Tópico 5. c) R. a) R. b) R. corretas. Resposta: b. Resposta: 15

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1 Tópico 5 Vetores e cinemátic etoril 65 Tópico 5 F 1 1 respeito ds grndezs físics esclres e etoriis, nlise s proposições seguir: (01) s esclres f icm per feitmente def inids, medinte um lor numérico compnhdo d respecti unidde de medid. (0) s etoriis, lém de eigirem n su def inição um lor numérico, denomindo módulo ou intensidde, compnhdo d respecti unidde de medid, requerem, ind, um direção e um sentido. (04) omprimento, áre, olume, tempo e mss são grndezs esclres. (08) Deslocmento, elocidde, celerção e forç são grndezs etoriis. Dê como respost som dos números ssocidos às proposições ) ) c) d) F e) correts. espost: espost: 15 N f igur, temos três etores coplnres formndo um linh poligonl fechd. respeito, le relção: 5 E.. Num plno α, temos dois etores e de mesm origem formndo um ângulo θ. Se os módulos de e de são, respectimente, iguis 3 u e 4 u, determine o módulo do etor som em cd um dos csos seguintes: ) θ 0 ; c) θ 180 ; ) θ 90 ; d) θ 60. ) Se o ângulo formdo pelos etores é 0, eles possuem mesm direção e o mesmo sentido: ) + c. ) + c. c) + + c 0. c Sendo s o módulo do etor som, temos: s + s d) + c 0. s 7 u e) c. espost: c ) Se θ 90, podemos clculr o módulo s do etor som plicndo o Teorem de Pitágors: 3 Ddos os etores e, melhor representção pr o etor + é: d) θ s + ) ) c) e) s + s s 5 u espost: d 4 (PU-SP mod.) Num competição de rco-e-f lech, o que fz f lech tingir lts elociddes é ção d forç resultnte, otid por meio d som etoril entre s forçs F 1 e F eercids pelo f io impulsor. f igur que melhor represent resultnte é: c) Se o ângulo formdo pelos etores é 180, eles possuem mesm direção e sentidos opostos: θ

2 66 PTE I INEMÁTI módulo s do etor som f ic determindo por: s s 4 3 (II) s 1 u s min d) Pr θ 60, plicndo ei dos cossenos, otemos: s min u s min s min 5 u θ 60º s (III) 5 u s 5 u esposts: 5 uniddes s 5 uniddes s + + cos θ s (3)(4) cos 60 s s 37 s 6 u 6 Determine o módulo do etor som de ( 60 u) com ( 80 u) em cd cso: ) ) c) 8 Dois etores e, de mesm origem, formm entre si um ângulo θ 60. Se os módulos desses etores são 7 u e 8 u, qul o módulo do etor som? ei dos cossenos: s + + cos θ s (7) + (8) cos 60 s s 169 espost: 13 u s 13 u 9 (UFN) Qul é o módulo d resultnte ds forçs coplnres M, N, P e Q plicds o ponto, como se mostr n f igur io? M 1 N Q N ) s + s N P s 140 u ) s s s 0 u c) s + s (60) + (80) s 100 u (I) N direção de N e Q : N Q newtons esposts: ) 140 u; ) 0 u; c) 100 u (II) N direção de M e P : y M P y onsidere dois etores, u e, de módulos respectimente iguis 10 uniddes e 15 uniddes. Qul o interlo de lores dmissíeis pr o módulo do etor s, som de u com? (III) y 3 newtons (I) y s má s má + u s má s má 5 u

3 Tópico 5 Vetores e cinemátic etoril 67 Teorem de Pitágors: + y (4) + (3) 5 N F F espost: 5 N F 10 onsidere s grndezs físics relcionds seguir, compnhds de um código numérico: Energi (1) celerção (5) Mss () Deslocmento (6) Forç (3) Tempo (7) Densidde (4) Velocidde (8) Escreendo em ordem crescente os códigos ssocidos às grndezs esclres e os códigos ssocidos às grndezs etoriis, otemos dois números com qutro lgrismos cd um. Determine: ) o número correspondente às grndezs esclres; ) o número correspondente às grndezs etoriis. esposts: ) 1 47; ) (Mck-SP) om seis etores de módulos iguis 8 u, construiuse o heágono regulr o ldo. módulo do etor resultnte desses seis etores é: F E ) 50 N. ) 45 N. c) 40 N. d) 35 N. e) 30 N. (I) F + F E F (II) F D + F F (III) Sendo resultnte ds cinco forçs, tem-se: F + F + F 3 F 3 F 3 10 (N) 30 N espost: e F D 13 E.. No plno qudriculdo seguir, temos três etores,, e c : 1u 1u ) zero. d) 3 u. ) 16 u. e) 40 u. c) 4 u. c Um heágono regulr inscrito em um circunferênci de rio tem ldos de comprimento. Por isso, o triângulo destcdo é equilátero. S S 1 + S S + S 4 8u espost: d S 3 u S 1 () S () S 4 1 (Mck-SP) f igur mostr 5 forçs representds por etores de origem comum, dirigindo-se os értices de um heágono regulr. Sendo 10 N o módulo d forç F, intensidde d resultnte desss 5 forçs é: S Qul é o módulo do etor resultnte d som desses etores? Inicilmente, deemos trsldr os etores, de modo que origem de um coincid com etremidde do outro, tomndo cuiddo pr mnter s crcterístics (direção, sentido e módulo) de cd etor sem lterção. etor resultnte é quele que fech linh poligonl. 1u 1u s sere que o etor resultnte é hipotenus de um triângulo retângulo de ctetos 3 u e 4 u. plicndo o Teorem de Pitágors, temos: s s s 5 s 5 u c

4 68 PTE I INEMÁTI 14 No plno qudriculdo io, estão representdos três etores:, y e z. (I) má F 1 + F má (N) má 30 N 1u 1u y (II) min F 1 F min 18 1 z min 6,0 N Determine o módulo do etor som s + y + z. 1 u 1 u (III) 6,0 N 30 N espost: e 17 Suponh dois etores de mesmo módulo. respeito d som desses etores, podemos f irmr que: ) pode ter módulo 10; d) é nul; ) pode ter módulo ; e) tem módulo. c) tem módulo ; s y z s 60 plicndo-se o Teorem de Pitágors no triângulo destcdo, em: s s 5u espost: 5 u 15 (Mck-SP) etor resultnte d som de, E e é: D s som terá módulo, no cso prticulr de os dois etores formrem entre si um ângulo de 60, conforme represent f igur cim. espost: 18 (Fp-SP) intensidde d resultnte entre dus forçs concorrentes, perpendiculres entre si, é de 75 N. Sendo intensidde de um ds forçs igul 60 N, clcule intensidde d outr. E ) E. c) D. e). ) D. d) E. F 1 (I) + E E (II) + E E (III) ogo: + E + E espost: d 16 onsidere dus forçs F 1 e F de intensiddes respectimente iguis 18 N e 1 N, plicds em um prtícul P. resultnte F 1 + F não poderá ter intensidde igul : ) 30 N. c) 1 N. e) 3,0 N. ) 18 N. d) 6,0 N. Sendo F 1 60 N e 75 N, plicndo-se o Teorem de Pitágors, em: F 1 + F (75) (60) + F F 45 N espost: 45 N 19 s etores e d f igur seguir têm módulos respectimente iguis 4 u e 1 u. Qul o módulo do etor som s +? Ddo: sen 30 cos 60 0,50 F

