AULAS 16 A 19. I. Triângulo retângulo e seus principais elementos. II. Relações Métricas.

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1 009 Treinmento pr Olimpíds de Mtemáti N Í V E L ULS TIÂNGULO ETÂNGULO (relções métris e rzões trigonométris) ÁES (polígonos e írulo) oneitos eliondos I. Triângulo retângulo e seus prinipis elementos izemos que um triângulo é retângulo em se, e somente se, o ângulo de vértie é reto. Elementos: Os ldos e, djentes o ângulo reto, de omprimentos e respetivmente são denomindos de tetos. Enqunto que o ldo, oposto o ângulo reto, de omprimento, é denomindo de ipotenus. O segmento H perpendiulr ipotenus, de omprimento, é denomindo de ltur reltiv à ipotenus. O segmento H, de omprimento n e o segmento H, de omprimento m, são denomindos de projeções (ortogonis) dos tetos e, sore ipotenus, respetivmente. m H n II. elções Métris Proposição 1 Teorem de Pitágors Em todo triângulo retângulo, de tetos e e ipotenus, tem-se = +, isto é, o qudrdo d ipotenus é igul som dos qudrdos dos tetos. = + Teorem eíproo (Pitágors) Se num triângulo o qudrdo de um de seus ldos é igul som dos qudrdos dos outros dois ldos deste triângulo, então o ângulo determindo por estes dois ldos do triângulo é reto. Â é reto Exemplos: = + O triângulo de ldos medindo, 4 e é retângulo, pois = SISTEM NGLO E ENSINO 1 Treinmento pr Olimpíds de Mtemáti 009

2 O triângulo de ldos medindo, 1 e 1 é retângulo, pois 1 = Proposição ltur reltiv ipotenus e projeções dos tetos sore el O qudrdo d medid d ltur reltiv ipotenus é igul o produto ds medids ds projeções (ortogonis) dos tetos sore ipotenus, ou sej, = m n m H n Proposição teto e su projeção sore ipotenus O qudrdo d medid de d teto é igul o produto d medid de su projeção (ortogonl) sore ipotenus pel medid d ipotenus, ou sej, = m e = n m H H n Proposição 4 tetos, ltur e ipotenus O produto ds medids dos tetos é igul o produto d medid d ipotenus pel medid d ltur reltiv ipotenus, ou sej, = H III. zões Trigonométris (Seno, osseno e Tngent onsidere um triângulo retângulo om um ângulo gudo de medid θ. Em relção este ângulo, os tetos deste triângulo são denomindos de: oposto (qundo não poi-se sore seus ldos) e djente (qundo pói-se sore um dos seus ldos). teto oposto ipotenus teto djente θ teto oposto θ teto djentes θ teto oposto θ s rzões:, e são denominds de rzões trigonométris e oneids por senθ (seno), osθ (osseno) e tgθ (tngent ipotenus ipotenus teto djente θ respetivmente. SISTEM NGLO E ENSINO Treinmento pr Olimpíds de Mtemáti 009

3 IV. Áres (polígonos e írulo) enotremos áre de um figur pln X por (X). ssim, por exemplo, áre de um triângulo será denotd por () enqunto que, de um trpézio por (). Proposição Áre de um triângulo ( ) = = = onde, e são respetivmente os omprimentos ds lturs deste triângulo reltivs os ldos (ses) de omprimentos, e. H H H H H Equivlentemente temos tmém: 1 senˆ 1 senˆ 1 senˆ ( ) = = = Proposição 6 Áre de triângulos om mesm ltur ois triângulos de ses e e lturs reltivs ests ses de mesmo omprimento, onforme figur. rzão d áre do triângulo pr áre do triângulo, é igul rzão do omprimento d se pr o omprimento d se, isto é, ( ) ( ) =. onsequênis dest propriedde: medin M de um triângulo divide este em triângulos M e M de áres iguis. M M = M SISTEM NGLO E ENSINO Treinmento pr Olimpíds de Mtemáti 009

