Lista de Exercícios - Geometria Métrica Espacial
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- Elias Gesser Henriques
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1 UNEMAT Univesidde do Esdo de Mo Gosso Cmpus Univesiáio de inop Fcudde de Ciêncis Exs e Tecnoógics Cuso de Engenhi Civi Discipin: Fundmenos de Memáic Lis de Execícios - Geomei Méic Espci ) A es de um cuo mede cm. De quno se deve umen digon desse cuo de modo que es do novo cuo sej igu cm? ' cm Digon d cm Digon d d + x ' P cm d cm P cm d cm ' d d + x + x x cm ) Ccu medid d digon e áe o de um cuo, sendose que digon de um fce mede cm. cm d d cm 6 6() 0 cm ) Aumenndo-se medid d digon de um cuo de cm, su áe o umená de 0 cm. Deemin medid de su digon. d 6 ( ) ' ' d d d ' ' d + d + ( ) ' d + d ( d ) ( d ) ( ) d + 0d + d + 0 d + 0d + 0 d + 0 0d d 60 d cm Págin de 8
2 UNEMAT Univesidde do Esdo de Mo Gosso Cmpus Univesiáio de inop Fcudde de Ciêncis Exs e Tecnoógics Cuso de Engenhi Civi Discipin: Fundmenos de Memáic ) Ccu es de um cuo, sendo-se que som dos compimenos de ods s ess com ods s digonis e com s digonis ds seis fces ve cm ( ) cm ) Deemin digon de um peepípedo sendo 6 cm su áe o e 0 cm som de sus dimensões. ( + c + c) 6 ( + c + c) + c + c + + c 0 ( + + c) ( 0) + + c + + c + c c + ( + c + c) c + () c c 8 d + + c d 8 cm 6) Ccu s dimensões de um peepípedo eânguo, sendo-se que são popocionis os númeos, 8, 0, e que su digon mede 6 cm. k c k 8k 8 0 c 0k Págin de 8
3 UNEMAT Univesidde do Esdo de Mo Gosso Cmpus Univesiáio de inop Fcudde de Ciêncis Exs e Tecnoógics Cuso de Engenhi Civi Discipin: Fundmenos de Memáic d + + c 6 ( k) + (8 k) + (0 k) 6 k + 6k + 00k 6 89k 6 k( ) 6 6 k 6 k 6 k Pono: cm 8 cm c 0 cm 7) Um pism hexgon egu em áe d se igu 96 cm. Ccu áe e sendo que su u é igu o póem d se. 6 8 cm 96 h h 8 h cm cm 8) Que-se confeccion um cuo po meio de um foh de zinco de 8,6 m. Qu seá o compimeno d es do cuo? Qu seá o voume do cuo? 6 8,6,, m,,78 m 9) Enche-se um ecipiene cúico de me com águ. Ddo que um gão do íquido em um voume de.600 cm, e sendo 0 cm es do ecipiene, ccu o númeo de gões que o ecipiene pode cone cm gão.600 cm x gões cm Págin de 8
4 UNEMAT Univesidde do Esdo de Mo Gosso Cmpus Univesiáio de inop Fcudde de Ciêncis Exs e Tecnoógics Cuso de Engenhi Civi Discipin: Fundmenos de Memáic x x 80 gões.600 0) Ccue o voume de um cuo sendo que disânci ene os cenos de dus fces conígus é de cm. x ( ) ( ) cm ( ) cm 0 cm ) Ccu o voume de um cuo, sendo que qundo se umen su es de m áe e do mesmo cesce de 6 m. ( ) ' + 6 ( + ) + 6 ( + + ) m m ) Ccu o voume de conido em um s de u que em fom de um ooedo cujs dimensões são popocionis os númeos, e 7 cuj som ds ess ve m. k c k k 7 c 7k + + c + + c 8 k + k + 7k 8 k 8 k k () m k () 0 m c 7k 7() m c (0) () 60 m Págin de 8