5 Tópico 5 Vetores e cinemátic etoril 69 ei dos cossenos: s + + cos 60 s (4) + (1) s 39 u espost: 39 u y 1 30 Qul dee ser o módulo de F 3 pr que som F 1 + F + F 3 : ) tenh módulo nulo? ) tenh módulo 5,0 N estndo dirigid pr io? Inicilmente, mos clculr o módulo d som F 1 + F. plicndo ei dos cossenos, em: s F 1 + F F 1 F 0 som de dois etores perpendiculres entre si tem módulo igul 0. Se o módulo de um deles é o doro do módulo do outro, qul é o módulo do mior? 1 + ( 0 ) espost: 4 1 Dus forçs F 1 e F estão plicds sore um prtícul, de modo que forç resultnte é perpendiculr F 1. Se F 1 e F, qul o ângulo entre F 1 e F? F θ sen θ F 1 F 1 θ 30 α θ + 90 α α 10 espost: 10 E.. Três forçs F 1, F e F 3, contids em um mesmo plno, estão plicds em um prtícul, conforme ilustr f igur. F 1 e F têm módulos iguis 10 N. 10 F 1 10 F 1 F s F 1 + F + F F cos 10 1 s (10) + (10) s (10) s 10 N F 3 tem mesm direção de s F 1 + F, porém sentido oposto, logo: ) F 3 s 0 F F 3 10 N 10 F 1 (10 N) 60 F 3 (10 N) F (10 N) 10 Nesse cso, linh poligonl de F 1, F e F 3 form um triângulo equilátero, conforme ilustr f igur cim. ) F 3 s 5,0 F ,0 F 3 15 N 3 onsidere três etores coplnres, e, de módulos iguis e com origens coincidentes num ponto. lcule o módulo do etor resultnte d som + + nos dois csos esquemtizdos io: ) ) F 3 Ddo: cos 10 1

6 70 PTE I INEMÁTI ) ) + + cos 10 ) d 1 y d 1 + ( y ) + 1 y tem mesm direção de, porém sentido oposto, logo: 0 Professor: chme tenção pr grnde importânci desse cso; contetulize-o. esposts: ) ; ) zero 4 Três forçs coplnres F 1, F e F 3, de intensiddes respectimente iguis 10 N, 15 N e 0 N, estão plicds em um prtícul. Esss forçs podem ter sus direções modif icds de modo lterr os ângulos entre els. Determine pr resultnte de F 1, F e F 3 : ) intensidde máim; ) intensidde mínim. ) resultnte de F 1, F e F 3 terá intensidde máim qundo esss três forçs tierem mesm direção e o mesmo sentido. Nesse cso: serndo f igur, concluímos que: d 1 6,0 u ) d z w d z + ( w ) módulo de d f ic determindo plicndo-se o Teorem de Pitágors o triângulo retângulo destcdo n f igur: 8,0 u 6,0 u d w z d (8,0) + (6,0) d 1 má (N) má 45 N d 10 u ) resultnte de F 1, F e F 3 terá intensidde mínim igul zero. Isso ocorrerá qundo F 3 equilirr resultnte de F 1, e F (5,0 N F 1, + F 5 N), como está esquemtizdo io: 6 No plno qudriculdo io, estão representdos dois etores e y. módulo do etor diferenç y le: F 1 F 1 + F F 3 y F F 1, + F F 3 0 N ogo: ) 1 u. ) u. c) 3 u. d) 4 u. e) 5 u. min F 1 + F + F 3 0 esposts: ) 45 N; ) zero d 5 E.. No plno qudriculdo io, estão representdos os etores, y, z e w. y d + y y z w plicndo-se o Teorem de Pitágors o triângulo retângulo destcdo, em: d Determine o módulo dos etores: ) d 1 y ) d z w d 5 u espost: e

7 Tópico 5 Vetores e cinemátic etoril 71 7 E.. Ddos os etores V 1 e V, representdos n f igur, com V 1 16 u e V 10 u, pede-se: ) D 1 D D D + cos θ D (7,0) + (8,0) 7,0 8,0 cos 10 V 60 D D 169 D 13 u V 1 ) representr os etores D 1 V 1 V e D V V 1 ; ) clculr os módulos de D 1 e D. ) D 1 V 1 V D 1 V 1 + ( V ) V 1 60 esposts: ) ) 13 u D 1 9 N f igur, estão representds três forçs que gem em um ponto mteril. endo em cont escl indicd, determine intensidde d resultnte desss três forçs. D D 1 V D V V 1 D V + ( V 1 ) V 1 60 D V 4 N etor D é o etor oposto de D 1, isto é, D e D 1 têm mesmo módulo, mesm direção e sentidos contrários. ) Sendo D o módulo de D 1 ou de D, plicndo ei dos cossenos, em: D V 1 + V V 1 V cos 60 D (16) + (10) (16) (10) 1 D 14 u 8 sere os etores e representdos io. onsiderndo 7,0 u e 8,0 u, pede-se: 4 N ) 5 N d) 0 N ) 10 N e) 5 N c) 15 N N horizontl: (N) 8 N N erticl: y 10 4 (N) y 6 N 10 ) represente os etores D 1 e D ; ) clcule os módulos de D 1 e D. y Ddo: cos 10 1 ) 10º 10º D 1 D 4N 4N N espost:

8 7 PTE I INEMÁTI 30 No plno qudriculdo io, estão representdos cinco etores:,, c, d e e. c d F D e ponte lternti incorret: ) e ) c d c) c e d) + d + e e) + c e + c espost: e 31 onsidere dus forçs F e F com intensiddes respectimente iguis 1 N e 5,0 N. lcule intensidde ds forçs S F + F e D F F nos seguintes csos: ) F e F têm mesm direção e sentidos opostos; ) F e F são perpendiculres. ) F S F F S 1 5,0 (N) S 7,0 N D F + ( F ) D 1 + 5,0 (N) ) D 17 N F Teorem de Pitágors: D (1) + (5,0) D 13 N esposts: ) S 7,0 N e D 17 N; ) S D 13 N F 3 (Ufop-MG) s módulos de dus forçs F 1 e F são F 1 3 e F 5, epressos em newtons. Então, é sempre erdde que: I. F 1 F. III. F 1 + F 8. II. F 1 F 8. IV. F 1 + F 8. Indique lternti corret: ) pens I e III são erddeirs. ) pens II e IV são erddeirs. c) pens II e III são erddeirs. d) pens I e IV são erddeirs. e) Nenhum sentenç é sempre erddeir. (I) (II) F 1 + F (N) F 1 + F 8 (N) F 1 F 3 5 (N) F 1 F N F 1 F F S F 1 F F 1 + F 3 5 (N) F 1 + F N F 1 F (N) F F 1 F 8 N Teorem de Pitágors: S (1) + (5,0) S 13 N (III) N F 1 + F 8 N N F 1 F 8 N espost:

9 Tópico 5 Vetores e cinemátic etoril E.. Ns dus situções esquemtizds seguir, o groto lnç um ol de orrch contr um prede erticl f i. dmit que s colisões sejm per feitmente elástics, isto é, que ol consere o módulo de su elocidde etoril igul. N situção 1, ol i e olt pel mesm ret horizontl. N situção, ol incide so um ângulo de 60 em relção à ret norml à prede no ponto de impcto, sendo ref letid so um ângulo tmém de 60 em relção à mesm ret. Situção 1 34 N f igur, estão representds s elociddes etoriis 1 e de um ol de sinuc, imeditmente ntes e imeditmente depois de um colisão contr um ds ords d mes Sendo que 1 e têm intensiddes iguis, ponte lternti que melhor crcteriz intensidde, direção e o sentido d rição d elocidde etoril d ol no to d colisão: ) c) 60 e) Vetor nulo. ) d) 60 Situção Δ º 60 30º 30º lcule o módulo d rição d elocidde etoril d ol: ) n situção 1; ) n situção. Em mos os csos, rição d elocidde etoril d ol (Δ ) f ic determind pel diferenç entre elocidde f inl ( f ) e elocidde inicil ( i ). ) i Δ f i Δ f + ( i ) Δ 1 60º triângulo formdo por 1, e Δ é equilátero, com ldos de comprimento, logo: Δ espost: 35 E.. peso de um corpo é um forç erticl, dirigid pr io. N f igur, está representdo um loco de peso P, poido em um plno inclindo de 60 em relção à horizontl. f Δ + Δ n ) triângulo formdo pelos etores f, i e Δ é equilátero e, por isso, esses três etores têm módulos iguis. i 60 f t 60 P Δ Δ Sendo que intensidde de P é igul 0,0 newtons, clcule intensidde ds componentes de P segundo s rets t e n, respectimente, tngente e norml o plno inclindo no locl em que se encontr o loco. dote: sen 60 0,87 e cos 60 0,50.

