de tl form que oss irr em torno do semento mntendo su fce ln semre erendiculr este semento. eixo y está semre n direção do semento, sendo que não há escorremento no onto de contto entre o disco e ltform. sistem de coordends xy é solidário à eç. m relção o referencil fixo, os etores de rotção d ltform e d eç são, resectimente, ω ω k, constnte, e ω ω k, constnte. s ontos e ertencem o eixo e são fixos. semento é rlelo à fce ln d ltform e est, or su e, é erendiculr o eixo. No instnte mostrdo n fiur, o semento (comrimento ), é rlelo o eixo. dotndo eç como referencil móel, determine: ) etor de rotção relti ωd, rel rotção solut ωd do disco. e o etor de ) s celerções relti, rel, de oriolis, or e solut do onto do disco. c) relção entre ω e ω r que elocidde solut do onto se ero no instnte mostrdo n fiur. Disco ltform L x k i ω y eferencil fixo ω

2 QUSTÃ 1 (3,0 ontos): Sendo que os dois discos têm o mesmo rio e o mesmo eso m, e que o coeficiente de trito tem o mesmo lor µ em todos os conttos, ede-se: ) desenhr o dirm de coro lire de cd disco; ) clculr tods s forçs n situção de equilírio; c) determinr o lor imo de µ r que o equilírio se ossíel. d) r esse lor imo de µ clculr o máximo lor de comtíel com o equilírio. m t N N t m Loo: t Sustituindo em (), (4) e (5): N m N N m + N No seundo disco, r equilirr norml em, forç de trito em dee ser r esquerd. Sendo ssim, r equilirr momentos em torno do centro do seundo disco, forç de trito em dee ser r ixo. onclui-se então, elo equilírio de momentos em torno do centro do rimeiro disco, que forç de trito em dee ser r esquerd. No rime iro disco: t Σx 0 N + t Σy 0 N + t m ΣM 0 t t (1) () (3) No seundo disco: Σx 0 N t Σy 0 N t ΣM 0 t m t (4) (5) (6) ssim, de (3) e (6): t t t Sustituindo (4) em (1): + t t t t N t Lei de oulom em : t µ N µ m µ (se < m ) m Lei de oulom em : t µ N µ µ 1 Lei de oulom em : t µ N µ m + µ m + Loo ssim: µ máx 1, m i) se 0 < m µ 1 ii) se m < < m iii) se µ m m não há equilírio

3 QUSTÃ (3,5 ontos): onsidere um oin com um co enroldo conforme mostrdo n fiur. rio de enrolmento é e o rio de rolmento é. Sendo que não há escorremento entre oin e o suorte fixo e que o co é trciondo horiontlmente com elocidde constnte, ede-se: ) o I e o etor de rotção ω d k i ) elocidde e celerção do centro eométrico d c) celerção do onto d d) dier se o co está se enrolndo ou desenrolndo. Justifique. Não há escorremento, então: 0, loo I i ωk i ωi ω ( I) ωk ( ) k ω ω + ω om 0 e 0 ω, ( ) ) + ω [ ω ( ) ] [ k ( ) ] ω ω k ωk ( I) ωk ( ) ωi i co está desenrolndo á que su extremidde desloc-se r direit enqunto o crretel ir em sentido nti-horário com o seu centro deslocndo-se r esquerd. (1,0) omo se trnsld horiontlmente com constnte: 0

4 QUSTÃ 3 (3,5 ontos): disco está conectdo elo seu centro à eç or um mncl, de tl form que oss irr em torno do semento mntendo su fce ln semre erendiculr este semento. eixo y está semre n direção do semento, sendo que não há escorremento no onto de contto entre o disco e ltform. sistem de coordends xy é solidário à eç. m relção o referencil fixo, os etores de rotção d ltform e d eç são, resectimente, ω ω k, constnte, e ω ω k, constnte. s ontos e ertencem o eixo e são fixos. semento é rlelo à fce ln d ltform e est, or su e, é erendiculr o eixo. No instnte mostrdo n fiur, o semento (comrimento ), é rlelo o eixo. dotndo eç como referencil móel, determine: ) etor de rotção relti ωd, rel rotção solut ωd do disco. e o etor de ) s celerções relti, rel, de oriolis, or e solut do onto do disco. c) relção entre ω e ω r que elocidde solut do onto se ero no instnte mostrdo n fiur. Disco ltform L x k i ω y eferencil fixo ω ) moimento do disco é restrinido elo mncl em de tl form que, em relção à eç, o etor de rotção relti ossui ens comonente em, ou se, ω ω. el definição de moimento de rrstmento, o etor de rotção de rrstmento do disco é ω d,rr ω ω k. ssim, o etor de rotção soluto do disco é: ω ω + ω ω + ωk. d d,rr elocidde solut do onto ode ser clculd or: + ω ω k L ω L ( ) ( ) i elocidde solut do onto ertencente o disco ode ser clculd or: + ωd ( ) ωli + ( ω + ωk) ( k) ωli ωd, reli elocidde solut do onto ertencente à ltform ode ser clculd or: + ω ω k L ω L ( ) ( ) i omrndo (como não há escorremento, s elociddes são iuis): L L ωli ωi ωli ω ( ω ω ) ω ( ω ω ) L ortnto: ω d ( ω ω ) + ωk (1,0)

5 ) celerção relti do onto : + ω ( ) + ω [ ω ( ) ],rel,rel,rel d, rel k + k L L ( ω ω ) ( ω ω ) ( ) k,rel ω celerção de oriolis do onto :,or ωd,rr, rel Velocidde relti do onto : L,rel,rel + ω 0 +,rel omo o etor de rotção de rrstmento do disco é ω d, rr ω ω k, temos: ω ω k ω ω Li ω ω ω,or d,rr,rel ω ( ) ( ω ω ) k ( ω ω ) Li ( ),or celerção de rrstmento do onto : + ω,rr,rr d,rr ( ) + ωd,rr [ ωd, rr ( ) ] L + k + ω k ω k L + k ω Lk,rr ( ) [ ( )] ( ) L celerção solut do onto :,rel +,rr +, or L ( 3ω ωω ) L ( ω ω ) k (1,5) c) Velocidde solut do onto :,rel +,rr,rel ( ω ω ) Li,rr ωli ortnto:,rel +,rr ( ω ω ) Li + ωli ( ω ω ) Li r que 0 ( ω ω ) L 0 ω ω (1,0) L