No caso do movimento retilíneo a direção do vetor é constante e coincide com a trajetória (reta).

Transcrição

1 Cinemátic

2 Trjetóri: É o lugr geométrico dos pontos sucessimente ocupdos por um prtícul durnte o seu moimento. 1. No cso do moimento retilíneo trjetóri é um ret Velocidde: É um etor, tngente à trjetóri em cd ponto, orientdo no sentido do moimento, cujo modulo é rição do espço percorrido por unidde de tempo. No cso do moimento retilíneo direção do etor é constnte e coincide com trjetóri (ret. Neste moimento, por ser constnte direção do etor, os problems podem ser resolidos trés de grndezs esclres, tribuindo um sinl positio ou negtio o módulo do etor conforme distânci d prtícul o ponto de referênci- ument ou diminui com o tempo.

3 A trjetóri tem direção de O e o sentido é o sentido positio do eio (consider-se que o crro é um prtícul que ocup s posições P 1, P, etc.. Velocidde médi (V m : É o espço que em médi o crro (prtícul percorre por unidde de tempo. Clcul-se diidindo o espço percorrido (D pelo tempo de durção do percurso (Dt. V m D Dt V m t t 1 1 Neste eemplo elocidde médi é positi porque, como o moimento se fz no sentido positio do eio, > 1. 1

4 Velocidde instntâne é elocidde que o crro (prtícul tem em cd instnte. D d lim Dt Dt dt É fácil perceber que no percurso de um itur num circuito urbno elocidde ri muito o longo do tempo, ddo que há períodos de prgem em que elocidde é nul, seguindo-se períodos em que o crro i umentndo grdulmente de elocidde e depois perdendo elocidde té prr de noo. Em cd ponto do percurso o crro terá diferentes elociddes instntânes e no finl do percurso se diidir o espço percorrido pelo tempo que demorou o percurso, obtém-se elocidde médi.

5 No gráfico t- (tempo s. espço represent-se o moimento retilíneo de um prtícul em que elocidde ri o longo do tempo Acelerção médi de um prtícul que se moe de P 1 pr P em moimento retilíneo é um etor que tem seguinte componente segundo o eio O m = Δ Δt = 1 t t 1 A celerção instntâne será então: Δ = lim t Δt = d dt

6 Qundo se crreg no celerdor de um crro elocidde i umentndo com o tempo, celerção é positi(δ >, O MOVIMENTO É ACELERADO Qundo se crreg no trão, elocidde i diminuindo com o tempo, celerção é negti (Δ <, pelo que O MOVIMENTO É RETARDADO. A firmção nterior é álid qundo o moimento se fz no sentido em que o lor de ument. Qundo se fz em sentido contrário, isto é, qundo o crro está ndr de mrch trás, com moimento celerdo, s elociddes são negtis porque o lor de diminui com o tempo, e rição d elocidde é negti porque elocidde diminui com o tempo. Se por eemplo elocidde fosse, em lor bsolut, m/s em P e 5 m/s em P 1 (está celerr, como s elociddes são negtis fic: Δ = 5 = 3 < e portnto < De um form gerl pode-se firmr que o MOVIMENTO É ACELERADO qundo elocidde e celerção têm o mesmo sinl e é RETARDADO qundo celerção e elocidde têm sinis contrários. Qundo se mntém mesm celerção, diz-se que o moimento é UNIFORMEMENTE ACELERADO ou UNIFORMEMENTE RETARDADO ou, mis genericmente, UNIFORMEMENTE VARIADO.