10 74 PTE I INEMÁTI N f igur o ldo, estão representds s componentes de P segundo s sets t e n, respectimente, P t (componente tngencil) e P n (componente norml). É importnte oserr que, no triângulo retângulo destcdo, temos β α 60 (ângulos de ldos perpendiculres têm medids iguis). Sendo que forç F que o co eerce sore nten tem intensidde igul, N, determine intensidde ds componentes horizontl e erticl de F. (I) Teorem de Pitágors: n y F P n θ P t β F t P α 60 F y P t P sen β P t 0,0 0,87 (N) P t 17,4 N P n P cos β P n 0,0 0,50 (N) P n 10,0 N 36 (UF-E) N f igur io, em que o reticuldo form qudrdos de ldo 0,50 cm, estão desenhdos dez etores, contidos no plno y. módulo d som de todos esses etores é, em centímetros: y () + y (40) + (3) 4 m (II) F F sen θ F, (N) F X 1, 103 N (III) F Y F cos θ F Y, (N) F Y 1,6 103 N esposts: omponente horizontl: F 1, 10 3 N; omponente erticl: F y 1, N ) 0,0. ) 0,50. c) 1,0. d) 1,5. e),0. (I) N direção : s 4,5 4,5 0 (II) N direção y: s y 1,0 + 1,0,0 (III) s,0 38 jetindo decolgem, um ião reliz corrid n pist, lçndo ôo com elocidde V, de intensidde 360 km/h, que é mntid constnte o longo de um trjetóri retilíne e scendente, como esquemtizdo seguir. Sol está pino, e somr do ião é projetd sore o solo plno e horizontl. uz solr V espost: e 37 Um nten trnsmissor de TV, de comprimento igul 3 m, é mntid em equilírio n posição erticl deido um sistem de cos de ço que conectm su etremidde superior o solo horizontl. N f i- gur, está representdo pens o co, de comprimento igul 40 m. Solo F nten 40 m 30 m Somr projetd Solo Determine: ) intensidde d elocidde com que somr do ião percorre o solo; ) o interlo de tempo gsto pelo ião pr tingir ltur de 480 m; c) distânci percorrid pelo ião desde o instnte em que lç ôo té o instnte em que tinge ltur de 480 m. elocidde V do ião dmite dus componentes: V horizontl e V y erticl.

11 Tópico 5 Vetores e cinemátic etoril 75 V y V X V cos θ V (km/h) V 88 km/h 80 m/s V y V sen θ V y (km/h) V y 16 km/h 60 m/s θ V ) V somr V V somr 88 km/h ) Vy Δy ,0 s c) V Δs Ds 800 m 360 3,6 Δs 8,0 esposts: ) 88 km/h; ) 8,0 s; c) 800 m V plicndo o Teorem de Pitágors o triângulo retângulo destcdo, otemos o módulo do deslocmento etoril do escoteiro de P té Q. d (300) + (400) d 500 m ) interlo de tempo gsto pelo escoteiro de P té Q é 8 min 0 s 500 s. ogo: m d m 500 m 500 s m 1,0 m/s m Δs d + d + d I II III m (m/s) m 3,0 m/s 40 Três ciddes, e, situds em um região pln, ocupm os értices de um triângulo equilátero de 60 km de ldo. Um crro ij de pr, pssndo por. Se o interlo de tempo gsto no percurso totl é de 1,0 h 1 min, determine, em km/h: ) o lor soluto d elocidde esclr médi; ) intensidde d elocidde etoril médi. 39 E.. Um escoteiro, o fzer um eercício de mrch com seu pelotão, prte de um ponto P e sofre seguinte sequênci de deslocmentos: I. 800 m pr o Norte; II. 300 m pr o este; III. 400 m pr o Sul. Sendo que durção d mrch é de 8 min 0 s e que o escoteiro tinge um ponto Q, determine: ) o módulo do seu deslocmento etoril de P Q; ) o módulo d elocidde etoril médi e d elocidde esclr médi de P Q. (Dê su respost em m/s.) d 1,0 h 1 min 1, h ) m d + d I II m (km/h) 1, d l d ll ) No esquem io, estão representdos os três deslocmentos prciis do escoteiro e tmém seu deslocmento totl, de P té Q. N d II m 100 km/h ) m d I m 60 km 1, h m 50 km/h esposts: ) 100 km/h; ) 50 km/h 100 m S d III Q d I 41 Um crro percorreu trjetóri, representd n f igur, prtindo do ponto no instnte t 0 0 e tingindo o ponto no instnte t 1 0 s. onsiderndo que cd qudrdinho d f igur tem ldo igul 10 m, determine: 100 m d P

12 76 PTE I INEMÁTI ) o módulo do deslocmento etoril sofrido pelo crro de té ; ) o módulo ds elociddes etoril médi e esclr médi no interlo de t 0 t 1. ) d ll ) interlo de tempo gsto pel mulânci de té será mínimo se o eículo percorrer trjetóri de menor comprimento entre esses dois pontos. 400 m 00 m 100 m 00 m Teorem de Pitágors: d d I + d II d (60) + (80) d 100 m ) V m d V m 100 m 0 s m d I + d II m (m/s) 0 m 7,0 m/s d V m 50 m/s esposts: ) 100 m; ) 5,0 m/s e 7,0 m/s 4 (Unicmp-SP) f igur io represent um mp d cidde de Vectori o qul indic o sentido ds mãos do tráfego. Deido o congestionmento, os eículos trfegm com elocidde médi de 18 km/h. d qudr dess cidde mede 00 m por 00 m (do centro de um ru o centro d outr ru). Um mulânci loclizd em precis pegr um doente loclizdo em no meio d qudr em, sem ndr n contrmão. d l m Δs Δs m Δs 00 m m + 00 m m Δs 900 m e m 18 km/h 5,0 m/s. ogo: 900 m 5,0 m/s 180 s ) Teorem de Pitágors: d (300) + (400) d 500 m V m d 500 m 180 s d 400 m 3,0 min 300 m V m ,6 km/h V 10 km/h m esposts: ) 3,0 min; ) 10 km/h 43 Um emrcção crregd com suprimentos zrp de um porto n cost às 7 h pr fzer entregs em três pequens ilhs,, e, posicionds conforme represent o esquem. 3,0 km 9,0 km 15,0 km ) Qul é o menor interlo de tempo gsto (em minutos) no percurso de pr? ) Qul é o módulo do etor elocidde médi (em km/h) entre os pontos e? emrcção trc n ilh às 13 h do mesmo di. lcule pr o percurso totl de té : ) elocidde esclr médi; ) elocidde etoril médi. ) 1) Δs + + 7,0 km ) m Δs 7,0 km 13 h 7 h 4,5 km/h m

13 Tópico 5 Vetores e cinemátic etoril 77 ) 1) 9,0 km (m/s) 4,0,0 d 1,0 km 0 1,0,0 3,0 4,0 5,0 t (s) Teorem de Pitágors: d (9,0) + (1,0) d 81, d 15,0 km ) m d 15,0 km 6,0 h esposts: ) 4,5 km/h; ),5 km/h m,5 m/s 44 Um nio neg 80 milhs de Sudoeste pr Nordeste e, em seguid, 60 milhs de Sudeste pr Noroeste. Sendo X intensidde d elocidde etoril médi e Y o módulo d elocidde esclr médi, esses dois lores referentes o percurso totl, é correto que: ) X Y 3 5. ) X Y 5 7. Teorem de Pitágors: d (80) + (60) c) X Y 4 5. d) X Y 1. d N S Δs 80 milhs + 60 milhs X Y d Δs espost: 60 milhs NE 80 milhs d 100 milhs Δs 140 milhs X Y d Δs X Y 5 7 e) X Y Um prtícul prte do ponto d trjetóri, esquemtizd io, no instnte t 0 0, tinge o ponto no instnte t 1 3,0 s e pr no ponto no instnte t 5,0 s. rição de su elocidde esclr pode ser oserd no gráf ico io: onsiderndo o interlo de 0 5,0 s, clcule pr prtícul: ) o lor soluto d elocidde esclr médi; ) intensidde d elocidde etoril médi. (3,0 + 1,0) 4,0 (I) 8,0 m; (,0 + 1,0) 4,0 (II) 6,0 m Teorem de Pitágors: (III) () (8,0) + (6,0) 10 m ) m Δs 14 m 5,0 s ) m d 10 m 5,0 s esposts: ),8 m/s; ),0 m/s m,8 m/s m,0 m/s 46 E.. onsidere um prtícul que percorre um qurto de circunferênci de,0 m de rio em 10 s. dotndo 1,4 e π 3,0, determine: ) o módulo d elocidde esclr médi d prtícul; ) intensidde d su elocidde etoril médi. N f igur io, estão indicdos o deslocmento esclr (Δs) e o deslocmento etoril ( d ) d prtícul:,0 m Δs π 4 d (,0) + (,0),0 m d,0 m Δs 3,0,0 (m) 4 Δs 3,0 m d,0 1,4 (m) d,8 m ) módulo d elocidde esclr médi é ddo por: m Δs 3,0 m 10 s m 0,30 m/s