5 UNEMAT Univesidde do Esdo de Mo Gosso Cmpus Univesiáio de inop Fcudde de Ciêncis Exs e Tecnoógics Cuso de Engenhi Civi Discipin: Fundmenos de Memáic ) Ccu s dimensões de um peepípedo eânguo sendo-se que som de dus des é m, o voume 900 m e áe o 600 m. + ( + c + c) c + c 00 + c( + ) 00 + c 00 c c c 00 c c 00c c 00c c c ( c 6) 0 c 6 m m 0 m 900 c p 0 m 0 p 0 m 0 Respos: As dimensões são 6 m, 0 m e m. ) Ccu o voume de um pism qudngu egu cuj áe o em m, sendo-se que su áe e é igu o doo d áe d se. Págin de 8
6 UNEMAT Univesidde do Esdo de Mo Gosso Cmpus Univesiáio de inop Fcudde de Ciêncis Exs e Tecnoógics Cuso de Engenhi Civi Discipin: Fundmenos de Memáic m m 6 7 m h 7 6 h 7 h 7 h m h 6 08 m ) Ccu o voume de um pism ingu egu de cm de u, sendo-se que áe e excede áe d se de 6 cm. + 6 h cm 6 cm h () 6 60 cm h (6) cm 6) Ccu medid d u de um eedo egu sendo que o peímeo d se mede 9 cm. 9 h + h + Págin 6 de 8
7 UNEMAT Univesidde do Esdo de Mo Gosso Cmpus Univesiáio de inop Fcudde de Ciêncis Exs e Tecnoógics Cuso de Engenhi Civi Discipin: Fundmenos de Memáic () h + ( ) 9 h + h 9 h 6 h 6 cm 7) Deemin áe e e o de um piâmide ingu egu de 7 cm de póem, sendo cm o io do cícuo cicunscio à se. p R h + B 7 R + R cm cm B ( ) B B cm B cm 8) endo 9 m áe o de um piâmide qudngu egu e m o io do cícuo inscio n se, ccue u d piâmide. 6 m B (6 ) 6 7 m + B m 0 p + h Págin 7 de 8
8 p 0 0 p p 6 0 p 0 UNEMAT Univesidde do Esdo de Mo Gosso Cmpus Univesiáio de inop Fcudde de Ciêncis Exs e Tecnoógics Cuso de Engenhi Civi Discipin: Fundmenos de Memáic ( ) h + ( ) h + 9 h 0 8 h p 0 h m 0 p p p 0 m 9) Um piâmide egu de se qudd em do d se medindo 8 cm e áe e igu áe e des piâmide. B 8 6 cm 96 p 8 ( B + ) 6 p 96 B + p 6 cm d áe o. Ccu u e 6 p h p + h h + 96 cm h 6 6 h 0 Págin 8 de 8 h cm 0) É consuído um depósio em fom ciíndic de 8 m de u e m de diâmeo. Deemin supefície o do depósio.
9 UNEMAT Univesidde do Esdo de Mo Gosso Cmpus Univesiáio de inop Fcudde de Ciêncis Exs e Tecnoógics Cuso de Engenhi Civi Discipin: Fundmenos de Memáic d m π ( h + ) π (8 + ) 8 π m ) Qunos meos cúicos de e fom escvdos p consução de um poço que em 0 m de diâmeo e m de pofundidde? π h π () π 7 π m ) Um puviômeo ciíndico em um diâmeo de 0 cm. A águ cohid peo puviômeo depois de um empo é coocd em um ecipiene mém ciíndico, cuj cicunfeênci d se mede 0π cm. Que u hvi cnçdo águ no puviômeo sendo que no ecipiene cnçou 80 mm? C π 0 π π 0 cm R R R R π h P π h π π π () h π 00 8 h π m h 8 cm ) Qu mss de mecúio, em quiogms, necessái p enche compemene um vso ciíndico de io ineno 6 cm e u 8 cm, se densidde do mecúio é,6 g/cm. π h π (6) 8 68 π cm m d m d m,6 68, m 7.67 g m 7 kg ) Qu é u de um ciindo eo de,6 cm de áe d se sendo áe e o doo d áe d se? Use π,. Págin 9 de 8