7 Moimento retilíneo uniforme: crcteriz-se pel constânci d elocidde instntâne d const. dt t é o espço inicil, porque qundo t= tem-se: Moimento retilíneo uniformemente rido: crcteriz-se pel constânci d celerção d const. dt o d dt t t É elocidde inicil (no instnte t= A equção que trduz rição do espço com o tempo obtémse integrndo epressão nterior: t 1 t

8 Nlguns problems poderá interessr utilizr um equção onde não estej eplicitmente o tempo, ms em que posição do ponto pode ser clculd conhecendo su elocidde e celerção D equção d elocidde tir-se que: t= o t Substituindo n equção dos espços fic::

9 A últim equção pode escreer-se sob form = + o que permite clculr elocidde que terá um ponto à distânci d=- o d posição inicil, conhecendo celerção constnte do moimento Ou sob form = que permite clculr celerção do moimento em função d elocidde e d distânci percorrid

10 QUEDA LIVRE DE UM CORPO LANÇADO NO ESPAÇO Um moed é lrgd n origem do eio Oy. À medid que o moimento se desenole moed i cminhndo no sentido negtio dquele eio. rição dos espços tem sinl negtio => < b rição d elocidde tem sinl negtio => < As equções do moimento t e y y o t y serão gor escrits: g y 1 t gt gt y 1 t y t Muits ezes consider-se um riáel gt e h t 1 g t h 1 y Nests equções foi necessário trocr o sinl à elocidde inicil pelo que, gor, se conencion que el é positi qundo está dirigid pr bio, o contrário ds equções em que se utiliz riáel y. gt y

11 Considerndo gor elocidde inicil nul, s equções nteriores simplificm-se gt e h 1 gt Eplicitndo t n ª equção e combinndo depois com 1ª fic sucessimente: t h h h t g g g g gh Ou, eplicitndo h Fórmul de Torricelli que fornece diretmente elocidde com que um corpo cheg o solo, lrgdo, sem elocidde inicil, de um ltur h. h g

12 Moimento não retilíneo 1. Vector de posição de um ponto P(,y,z é o ector (P-O sendo O(,, origem dos eios coordendos r P O. Velocidde i yj zk Qundo o ponto P se desloc no espço, o seu ector de posição i mudndo o longo do tempo. m Dr Dt Vetor elocidde médi Dr lim Dt Dt Vetor elocidde instntâne

13 . Acelerção m D Dt lim Dt D Dt

14 MOVIMENTO PLANO Este moimento contece num plno e pode ser estuddo pens com dus dimensões, utilizndo um sistem de referênci Oy. Neste cso é fácil mostrr que o etor elocidde é tngente à trjetóri em cd ponto Os etores de posição são os etores complnres r1 e r Dr r r 1 secnte à cur. Dr m Dt Dr Qundo se clcul elocidde instntâne lim Dt Dt proimr-se e secnte tende pr tngente. tem direção d os pontos tendem Nos moimentos não retilíneos é usul utilizr riáel s pr o espço e não s riáeis ou y como se fez nteriormente, ddo que o moimento não se fz n direção de um eio coordendo.

15 1. MOVIMENTO CIRCULAR MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME Este moimento crcteriz-se por um elocidde esclr ( constnte. No entnto, o etor elocidde é riáel porque ele mud de direção, mesmo que mntenh o mesmo módulo. Sej s o percurso percorrido pel prtícul sobre circunferênci. Tem-se: ds const s s dt r t Est elocidde tmbém se chm elocidde liner. Derindo em ordem o tempo equção df dt ds dt df r dt s represent rição do ângulo o centro f com o tempo e denomin-se elocidde ngulr e eprime-se, no SI, em rd/s. rf obtém-se: É epressão que relcion elocidde ngulr com elocidde liner s rf 18º rd

16 O etor celerção D lim não é nulo porque gor D Dt Dt (o ector elocidde embor tenh o mesmo módulo mud de direção e sentido D Pr deduzir epressão d celerção, considere um prtícul que se desloc no sentido AB com elocidde num circunferênci de rio r. 1 Adptdo de: O ponto encontr-se em A no instnte t-dt/ com elocidde instnte t+dt/, com elocidde. 1 e em B no Se elocidde for uniforme os dois etores têm o mesmo módulo,. A rição do etor elocidde pode ser clculd grficmente colocndo os dois etores com origem no ponto médio P.