14 78 PTE I INEMÁTI ) intensidde d elocidde etoril médi é dd por: m d,8 m 10 s m 0,8 m/s sere, nesse cso, que m < m. 47 Um ciclist percorre metde de um pist circulr de 60 m de rio em 15 s. dotndo π 3,0, clcule pr esse ciclist: ) o módulo d elocidde esclr médi; ) intensidde d elocidde etoril médi. Δs 49 nlise s proposições seguir: (01) elocidde etoril médi entre dois pontos de um trjetóri tem sempre mesm direção e o mesmo sentido do deslocmento etoril entre esses pontos. (0) elocidde etoril é, em cd instnte, tngente à trjetóri e orientd no sentido do moimento. (04) Nos moimentos uniformes, elocidde etoril é constnte. (08) Nos moimentos retilíneos, elocidde etoril é constnte. (16) elocidde etoril de um prtícul só é constnte ns situções de repouso e de moimento retilíneo e uniforme. Dê como respost som dos números ssocidos às proposições correts. espost: 19 ) m Δs π 3,0 60 m (m/s) 15 m 1 m/s ) Vm d m (m/s) 8,0 m/s m esposts: ) 1 m/s; ) 8,0 m/s d 50 E.. Dois iões de comte, e, em moimento num mesmo plno erticl, presentm-se em determindo instnte, conforme ilustr f igur, com elociddes etoriis e de intensiddes respectimente iguis km/h. () onsidere o esquem seguinte, em que o trecho curo corresponde um semicircunferênci de rio. () dotndo 1,41, determine s crcterístics d elocidde etoril do ião em relção o ião no instnte considerdo. Do ponto de ist etoril, elocidde de um prtícul 1 em relção outr prtícul é rel1,, dd pel sutrção: Dus prtículs, X e Y, prtem simultnemente do ponto rumo o ponto. prtícul X percorre o trecho curo, enqunto prtícul Y segue pelo diâmetro. Sendo que s prtículs tingem o ponto no mesmo instnte, clcule: ) relção entre os módulos ds elociddes esclres médis de X e Y; ) relção entre s intensiddes ds elociddes etoriis médis de X e Y. ) ) m my m my Δs Δs y d d y esposts: ) π ; ) 1 m my Δs π Δs y m my m my d d y m my 1 π rel1, 1 em que 1 e são s elociddes etoriis de 1 e em relção o solo. ssim, elocidde do ião em relção o ião f ic determind por: + ( ) Grf icmente: é erticl e dirigid pr cim e su intensidde pode ser otid pelo Teorem de Pitágors: + (1000) + (1000) (km/h) km/h

15 Tópico 5 Vetores e cinemátic etoril onsidere um crro dirigindo-se pr o Norte, com elocidde de intensidde igul 45 km/h, e um crro dirigindo-se pr o este, com elocidde de intensidde igul 60 km/h, conforme represent f igur seguir. N S 5 Se celerção etoril de um prtícul é constntemente nul, sus componentes tngencil e centrípet tmém o são. respeito de um possíel moimento eecutdo por ess prtícul, podemos f irmr que ele pode ser: ) celerdo ou retrddo, em trjetóri retilíne. ) uniforme, em trjetóri qulquer. c) pens celerdo, em trjetóri cur. d) pens uniforme, em trjetóri retilíne. e) celerdo, retrddo ou uniforme, em trjetóri cur. t 0 Moimento uniforme cp 0 Moimento retilíneo espost: d ponte lternti que melhor trduz s crcterístics d elocidde, do crro em relção o crro : ) N d) N 53 Um prtícul moiment-se o longo de um trjetóri circulr com elocidde esclr constnte. f igur represent prtícul no instnte em que pss pelo ponto P: Sentido do moimento 45 ) S N, (60 km/h) e) 45 S N, (75 km/h) P 1 45 c) 45 S N, (45 km/h) 45 S, (75 km/h) 3 s sets que representm elocidde etoril e celerção etoril d prtícul em P são, respectimente: ) 1 e. c) 1 e 4. e) 1 e 5. ) 3 e 5. d) 3 e 6. é sempre tngente à trjetóri e orientd no sentido do moimento (set 1). é centrípet no moimento circulr e uniforme (set 5). S, (75 km/h) espost: e V, V V 54 f igur seguir represent um instnte do moimento curilíneo e celerdo de um prtícul: 45º 5 1 (45 km/h), 4 Trjetóri 3 Teorem de Pitágors: V, (45) (60) V, 75 km/h espost: c (60 km/h) Se o moimento ocorre d esquerd pr direit, os etores que melhor representm elocidde etoril e celerção etoril d prtícul no instnte considerdo, e ness ordem, são: ) 1 e. c) 1 e 4. e) 1 e 1. ) 5 e 3. d) 5 e 4. é sempre tngente à trjetóri e orientd no sentido do moimento (etor 1).

16 80 PTE I INEMÁTI 0, já que o moimento é celerdo. cp 0, já que o moimento é curilíneo. t cp 57 Um groto monitor, por controle remoto, um eromodelo que descree um circunferênci de 18 m de rio com elocidde de intensidde constnte e igul 108 km/h. Determine: ) intensidde dos deslocmentos esclr e etoril do eromodelo o completr um olt; ) intensidde de celerção etoril do eromodelo num instnte qulquer do moimento. espost: (etor ) 55 dmit que o piloto Felipe Mss entre em um cur frendo seu crro de fórmul 1. Sej elocidde etoril do crro em determindo ponto d cur e respecti celerção. lternti que propõe melhor conf igurção pr e é: ) d) ) Δs π Δs 3 18 (m) Δs 108 m Δr 0 ) 108 km h 108 m 30 m/s 3,6 s Moimento circulnte uniforme: cp (30) cp 18 (m/s ) cp 50 m/s ) esposts: ) 108 m, zero; ) 50 m/s c) e) 58 Um móel eecut um moimento com elocidde esclr constnte o longo de um trjetóri pln, compost de trechos retilíneos e trechos em rcos de circunferêncis, conforme indic f igur seguir. s rios de curtur nos pontos,, D e E estão indicdos n ilustrção: c t E e cp d espost: c 56 E.. Um piloto consegue mnter seu krt em moimento uniforme num pist circulr de rio 50 m. Sendo que elocidde esclr do krt é igul 0 m/s, determine intensidde d su celerção etoril. moimento do krt é circulr e uniforme, o que torn su celerção etoril centrípet. Sendo 0 m/s e 50 m, intensidde d celerção centrípet ( cp ) f ic determind por: cp cp (0) 50 (m/s ) cp 8,0 m/s D,50 m c 1,0 m d 1,70 m e 3,50 m Pode-se f irmr corretmente que o lor máimo d celerção etoril ocorreu qundo o móel pss ns proimiddes do ponto: ). ). c). d) D. e) E. Nos trechos curilíneos, o móel reliz moimento circulr e uniforme e su celerção etoril é centrípet. cp Sendo constnte, cp é inersmente proporcionl. ssim, em, ocorre min e cpmá. espost: c

