Analise Matemática I. Aula 10 Limite de Funções. Exercícios

Transcrição

1 Anlise Mtemátic I Aul Limite de Funções. Eercícios Ano cdémico 7

2 Tem. Cálculo Diferencil Limites infinitos e ites no infinito. Indeterminções. Limite Trigonométrico Fundmentl. Limite Eponencil Fundmentl. Cálculo de ites.

3 Biliogrfi Básic Autor Título Editoril Dt Stewrt, Jmes Cálculo, Volume Zum Medeiros, Vléri Demn, Frnklin... et l. Lrson, Ron Pré-Cálculo ª edição revist ctulizd Pré-Cálculo Cálculo Aplicdo 5t. Edição, Pioneir Thompson Lerning CENGAGE Lerning Person Eduction do Brsil Edição, Pioneir Thomson Lerning 6

4 Limites Infinito e Limite Sutil e profundo O conceito de ite está intimmente conectdo o conceito de infinito. Trt-se de um dos conceitos mis fecundos d mtemátic e o principl pr o desenvolvimento do Cálculo Diferencil e Integrl. Ele primeiro surgiu so form de processos convergentes iitdos. O primeiro testemunho literário encontr-se nos prdoos de Zenão de Elé, mtemático e discípulo de Prmênides.

5 Limites O Prdoo d Dicotomi O rgumento desse prdoo consiste sicmente n idei de que quilo que se move tem que chegr n metde de seu percurso ntes de chegr o fim. O rciocínio é o seguinte: ntes de percorrer todo o percurso, o ojeto que se move deve percorrer metde do percurso. Antes de percorrer metde que flt, deve percorrer metde deste, ou sej, metde d metde um qurto do percurso inicil, e ssim sucessivmente, o ojeto deverá percorrer um conjunto infinito de intervlos. M M M

6 Limites O Prdoo de Aquiles e Trtrug O prdoo de Aquiles e Trtrug possui o mesmo rgumento que o prdoo d dicotomi, porém em vez de um ojeto, temos dois ojetos em movimento com velociddes diferentes. Ele é ssim enuncido: Num corrid entre Aquiles e Trtrug em que Trtrug si com um cert vntgem, mesmo sendo mis lent que Aquiles, este jmis lcnç; pois quele que persegue tem primeiro de chegr o ponto de onde fug do mis lento começou, e o mis lento tem necessrimente de já estr lgum distânci à frente.

7 Limites O Prdoo de Aquiles e Trtrug Suponh que Aquiles é vezes mis rápido que Trtrug e que est prte com um vntgem de m. Qundo Aquiles percorre os m, Trtrug já está m su frente. Aquiles percorre os m que o sepr d Trtrug, ms, nesse tempo, Trtrug já percorreu m, mntendo vntgem. Aquiles percorre os m, ms, nesse tempo, Trtrug está m su frente e ssim sucessivmente. Isto quer dizer que Aquiles nunc lcnç Trtrug?...

8 Limites Infinito e Limite Considere que o intervlo AB do primeiro prdoo é igul. O ponto M divide o intervlo o meio, portnto primeir metde equivle ½. O segundo ponto, M, divide metde restnte o meio, portnto equivle ¼ do comprimento originl. Logo, o intervlo pode ser epresso como um som de intervlos que cresce iitdmente por prtes que sempre são menores que imeditmente nterior: O prdoo está no fto de série não crescer té o infinito, pois su som sempre permnece menor que, por mis intervlos que por ventur viermos dicionr.

9 Limites A solução dos prdoos A solução dos prdoos têm ver com o conceito de ite e convergênci de séries numérics. Pr o pensmento ingênuo d Antiguidde, o entendimento purmente quntittivo segundo o qul qundo lgum cois sempre ument crá por ultrpssr todos os ites é que conduz o erro. O erro está em supor, intuitivmente, que som de infinitos intervlos deve ser necessrimente infinit. Tnto no cso do prdoo d dicotomi qunto no de Aquiles som d série tende convergir pr um vlor finito. É nesse ponto que Aquiles encontr Trtrug!

10 Limites Limite de f qundo tende mis infinito Considere, por eemplo, função f Perce que, qundo tende +, isto é, qundo cresce indefinidmente, os vlores função f tendem se proimr cd vez mis de.

11 Limites Limite de f qundo tende menos infinito Considere, por eemplo, função f Perce que, qundo tende -, isto é, qundo decresce indefinidmente, os vlores função f tendem se proimr cd vez mis de.

12 Limites Os símolos + e -, não representm números reis, não podendo ser plicds eles, portnto, s técnics usuis de cálculo lgérico. Ddo IR, teremos s seguintes igulddes simólics: + + = = = = = nd se pode firmr inicilmente. O símolo -, é dito um símolo de indeterminção = + +. = nd se pode firmr inicilmente. É um indeterminção. / = nd se pode firmr inicilmente. É um indeterminção.

13 Limites No cálculo de ites de funções, é muito comum chegrmos epressões indeterminds, o que signific que, pr encontrrmos o vlor do ite, teremos que levntr indeterminção, usndo s técnics lgérics. Os principis símolos de indeterminção, são: -. -

14 Limites Eemplo: Clcule o ite, se eistir, de: 4 Não st pens sustituir por, pois o fzer isto, teri um indeterminção do tipo

15 Limites Portnto, o método qui consiste em dividir o numerdor e o denomindor por : Pr clculr o ite de f qundo tende menos infinito, o rciocínio é nálogo. 4

16 Limites Intuitivos < f d f c f f d c = f d f c f f d c >,] [,] [ entre f d f c entre f f d c

17 Limites Intuitivos f f

18 Limites Infinitos y e

19 Limites Infinitos y = tg tg e não eiste tg tg

20 Limites no Infinito f e f

21 Limites Infinitos Limites nos etremos do domínio d função eponencil

22 Limites Infinitos Limites nos etremos do domínio d função logrítmic

23 Limite Trigonométrico Fundmentl sen

24 Limites Trigonométricos Notáveis cos cos K senk sen cos sen

25 Cálculo de ites. Eercicios Avlie os seguintes ites utilizndo proprieddes e ites notáveis: c tn sen sen π

26 Cálculo de ites. Eercicios Avlie os seguintes ites utilizndo proprieddes e ites notáveis. Solução linh : tn sen cos. sen. cos. cos. cos sen

27 Cálculo de ites. Eercicios Avlie os seguintes ites utilizndo proprieddes e ites notáveis. Solução linh : sen π sen.cosπ senπ.cos senπ e cosπ - sen. -.cos -sen

28 Cálculo de ites. Eercicios Avlie os seguintes ites utilizndo proprieddes e ites notáveis. Solução linh c: c sen sen sen senk K

29 Limite Eponencil Fundmentl e

30 Limite Eponencil Fundmentl e y, 597, 748, 769, 78 e,7888

31 Limites fundmentis os três ites são denomindos ites fundmentis e podem ser utilizdos no cálculo de outros ites, qundo necessário.

32 Cálculo de ites com Indeterminção Pr o cálculo do ite de um função st sustituir o vlor pr o qul está tendendo vlor genérico n epressão d função f. No entnto, est regr flh, lgums vezes nem sempre pr funções rcionis. Isto contece qundo se fz sustituição diret de por seu vlor de tendênci e encontr-se indeterminção / ou / ou / ou /. Vej os csos ns jnels seguintes.

33 Regrs dicionis ª Regr: Pr funções rcionis cujos numerdores e denomindores são qundo se sustitui por vlor de tendênci. Neste cso, tnto o polinómio do numerdor qunto o do denomindor devem ser divididos por -. Após est simplificção, fz-se sustituição de por. FACTORIZAR 4 4 Cálculo de ites 4 Indeterminção 4

34 Cálculo de ites EXPRESSÕES INDETERMINADAS Considere o seguinte ite: 7 Se fôssemos resolver de cordo com s ferrments já conhecids chegrímos o seguinte resultdo: 7 7

35 Cálculo de ites Epressões indeterminds Ms vejmos o gráfico dest função:,7,8,9,,,, f 4,9 5,4 6, 7 7,9 8,84 9,79 L

36 Cálculo de ites Apesr d função não estr definid no ponto =, qundo nos proimmos de =, f se proim de 7. Portnto: 7 7 Ms como se resolve equção lgéric de modo chegr este vlor?

37 Cálculo de ites Com os PRODUTOS NOTÁVEIS!!! Neste eemplo, 7 9 Logo, podemos reescrever função do seguinte modo: f Bst então clculr:

38 Produtos Notáveis!!! Diferenç de qudrdos Trinômio qudrdo perfeito. Cálculo de ites.. Não confundir o qudrdo d diferenç -, com diferenç de qudrdos -.

39 Som e Diferenç de Cuos Cuo perfeito.. Não confundir o cuo d som +, com som e cuos + ; Nem o cuo d diferenç -, com diferenç de cuos -. Cálculo de ites

40 Cálculo de ites Regrs dicionis ª Regr: Qundo somente o denomindor for n sustituição diret de, clcul-se os ites lteris. O ite eistirá somente se os ites lteris forem iguis. LIMITES LATERAIS Indeterminção... e.... Logo o ite não eiste

41 Cálculo de ites Regrs dicionis ª Regr: Qundo se tem um função polinomil ou um função rcionl, os ites dests funções, qundo tende pr + ou -, são clculdos com se no termo de mior ordem, vej os eemplos io. o eemplo função rcionl: 5. o eemplo função polinomil:

42 REGRA DE LEIBNIZ No cso em que p < n, podemos dizer que o ite é: + qundo n e n têm o mesmo sinl. -, qundo n e n têm sinis opostos. n p sem ou n p sem n p sem p p p p n n n n

43 Regr de Leiniz. Eemplos