ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Departamento de Engenharia Mecânica

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1 ESO POITÉNI D UNIVERSIDDE DE SÃO PUO Deprtmento de Enenri Mecânic PME MEÂNI Seund Prov 19 de mio de 9 Durção d Prov: 115 minutos (não é permitido o uso de clculdors) 1ª Questão (1, ponto) Respond: Do que trtou plestr proferid no di 3 de bril, pelo Prof. J..P. rn? Descrev o tem trtdo, fzendo lusão os conceitos ministrdos n disciplin e que por ele form utilizdos. imite su respost seis lins. ª Questão (3, pontos) O sistem o ldo tem um bloco de mss m, suspenso trvés de um fio idel prtir do ponto. brr ríid, de mss desprezível e comprimento, está rticuld em dois pinos que deslizm sem trito o lono ds cnlets. mol estrá não-deformd, com comprimento nturl, qundo brr estiver n posição y y orizontl. Pede-se: () Epresse s coordends e y em função d coordend nulr ; ( é medid prtir d posição indeformd d mol); (b) Determine os deslocmentos virtuis δ e δ y, epressndo-os em função do deslocmento virtul δ ; (c) Determine o trblo virtul ds forçs eterns m plicds à brr, epressndo-o em função do deslocmento virtul δ ; (d) Utilizndo o Princípio dos Trblos Virtuis (P.T.V.), deduz equção cuj riz fornece o ânulo de equilíbrio do sistem: eq. 3ª Questão (3, pontos) O sistem mostrdo n fiur bio está inicilmente em repouso. brr ríid, de mss M e comprimento = +, é rticuld em O. brr prte d posição orizontl sob ção d rvidde. O coque com o bloco ríido, de mss m, se dá qundo brr está n verticl. pós o impcto, o bloco desliz sobre o plno orizontl, vindo se cocr contr o bloco, o qul está preso o bloco por meio de um mol liner de constnte elástic. Os blocos e são idênticos o bloco. dmite-se que não j trito no contto entre os blocos e o plno e consider-se válid ipótese de restituição de Newton de tl form que os coeficientes de restituição são: (i) entre brr e bloco: ; (ii) entre blocos: e. Pede-se: () velocidde nulr Ω d brr no instnte imeditmente nterior o primeiro coque; (b) Em função de Ω : velocidde v do bloco e velocidde nulr Ω d brr, no instnte imeditmente posterior o primeiro coque; (c) s velociddes ( v, v, v ), dos blocos, e, no instnte imeditmente posterior o seundo coque. e1 O M m m m

2 ESO POITÉNI D UNIVERSIDDE DE SÃO PUO Deprtmento de Enenri Mecânic ª Questão (3, pontos) - sed no EMS# s fiurs bio mostrm dois conjuntos de ráficos de vriáveis cinemátics e dinâmics em função do tempo, correspondentes às dus simulções estudds no EMS#. nlisndo-os e confrontndo-os, respond, justificndo: () Qul simulção corresponde o cso desblncedo e qul é o tipo Y y z de desblncemento eistente? X e R D ω m d Ω α M z(t) f (b) Por que, n simulção 1, rotção d bse permnece constnte e por que, n simulção, freqüênci de oscilção d rotção d bse ument com o tempo té que o reime estcionário sej tinido? (c) Observndo s envoltóris ds curvs de deslocmento verticl, quis fenômenos ficm evidentes? Descrev-os. Fç referênci às fiurs presentds se e qundo julr necessário. (Simulção 1) (Simulção ) Momento Eterno no Rotor Momento Eterno no Rotor Momento Z (Nm) 5 Momento Z (Nm) Fi 1. Torque fornecido pelo motor. Fi. Torque fornecido pelo motor. Velocidde nulr do rotor Velocidde nulr do rotor ome [rd/s] ome [rd/s] Fi. 1b. ω (t). Fi. b. ω (t).

3 ESO POITÉNI D UNIVERSIDDE DE SÃO PUO Deprtmento de Enenri Mecânic Velocidde nulr se Velocidde nulr se OMEG [rd/s] OMEG [rd/s] Fi. 1c. Ω (t). Fi. c. Ω(t). Posição Verticl Posição Verticl.e+.1-5.e- -1.e e-3 Y [m] -.e-3 -.5e-3 Y [m] e-3-3.5e e-3 -.5e Fi 1d. Y (t) Fi d. Y (t). Reção Verticl (Mncl ) Reção Verticl (Mncl ) Y (N) Y (N) Fi 1e. Reção verticl no mncl, Y (t). Fi e. Reção verticl no mncl, Y (t).

