A SUPERFÍCIE DE SCHERK

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1 Pge4 A SUPERFÍCIE DE SCHERK Antonio Chávez Zen Universidde do Grnde ABC Resumo Neste trblho estudmos Suerfície mínim de Scherk, tmbém chmd de Primeir Suerfície de Scherk, descobert or H. F. Scherk em 84. Est suerfície é eriódic em direção dos eixos x e y. Plvrs-chve: scherk, suerfície, mínim, geometri. THE SURFACE OF SCHERK Abstrct In this er, we study the miniml surfce of Scherk lso clled Scherk s First Surfce, discovered by H. F. Scherk in 84. This surfce is eriodic in both directions of the x nd y xes.

2 Pge44 INTRODUÇÃO A equção ( f ) f f ( f ) f 0 obtid el rimeir vez or y xx xy Lgrnge (760) utilizndo métodos de Cálculo ds Vrições r o estudo de suerfícies que minimizm áre. Ele observou que o lno ddo el exressão f ( x, x by c stisfz equção dd, orém não deu outros exemlos não triviis de suerfícies mínims. Em 776 Meusnier deu os rimeiros exemlos não triviis de suerfícies mínims: O Ctenóide e o Helicóide. Um terceiro exemlo surgiu em 84, e foi descoberto or H. Scherk, cuj suerfície mínim lev hoje seu nome. x Posteriormente os exemlos ds suerfícies mínims obtids or F. Gcksttter, C.C. Chen e Celso cost, or volt de 98, inugurrm um nov áre de esquis n teori ds Suerfícies Mínims do yy IR. Nosso objetivo é definir suerfície de Scherk e sus rorieddes que derm origem muitos exemlos de suerfícies mínims eriódics e servirm de gui r resultdos geris d teori de suerfícies mínims eriódics no esço IR. Conceitos básicos d teori de Suerfícies Mínims Definição S F( M) IR é um suerfície do IR se: () M é um vriedde de dimensão, (b) F é um imersão C. C, conex e orientd, Então F induz um métric Riemnnin em M, ds, definid or: ds ( v, w ) DF( v ), DF( w ), onde, é métric Riemnnin usul de IR. A suerfície S F(M ) é comlet se M for comlet, reltivmente à métric Riemnnin induzid or F sobre M. Definição Sej S F(M ) um suerfície do curvtur médi de S é semre nulo. IR, el é um suerfície mínim se o vetor

3 Pge45 O Princíio de Simetri de Schwrtz r Suerfícies Mínims O rincíio em questão estbelece dois ftos fundmentis r construção de suerfícies mínims: ) Se S, suerfície mínim do rotção de ângulo em torno d ret; IR, contém um ret, suerfície é invrinte or um b) Se S contém um geodésic ln então el é invrinte reltivmente à reflexão em relção o lno d geodésic. A Suerfície de Scherk A equção ds suerfícies mínims, n form não rmétric, isto é suerfícies que são gráficos de funções z f ( x,, é: ( f ) f f ( f ) f 0 () y xx xy x yy Em 84, H.F. Scherk, se roôs chr soluções de () do tio: f ( x, ( x) (. Pr este tio de funções equção de suerfícies mínims () se torn: Portnto, onde é um constnte rel. ( ( ) ( x) ( ( x)) ( 0. ( ( x), ( ( x) Pr 0, solução é do tio f ( x, Ax By C com ( IR x, e A B, C IR,. Se 0, obtemos, ( x) ln[cos( x b)] c e ( ln[cos( y d)] c. Logo, f ( x, ln cos( y d) ln cos( y b) c. Então, se, b d c 0 obtemos um únic solução de (), ssim: z f ( x, ln cos y ln cosx cos y ln cos x, ()