4 issetriz (intern) S de um triângulo divide este em triângulos S e S de áres, tis que: ( ) S S S S ( ) = = S Proposição 7 zão entre áres de triângulos semelntes rzão entre s áres de dois triângulos semelntes é o qudrdo d rzão de semelnç. Se K é rzão de semelnç do triângulo E pr o triângulo, então: (E//) ( ) E ( ) = áre do ΔE áre do Δ = K E Proposição 8 Áre de um qudrdo de ldo l é l Proposição 9 Áre de um prlelogrmo de se e ltur é ( + ) Proposição 10 Áre de um trpézio de ses e, e ltur, é Proposição 11 Áre de um írulo de rio é π O Nots: 1. som ds áres dos qudrdos onstruídos sore os tetos (externment de um triângulo retângulo é igul áre do qudrdo onstruído (externment sore ipotenus. = +. (generlizção) som ds áres dos polígonos regulres de n ldos onstruídos (externment sore os tetos de um triângulo retângulo é igul áre do polígono regulr de n ldos onstruído (externment sore ipotenus. SISTEM NGLO E ENSINO 4 Treinmento pr Olimpíds de Mtemáti 009

5 V. Um demonstrção do Teorem de Pitágors emonstrr o teorem de Pitágors tem sido um desfio o longo d Históri. Elis Sott Loomis registrou num livro 70 demonstrções desse teorem. Um dels é triuíd o generl merino Jmes rm Grfield ( ), que foi presidente dos Estdos Unidos no período de 4 de mrço 19 de setemro de 1881, qundo fleeu. Ele prtiu de um trpézio retângulo, dividido em três triângulos retângulos (onforme figur ixo). s áres dos três triângulos que ompõem o trpézio, são dds por: Áre de I = Áre de II = e Áre de III = esde que este trpézio (retângulo), tem ses e e ltur ( + ), I ( + ) + ( ) su áre é. III Por outro ldo, oserve que áre do trpézio é som ds áres dos triângulos, ou sej: II Áre (trpézio) = Áre de I + Áre de II + Áre de III. ( + ) + ( ) Portnto, = + + Logo, + + = + + onsequentemente + = (teorem de Pitágors) Not: Voê poderá enontrr outrs demonstrções nos links ixo: 1. ttp:// ttp:// ttp:// VI. onsequênis Importntes Proposição 11 Teorem dos ossenos (onsequêni de Pitágors) = + os = + os = + os Proposição 1 Teorem dos senos (onsequêni ds rzões trigonométris) sen = sen = sen O r Pode-se provr que: = r sen, onde r é o rio d irunferêni irunsrit o triângulo. SISTEM NGLO E ENSINO Treinmento pr Olimpíds de Mtemáti 009

6 VII. Prolems Em lsse 1. (OMEP) No triângulo, o omprimento dos ldos, e, ness ordem, são números inteiros e onseutivos. ltur reltiv divide este ldo em dois segmentos de omprimentos m e n, omo indido n figur ixo: Qunto vle m n? ) 1 d) 4 ) 6 ) n. (OLIMPÍ ITLIN) Em um triângulo, é um ponto do ldo tl que =, =, = 8 e = 1. Qul é o omprimento do ldo?. (ESLOVENI) é um losngo om ângulo  gudo. E o pé d perpendiulr trçd desde té o ldo, tis que E = x e E = y. Expressr os omprimentos ds digonis e em função de x e y. 4. (OLIMPÍ USTLIN) Três semiirunferênis idêntis, de rio, tem seus entros 1, e olineres e d um pertenente um ds outrs irunferênis, omo mostrdo n figur. m 4 1 Um qurt irunferêni, om entro 4, e então trçd de modo que tngenie s três semiirunferênis de rio, omo mostrdo. Se r é o rio d irunferêni menor, então rzão de pr r é igul : ) d) 1 ) 4 ) 11. (OMEP) figur mostr qutro írulos de rio 1m dentro de um triângulo. Os pontos mrdos são pontos de tngêni. Qul é o omprimento do menor ldo desse triângulo? SISTEM NGLO E ENSINO 6 Treinmento pr Olimpíds de Mtemáti 009