17 Tópico 5 Vetores e cinemátic etoril Um crrinho percorre trjetóri representd n f igur, pssndo pelo ponto P 1 no instnte t 1 5,0 s, com elocidde etoril 1, e pelo ponto P no instnte t 10 s, com elocidde etoril. s rets r e s são perpendiculres entre si. r V IV II I 1 III s P P 1 Sendo que 1 15 m/s e que 0 m/s, clcule pr o percurso de P 1 P o módulo dos seguintes etores: ) rição de elocidde etoril; ) celerção etoril médi. ) ) o moimento é celerdo; ) o moimento é retrddo; c) o moimento é uniforme. ) t Δ 1 (15 m/s) cp (0 m/s) Teorem de Pitágors: (15) + (0) Δ 1 : etor I; : etor II Δ 5 m/s ) m Δ m 5 m/s 5,0 s m 5,0 m/s ) t esposts: ) 5 m/s; ) 5,0 m/s 60 nlise s proposições: I. No moimento retilíneo e celerdo, celerção tngencil é nãonul e celerção centrípet é nul. II. No moimento prólico e retrddo, s celerções tngencil e centrípet são não-nuls. III. No moimento circulr e uniforme, celerção tngencil é nul e celerção centrípet é não-nul. Podemos f irmr que: ) Tods são correts. ) Tods são incorrets. c) pens I e II são correts. d) pens I e III são correts. e) pens II e III são correts. espost: : etor I; : etor IV c) cp cp 61 crrinho esquemtizdo n f igur seguir percorre trjetóri circulr d esquerd pr direit. I, II, III, IV e V são etores que podem estr ssocidos o moimento. Indique, justif icndo, que etores representm melhor elocidde e celerção do crrinho nos seguintes csos: : etor I; : etor III esposts: ) I e II; ) I e IV; c) I e III

18 8 PTE I INEMÁTI 6 gráf ico o ldo represent o módulo d elocidde () de um utomóel em função do tempo (t) qundo ele percorre um trecho circulr de um rodoi. celerção tngencil tem intensidde igul o módulo d celerção esclr: t α 4,0 m/s celerção centrípet tem intensidde dd por: cp (6,0) 1 (m/s ) cp 3,0 m/s celerção etoril tem intensidde clculd pelo Teorem de Pitágors: Em relção esse moimento, podemos f irmr que: ) entre e, celerção tngencil é nul. ) entre e, celerção tngencil é nul. c) entre e, celerção centrípet é nul. d) entre e D, celerção centrípet é nul. e) entre e D, celerção tngencil tem sentido oposto o d elocidde. Entre e : t 0 e cp 0 ( t e com sentidos opostos) D t ( t ) + ( cp ) (4,0) + (3,0) 5,0 m/s cp t Entre e : t 0 e cp 0 Entre e D: t 0 e cp 0 ( t e com o mesmo sentido) 65 etremidde de um ds pás de um entildor descree um circunferênci de rio 0,50 m, com celerção esclr de módulo 1,5 m/s. No instnte em que elocidde etoril dess etremidde tier módulo igul 1,0 m/s, clcule intensidde de su celerção etoril. espost: 63 dmit que trjetóri d Terr em torno do Sol sej um circunferênci de rio 1, m e que o no terrestre tenh durção T 3, s. onsiderndo o moimento de trnslção d Terr em torno do Sol e dotndo π 3,1, determine: ) o módulo d elocidde etoril do plnet em km/s; ) intensidde d su celerção etoril em m/s. t α 1,5 m/s cp V 1,0,0 m/s cp 0,50 t ) moimento de trnsformção do plnet dee ser considerdo uniforme: Δs π T 3,1 1,5 108 (km/s) 3, km/s ) cp V cp (3,0 103 ) (m/s 1, ) cp 6, m/s esposts: ) 30 km/s; ) 6, m/s 64 E.. Um prtícul descree um circunferênci de 1 m de rio com celerção esclr constnte e igul 4,0 m/s. Determine intensidde d celerção etoril d prtícul no instnte em que su elocidde for de 6,0 m/s. Teorem de Pitágors: (1,5) + (,0),5 m/s espost:,5 m/s cp 66 Um prtícul percorre um trjetóri circulr de 6,0 m de diâmetro, oedecendo à função: 1,0 + 4,0 t com em m/s e t em s. Pr o instnte t 0,50 s, determine: ) intensidde d elocidde etoril; ) intensidde d celerção etoril. ) Pr t 0,50 s: 1,0 + 4,0 (0,50) 3,0 m/s

19 Tópico 5 Vetores e cinemátic etoril 83 ) MUV: 0 + α t Sendo 1,0 + 4,0t, conclui-se que α 4,0 m/s e t 4,0 m/s cp V (3,0) cp 3,0 (m/s ) cp 3,0 m/s Teorem de Pitágors: t + cp (4,0) + (3,0) 5,0 m/s esposts: ) 3,0 m/s; ) 5,0 m/s 67 Um prtícul percorre um circunferênci de 1,5 m de rio no sentido horário, como está representdo n f igur. No instnte t 0, elocidde etoril d prtícul é e celerção etoril é. Moimento 1,5 m 30 Sendo que 3,0 m/s: ) clcule ; ) dig se no instnte t 0 o moimento é celerdo ou retrddo. Justif ique su respost. ) cp (3,0) 1,5 (m/s ) cp 6,0 m/s cp sen 30 cp cp 1 6,0 Donde: 1 m/s ) moimento é celerdo no instnte t 0, já que componente tngencil de ( t ) tem o mesmo sentido de. esposts: ) 1 m/s ; ) moimento é celerdo. (,7 + 0,3) 1 ) Δs áre 3,0 3,0 m ) α Δ α 1 m/s 5,0 m/s,4 s ogo: t 5,0 m/s Pr t 1, s, otem-se 6,0 m/s. cp (6,0) cp 3,0 (m/s ) cp 1 m/s Teorem de Pitágors: t + cp (5,0) + (1) 13 m/s esposts: ) 3,0 m; ) 13 m/s 69 E.. Um rco motorizdo desce um rio deslocndo-se de um porto té um porto, distnte 36 km, em 0,90 h. Em seguid, esse mesmo rco soe o rio deslocndo-se do porto té o porto em 1, h. Sendo intensidde d elocidde do rco em relção às águs e intensidde d elocidde ds águs em relção às mrgens, clcule e. rco desce o rio: D + D + 36 km 1 0,90 h rco soe o rio: + 40 (km/h) (I) 68 Um prtícul prte do repouso e dá um olt complet num circunferênci de rio, gstndo um interlo de tempo de,7 s. rição d su elocidde esclr com o tempo pode ser oserd no gráf ico io. (m/s) 1 0,4,7 t (s) dotndo π 3,0, clcule: ) o lor de ; ) intensidde d celerção etoril d prtícul no instnte t 1, s. D D 36 km 1, h 30 (km/h) (II) Fzendo (I) + (II), em: km/h De (I) ou (II), otemos: 5,0 km/h