10 UNEMAT Univesidde do Esdo de Mo Gosso Cmpus Univesiáio de inop Fcudde de Ciêncis Exs e Tecnoógics Cuso de Engenhi Civi Discipin: Fundmenos de Memáic,6 π,6 cm,,6, cm B π h,, h,6h, h cm ) Deemine zão ene áe e e áe d secção meidin de um ciindo. A π h A π h x x x π A h A h 6) Ccu áe e de um ciindo equiáeo sendo 89 cm áe de su secção meidin. Ciindo equiáeo: h 89 7 h cm h h 7 h 7 cm 7 π h π 7 89 π cm 7) Deemin o io d se de um ciindo eqüiáeo sendo-se que áe e excede de π cm áe d secção meidin. A A + π h s π h h + π π + π π + π π π ( π ) π π π π cm π Págin 0 de 8
11 UNEMAT Univesidde do Esdo de Mo Gosso Cmpus Univesiáio de inop Fcudde de Ciêncis Exs e Tecnoógics Cuso de Engenhi Civi Discipin: Fundmenos de Memáic 8) Dão-se s áes ois 8π m e π m de dois ciindos; cd um em po io e po u, especivmene, u e o io do ouo. Deemin os dois voumes. π π 8 π ( h + ) 8 π π ( h + ) π ( h + ) 9...() ( h + ) 6...() h ( + h ) 9...() h( + h ) 6...() D equção (): ( h + ) 6 6 h + D equção (): h ( + h ) 9 6 h 9 9 h 6 6 D equção (): h h 6 m D equção (): ( h + ) 9 9 h + D equção (): h( + h ) 6 9 h 6 6 h 9 Págin de 8
12 UNEMAT Univesidde do Esdo de Mo Gosso Cmpus Univesiáio de inop Fcudde de Ciêncis Exs e Tecnoógics Cuso de Engenhi Civi Discipin: Fundmenos de Memáic 9 D equção (): h h 9 m π h π h 9 6 π 6 9 π π π 86 0 π m π m 9) Ccu medid d u de um cone de io sendo que su se é equivene à secção meidin. π h h π 0) Ccu o io e u de um cone de evoução cujo desenvovimeno é um semi-cícuo de io. AB compimeno do co io π π π π g h + h + h h Págin de 8
13 UNEMAT Univesidde do Esdo de Mo Gosso Cmpus Univesiáio de inop Fcudde de Ciêncis Exs e Tecnoógics Cuso de Engenhi Civi Discipin: Fundmenos de Memáic h ) Deemin medid d áe e de um cone equiáeo sendo 0 cm medid de su geiz. g 0 0 cm A πg A π (0) (0) A 00 π cm ) Ccue áe o e o voume de um cone equiáeo sendo que áe e é igu π cm. g A π g π π cm B π B π ( ) B π ( ) B π cm + π + π 6 π cm B g g g cm g h + ( ) h + ( ) h 6 h 8 h 6 h 6 cm B h π 6 π cm ) O io d se de um cone mede cm. endo que u fom um ânguo de 60º com geiz do cone, deemine su áe e. o sen 60 g g g g o g sen 60 g g 8 cm A π g A π () (8 ) A 96π cm Págin de 8
14 UNEMAT Univesidde do Esdo de Mo Gosso Cmpus Univesiáio de inop Fcudde de Ciêncis Exs e Tecnoógics Cuso de Engenhi Civi Discipin: Fundmenos de Memáic ) Um cone cicu eo de u h m em áe e igu 6π m. Deemin o ânguo que geiz g fz com e supoe de u h. A 6 π g 6 π π g g 6 g g h + g g g g () + g g 6 9g + 6 9g 6 0 g x x 9x 6 0 P x 9 e 6 e x g x g g m cos α cos α cos α cos α α 0 o ) Deemin eção ene os voumes de um ciindo eo e um cone de evoução sendo que êm mesm áe o 96π cm e o mesmo io 6 cm. Ciindo eo: Cone de evoução: A π h + π A π ( + g) A π ( + h) 96 π π ( + g) π ( + h) 96 π 96 ( + g) ( + h) (6 + g) g h + (0) h + (6) 00 h + 6 h 6 6 (6 + h) g h 8 cm 6 + h 8 g 0 cm h cm oume do ciindo eo ( ): π π (6) () π 6 7 π cm h Págin de 8
15 UNEMAT Univesidde do Esdo de Mo Gosso Cmpus Univesiáio de inop Fcudde de Ciêncis Exs e Tecnoógics Cuso de Engenhi Civi Discipin: Fundmenos de Memáic oume do cone de evoução ( ): π h π (6) (8) π π cm 7 π π 8 6) Deemin o voume de um cone de evoução sendo 6π cm su áe e e 00π cm su áe o. 6π g 6 π g 6 π 7g 6 g 6 00π 6 7 g 7 7 g π ( g + ) 00 π ( g + ) 00 g cm g 6 7 cm 7 g h h h h h h 7 00 h h 7 7 ( 7) π h ( 7 ) π π 7 7 π π cm Págin de 8