4 ESO POITÉNI D UNIVERSIDDE DE SÃO PUO Deprtmento de Enenri Mecânic PME MEÂNI Seund Prov 19 de mio de 9 RESOUÇÃO 1ª Questão (1, ponto) Respond: Do que trtou plestr proferid no di 3 de bril, pelo Prof. J..P. rn? Descrev o tem trtdo, fzendo lusão os conceitos ministrdos n disciplin e que por ele form utilizdos. imite su respost seis lins. Respost: plestr trtou dos conceitos de mss e inérci dicionis de um corpo ríido vnçndo em meio fluido, fzendo considerções simplificds cerc do problem de estbilidde d trjetóri, com resultdos plicáveis o projeto d empenem de eronves. O denomindo Momento de Munk foi deduzido pr um corpo esbelto e o problem de estbilidde foi borddo, trvés dos clássicos Teorems do Momento nulr e do Movimento do ricentro. nloi foi feit com o problem de estbilidde de brrs fleíveis. (1,) ª Questão (3, pontos) O sistem o ldo tem um bloco de mss m, suspenso trvés de um fio idel prtir do ponto. brr ríid, de mss desprezível e comprimento, está rticuld em dois pinos que deslizm sem trito o lono ds cnlets. mol estrá não-deformd, com comprimento nturl, qundo brr estiver n posição orizontl. Pede-se: () Epresse s coordends e y em função d coordend nulr ; ( é medid prtir d posição indeformd d mol); (b) Determine os deslocmentos virtuis δ e δ y, epressndo-os em função do deslocmento virtul δ ; (c) Determine o trblo virtul ds forçs eterns plicds à brr, epressndo-o em função do deslocmento virtul δ ; (d) Utilizndo o Princípio dos Trblos Virtuis (P.T.V.), deduz equção cuj riz fornece o ânulo de equilíbrio do sistem, eq. Resolução: y m y () = ( 1 cos ) ; y = sen (,5) (b) δ = senδ ; δy = cosδ (1,) et (c) δτ = δ + mδy = (1- cos )senδ + mcosδ, et portnto: δτ = ( (1- cos )sen + mcos )δ (,5) et (d) pelo PTV, se o sistem está em equilíbrio δτ =, que conduz, pr um deslocmento virtul rbitrário, à m seuinte condição de equilíbrio: sen eq (1 cos eq ) = cos eq. (1,)

5 ESO POITÉNI D UNIVERSIDDE DE SÃO PUO Deprtmento de Enenri Mecânic 3ª Questão (3, pontos) O sistem mostrdo n fiur bio está inicilmente em repouso. brr ríid, de mss M e comprimento = +, é rticuld em O. brr prte d posição orizontl sob ção d rvidde. O coque com o bloco ríido, de mss m, se dá qundo brr está n verticl. pós o impcto, o bloco desliz sobre o plno orizontl, vindo se cocr contr o bloco, o qul está preso o bloco por meio de um mol liner de constnte elástic. Os blocos e são idênticos o bloco. dmite-se que não j trito no contto entre os blocos e o plno e consider-se válid ipótese de restituição de Newton de tl form que os coeficientes de restituição são: (i) entre brr e bloco: ; (ii) entre blocos: e. Pede-se: e1 (d) velocidde nulr Ω d brr no instnte imeditmente nterior o O primeiro coque; (e) Em função de Ω : velocidde v do bloco e velocidde nulr Ω d M brr, no instnte imeditmente posterior o primeiro coque; (f) s velociddes ( v, v, v ), dos blocos, e, no instnte imeditmente posterior o seundo coque. Resolução: m m m 1 M 3 () Pelo Teorem d Eneri: M = Ω, de onde: Ω =. 3 (,5) (b) Tomndo o pólo O, conservção do momento nulr do subsistem [brr + bloco ], com =, fornece: M M Ω = Ω + mv 3 3 (Eq. 1) (,5) Por outro ldo, d ipótese de restituição de Newton, ( Ω ) = e1 ( Ω), ou sej, v v 1 ( Ω ) = e Ω (Eq. ) (,5) ) D (Eq. ) seue: v = ( e1 Ω + Ω, que substituíd n (Eq. 1) fornece Ω = Ω e1m M 3 M 3 e, portnto, + m M e1m 3 v = Ω e1 (Eq. 3). (,5) M + m 3 (c) Durnte o seundo coque: (i) d ipótese de restituição de Newton: v v = e ( v v ), ou sej, v v = e v (Eq. ) (ii) d conservção d quntidde de movimento: m v = mv + mv, (Eq. 5), pois v = v = (,5), um vez que, no coque idel, embor vrição de velocidde sej instntâne, não á vrição instntâne de posição. Ou sej, mol não se deform, instntnemente. ( 1 e ) (1 + e ) D (Eq. ), v = v + ev, que substituíd n (Eq. 5) trz: v = v e v = v (,5), com v dd pel (Eq. 3).

