ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

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1 Questão (.0 ponto) - bsed n plestr do di 8 de junho/05 () Cite nomes de dois proeminentes cientists do século XIX envolvidos no tem de que trtou plestr e descrev sus principis contribuições. (b) Escrev form mis gerl d segund lei de Newton pr um prtícul de mss vriável m(t) e velocidde v r (t ), sujeit à ção de um forç extern F r ( t ) e que perde mss pr o meio que circund um tx conhecid, dm/dt < 0, de tl sorte que mss perdid dquire, instntnemente, velocidde w r ( t ), supost conhecid e medid reltivmente o mesmo referencil inercil. Como é denomind est form de representção d lei de Newton n litertur científic? Resposts: () Dois proeminentes cientists do século XIX envolvidos no tem A Mecânic dos Sistems de Mss Vriável serem citdos são, Arthur Cyley (8-895) e Ivn Vsevolodovich Meshchersky ( ). Arthur Cyley, mtemático inglês, dedicou-se o estudo do problem idelizdo d corrente que ci de (ou sobre) um mes. Este problem hvi sido trtdo de form pioneir pelo cientist von Buquoy (Georg Frnz August de Longuevl, Bron von Vux, Grf von Buquoy, 78-85), em 8 e presentdo n Acdemi de Ciêncis de Pris, em 85, de onde recebeu lgum reconhecimento de Siméon Denis Poisson, quem veio trtr do tem d dinâmic de corpos de mss vriável em 89, trvés de um publicção específic no Bull. Sci. Soc. Philomt. Pris. Cyley desenvolveu formulção Lgrngen proprid o problem, de tl sorte trtr coerentemente dinâmic d prte suspens d corrente, cuj mss depende de seu comprimento, ou sej d coordend generlizd que define posição de su extremidde. O estudo foi publicdo em 857 no Proc. Royl Society of London. Est formulção específic foi, diverss vezes, or contestd or reconhecid, por mecnicists o longo do século XX, té ser demonstrd, em âmbito gerl, por Cveticnin (993) e Pesce (003). Ivn Vsevolodovich Meshchersky, mecnicist russo, de St Petesburgo, é considerdo pel litertur técnic do leste europeu como o cientist que deu fundmentos à interpretção d segund Lei de Newton qundo plicd prtículs que perdem (ou gnhm) mss pr o (do) meio que circund. Tl interpretção recebe o nome de Equção de Meshchersky e consider, de form própri, ção dicionl d forç decorrente do produto d tx temporl d vrição de mss com velocidde reltiv entre prtícul em estudo e mss perdid (gnh). Su publicção seminl, dissertção de mestrdo, foi presentd em 897. Publicou um livro texto em 94, referênci fundmentl à escol russ de Mecânic, cuj trdução pr o inglês veio ocorrer quse 50 nos depois, em 960, por ocsião do debte entre cdêmicos norte-mericnos cerc d interpretção que er dd à plicção d segund lei de Newton pr sistems de mss vriável, debte este estimuldo pel corrid espcil.

2 O cso em que mtéri gnh/perdid tem/dquire velocidde nul em relção o mesmo referencil inercil em relção o qul se estud o movimento d prtícul é especil - e hoje é conhecido como o cso de Levi-Civit (873-94), importnte mtemático e mecnicist itlino do finl do século XIX e início do século XX. r r dv dm r r (b) F ( t) = m( t) ( v w) () dt dt ou, equivlentemente, r dm r d r F ( t) w = ( mv ), () dt dt ou ind, r r r dv r dm r r F ( t ) Φ = m ( t ) ; com Φ = ( w v ) (3) dt dt é form mis gerl d segund lei de Newton pr um prtícul de mss vriável m(t) e velocidde v r (t ), sujeit à ção de um forç extern F r ( t ) e que perde/gnh mss pr o meio que circund um tx conhecid, dm/dt, de tl sorte que mss gnh/perdid tem/dquire, instntnemente, velocidde w r ( t ), supost conhecid e medid reltivmente o mesmo referencil inercil. Est form de interpretção é conhecid n litertur científic como Equção de Meshchersky e o termo Φ r, proporcionl o produto d tx temporl de vrição de mss com velocidde reltiv, é denomindo forç de Meshchersky, em homengem o fmoso mecnicist russo. Se dm/dt<0, ou sej, no cso de perd de mss, o termo Φ r pode ser interpretdo como um forç de empuxo.