4 Pge46 sendo definid r cos y 0 cos x. Observmos que Suerfície de Scherk é o gráfico d função globlmente Suerfície de Scherk não é um gráfico. cos y f ( x, ln cos x, orém Sendo () solução d equção () sobre os qudrdos retos do tbuleiro de xdrez infinito, ver Fig. : ( ~ ~ ~ ~ m, n x, y ) / x m, y n, onde m, n Z e m n é r. Ms, ( ~ x, ~ y ) / ~ x x ( m ), ~ y y ( n ) m, n, (,, cos ~ cos( ( ) ) cos cos(( ) ) cos ~ y y n y n x cos( x ( m ) ) cosx cos(( m ) ) x e, se m n k, cos(( m ) ) cos((k n ) ) cos([ k ( n )] ) cos(( n ) ). cos y cos y Logo,,( xy, ),. cos x cos x Então o comortmento de f ( x, em m, n e, são idênticos, isto é onde ( é dulmente eriódic. x, m, n cos y f ( x, ln, cosx Anlisemos, então o comortmento de z f ( x, sobre,. Se y, lim f ( x, lim f ( x,, x x

5 Pge47 Se x, lim f ( x, lim f ( x,. x x Se f ( x, tende um dos vértices de, o longo de um segmento de coeficiente ngulr, f ( x, tende ln. Como (0, ) temos então que f ( x, tende um vlor rbitrário deendendo d direção com que ( x, se roxim do outro vértice, então, os ontos d suerfície sobre dois qudrdos m, n djcentes tem um ret verticl como fronteir comum, ver Fig.. Portnto, de cordo com o rincíio de simetri, obtemos rte d suerfície sobre o qudrdo m, n, que or sucessivs rotções de ângulo o redor de rets verticis sobre dos qudrdos do tio m, n convenientes. Obtém-se deste modo um suerfície S mergulhd do IR, comlet, já que nos segmentos bertos que comõem os ldos dos qudrdos f ( x,. S, ssim construíd é conhecid como rimeir Suerfície Mínim de Scherk ou simlesmente Suerfície de Scherk. Figur : Peç d Suerfície de Scherk. Figur : Alicndo o Princíio de Simetri de Schwrtz n eç d Suerfície de Scherk.

6 Pge48 Conclusões - Podemos ver que ess suerfície só existe qundo cos y e cos x são mbos miores ou menores que zero. Em outrs lvrs suerfície só existe no interior de qudrdos num drão de tbuleiro de xdrez nos quis os qudrdos ossuem os vértices nos ontos. - Pelo Princiio de Simetri de Schwrtz, odemos dizer que el é dulmente eriódic, isto é, n direção dos eixos x e y. - N tulidde existem métodos numéricos r visulizção ds suerfícies. - As suerfícies mínims têm desemenhdo um el centrl no desenvolvimento d mtemátic recente e comlementndo investigção teóric. Referencis Bibliográfic CHAVEZ ZEÑA, A. Torres de Sel Simétric Tio Scherk. Tese de Mestrdo São Pulo, 00. DIERKS, U.; HILDERBRANDT, S.; KUSTER, A.;WOHLRAB, O., Miniml Surfces, vol. I, Sringer-Verlg, 99. GRAY, A. Modern Differentil Geometry, C.R.C. Press, nd ed., 998. KARCHER, H. Embedded Miniml Surfce Derived form Scherk s Exmles, Mnuscrit Mth., 6,.8-4, 988. KARCHER, H. Constructions of Miniml Surfce, Surveys in Geometry, University of Tokyo, nd Lecture Notes, SFB56, Bonn,.0-96, 989. KARCHER, H., POLTHIER, K.; Um introdução às Suerfícies Mínimis, Boletim d SPMn 0 4, 000 NITSCHE, J. Lectures on Miniml Surfces vol., Cmbridge Univ. Press, 989. OSSERMAN, R. Globl roerties of miniml surfce, Duke Mth.,, , 965.

7 Pge49 Recebido em: 8/09/0 Aceito em: 0//0 Endereço r corresondênci: Av. Industril 0, Birro Cmestre, Snto André SP. Universidde do Grnde ABC. E-mil: ntonio.zen@edu.com