1 cm. 1 cm MÓDULO XVIII ÁREAS DE FIGURAS PLANAS. 2. Área de um quadrado

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1 MÓUL XVIII 1. efinições ÁES E FIGUS PLNS Superfície de um polígono ou região poligonl pln é reunião do polígono com o seu interior. Ms finl, o que é áre de um superfície? Medir um superfície é comprá-l com outr, tomd como unidde. resultdo d comprção é um número positivo, o qul cmmos de áre, qui indicd por. omo não eiste instrumento pr medir áre de um superfície, comprmos su áre com áre de um figur mis simples, como o retângulo ou o qudrdo.. Áre de um qudrdo onsidere novmente um qudrdo cujo ldo mede 1cm e cuj áre é igul 1cm e vmos comprr ess unidde de áre com nov áre ser otid n figur seguir: 1 cm 5 cm Pr eemplificr, considere um qudrdo cujo ldo mede 1cm e cuj áre é igul 1cm. 1 cm 1 cm Áre do qudrdo = 1cm ou = 1cm omprndo esse qudrdo com figur 5 cm omo figur present um qudrdo de 5cm de ldo e cinco coluns de qudrdos unitários, e em cd colun á cinco deles, esse novo qudrdo contém 5 5 = 5 qudrdos unitários, sendo áre de cd um deles igul 1cm. Logo, áre do qudrdo de ldo 5cm será: = 5 1cm ou = 5 cm ou = 5 cm ssim, sendo medid do ldo de um qudrdo, su áre é dd por: podemos firmr que: se cd qudrdo tem 1cm de áre e figur é formd por nove qudrdos e meio, então est superfície mede 9,5 1cm = 9,5cm. =. = EP.01) Um piso de 60m será revestido com táus de 1,m. Qunts táus justds dequdmente serão necessáris? EP.0) (VUNESP SP) menor pís do mundo em etensão é o Estdo do Vticno, com um áre de 0,km. Se o território do Vticno tivesse form de um qudrdo, então medid de seus ldos estri entre: ) 00m e 01m ) 0m e 1m c) 01m e 0m d) 6m e 6m e) 80m e 80m Mtemátic ásic XVIII 1

2 . Áre de um retângulo ind considerndo o qudrdo de ldo 1cm e unidde de áre 1cm, vmos clculr áre de um retângulo em que um de seus ldos mede 6cm e o outro cm.. Áre de um prlelogrmo Vmos oter áre de um prlelogrmo de dimensões e, comprndo com áre de um retângulo. cm 1 cm 1 cm ecortndo n lin trcejd, retirmos um triângulo retângulo e recolocmos conforme mostr figur e otemos um retângulo. 6 cm serve que eistem seis coluns e em cd colun eistem qutro qudrdos de ldo 1cm. Esse retângulo possui 6 = qudrdos de ldo unitário e áre do retângulo será igul : = 1cm ou = cm ssim, sendo e s dimensões de um retângulo, su áre é dd por: =. áre do prlelogrmo será igul : =., igul áre de um retângulo com s mesms dimensões do prlelogrmo. ssim, sendo e s dimensões de um prlelogrmo, su áre é dd por: =. EP.0) Querendo comprr um terreno, um pesso recortou estes núncios: JÓI TEEN 10 m 0 m Só $ 5 000,00 FNE: TEEN 0 m 5 m Só $ ,00 EP.0) Um rmp de cesso o prédio de um órgão púlico possui form de um prlelogrmo conforme figur io onde s medids são dds em metros: Pelo que está escrito nos núncios, vmos considerr que os terrenos são retngulres. sedo nesss informções: ) Qul desses dois terrenos tem áre mior? ) Em qul dos núncios o metro qudrdo de terreno está mis rto? 5 60º 8 etermine áre ocupd por ess rmp de cesso. Sugestão: determine ltur do prlelogrmo utilizndo Pitágors e sen60º = do prlelogrmo. pr depois determinr áre Mtemátic ásic XVIII