3 Questão (3,5 pontos) Um rolete Q de mss desprezível desliz sobre um pist cilíndric idel de rio R, mntendo-se no plno Oxy, conforme indicdo n figur. Ligd Q há um hste de mss desprezível e comprimento r à qul, n extremidde P, prende-se um prtícul de mss m. Considerndo o sistem de referênci Oxyz, e tomndo s coordends generlizds ϕ e θ, pede-se: () descrever posição de P em função ds coordends generlizds e dos prâmetros do problem; (b) escrever expressão d energi potencil do sistem; (c) escrever expressão d energi cinétic do sistem; (d) Supondo que o sistem relize pequens oscilções em torno d configurção de equilíbrio, obter s equções do movimento n form linerizd. () Portnto, s equções de trnsformção ficm: (b) A energi potencil é: (c) Prtindo de cheg-se à expressão d energi cinétic: (, 0 ponto)

4 (d) O sistem será linerizdo em torno d condição de equilíbrio, n qul e. As forms qudrátics d energi cinétic e d energi potencil são, com e Como o problem é plno, somtóri d form qudrátic d energi cinétic tem como limite N e, no cso do em questão, N = (número de corpos do sistem), o psso que o número de grus de liberdde é n=. Com isso em vist, o primeiro psso consiste em escrever s equções de trnsformção: Assim: (,5 ponto)

5 Questão 3 (3,5 pontos) - bsed no EMSC#/05 Sbendo-se que função d energi potencil é dd pel expressão bixo, ( ) ( ) = = ) ( ) ( L y x L y x V B A δ δ ou ind, = = ) ( ) ( L y x L y x V B A δ δ pede-se: () verificr que origem O é um ponto de equilíbrio; (b) explicr como vri o número de pontos de equilíbrio estáveis do sistem em função do quociente L/; (c) fzer um esboço d projeção do espço de fse em x, isto é, (x, dx/dt), correspondente à simulção d Figur ; (d) fzer um esboço d respost temporl d coordend x correspondente à simulção d Figur ; (e) quntos pontos de equilíbrio você identific n Figur? Indique-os e qulifique-os qunto à su estbilidde. Observção: todos os esboços devem conter elementos que permitm crcterizá-los como resposts efetivs às solicitções. Exemplos desses elementos são escls nos eixos coordendos (reltivs ou numérics, qundo pertinente) e identificção, nos gráficos, de ponto (ou pontos) relevnte(s) pr respost fornecid. Solução: () Pr verificção de que (0;0) é um ponto de equilíbrio é necessário clculr s derivds prciis d função potencil, no ponto solicitdo, e consttr que o resultdo é nulo: (,0) b) Pr L/< há um ponto de equilíbrio estável, sber, (0;0); pr L/> há dois pontos de equilíbrio, estáveis e simétricos, com relção o eixo ds ordends; pr L/=0 há um ponto de equilíbrio instável, (0;0), denomindo centro limítrofe, ponto este que dá origem um bifurcção do equilíbrio. (0,5)

6 (c) (d) (0,5) (0,5) (e) N Figur são identificáveis 3 pontos de equilíbrio (0,5) São eles: (0;0) instável (0; -0,37) estável (0,5) (0;0,37) estável

7 Questão 4 (3,0 pontos) Considere um sistem formdo por dus brrs. A primeir, AB, está rticuld, no ponto A, à outr, AE. Ambs têm mss m e comprimento L. A brr AE pode deslizr horizontlmente, sem trito. A brr AB pode girr em torno do ponto A, mntendo-se no plno Oxy. N rticulção A há um mol rotcionl liner de constnte de rigidez. A rticulção A é lubrificd e o efeito d lubrificção pode ser representdo por um mortecedor rotcionl liner de constnte de mortecimento C. A mol está no seu ângulo nturl qundo o ângulo θ é nulo, ou sej, qundo s brrs estão linhds. Tomndo s vriáveis x e θ como coordends generlizds e considerndo ção de um forç F(t), de direção horizontl e plicd o ponto E, pede-se: () expressão d energi cinétic do sistem; (b) expressão d energi potencil do sistem; (c) expressão d função de dissipção de Ryleigh, R, representtiv do mortecedor constnte C; (d) expressão do trblho virtul d forç (não conservtiv) F(t); (e) s equções de movimento do sistem. rotcionl de ) (,0 ponto) b) c) (0,5 pontos)

8 d) (0,5 pontos) e) Eq. em x Eq. em (,0 ponto)