16 UNEMAT Univesidde do Esdo de Mo Gosso Cmpus Univesiáio de inop Fcudde de Ciêncis Exs e Tecnoógics Cuso de Engenhi Civi Discipin: Fundmenos de Memáic h 0 8 cm 7 7) Deemin medid do io d se e d geiz de um cone sendo h medid de su u e π m su áe o. π π ( g + ) π ( g + ) g + g g g h h h + h + g g h + h + h + g h + h + h + g h + h + h + ( ) ( ) ( ) h + ( h + ) h + h + g h + h + g g h + ( h + ) h h 8) Deemin medid do io de um esfe sendo que seu voume e su supefície são expessos peo mesmo númeo. + + A π π 9) Deemin o diâmeo de um esfe oid d fusão de dus esfes de 0 cm de diâmeo. π Págin 6 de 8
17 UNEMAT Univesidde do Esdo de Mo Gosso Cmpus Univesiáio de inop Fcudde de Ciêncis Exs e Tecnoógics Cuso de Engenhi Civi Discipin: Fundmenos de Memáic 000 π (0) π 8000 π 000 π cm 000 π cm π cm π 0) endo que o diâmeo de um esfe é os / do diâmeo de um ou esfe, ccue zão ene s áes desss dus esfes. d d π π 9 π 6 π π 6 π π ) Um o de ouo de io se funde nsfomndo-se em um ciindo de io. Deemin u do ciindo. EFERA CILINDRO π π h π π h h ) Um esfe em π cm de supefície. De quno devemos umen o io, p que áe psse se de 6π cm. π π cm π ( + x) 6 π ( + x) 6 ( + x) 6 + x Págin 7 de 8
18 UNEMAT Univesidde do Esdo de Mo Gosso Cmpus Univesiáio de inop Fcudde de Ciêncis Exs e Tecnoógics Cuso de Engenhi Civi Discipin: Fundmenos de Memáic + x + x x x cm ) Deemin zão ene s áes de um cuo e um esfe sendo que seus voumes são iguis. C E π π π π C 6 E π π π 6 9 C C C C E π E π E π E π 6 π 9 6 π C 9 C C π C π π π 9 π 9 π 9 π E E E E C π 9 E π C E 9π Págin 8 de 8
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A eori ds mrizes em cd vez mis plicções em áres como Economi, Engenhris, Memáic, Físic, enre ours. Vejmos um exemplo de mriz: A bel seguir represen s nos de rês lunos do primeiro semesre de um curso: Físic
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GRITO Mtemátic Intensivo V. ecícios 0) onstuímos et t, tl que t // s e t // : b t s et t divide o ângulo em dois ângulos e b. = 0 (ltenos intenos) b = = 0 = 7 Segue, b = (ltenos intenos). Logo, = 7. 0)
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Extensivo. 7 Resolva Aula 5 5.0) g g a 5.01) E h R g 15 R g g R 15 R 5 R + R 5 5R R 5 R 5 h 6 5 π.5. 6 5 5.0) h 90π 5 6.01) E 5π setor setor α círculo 60º 5π α 81π 60º 81π. α 60º. 5 π α 00º Aula 6 H. [
81,9(56,'$'( )('(5$/ '2 5,2 '( -$1(,52 &21&8562 '( 6(/(d 2 0$7(0É7,&$
81,9(56,'$'( )('(5$/ ' 5, '( -$1(,5 &1&856 '( 6(/(d 0$7(0É7,&$ -867,),48( 7'$6 $6 68$6 5(667$6 De um retângulo de 18 cm de lrgur e 48 cm de comprimento form retirdos dois qudrdos de ldos iguis 7 cm, como
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Geometria Plana 04 Prof. Valdir
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