Ministério da Educação Fundação Universidade Federal de Mato Grosso do Sul Instituto de Física Curso de Licenciatura em Física.

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1 Ministério d Educção Fundção Universidde Feder de Mto Grosso do Su Instituto de Físic Curso de Licencitur em Físic O fio infinito Um exempo de obtenção do cmpo eetrostático por dois métodos: integrção diret e pe Lei de Guss Considere situção mostrd n Figur, n qu temos um fio infinito crregdo uniformemente. Vmos primeiro ccur o cmpo prtir d Lei de Couomb e do princípio d superposição. de de P d d z Eemento de comprimento Eemento de comprimento Figur O fio infinito. O fio estende-se té o infinito, tnto no do negtivo como no do positivo. Nosso probem é ccur o cmpo um distânci z do fio. Por hipótese, supomos que densidde de crg eétric (quntidde de crg por unidde de comprimento) é uniforme o ongo do fio. Simboizremos ess quntidde pe etr greg (ê-se mbd). Esse probem present to gru de simetri. Não import o ponto sobre o fio que tomrmos, sempre teremos à esquerd e à direit desse ponto um semirret de comprimento infinito. Podemos, sem perd de generidde, escoher origem do sistem de coordends o ponto do fio que se ig o ponto por um segmento de ret perpendicur o fio nesse ponto ( dup set mostrd n figur). Chmremos de z distânci entre o fio e o ponto onde queremos ccur o cmpo. Tomemos dois pequenos pedços do fio, tão pequenos qunto queremos de comprimento d (mostrdos em verde n figur) ocizdos simetricmente em Prof. Puo Ros Físic F III

2 Ministério d Educção Fundção Universidde Feder de Mto Grosso do Su Instituto de Físic Curso de Licencitur em Físic reção à origem um distânci d origem. A crg contid nesses eementos d será dd então por: dq = d. Cd um desses eementos de crg cri um cmpo infinitesim no ponto que queremos ccur o cmpo. Esses são os cmpos de e de mostrdos n figur e que têm o mesmo móduo. Portnto, o cmpo tot crido n posição será som desses cmpos. Observndo simetri do probem, podemos ver que n direção pre o fio, s dus componentes se cncem enqunto que n direção vertic se somm (vej Figur ). Isso contece pr quisquer dois eementos de comprimento simétricos em reção à origem. Componentes perpendicures de de P Componentes pres Figur Dethe d decomposição dos vetores cmpo eétrico n região do ponto P. Portnto, o cmpo no ponto P será som ds componentes perpendicures dos cmpos cridos nque posição por cd eemento de comprimento d o ongo do fio. Um ddo eemento d cri, n direção perpendicur o fio, n posição P, um cmpo que, em móduo, é ddo por : d dq d cos (θ) Por simpicidde, não usremos mis o subíndice. Prof. Puo Ros Físic F III

3 Ministério d Educção Fundção Universidde Feder de Mto Grosso do Su Instituto de Físic Curso de Licencitur em Físic O ânguo que prece ness equção é o ânguo entre o segmento de ret que une o ponto o eemento d que cri o cmpo n posição P (vej Figur ). O cosseno desse ânguo pode ser escrito em termos ds vriáveis, z e d como: cos(θ) = z (z + ) Aqui foi usdo que d = (z + ) /. Logo, o cmpo crido peo eemento d pode ser escrito como: d d dq z (z + ) (z + ) d (z + ) 3 Pr obtermos o cmpo tot, precismos integrr (somr) s contribuições pr todos os eementos de comprimento d o ongo do fio: (z + ) 3.. d Do ponto de vist d integr, vriáve de integrção é. Portnto, integr pode ser reescrit como: d (z + ) 3 O integrndo é pr e estmos integrndo em um intervo simétrico em reção à origem. Aém disso, um integr imprópri como est pode ser reescrit em termos de um imite. Deste modo, podemos reescrever integr cim como: im d (z + ) 3 A integr que prece ness equção é tbed. Seu resutdo é: d (z + ) 3 = [ z (z + ) ] Portnto, o cmpo crido pe inh infinit será ddo por: im [ z (z + ) ] Prof. Puo Ros Físic F III 3

4 Ministério d Educção Fundção Universidde Feder de Mto Grosso do Su Instituto de Físic Curso de Licencitur em Físic im [ z (z + ) ] De modo mehor visuizr esse imite, vmos coocr o termo em evidênci no denomindor: Logo; z (z + ) = = z ( z + ) z ( z + ) im z ( z + ) O imite gor pode ser fcimente ccudo: Portnto: im = z z ( z + ) z z Vmos gor ccur o mesmo cmpo usndo Lei de Guss. Pes condições de simetri discutids nteriormente, vemos que temos um probem com simetri ciíndric, já que o cmpo resutnte é perpendicur o fio. Desse modo, podemos usr um superfície gussin ciíndric, como mostrd n Figur 3. ds E n L z ds Figur 3 A simetri do probem nos mostr que o cmpo eétrico é preo às bses do ciindro. Portnto, nesss fces: E.ds =. Portnto, o produto escr do cmpo Prof. Puo Ros Físic F III 4

5 Ministério d Educção Fundção Universidde Feder de Mto Grosso do Su Instituto de Físic Curso de Licencitur em Físic com o vetor unitário norm à superfície somente será diferente de zero pr fce ter. Deste modo, integr que prece n Lei de Guss será diferente de zero somente ness fce. Formmente podemos escrever: E. ds = q ε [ E. ds]b + [ E. ds]b + [ E. ds] = q ε Nest expressão, os índices b e denotm, respectivmente s bses (denotds por e ) e ter do ciindro. Como vimos integr sobre s bses é nu, pois o integrndo é nuo. Logo: [ E. ds] = q ε N superfície ter, o produto escr entre o vetor cmpo eétrico e o vetor unitário norm é simpesmente Eds e, ém disso, o móduo do cmpo eétrico é constnte. Portnto: [ E. ds] = [ Eds] = E [ ds ] = λ ε N útim igudde usmos que quntidde de crg eétric dentro d superfície gussin, q, é simpesmente λ. A integr sobre superfície ter nos dá su áre. Logo: E [ ds ] = E(πz) = λ ε Logo, o vor do móduo do cmpo eétrico será ddo por: λ πzε Que é o mesmo resutdo obtido nteriormente. Prof. Puo Ros Físic F III 5