7 6. (OMEP) figur foi feit om qutro qudrdos de 10m de ldo. Os vérties, e são tmém entros dos qudrdos orrespondentes. Qul é áre, em m, d região somred? ) 100 d) 7 ) 10 ) 7. (TEINMENTO OMEP) N figur, estão desends dus irunferênis onêntris de rios r e, om r, e 1 irunferênis, de rio x, ompreendids entre esss dus. r lém disso, s 14 irunferênis são disjunts ou tngentes. r ) Mostre que x =. ) lule áre d região somred. 8. (OMEP) Num igrej, existe um vitrl onstituído por regiões plns limitds por um írulo mior de rio medindo, em m, r e qutro írulos menores (tngentes internmente o mior) de rio medindo, em m, r. Ests regiões são vidros oloridos, sendo: G G 4 verdes; d um om áre, em m, indid por letr G, 4 vermelos; d um om áre, em m, indid por letr, 4 zuis; d um om áre, em m, indid por letr. G G E estão dispostos segundo figur o ldo, onde: s regiões de interseções de dois írulos menores são vidros verdes, s regiões de d írulo menor que não têm vidros verdes são vidros vermelos, s regiões do írulo mior externs todos os írulos menores são vidros zuis. Sendo que form usdos 400m de vidro verde, quntos m de vidro zul form neessários, isto é, qul é o vlor de? SISTEM NGLO E ENSINO 7 Treinmento pr Olimpíds de Mtemáti 009

8 Em s 1. (OLIMPÍ ITLIN) Um ponto P é interno o qudrdo. distâni de P os vérties,, vlem respetivmente, 7 e 9. distâni P é igul ) d) 7 ) 10 ) 6. (OLIMPÍ POTUGUES) Num qudrdo de ldo 1. Pelo ldo, onstrói-se (externment um triângulo M, retângulo em M, tl que M = e M = ( ). No ldo oposto, onstrói-se (tmém externment, o triângulo N, retângulo em N, tl que N =, N =. O omprimento do segmento MN, em função de e, é igul ) ( + ) d) ( + ) ) ( + ) ( + ) ) +. (OLIMPÍ USTLIN) N figur ixo: O 4 4 M E O é o entro de um irunferêni de diâmetro. é um triângulo, retângulo em, om ˆ= 4, E é um segmento prlelo o ldo deste triângulo que interept o ldo em, o ldo em E, e irunferêni de entro O, em M, de modo que M = ME (onforme figur im). Sendo que o omprimento, em m, do segmento é 4, então o omprimento do segmento E, em m, é igul : ) d) 16 ) ) 4. (OLIMPÍ ITLIN) Em um írulo de entro O, é um diâmetro, um ord, um ponto de. Sendo que O = m e que O = O = 60, então o omprimento d ord, em m, é: ) 10 d) 14 ) ) 1. (SNGKU POLEM JPONÊS) Três írulos de rios, e, om, são mutumente tngentes entre si e um ret. Então, podemos firmr que: ) = + ) = ) = d) = = + SISTEM NGLO E ENSINO 8 Treinmento pr Olimpíds de Mtemáti 009

9 6. (OM) No deseno o ldo, o qudrdo tem áre de 64m e o qudrdo FHIJ tem áre de 6m. Os vérties,, E, H e I dos três qudrdos pertenem um mesm ret. Então áre do qudrdo EFG, em m, é igul : ) 80 ) 81 ) 90 d) G F J E H I 7. (OM) Um terreno qudrngulr foi dividido em qutro lotes menores por dus ers rets unindo os pontos médios dos ldos do terreno. s áres de três dos lotes estão indids em metros qudrdos no mp o ldo. Qul é áre do qurto lote, em metros qudrdos, representdo pel região destd no mp? ) 40 ) 0 ) 00 d) (OLIMPÍ ITLIN) onstroem-se semiírulos sore os ldos de um triângulo retângulo de ipotenus, omo mostr figur o ldo. Se e S são áres de regiões plns (figur) limitds por dois semiírulos e T áre do triângulo retângulo, então podemos firmr que: ) T = + S ) T = + S ) T = + S d) T = + S T = + S S T 9. (OLIMPÍ MEIN) N figur o ldo, é um triângulo retângulo de ipotenus, E e FG são qudrdos. do que = e =, podemos firmr que G = E ) ( + + ) ) ) d) G F 10. (OLIMPÍ MEIN) Os ldos PQ e P do triângulo PQ medem respetivmente 4m e 7m e medin PM,m. O omprimento do ldo Q, em m, é ) 6 ) 7 P ) 8 d) , Q M SISTEM NGLO E ENSINO 9 Treinmento pr Olimpíds de Mtemáti 009