17 Como o triângulo é isósceles, porque os módulos são iguis, tem-se: O ângulo o centro descrito no interlo de tempo Dt é: f O espço percorrido pelo corpo no mesmo interlo de tempo: Ds r f r O interlo de tempo Dt pode ser epresso em função d elocidde Dt Ds Dt r A intensidde do etor celerção médi que trduz rição d elocidde no interlo de tempo Dt, pode escreer-se: médi ( D Dt n sen( sen( r r

18 : Pr determinr o lor d celerção instntâne clcul-se Qundo Será então: sen( Dt ; 1 porque pr ângulos muito pequenos o lor do seno é igul o ângulo Est epressão permite clculr celerção norml ou centrípet em função d elocidde esclr e do rio d circunferênci. Considerndo elocidde ngulr n r n ( D lim Dt Dt n r n r

19 b MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO No moimento circulr uniformemente rido eiste, em cd ponto d cur, um componente norml d celerção deido à curtur. Há tmbém um componente tngencil que é constnte e que se define como rição d elocidde liner com o tempo. t d const t dt t t A equção dos espços deduz-se de form idêntic à do moimento retilíneo e fic: s s o o t 1 t t O etor celerção clcul-se com o som ds sus dus componentes: t t n n t n

20 . MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL A figur mostr dois projéteis com diferentes moimentos no eio O, ms idênticos moimentos no eio Oy; um corresponde o moimento de um bol lrgd no espço sem elocidde inicil e o outro de um bol lnçd n horizontl com elocidde inicil. Em mbos os moimentos s bols cem erticlmente à mesm distânci em interlos de tempo iguis. Est obserção permitenos concluir que, no º moimento, posição P(,y d bol num instnte t, pode ser determind clculndo seprdmente s sus coordends. Moimento segundo O (uniforme t t b Moimento segundo Oy (uniformemente celerdo 1 y y y t gt y y gt No cso presente elocidde inicil do moimento erticl é nul e o ponto prte d origem dos eios, fic: 1 y gt y gt

21 Qundo o projétil é lnçdo n tmosfer num direção que fz um ângulo com horizontl. ; y ; cos( ; y sen( y y y t t 1 gt cos( t 1 y sen( t gt y y gt o y cos( sen ( gt y

22 O módulo do etor elocidde é: V y O etor elocidde é, em cd posição, tngente à trjetóri. A su direção e o sentido podem ser identificdos pelo ngulo que o etor fz com O. y tg No ponto em que trjetóri interset o eio O é, como se pode obserr n figur A equção d trjetóri y=f( obtém-se eliminndo t entre s dus equções que fornecem os lores de e y respetimente. D 1ª equção tir-se que cos( t t 1 cos( y sen( t gt Substituindo este lor n ª equção tem-se: g y sen( cos( cos( y g tg( cos ( È equção de um prábol do tipo y b

23 g sen o cos( ( ( cos ( ( cos ( g tg g tg y ALCANCE ( é o lor de n posição em que trjetóri cruz o eio O. ( cos cos( ( ( cos ( g sen g tg g sen cos( ( cos ( ALCANCE MÁXIMO Considerndo equção d trjetóri, fz-se y= O lcnce máimo clcul-se encontrndo o lor de que torn máimo função =f( 4 cos( cos( cos( ( ( cos ( ( g V sen g V d d Pr mesm elocidde inicil, o lcnce máimo tinge-se com um ângulo de 45º

24 VELOCIDADE RELATIVA Dois moimentos retilíneos com mesm direção e o mesmo sentido y tn( V cálculo de g cos ( Se um pssgeir P se deslocr no corredor de um comboio, su elocidde em relção um ciclist, que está prdo, será clculd pel epressão: P / A P / B B / A Como os dois moimentos têm mesm direção podemos substituir elocidde etoril pel elocidde esclr P / A P / B B / A

25 E Y E T Y T E Y Y T E T / / / / / / Como os etores elocidde têm mesm direção ms sinis contrários, podemos tomr s elociddes esclres considerndo positio o sentido d deslocção de T E Y E T Y T / / / b Dois moimentos retilíneos com mesm direção e sentidos contrários

26 c Dois moimentos retilíneos com direções diferentes Como se pode obserr n figurm pssgeir desloc-se gor perpendiculrmente o corredor, emdireção o seu lugr