6 ESO POITÉNI D UNIVERSIDDE DE SÃO PUO Deprtmento de Enenri Mecânic ª Questão (3, pontos) - sed no EMS# s fiurs bio mostrm dois conjuntos de ráficos de vriáveis cinemátics e dinâmics em função do tempo, correspondentes às dus simulções estudds no EMS#. nlisndo-os e confrontndo-os, respond, justificndo: Y () Qul simulção corresponde o cso desblncedo e qul é o tipo y z de desblncemento eistente? X e R D ω m d Ω α M z(t) f (b) Por que, n simulção 1, rotção d bse permnece constnte e por que, n simulção, freqüênci de oscilção d rotção d bse ument com o tempo té que o reime estcionário sej tinido? (c) Observndo s envoltóris ds curvs de deslocmento verticl, quis fenômenos ficm evidentes? Descrev-os. Fç referênci às fiurs presentds se e qundo julr necessário. Resposts: () simulção corresponde o cso desblncedo. O desblncemento eistente e do tipo ecentricidde do centro de mss, tmbém denomindo estático. No cso nlisdo o centro de mss está deslocdo do eio de rotção, sobre o eio y e com coordend positiv neste eio. (1,) (b) N simulção 1 o rotor está perfeitmente blncedo, tnto estátic qunto dinmicmente. O sistem eibe, portnto, distribuição de mss perfeitmente simétric. Dest form, ficm descoplds s equções de movimento que reem dinâmic do sistem nos rus de liberdde ( Y,, α) e, por conseuinte, não á, em torno do eio Y, torque plicdo pelo rotor à bse, nem reções verticis cíclics são el trnsmitids (ms pens reções decorrentes do binário iroscópico que, neste cso, é monotonicmente crescente com o tempo). omo, lém disso, ineiste torque eterno plicdo o sistem em torno do eio verticl Y, não á celerção nulr d bse e rotção do conjunto em torno deste eio permnece constnte, mntendo-se com o vlor inicil. N simulção, o desblncemento estático cus coplmento dos 3 rus de liberdde. rotção do rotor desblncedo fz com que o momento de inérci do conjunto em torno do eio verticl vrie ciclicmente, com componente de freqüênci que é o dobro d rotção do rotor, provocndo vrição cíclic d rotção d bse em torno deste eio. Note que o vlor médio d rotção d bse é menor n simulção porque, n médi, o momento de inérci do conjunto em torno do eio Y é mior do que no cso blncedo (vej que são os termos qudráticos, em sen e cos, que comprecem multiplicndo Ω & n Eq. (VIII) do enuncido do EMS#, que provocm o precimento de médi diferente e contém componente de freqüênci com o dobro do vlor d rotção do rotor). Médi distint e comportmento osciltório são mbos refletidos n reção verticl dos mncis, conforme ilustr Fi. e. (1,) (c) N simulção 1 fic evidente o movimento osciltório com decimento eponencil, típico de oscildores lineres mortecidos (mss-mol-mortecedor). No cso o mortecimento é cmdo sub-crítico. posição verticl inicil é diferente d posição de equilíbrio, qul é tinid ssintoticmente pós luns ciclos de oscilção, que se fz n freqüênci nturl mortecid do sistem no ru de liberdde Y. N simulção, pós um trnsitório inicil, similr àquele d simulção 1, em que o conjunto busc ssintoticmente posição verticl de equilíbrio, evidenci-se o fenômeno de respost à vrredur em freqüênci com pssem pel ressonânci. rotção do rotor desblncedo fz com que sej trnsmitid à bse um forç cíclic de ecitção n direção verticl, com freqüênci iul à rotção do motor. omo, n verticl, o sistem tem dinâmic liner, freqüênci de oscilção compn linermente freqüênci de ecitção, que ument com rotção do rotor. No cso presentdo, os vlores dos prâmetros d curv do motor são suficientes pr que rotção do rotor ultrpsse freqüênci nturl do sistem ssocido o modo de vibrção verticl. Note que prte d potênci fornecid pelo motor é trnsferid pr os outros dois rus de liberdde e prte dest potênci trnsferid é dissipd pelo mortecedor. Qundo em reime permnente, potênci dissipd será iul à potênci fornecid pelo motor, limitndo ssim rotção máim de operção. Ou sej, rotção máim depende do ru de desblncemento. (1,)