3 5. Áre de um triângulo em função d ltur onsidere um triângulo cuj se mede e ltur mede : 6. Áre de um triângulo em função dos ldos Sendo, e c s medids dos ldos de um + + c triângulo, e considerndo p =, o semi-perímetro do triângulo, su áre será dd por: c = p.(p ).(p ).(p c) Trçmos um ret por prlel o segmento e por um ret prlel o segmento, té otermos o ponto de encontro desss dus rets, indicdo por. ssim otemos o prlelogrmo : Ess fórmul tmém é cmd de Fórmul de Herão. EP.06) Um sl foi projetd no formto de um triângulo cujs medids dos três ldos são 500cm, 600cm e 700cm. etermine áre ocupd por ess sl, em m. 7. Áre de um triângulo eqüilátero em função do ldo Sendo medid do ldo de um triângulo eqüilátero, su áre será dd por: Fic fácil perceer que o triângulo possui metde d áre de um prlelogrmo com s mesms dimensões e do triângulo. ssim, sendo (se) e (ltur) s dimensões de um triângulo, su áre será dd por: H. = = EP.05) (UFS) se de um triângulo mede 1m e su ltur, em metros, é. Se se for umentd em m e ltur em 55m, otém-se um novo triângulo cuj áre é o doro d áre do primeiro. etermine o vlor de. EP.07) etermine áre de um terreno que possu form d figur seguinte: 0m 10m 10m 0m 10m Mtemátic ásic XVIII

4 8. Áre de um triângulo em função de dois ldos e do ângulo compreendido entre eles Sendo e dois ldos de um triângulo e θ o ângulo compreendido entre estes dois ldos, su áre será dd por: c 1 =...senθ EP.09) (PU-P) onsidere o qudrdo e o losngo inscrito nesse qudrdo. áre d figur somred vle: ) ) 16 8 c) 16 d) 8 e) EP.08) (PUMP-SP) seguir, tem-se representção d plnt de um terreno qudrngulr. áre, em metros qudrdos, desse terreno é igul : 5 m 0 m 60º 1 0 m 5º 10. Áre do trpézio áre de um trpézio pode ser otid trvés de dois triângulos. onsidere um trpézio, em que s ses medem e e ltur. Podemos dividir esse trpézio em dois triângulos, conforme figur io: m 9. Áre do losngo 1 onsidere um losngo cujs digonis mior e menor medem e d, respectivmente. d Trçndo rets prlels às digonis pssndo pelos vértices do losngo, oserve que áre do losngo é metde d áre de um retângulo, conforme se pode perceer n figur cim. ssim, sendo digonl mior e d digonl menor de um losngo, su áre será dd por:. d = Lemrndo que s áres dos triângulos 1 e são.. dds por 1 = e =, áre do trpézio será dd pel som 1 + : = = = =. ssim, sendo se mior, se menor e ltur de um trpézio, su áre será dd por: + =. Mtemátic ásic XVIII

5 EP.10) (INTEL-MG) figur io é plnt de um slão n escl 1:0. áre rel deste slão é igul : ) 5.600cm ) 56m c) 7m d) 6m e) m 50cm 0cm EP.11) etermine áre do eágono regulr inscrito n circunferênci io, sendo que o rio d circunferênci mede 1cm. = 1cm 60cm 11. Áre de um eágono regulr Um eágono regulr possui 6 ldos congruentes e é formdo por 6 triângulos eqüiláteros, conforme figur io: 1. Áre do círculo Primeirmente, vejmos diferenç entre circunferênci e círculo. ircunferênci é um conjunto de pontos de um plno cuj distânci fi (rio ) um ponto (centro ) ddo desse plno é constnte. p onde: = rio d circunferênci circunscrit o eágono regulr; p = pótem do eágono; omo o eágono regulr é formdo por seis triângulos eqüiláteros, então podemos concluir que: = ; p = ltur de um triângulo eqüilátero = ; Áre eágono regulr = 6 Áre triângulo equilátero Áre eágono regulr = 6 Áre eágono regulr = ssim, sendo medid do ldo de um eágono regulr, su áre será dd por: =. e cordo com definição, circunferênci é pens o contorno d figur cim. perímetro d circunferênci é igul. π.. írculo é um conjunto dos pontos de um plno cuj distânci um ponto ddo desse plno é menor ou igul um distânci (não nul) fi. onforme segund definição, círculo é um superfície, reunião do contorno e d região intern n figur cim. Tnto n circunferênci qunto no círculo o diâmetro é igul dus vezes o rio, ou sej, =.. ssim, sendo o rio de um círculo, su áre será dd por: = π. Mtemátic ásic XVIII 5