20 84 PTE I INEMÁTI 70 onsidere um rio cujs águs correm com elocidde de intensidde 3,0 km/h em relção às mrgens. Um rco desce esse rio, deslocndo-se de um porto té um porto em 1, h. Em seguid, esse mesmo rco soe o rio, deslocndo-se do porto té o porto em 1,8 h. Sendo intensidde d elocidde do rco em relção às águs e D distânci entre os portos e, clcule e D. rco desce o rio: + 3,0 D 1, (I) rco soe o rio: 3,0 D 1,8 (II) (I) (II) : 6,0 D 1, D 1,8 (1,8 1,) D 6,0 1, 1,8 De (I) : + 3,0 1,6 1, 15,0 km/h D 1,6 km esposts: 15,0 km/h e D 1,6 km em que: rel é elocidde do ultrlee em relção o r (100 km/h); rr é elocidde do r em relção à Terr (100 km/h); res é elocidde do ultrlee em relção à Terr. Dess form, plicndo o Teorem de Pitágors, temos: res + rel rr res res 141 km/h ângulo θ d f igur, cujo lor é igul 45, já que rel rr, def ine direção d elocidde res. N ros-dos-entos, notmos que su orientção de res é de Sudoeste (S) pr Nordeste (NE). 73 Um pesso desej tressr um rio cujs águs correm com elocidde constnte de 6,0 m/s em relção às mrgens. Pr tnto, us um rco proido de motor de pop cpz de impulsionr emrcção com um elocidde constnte de módulo igul 8,0 m/s em relção às águs. Se o rco é colocdo perpendiculrmente às mrgens, e mntendo-se o leme ness direção, su elocidde em relção à Terr será: ),0 m/s. ) 6,0 m/s. c) 8,0 m/s. d) 10,0 m/s. e) 14,0 m/s. 71 Um rtist de cinem, o grr um ds cens de um f ilme de entur, i de um etremo o outro de um gão de um trem, que se moe em trilhos retilíneos com elocidde constnte de 36 km/h, gstndo 0 s. Sendo que o gão tem comprimento de 100 m e que o rtist se moe no mesmo sentido do moimento do trem, clcule: ) intensidde d elocidde do rtist em relção o trem; ) o interlo de tempo necessário pr que o rtist percorr 60 m em relção o solo. rel res ) 100 m 0 s 5,0 m/s 18 km/h ) + T Δs 5, ,0 s esposts: ) 18 km/h; ) 4,0 s 7 E.. o fzer um ôo entre dus ciddes, um ultrlee é posiciondo por seu piloto de Sul pr Norte. motor impulsion erone com elocidde constnte de módulo igul 100 km/h. Durnte o trjeto, pss soprr um ento de elocidde 100 km/h, de este pr este. Se o piloto não mudr s condições iniciis do moimento do ultrlee, qul será no elocidde desse prelho em relção à Terr, em módulo, direção e sentido? elocidde que o ultrlee pss ter, em relção à Terr, é dd pel som etoril seguir: N N NE rel res Teorem de Pitágors: res rel + rr res (8,0) + (6,0) 10,0 m/s res espost: d 74 (UFMT) Um homem tem elocidde, relti um esteir, de módulo 1,5 m/s e direção perpendiculr à d elocidde de rrstmento d esteir. lrgur d esteir é de 3,0 m e su elocidde de rrstmento, em relção o solo, tem módulo igul,0 m/s. lcule: ) o módulo d elocidde d pesso em relção o solo; ) distânci percorrid pel pesso, em relção o solo, o tressr esteir. ) rel rr res S S SE θ rr rr

21 Tópico 5 Vetores e cinemátic etoril 85 Teorem de Pitágors: res rel + rr res (1,5) + (,0),5 m/s res ) rel,0 s res Δs Δs 5,0 m 1,5 3,0,5 Δs,0 esposts: ),5 m/s; ) 5,0 m 75 (Mck-SP) Um pssgeiro em um trem, que se moe pr su direit em moimento retilíneo e uniforme, oser chu trés d jnel. Não há entos e s gots de chu já tingirm su elociddelimite. specto d chu oserdo pelo pssgeiro é: ) c) e) ) Jnel Jnel d) Jnel Jnel oserdor energ em cd got dois moimentos prciis: o erticl de qued e o horizontl pr esquerd deido à proimção ds gots. 1 + espost: Jnel 76 Um groto i d se de um escd rolnte té seu topo e olt do topo té su se, gstndo um interlo de tempo totl de 1 s. elocidde dos degrus d escd rolnte em relção o solo é de 0,50 m/s e elocidde do groto em relção os degrus é de 1,5 m/s. Desprezndo o interlo de tempo gsto pelo groto n inersão do sentido do seu moimento, clcule o comprimento d escd rolnte. (I) E + G (II) E G (III) espost: 8,0 m 1 1,5 + 0,50 1,5 0,50 1 1,0 1,0,0 + 1,0 1 8,0 m 77 Um ls percorre o io uiá de Porto ercdo Porto Jofre (Pntnl mtogrossense), gstndo 9,0 h n descid e 18 h n suid. motor d ls funcion sempre em regime de potênci máim, tl 1 que elocidde d emrcção em relção às águs pode ser considerd constnte. dmitindo que elocidde ds águs tmém sej constnte, respond: qunto tempo um rolh, lnçd n águ em Porto ercdo e moid so ção eclusi d correntez, gstrá pr chegr té Porto Jofre? ls desce o rio: + D 9,0 (I) ls soe o rio: D 18 (II) (I) (II): c D 9,0 D 18 D 36 (III) rolh desce o rio so ção eclusi d correntez: D (IV) omprndo (III) e (IV), otemos: 36 h espost: 36 h 78 E.. Um rio de mrgens retilínes e lrgur constnte igul 5,0 km tem águs que correm prlelmente às mrgens, com elocidde de intensidde 30 km/h. Um rco, cujo motor lhe imprime elocidde de intensidde sempre igul 50 km/h em relção às águs, fz tressi do rio. ) Qul o mínimo interlo de tempo possíel pr que o rco tresse o rio? ) N condição de tressr o rio no interlo de tempo mínimo, que distânci o rco percorre prlelmente às mrgens? c) Qul o interlo de tempo necessário pr que o rco tresse o rio percorrendo menor distânci possíel? ) tressi do rio é feit no menor interlo de tempo possíel qundo elocidde do rco em relção às águs é mntid perpendiculr à elocidde d correntez. ( moimento reltio é independente do moimento de rrstmento.) rel (50 km/h) res D rr (30 km/h) Tressi em tempo mínimo rel 50 5,0 0,10 h 6,0 min 5,0 km ) distânci D que o rco percorre prlelmente às mrgens, rrstdo pels águs do rio, é clculd por: rr D 30 D 0,10 D 3,0 km

22 86 PTE I INEMÁTI c) tressi do rio é feit com o rco percorrendo menor distânci possíel entre s mrgens qundo su elocidde em relção o solo (elocidde resultnte) é mntid perpendiculr à elocidde d correntez. rel (50 km/h) res Tressi em distânci mínim I. Pelo Teorem de Pitágors: rel + res rr rr(30 km/h) (50) res + (30) res 40 km/h II. res 40 5,0 0,15 h 7,5 min 5,0 km 79 Um rco proido de um motor que lhe imprime elocidde de 40 km/h em relção às águs é posto negr em um rio de mrgens prlels e lrgur igul 10 km, cujs águs correm com elocidde de 30 km/h em relção às mrgens. ) Qul o menor interlo de tempo pr que o rco tresse o rio? Esse interlo de tempo depende d elocidde d correntez? ) Supondo que o rco tresse o rio no menor interlo de tempo possíel, qul distânci percorrid por ele em relção às mrgens? ) ) Teorem de Pitágors: res + rel rr res (40) + (30) res 50 km/h res Δs T 1,5 km 50 Δs 0,5 esposts: ) 15 min; independe; ) 1,5 km 80 Sej 1 elocidde de um rco em relção às águs de um rio de mrgens prlels e elocidde ds águs em relção às mrgens. Sendo que 1 40 km/h e que 0 km/h, determine o ângulo entre 1 e pr que o rco tresse o rio perpendiculrmente às mrgens. dmit que sej prlel às mrgens. Tressi em distânci mínim: sen α 1 sen α 0 40 sen α 0,50 α 30 θ θ 10 espost: olho de um furcão desloc-se em linh ret com elocidde de intensidde 150 km/h em relção à Terr n direção Sul-Norte, dirigindo-se pr o Norte. mss de nuens desse ciclone tropicl, contid em um plno horizontl prlelo o solo, reliz um rotção uniforme no sentido horário em torno de rngendo um região prticmente circulr de rio igul 100 km, conforme ilustr f igur, em que 1 e são dois oserdores em repouso em relção à super fície terrestre. N 1 res α Sentido de rotção S 1 10 km rel res rel T T rr Sendo que elocidde ngulr d mss de nuens é constnte e igul 0,50 rd/h, respond: ) Qul intensidde d elocidde dos entos medid por 1? ) Qul intensidde d elocidde dos entos medid por? c) De que ldo (este ou este) o furcão tem mior poder de destruição? T 0,5 h 15 min esposts: ) 00 km/h; ) 100 km/h; c) este T independente de rr (Princípio de Glileo) 8 (Unifei-MG) cidde de elo Horizonte (H) locliz-se 300 km o norte d cidde de Volt edond. Se um ião si dest

