Material Teórico - Módulo Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales. Nono Ano

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1 Mtei Teóio - Móduo Semenç de Tiânguos e Teoem de Tes Reções Métis em Tiânguos Retânguos Nono no uto: Pof. Uisses Lim Pente Reviso: Pof. ntonio min M. Neto Pot d OMEP

2 1 Reções métis em tiânguos etânguos s fómus oeionds n poposição segui são oneids omo eções métis em tiânguos etânguos e são um onsequêni dos sos de semenç de tiânguos vistos no mtei nteio. O item () é oneido omo o Teoem de Pitágos. Poposição 1. Sej um tiânguo etânguo em, t que =, = e =. Sejm o pé d tu etiv à ipotenus, =, = m e = n. Então: () =. () m = e n =. () = +. (d) mn =. n emonstção. Um vez que Ĥ = Â e =, s oespondênis, e pemitem onui que os tiânguos e são sementes, peo so de semenç. n m Pot d OMEP í otemos s iguddes: = e = n, que po su vez foneem s eções: = e = n. e fom náog o gumento im, s iguddes Ĥ = Â e Ĉ = Ĉ foneem, medinte s oespondênis, e, semenç ente os tiânguos e (tmém peo so ). pti de t semenç, otemos igudde ou, o que é o mesmo, = m = m. ssim, onuímos pov dos itens () e (). P povmos (), sommos s equções em () memo memo, otendo: + = m+n = (m+n) = =. Finmente, mutipindo s equções em () memo memo e utiizndo eção dd no item (), otemos: Então, m n = = () = () =. mn = e, nendo de mosos dos dessútim igudde, onuímos pov do item (d). pições No estnte desse mtei, pesentmos váis pições d poposição nteio, tnto no sentido de exeit s fómus ne ontids qunto no de mpi noss ompeensão des e deduzi outos esutdos impotntes. omeemos om dois exempos simpes, ujos esutdos o eito deve gud p efeêni futu. Exempo. Se é um quddo de do =, então medid ds sus digonis é igu. m ttp://mtemti.omep.og./ 1 mtemti@omep.og.

3 Soução. Vej que o tiânguo é etânguo em e os seus tetos mos medem. pindo o Teoem de Pitágos esse tiânguo, otemos: = + = = + = = = =. Exempo 3. tu de um tiânguo equiáteo de do mede 3. Soução. Sejm um tiânguo equiáteo de do e o pé d tu ixd do vétie o do (vej figu ixo). Reode que o so (teto-ipotenus) de onguêni de tiânguos etânguos gnte onguêni dos tiânguos e (emente, = e é teto de mos). Potnto, = =. go, omo o tiânguo é etânguo em, pindo ee o Teoem de Pitágos, otemos: ( ) + = = + = Pot d OMEP = + = = = = = 3 = = 3. Exempo. N figu ixo, os íuos são tngentes e et é tngente mos, nos pontos e. Sendo que os ios dos íuos têm medids iguis m e 3m, ue medid do segmento. 1 Soução. Tçmos po um et pe à et que que ontém os pontos 1 e, qu inteset o io 1 no ponto (vej figu ixo). T 1 fimmos que o qudiáteo 1 é um peogmo. om efeito, e 1 são peos po onstução e, ém disso, 1 e tmém são peos, pois são mos pependiues à et. Potnto, os dos opostos de 1 são onguentes, de sote que otemos (omitindo unidde de medid): e + 1 = 3 = + = 3 = + = 3 = = 1 = 1 = 1 T +T = 3+ = 5. go, oseve que o ânguo é eto. Logo, podemos pi o Teoem de Pitágos o tiânguo p ote: + = = +1 = 5 = = 5 1 = = = = 6. ttp://mtemti.omep.og./ mtemti@omep.og.

4 Exempo 5. N figu ixo, os dois semiíuos são tngentes no ponto, O é o ento do semiíuo mio e O é o ento do meno. Se-se ind que medid do segmento é igu 7 m. ue medid do segmento E. E O O Soução. enotndo po o io do semiíuo meno, temos que o io do mio é igu. ém disso, os tiânguos O e E são etânguos em e E, espetivmente, pois estão insitos em semiíuos (vej figu ixo). E O O Potnto, pindo o item () d Poposição 1 esses dois tiânguos otemos, espetivmente, ( = O = 7 ) = e = 98 = = 9 = Pot d OMEP E = = E =. ompndo s dus iguddes im, segue que E = 9 = E = 9 = E = 7 = 1. Exempo 6. N figu ixo, os pontos, e E são oinees, sendo o ponto médio de. Os tês semiíuos desendos têm diâmetos, E e E, o psso que o íuo entdo em F é tngente todos ees. Sendo que medid do io do semiíuo mio é 8m, ue medid do io do íuo. F E Soução. Iniimente, note que omo = E, o semiíuo mio é entdo em. í, = E = 8. Sendo e os entos dos semiíuos menoes (vej figu ixo), temos que = = = E =. F E enotemos po o io do íuo entdo em F, ondição de tngêni om os semiíuos menoes gnte que F = F = +. Po outo do, ondição de tngêni do íuo om o semiíuo mio gnte F = 8 (vej novmente figu im). go, um vez que o tiânguo F é isósees de se e éopontomédiode, temos(poumgumento náogo o esoçdo n soução do Exempo 3) que F tmém é tu de F. e out fom, o tiânguo F é etânguo em e, pindo o Teoem de Pitágos o mesmo, otemos: F + = F = (8 ) + = ( +) = = = = 8+16 = 6 = = 6 = = 6 = 8 3. ttp://mtemti.omep.og./ 3 mtemti@omep.og.

5 O póximo exempo é impotnte e tmém deve se guddo. Ee esteee eípo do Teoem de Pitágos. Exempo 7 (Reípo do Teoem de Pitágos). Sej um tiânguo ujos dos medem =, = e =. Se = +, então é etânguo em. Soução. Sej o pé d tu ixd o do, isto é, o pé d pependiu ixd do vétie à et. Queemos most que =, pois isso etá que  = Ĥ = 90. Supon que sej. á tês sos onside: () está no inteio do segmento (vej figu ixo): pindo o Teoem de Pitágos os tiânguos e, otemos: = = + > +(+) = +(+) = = + + = + + > + =. Isso é um ontdição, mostndo que esse so não pode ooe. () petene o inteio do segmento (vej figu segui): Pot d OMEP Usndo que >, > e pindo o Teoem de Pitágos o tiânguo, otemos: = + = + > + = =, novmente um ontdição. () petene o segmento (vej figu): Nesse so, pindo o Teoem de Pitágos o tiânguo, usndo que < e pindo o Teoem de Pitágos, otemos: = = + < + = = < + =. Mis um vez, egmos um ontdição. is p o Pofesso Reomendmos que sejm utiizdm dus sessões de 50min d p disuti o onteúdo pesente nesse mtei, sendo um desss sessões utiizd p pesent s eções ontids n Poposição 1 e out sessão p pesent os exempos. o expo d exempo, me tenção dos unos p o momento onde s eções métis estão sendo utiizds. utiizção de mtei feito om toin, mdei, et., ou softwes geométios podem uxii n ompeensão do Teoem de Pitágos. s efeênis oeionds segui ontém muitos poems e exempos eiondos o onteúdo do pesente mtei. Sugestões de Leitu ompement 1.. min. Tópios de Mtemáti Eement Voume : Geometi Euidin Pn, Edição. Rio de Jneio, SM, G Iezzi. Os Fundmentos d Mtemáti Eement, Voume 9: Geometi Pn, 9 Edição. São Puo, tu Edito, 013. ttp://mtemti.omep.og./ mtemti@omep.og.