6 EP.1) (FP-SP) N cmpn eleitorl pr s recentes eleições relizds no pís, o cndidto de um determindo prtido relizou um comício que lotou um prç circulr com 100 metros de rio. Supondo que, em médi, vi 5 pessos/m, um estimtiv do número de pessos presentes esse comício é de, proimdmente: ) ) c) d) e) Áre de um setor circulr omo temos dus grndezs diretmente proporcionis, otemos proporção: π π π. = = = π ssim, sendo o rio do círculo e um ângulo centrl, em rdinos, determindo por um setor nesse círculo, áre do setor circulr será dd por:. = m EP.1) (UEL-P) N figur io, tem-se um setor circulr de áre 6π cm. comprimento d circunferênci, em centímetros, é igul : ) 1π ) 11π c) 10π 60º d) 9π e) 8π Sendo o rio de um círculo e l o comprimento de um rco d circunferênci do mesmo círculo, áre de um setor circulr definido pelos rios e pelo comprimento de rco será dd por:. = m Pr se cegr esse resultdo, considere relção entre s grndezs áre e comprimento io: Áre omprimento (círculo) (circunferênci) π π m setor omo temos dus grndezs diretmente proporcionis, otemos proporção: π π π m m = = = m π Tmém podemos determinr áre de um setor circulr trvés do ângulo centrl determindo pelo setor no círculo: onsideremos relção entre s dus grndezs ângulo centrl e áre do círculo indicdos n figur cim: Ângulo Áre setor 1. Áre de um segmento circulr áre de um segmento circulr é igul à áre do setor circulr correspondente, sutrído d áre do triângulo que tem por se cord do segmento e cujo vértice é o centro do círculo: cord = ; rio = ; vértice = SEGMENT = SET TIÂNGUL EP.1) lcule áre de um segmento circulr definido π em um círculo de rio 1cm e ângulo centrl rd. Mtemátic ásic XVIII 6

7 15. Áre d coro circulr ds dus circunferêncis concêntrics de rios e r, > r, coro circulr é região de pontos compreendid entre s dus circunferêncis, conforme figur seguir: ssim, sendo e r os rios de dus circunferêncis concêntrics, áre d coro circulr determind por esss dus circunferêncis será dd por: = π.( r ) Pr se cegr esse resultdo, considere determinção d áre d coro circulr pel diferenç entre s áres dos dois círculos determindos pels dus circunferêncis: = ÍUL MI ÍUL MEN = π. π.r = π.( r ) r Eercícios omplementres E.01) Qul áre, em metros qudrdos, de um qudrdo cujo ldo mede 0cm? E.0) cão d vrnd de um cs será coerto de ldrilos egonis. d ldrilo tem 00cm de áre e vrnd é retngulr com seis metros de comprimento e três metros de lrgur. proimdmente, quntos ldrilos serão utilizdos pr corir vrnd? E.0) Quntos zulejos qudrdos, medindo 15cm de ldo, são necessários pr revestir um áre retngulr que mede 90cm de comprimento por 10cm de lrgur? E.0) (UFP) Qul o vlor d áre d figur io? EP.15) figur io represent um cmpo de eiseol: ) 95m. ) 1m. c) 169m. d) 119m. e) 109m. 7 E.05) (UNIMP - SP) N plnt de um edifício em construção, cuj escl é 1:50, s dimensões de um sl retngulr são 10cm e 8cm. etermine, em m, áre rel d sl projetd. E.06) (UEL-P) ois qudrdos com os ldos respectivmente prlelos, interceptm-se como mostr figur seguir. Se M = M, HM = ME e s áres desses qudrdos são 100cm e 1cm, áre do qudrilátero MNE, em centímetros qudrdos, é igul : H G M Se-se que: 1. = = 99m. = m F. HI = 6. rremessdor fic no círculo loclizdo no centro do qudrdo. Se áre curd mede 1.58 m, então medid, em metros, do rio do círculo onde fic o rremessdor é igul : ) 0 ) 50 c) 60 d) 80 e) 10 E N F Mtemátic ásic XVIII 7

8 E.07) (MK-SP) N figur seguir, 60º 6 //. ) 10 ) 1 c) 1 d) 18 e) º Então, áre do qudrilátero é: ) ) 6 c) 8 d) 0 e) E.08) (FP-SP) Um pequeno escritório instldo num flt do esidence é formdo por dus sls qudrds justposts, conforme figur seguir. figur é um plnt simplificd: E.10) (ESGNI-J) N figur nterior, vemos um ml compost de 55 retângulos iguis. Em três dos nós d ml são mrcdos os pontos, e, vértices de um triângulo. onsiderndo-se áre S de cd retângulo, áre do triângulo pode ser epress por: ) S ) 6 S c) 1 S d) 18 S e) S y Sendo-se que s digonis do retângulo medem 5 m, áre totl y do escritório, em m, desprezndose espessur ds predes, é igul : ) 16 ) c) 0 d) 8 e) 6 E.11) (FUVEST-SP) ois irmãos erdrm um terreno com seguinte form e s seguintes medids: = 0m = 60m = 16m E E.09) (PU-MG) medid d áre do qudrilátero, em uniddes de áre, é: y - -1 Pr dividir o terreno em dus prtes de mesm áre eles usrm um ret perpendiculr. Pr que divisão sej feit corretmente, distânci dess ret o ponto, em metros, deverá ser: ) 1 ) c) d) e) 5 Mtemátic ásic XVIII 8

9 E.1) (FUVEST-SP) s qudrdos d figur têm ldos medindo 10cm e 0cm, respectivmente. Se é o centro do qudrdo de menor ldo, o vlor d áre curd, em cm, é: 10 cm E.15) Pr ldrilr um sl são necessáris etmente 00 peçs iguis de cerâmic n form de um qudrdo. Sendo-se que áre d sl é de 6m, determine: ) áre de cd peç, em metros qudrdos; ) o perímetro de cd peç, em metros. E.16) TNGM é um quer-ceç de origem cines. È formdo por cinco triângulos retângulos isósceles (T 1, T, T, T, e T 5 ), um prlelogrmo (P) e um qudrdo (Q) que, juntos, formm um qudrdo, conforme figur seguir. ) 5 ) 7 c) 0 d) 5 e) 0 E.1) (UFJ) N figur seguir, o qudrdo tem ldos 6. Q 1, Q, Q, e Q são qudrdos de ldo. região curd tem áre igul 16: 6 Q1 Q T T T 1 Q Em relção às áres ds figurs, é correto firmr: ) Se áre de Q é 1, então áre do qudrdo mior é. ) áre de T 1 é o doro d áre de T. c) áre de T é igul à áre de T 5. d) áre de T 5 é um qurto d áre do qudrdo mior. e) áre de P é igul áre de Q. T P T 5 E.17) lcule áre de um eágono regulr cujo ldo mede 6cm. Q sedo nesss informções, determinr o vlor de. Q E.18) lculr áre de um setor circulr de rio cm e ângulo centrl igul π rd. E.1) (ENEM) Um engeneiro, pr clculr áre de um cidde, copiou su plnt num fol de ppel de o qulidde, recortou e pesou num lnç de precisão, otendo 0g. Em seguid, recortou, do mesmo deseno, um prç de dimensões reis 100m 100m, pesou o recorte n mesm lnç e oteve 0,08g. E.19) (ESGNI-J) No futeol de slão, áre de met é delimitd por dois segmentos de ret com comprimentos iguis 11m e m e dois qudrntes de círculos de rio igul m, conforme figur io. superfície d áre de met, proimdmente, é igul : m Prç de áre conecid m m m m m Plnt om esses ddos foi possível dizer que áre d cidde, em metros qudrdos, é proimdmente igul : ) 800 ) c) d) e) ) 5m ) m c) 7m d) 1m e) 6 m 11m Mtemátic ásic XVIII 9

10 E.0) (UFV-MG) umentndo-se 1m o rio r de um circunferênci, o comprimento e áre, mos relciondos ess circunferênci umentm, respectivmente, em: ) π m e (r + 1)π m ) π m e (r + 1)π m c) π m e (r + 1)π m d) π m e (r + 1)π m e) π m e (r + 1)π m E.1) Um empres tem o seguinte logotipo: Se medid do rio d circunferênci inscrit no qudrdo é cm, áre, em cm, de tod região pintd de preto é igul : 9π ) 9 9π ) 18 9π c) 18 9π d) 6 9π e) 6 E.) (UEL-P) N figur, é um qudrdo cujo ldo mede. Um dos rcos está contido n circunferênci de centro e rio, e o outro é um semicircunferênci de centro no ponto médio de e de diâmetro. áre d região curd é: EP.01) 50 táus EP.0) EP.0) ) EP.0) 0 m EP.05) 77m EP.06) 6 6 m EP.07) ( ) m EP.08) ( 50 ) EP.09) EP.10) m EP.11) 16 cm EP.1) E EP.1) EP.1) π cm EP.15) 5 metros GIT Eercícios Propostos ) Eercícios omplementres E.01) 0,09m E.0) 600 ldrilos E.0) 8 zulejos E.0) E E.05) 0m E.06) E.07) E.08) E.09) E.10) E.11) E.1) E.1) = 1 ou = E.1) E E.15) ) 0,09m ) 1,m E.16) E E.17) 5 cm 8π E.18) cm E.19) E.0) E.1) E.) ) Um qurto d áre do círculo de rio. ) Um oitvo d áre do círculo de rio c) doro d áre do círculo de rio. d) Igul à áre do círculo de rio. e) metde d áre do qudrdo. Mtemátic ásic XVIII 10