23 Tópico 5 Vetores e cinemátic etoril 87 cidde rumo H num di de ento soprndo n direção este-este, no sentido de este pr este, com elocidde de módulo 60 km/h, pergunt-se: em que direção o piloto dee pror o eio longitudinl do seu ião pr mnter o rumo Sul-Norte e completr seu percurso em 0,50 h? onsidere que o ôo ocorre com elocidde constnte e utilize tel presentd seguir: θ (grus) 5,0 5,7 6,0 6,7 8,0 tg θ 0,09 0,10 0,11 0,1 0,14 dmitindo que s gots de chu tenhm moimento uniforme, clcule intensidde d su elocidde em relção o groto: ) ns condições d F ig. 1; ) ns condições d F ig.. Sendo rel elocidde ds gots de chu em relção o groto, rr elocidde do groto em relção o solo e res elocidde ds gots de chu em relção o solo, temos: N rel res 60 rel θ res rr (I) res D res 300 km 0,50 h (II) tg θ rr 60 res 600 tel tg θ 0,10 θ 5,7 espost: rel θ N S θ 5,7 rr res 600 km/h ) tg 60 res rr 3 res 4,0 res rel + rr res 4,0 3 m/s omo o groto está em repouso, rr 0. ogo rel res. ) cos 60 rr rel rel 4,0 1 4,0 rel 3 m/s 6,9 m/s rel 8,0 m/s S 83 (Vunesp-SP) So ção de um ento horizontl com elocidde de intensidde 15 m/s, gots de chu cem formndo um ângulo de 30 em relção à erticl. elocidde de um ento horizontl cpz de fzer com que esss mesms gots de chu cim formndo um ângulo de 60 em relção à erticl dee ter intensidde, em m/s, igul : ) 45. ) 30. c) 0. d) 15. e) 10. espost: 85 Um trem dotdo de jnels lteris retngulres de dimensões 80 cm (se) 60 cm (ltur) ij o longo de um ferroi retilíne e horizontl com elocidde constnte de intensidde 40 km/h. o mesmo tempo, ci um chu erticl (chu sem ento), de modo que s gots presentm, em relção o solo, elocidde constnte de intensidde. Sendo que o trjeto ds gots de chu oserdo ds jnels lteris do trem tem direção d digonl desss jnels, determine: ) o lor de ; ) intensidde d elocidde ds gots de chu em relção um oserdor no trem. 84 E.. Num di de chu, um groto em repouso consegue rigr-se per feitmente mntendo hste do seu gurd-chu erticl, conforme ilustr F ig. 1. Moimentndo-se pr direit com elocidde de intensidde 4,0 m/s, entretnto, ele só consegue rigr-se mntendo hste do gurd-chu inclind 60 com horizontl, conforme ilustr F ig.. 60 cm α α V T V V 80 cm V T (40 km/h) ) tg α 60 tg α V T V T km/h ) V V T + V (40) + (30) 50 km/h F igur (1) F igur () esposts: ) 30 km/h; ) 50 km/h

24 88 PTE I INEMÁTI 86 E.. (Fuest-SP) Um disco rol sore um super fície pln, sem deslizr. elocidde do centro é 0. Em relção o plno de rolgem, respond: ) qul é elocidde do ponto? ) qul é elocidde do ponto? 87 Um crro trfeg 100 km/h sore um rodoi retilíne e horizontl. N f igur, está representd um ds rods do crro, n qul estão destcdos três pontos:, e. 100 km/h 0 0 s pontos e têm dois moimentos prciis: o reltio, proocdo pel rotção do disco, e o de rrstmento, proocdo pel trnslção. moimento resultnte, oserdo do plno de rolgem, é composição desses moimentos prciis. omo não há deslizmento d rod, elocidde do ponto, em relção o plno de rolgem, é nul. Por isso, s elociddes desse ponto, deids os moimentos reltio e de rrstmento, deem ter mesmo módulo, mesm direção e sentidos opostos, como está representdo ns f igurs io: Desprezndo derrpgens, clcule s intensiddes ds elociddes de, e em relção à rodoi. dote nos cálculos 1,4. crro 100 km/h 00 km/h 0 (não há derrpgens.) rr 0 0 rel 0 0 Moimento Moimento de Moimento reltio rrstmento resultnte ) Ponto : rel + rr rel rr (100) + (100) km/h 140 km/h ) Ponto : rel + rr Not: Em situções como ess, podemos rciocinr tmém em termos do centro instntâneo de rotção (I) que, no cso, é o ponto. Tudo se pss como se e pertencessem um rr rígid, de comprimento igul o diâmetro do disco, rticuld em. Ess rr teri, no instnte considerdo, elocidde ngulr ω, de modo que: ω 0 (I) Ponto : ω Ponto : 0 ω 0 0 esposts: 00 km/h, 0 e 140 km/h 88 E.. onsidere um pesso que tem entre s plms de sus mãos um cilindro de eio horizontl. dmit que em determindo instnte s mãos d pesso estejm dotds de moimentos erticis, com mão esquerd (mão ) descendo, com elocidde de intensidde 8,0 cm/s, e mão direit (mão ) suindo, com elocidde de intensidde 1 cm/s, conforme represent o esquem. Supondo que não hj escorregmento do cilindro em relção às mãos, determine no instnte considerdo s crcterístics (intensidde, direção e sentido) d elocidde do eio. nlisemos os efeitos prciis que cd mão prooc no cilindro.

25 Tópico 5 Vetores e cinemátic etoril 89 I. Deido o moimento d mão : 1 1 8,0 cm/s 1 1 4,0 cm/s II. Deido o moimento d mão : Deido eclusimente o moimento d táu, o centro do cilindro moe-se pr direit com elocidde de 0 cm/s. Pr que o centro do cilindro se mo pr esquerd com elocidde de 10 cm/s, táu dee estr se moendo pr esquerd com elocidde de 60 cm/s, como esquemtiz f igur. 30 cm/s deido à táu 60 cm/s 40 cm/s 0 cm/s deido à táu elocidde resultnte do centro do cilindro tem intensidde dd por: V 30 0 V 10 cm/s espost: 60 cm/s pr esquerd 1 cm/s 6,0 cm/s Superpondo os efeitos prciis proocdos pels dus mãos, otemos o efeito resultnte. 90 Ddos os etores e representdos n f igur, determine o módulo de: ) s + ; ) d. III. Velocidde do eio : 1 ) 1 6,0 cm s 4,0 cm s,0 cm/s ( é erticl e dirigid pr cim) s 89 (Fuest-SP) Um cilindro de mdeir de 4,0 cm de diâmetro rol sem deslizr entre dus táus horizontis móeis, e, como represent f igur. Em determindo instnte, táu se moiment pr direit com elocidde de 40 cm/s e o centro do cilindro se moe pr esquerd com elocidde de intensidde10 cm/s. Qul é nesse instnte elocidde d táu em módulo e sentido? 4,0 cm ) plicndo-se o Teorem de Pitágors o triângulo destcdo, em: s (6,0) + (8,0) s 10,0 u d

26 90 PTE I INEMÁTI D f igur: d 6,0 u esposts: ) 10,0 u; ) 6,0 u 94 N f igur, estão representds qutro forçs, F 1, F, F 3 e F 4, de intensiddes iguis N, superposts às digonis dos qudrdos em que estão inserids. 91 Determine em cd cso epressão etoril que relcion os etores, e c. F 1 F ) ) c) c c c F 3 F 4 esposts: ) + c ) + + c 0 c) c intensidde d resultnte desss qutro forçs é igul : ) 0. c) N. e) 8 N. ) 1 N. d) 4 N. 9 No esquem, estão representdos os etores 1,, 3 e 4. relção etoril corret entre esses etores é: (I) s qudrdos em que estão inseridos F 1, F, F 3 e F 4 têm ldos que representm forçs de intensidde F. plicndo o Teorem de Pitágors, temos: (F) + (F) ( ) F 1 3 F 1 F 1 N 4 (II) F 1 + F ) d) F 1 F ) e) c) F 3 F 4 espost: F 3 + F 4 93 Seis etores fechm um heágono regulr, dndo resultnte nul. Se trocrmos o sentido de três deles, lterndmente, resultnte terá módulo: ) igul o de um etor componente; ) ezes o módulo de um etor componente; c) 3 ezes o módulo de um etor componente; d) 3 ezes o módulo de um etor componente; e) nulo. Situção 1 Situção 10º 10º 0 0 espost: e F 1 + F F F 1 + F N F 3 + F 4 F F 3 + F 4 N F 1 + F + F 3 + F 4 4 F F 1 + F + F 3 + F 4 4 N espost: d 95 onsidere um prtícul em moimento sore o plno crtesino y. Sus coordends de posição rim em função do tempo, conforme mostrm os gráf icos io: (m) 5,0 1,0 0,0 t (s) y (m) 4,0 1,0 0,0 t (s) No interlo de t 0 0 t 1,0 s, clcule: ) intensidde do deslocmento etoril d prtícul; ) intensidde d su elocidde etoril médi.