10 11. N figur ixo é um qudrdo. lule seu ldo sendo que M é ponto médio de, P é perpendiulr M e MP =. ) ) 7 ) d) 7 M P 7 1. áre do triângulo, figur ixo, de ltur =, α = 0 e β = 4 é igul : ) ) ) + + α β d) H 1. s rízes d equção x 14x + 48 = 0 expressm em entímetros s medids dos tetos de um triângulo retângulo. medid d ipotenus e do perímetro, em m, desse triângulo são respetivmente iguis : ) 100 e 114 d) 10 e 4 ) 9 e 1 e 9 ) 16 e (OLIMPÍ MEIN) s três irunferênis d figur tem o mesmo rio r = m e seus entros são olineres, irunferêni do meio é tngente s outrs dus. O 1 Por O trç-se um tngente irunferêni de entro. Nests ondições, o omprimento do segmento, em m, é igul : ) 4 d) 8 9 ) ) 6 1. (OLIMPÍ ITLIN) us irunferênis distints são tngentes externmente. Sej t um tngente omum, e sejm P e Q pontos de tngêni de t om ests irunferênis. Sendo que o produto dos diâmetros dests irunferênis é, determine o omprimento de PQ. ) ) 8 ) 10 d) 10 SISTEM NGLO E ENSINO 10 Treinmento pr Olimpíds de Mtemáti 009

11 16. (OLIMPÍ ITLIN) EFGH é um otógono regulr insrito em um irunferêni de diâmetro 1. Sendo P um ponto do menor ro H dest irunferêni, determine o vlor d som: ) 4 ) ) 6 d) 8 9 P + P + P + P + PE + PF + PG + PH P H G F E 17. (OLIMPÍ USTLIN) Um qudrdo, PQS, está insrito em um semiírulo de diâmetro TU omo n figur ixo. S y x T P Q U x Sej PT = x e P = y. O vlor de é igul : y π ) d) 4 1 ) + 1 ) (OLIMPÍ E MIO) é um triângulo retângulo de ipotenus. Sej S um ponto dest ipotenus e M o ponto médio do teto. do que = 1m, S = 4 e S SM, então o omprimento, em m, do teto, é igul ) ) S ) 4 d) 7 M 19. (OM) O professor Prdl está estudndo o omportmento fmilir de um espéie de pássro. Os pontos,, e d figur o ldo, representm disposição de qutro ninos desses pássros. O professor onstruiu um posto de oservção equidistnte dos qutro ninos. Todos os ninos e o posto de oservção estão em um mesmo nível de ltur prtir do solo, distâni de é de 16 metros e  = 4. distâni, em metros, que o posto gurd de d nino, é: ) d) ) ) 4 8 SISTEM NGLO E ENSINO 11 Treinmento pr Olimpíds de Mtemáti 009

12 0. (OLIMPÍ PEUN),, e são entros de 4 irunferênis, tngentes dus dus, segundo disposição d figur ixo. Se-se que, e são olineres, ponto médio de, =, e r é o rio d irunferêni de entro. Nests ondições podemos firmr que: ) = r ) = r ) = 4r d) = r 7 = r 1. (OLIMPÍ ITLIN) onsidere em um plno três irunferênis tngentes externmente dus dus. Sendo que os rios dests irunferênis são 1m, m e m, então o rio d irunferêni irunsrit o triângulo ujos os vérties são os entros dests três irunferênis, em m, é igul ) d) π ), não é possível determiná-lo. ). (OLIMPÍ MEIN) Sej P um ponto externo um irunferêni. Por P são trçds dus tngentes que intereptm em e. Se P = P = 7 e o omprimento do ro mior é dus vezes o omprimento do ro menor. Então, o omprimento d ord é ) 6 d) 7 ) 7 7 ) 11. (OM) Juntndo dois retângulos iguis ldo ldo, sem soreposição, podemos formr dois tipos de figur: um qudrdo de áre igul 144m ou um retângulo de lrgur diferente do omprimento. Qul é o perímetro deste último retângulo, em m? ) 1 d) 60 ) 4 7 ) (OM) O jrdim d s de Mri é formdo por ino qudrdos de igul áre e tem form d figur o ldo. Se = 10m, então áre do jrdim em metros qudrdos é: ) 00 ) 10 ) d) 100. (OLIMPÍ ITLIN) N figur é prlelo E e é prlelo E. Se x é áre do qudrilátero e y áre do triângulo E, então ) x = y ) x = y ) x = y d) x = y x = y E SISTEM NGLO E ENSINO 1 Treinmento pr Olimpíds de Mtemáti 009

13 6. (OM) figur ixo é formd por três qudrdos de ldo 1 e um retângulo que os ontorn. áre do retângulo é: ) ) 4 ) 6 d) (OM) Oserve n figur os três qudrdos identifidos por 1, e. Se áre do qudrdo 1 é 6m e áre do qudrdo é 100m, qul é, em entímetros qudrdos, áre do qudrdo? ) 64 ) 81 ) d) (OM) figur o ldo é formd por dois qudrdos de áre 100m d um, prilmente sorepostos, de modo que o perímetro d figur (lin mis gross) é igul 0m. áre d região omum os dois qudrdos, em m, é ) 0 ) ) 0 d) (OM) No triângulo tem-se que M é o ponto médio do ldo (isto é, os segmentos M e M têm o mesmo omprimento). N é o ponto médio de M e é o ponto médio de N. O triângulo tem áre 000m. Então, áre do triângulo M, em m, é igul : ) 00 ) 0 ) 00 d) N M 0. (OM) figur ixo mostr um retângulo, um pentágono, um triângulo e um írulo, om áres respetivmente 11, 81, 49 e entímetros qudrdos. diferenç entre áre pret e áre inz, em entímetros qudrdos, é: ) ) 6 ) 49 d) (OLIMPÍ ITLIN) Um exágono onvexo é otido prtir de qudrdos onstruídos sore os ldos de um triângulo retângulo de tetos medindo p e q, onforme mostr-se n figur o ldo. Nests ondições, áre do exágono em função de p e q, é igul ) pq + ( p + q ) d) pq + ( p + q ) ) pq + (p + q ) ) pq + ( p + q ) pq + ( p + q ) p q SISTEM NGLO E ENSINO 1 Treinmento pr Olimpíds de Mtemáti 009

14 . (OM) N figur temos dois semiírulos de diâmetros PS, de medid 4, e Q, prlelo PS. lém disso, o semiírulo menor é tngente PS em O. Qul é áre destd? ) π ) π ) π d) 4 π 4 P Q S. (OM) Um grnde pinel n form de um qurto de írulo foi omposto om 4 ores, onforme indido n figur o ldo, onde o segmento divide o setor em dus prtes iguis e o ro interno é um semiirunferêni. Se x, y, z e w são s áres ds regiões rn, mrel, zul e verde, respetivmente, então podemos firmr: ) x = z y = w ) x = w y = z ) x = y z = w d) x z y w x z y w verde zul rno mrelo 4. (OLIMPÍ ITLIN) Um írulo está insrito em um triângulo retângulo isóseles e um írulo está irunsrito o mesmo triângulo. rzão d áre do írulo pr áre do írulo é ) 1 d) ) + ) +. (OLIMPÍ ESPNHOL) Em um triângulo retângulo, é o omprimento d ipotenus, e são os omprimentos dos tetos e d é o omprimento do diâmetro do inírulo. Podemos firmr que: ) + + = d d) + = + d ) + = + d d = + + ) + = + d 6. (OLIMPÍ MEXIN) N figur ixo o ldo do qudrilátero ílio é um diâmetro do irunírulo, e = 7, = =. O omprimento do diâmetro é igul : ) 10 7 ) 1 ) d) (OMEP) figur mostr um triângulo retângulo e três triângulos retângulos ongruentes somredos. 1 m SISTEM NGLO E ENSINO 14 Treinmento pr Olimpíds de Mtemáti 009

15 O ldo tem omprimento 1m. Qul é o perímetro do triângulo, em entímetros? ) + d) ) + 6 ) 8. (OMEP) áre do qudrdo é 100m. N figur, M é o ponto médio de e o ponto F pertene à ret que pss por e. F M ) Qul é áre do triângulo F? ) Qul é áre do triângulo F? 9. (OMEP) áre do exágono regulr EF é 4m. Qul é áre do triângulo somredo? F E ),0m d),m ),m 4,0m ),0m 40. (OLIMPÍ POTUGUES) Os uos d figur têm medid de rest 1. Qul é medid do omprimento do segmento? SISTEM NGLO E ENSINO oordenção Gerl: Niolu Mrmo; oordenção do TOM: Mro ntônio Grides; Supervisão de onvênios: Helen Sererini; Nível : ntonio rlos OSSO Junior, GLENN lert Jques Vn mson, Luís ntonio PONE lonso, OETO Miguel El Jml; Projeto Gráfio, rte e Editorção Eletrôni: Gráfi e Editor nglo Ltd; SISTEM NGLO E ENSINO 1 Treinmento pr Olimpíds de Mtemáti 009