27 Tópico 5 Vetores e cinemátic etoril 91 ) y (m) cp sen 60 cp 4,0 0,87 (m/s ) cp 3,5 m/s 4,0 t,0 s cp 9 m 3,5 (10) d 3,0 m espost: c t 0 0 1,0 4,0 m 0 1,0 5,0 (m) plicndo o Teorem de Pitágors o triângulo destcdo, em: d (3,0) + (4,0) 97 (Esc. Nl-J) Um prtícul moe-se o longo de um circunferênci de rio igul 1,0 m e, em certo instnte, qundo el pss por um ponto, su celerção etoril tem módulo 0 m/s e orientção conforme represent f igur o ldo. Sendo que sen θ 0,60 e cos θ 0,80, ponte lternti que trz o lor correto d relção entre o módulo d componente tngencil de e o módulo d elocidde d prtícul no ponto em s 1 : d 5,0 m ) m d m 5,0 m,0 s m,5 m/s θ esposts: ) 5,0 m; ),5 m/s 96 (Fesp-SP) Em determindo instnte, o etor elocidde e o etor celerção de um prtícul são os representdos n f igur io. (10 m/s) V ) 1 d),0 ) 4,0 e) 1,5 c) 3,0 t 60 (4,0 m/s ) Qul dos pres oferecidos represent, no instnte considerdo, os lores d celerção esclr α e do rio de curtur d trjetóri? ) α 4,0 m/s e 0. ) α 4,0 m/s e. c) α,0 m/s e 9 m. d) α,0 m/s e,9 m. e) α 3,4 m/s e 9 m. r (I) t sen θ t 0 0,60 (m/s ) t 1 m/s (II) cp cos θ 0 θ cp cos θ t n t ,80 4,0 m/s 1,0 cp (III) t 1 m/s 4,0 m/s t 3,0 s 1 t α t cos 60 α 4,0 0,50 (m/s ) α,0 m/s espost: c 98 (UF) Um rco i de Mnus té Urucu descendo um rio e, em seguid, retorn à cidde de prtid, conforme esquemtizdo n f igur.

28 9 PTE I INEMÁTI Prtid hegd 100 Um inseto percorre o rio 10 cm d poli representd n f igur, com elocidde de intensidde constnte igul 5,0 cm/s, medid em relção à poli. Est, por su ez, está rigidmente copld o eio de um motor que gir de modo uniforme, relizndo 30 rotções por minuto. Sendo que o inseto pss pelo no instnte t 0 0, clcule intensidde d su elocidde em relção à se de poio do motor no instnte t 1 0,80 s. dote nos cálculos π 3. elocidde d correntez é constnte e tem módulo em relção às mrgens. elocidde do rco em relção à águ é constnte e tem módulo. Desconsiderndo-se o tempo gsto n mnor pr oltr, elocidde esclr médi do rco, em relção às mrgens, no trjeto totl de id e olt tem módulo ddo por: 30 rpm ) ) V + V V V. c) V V. e). d) V + V V. Suid: V s V V V S Δs 1 1 Δs V S Descid: V d V + V V d Δs Δs V d V M Δs + Δs Δs 1 + V M V d + V s V s V d V V V espost: e Δs + Δs V s V d Δs Δs (V d + V s ) V s V d (V + V ) + (V V ) (V + V ) (V V ) V V V. V V V V V M V 99 (Ufop-MG) Um homem prdo em um escd rolnte le 10 s pr descê-l em su totlidde. mesmo homem le 15 s pr suir tod escd rolnte de olt, cminhndo contr o moimento dos degrus. Qunto tempo o homem lerá pr descer mesm escd rolnte, cminhndo com elocidde relti de mesmo módulo do que qundo suiu? ) 3,75 s. ) 5,00 s. c) 7,50 s. d) 10,0 s. e) 15,0 s. V rr Δs 10 V ref V rr Δs 15 V Δs rel 15 + Δs 10 V Δs rel 6 Δs 6 Δs 10 Δs ,75 s espost: V ) 8,0 cm/s d) 15 cm/s ) 10 cm/s e) 17 cm/s c) 13 cm/s V rel 5,0 cm/s V rr πf V rr πf rel t 1 V rr ,0 0,80 (cm/s) 60 V rr 1 cm/s Teorem de Pitágors: V res V rel +V rr V res (5,0) + (1) espost: c V res 13 cm/s 101 Um rco motorizdo desenole, em relção às águs de um rio, elocidde constnte de módulo. Esse rco está suindo um trecho retilíneo do rio qundo o piloto é informdo de que um continer f lutunte, encerrndo um precios crg, ciu n águ há etmente um hor. Nesse interlo de tempo, emrcção percorreu 16 km em relção às mrgens. Prontmente, o piloto inerte o sentido do moimento do rco e pss descer o rio em usc do mteril perdido. Sendo que s águs correm com elocidde constnte de módulo 4,0 km/h, que o continer dquire elocidde igul à ds águs imeditmente pós su qued e que ele é resgtdo pel tripulção do rco, determine: ) distânci percorrid pelo continer desde o instnte de su qued n águ té o instnte do resgte; ) o lor de. ) omo correntez inf lui igulmente no moimento do rco e no do continer, podemos ignorr seus efeitos n determinção do interlo de tempo totl trnscorrido entre qued do continer e seu posterior resgte. Tudo se pss como se o continer, o cir do rco, permnecesse em repouso. ssim, o rco negri durnte 1,0 h fstndo-se do continer e mis 1,0 h proimndo-se dele, o que totlizri,0 h. c D 4,0 D,0 D 8,0 km

29 Tópico 5 Vetores e cinemátic etoril 93 ) rco negndo rio cim: c 4,0 16,0 0 km/h esposts: ) 8,0 km; ) 0 km/h 10 Um ião o, em relção o solo, com N moimento retilíneo e uniforme de elocidde N km/h, no sentido de este pr este. ento sopr no sentido de Norte pr Sul com S elocidde constnte de 00 km/h. elocidde do ião em relção o ento tem orientção: S ) entre e N. c) N. e) entre e NE. ) entre N e NE. d) entre e S. N res rel N rr NE SE om relção o eperimento e considerndo o percurso de té, respond: ) Qul distânci percorrid pelo trem n direção de? ) Qul distânci percorrid pelo trem em relção à mes? ) Eperimento 1: 1 Eperimento : D 0,4 1, 10 D 5,0 ) Teorem de Pitágors: X + D X (1,) + (0,50) esposts: ) 50 cm; ) 1,3 m X 1,3 m 5,0 s D 50 cm 104 onsidere um rio de mrgens prlels e cuj correntez tem elocidde constnte de módulo. Um lnch tem elocidde relti às águs constnte e de módulo 10 m/s. lnch prte do ponto e tinge mrgem opost no ponto, indicdo n f igur, gstndo um interlo de tempo de 100 s. S SE 400 m res 1000 km/h rr res 00 km/h 5 espost: 600 m 103 Nos dois eperimentos esquemtizdos seguir, um trem de rinquedo, percorrendo trilhos retilíneos f ios um tolh postd sore um mes, i de um ponto um ponto com elocidde 1 de intensidde 4 cm/s. elocidde 1 é medid em relção os trilhos, e os pontos e são pontos dos trilhos. No eperimento 1, o trem percorre 1, m de té. No eperimento, o groto pu tolh, sem perturr o moimento próprio do trem, com elocidde de intensidde 10 cm/s. elocidde é medid em relção à mes e é perpendiculr 1. lor de é: ),0 m/s. d) 8,0 m/s. ) 4,0 m/s. e) 10 m/s. c) 6,0 m/s. (I) Moimento n direção : V rely V rely m/s V rel Y 6,0 m/s 1 1 (II) Teorem de Pitágors: rel rel X + rel Y (10) rel X + (6,0) V relx 8,0 m/s (III) Moimento n direção : V relx V c D Eperimento 1 Eperimento 8,0 V c V 4,0 m/s c espost: