Resoluções de Atividades

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1 VOLU 1 GOTRI Resoluções de tividdes Sumário pítulo 1 Rzão e proporção...1 pítulo Teorem de Tles.... pítulo Teorem d issetriz etern... pítulo Semelhnç... pítulo Teorem d issetriz intern... pítulo 1 Rzão e proporção Testndo seus onheimentos 0 m, 1m Se, então e + 1. Sustituindo os vlores temos: 01 ) 1, ) 1, ) 1, d), e) 1 Se,, e possuem mesm medid u. u ) 1 d) u ) ) u 1 u u u 1 0 m ltur d árvore: 0 m e) u u u 1 u ltur do poste, 0 m ltur d árvore, sustituindo os vlores dos segmentos, temos: GH. 1 1 GH GH m, por rzões equivlentes. 0 m, 0m 1.GH.1 GH GH, trondo os termos d proporção e plindo propriedde PQ de som, temos: +. PQ + PQ e m e ;, então 0m 0 m hmndo de, será (1 ). m ( + 1) m e 1+ 1 m 0 m, d 1m omo os segmentos são proporionis, temos: d d Usndo propriedde d som ns proporções, temos: + 1 simplifindo d + d d 1 ( ) e d d m e d 1m (por rzões equivlentes). 0 P 0m, m, Pm Oserve que P está mis próimo do ponto, pois <. Logo P < P. 1m P 1 0m P P P 0m; P + P m 1m 1m P 1m m P m 0 Q m, m O ponto Q está mis próimo de pois <, logo Q < Q. Q 1m Q Q 1 m Q me Q + Q 1 + m 1m, m, m ote que Q Q, pois Q + Q é ponto médio de. Q + Q o no nsino undmentl II 1

2 VOLU 1 GOTRI ( + 1) m 1; m m tividdes Proposts 0 m O ponto está mis próimo de, pois <. P Oserve que P e P 1 m 0 1m, 0m, m O ponto está mis próimo de, pois <. 01 omo s mrções iguis indim segmentos ongruentes, temos. Oserve que e e ) ) 0 m 1 ) d) 1 1 Se os segmentos são proporionis, temos seguinte proporção:.. 1 m 0 ) ; ) m m.m.m R Oservndo figur, temos: ) ) (ltur) RT T S o S (se) 0 1, 0 0m, 0m ividindo equção: + 10 por, temos: + 0 o Oserve que som dos ângulos gudos de um triângulo retângulo é ( ) igul 0º + 0º. 1 T proporção, plimos propriedde d som: 0 + 0me 0m plindo propriedde d som ns proporções, temos: + 0 e 1º 1 º 1 ( ) 1m 1 m, 1 0m 1m 0 m, m, 1m O ponto está mis próimo de, pois < 11. O + 1 1m m e ordo om figur, temos: O m. temos: O +1 m. 0 m, m, m O ponto está mis próimo de, pois <. 1m.m 1m 1m m O m, 0m, 1m O ponto está mis próimo de, pois <. O Se e O é o ponto médio de, 11 ( + ) m, + + m + 1m + ( + ) + + m e m e ordo om figur, temos: O 1 + m. Se, então O O + + ( ) m; 0m 0 1m ergulhndo undo 01 Oserve que +. zendo os desenhos, temos: o no nsino undmentl II

3 VOLU 1 GOTRI 0 Oserve o desenho: ntão: Oserve o desenho: omo e são pontos médios, e. ( ) Oserve que + e + + ntão: Oserve o desenho: omo é ponto médio de e omo é ponto médio de, +. ntão: Oserve o desenho: omo e são pontos médios de e, e. 0 0, ontndo proporção, temos: 0 (Por rzões equivlentes) 1 1 (Por rzões equivlentes) ), ) ontndo s proporções, temos: ) 1 ou ) 1 1 (por rzões equivlentes) 1 0,m, 1m, 1,m, 1m m m 1m 1m m ntão: (Trondo, temos: por e por, temos :) (Somndo mos os memros d equção, temos:) pítulo 01 ontndo proporção, temos: (por rzões equivlentes) Teorem de Tles Testndo seus onheimentos evemos determinr primeiro medid do segmento : m plindo s proporções temos: ; ; Sustituindo, temos:, m 0 1m 1 1 1, m Oserve que: ( + + ) 1m 0 Oserve d trnsversl ntes de montr proporção. +. ( + ) , montndo proporção, temos: + (por rzões equivlentes) + 0, 1 ontndo proporção, temos: 1. 1 (por rzões equivlentes). 1 (por rzões equivlentes) 1 0 m, m, m plindo proporção, temos: 11 z 0m.0m.m o no nsino undmentl II

4 VOLU 1 GOTRI m m plindo s proposições: 0, m 0 0 1m z z 1, m 0 0 ( ) w z 0 m Oserve que z 11 (+) 11 (+) 11 1 m 0 m plindo proporção, temos: 0 m Oserve o desenho: m(por rzões equivlentes) 1 1 m m m n 0m km plindo proporção, temos: km plindo proporção, temos: ) ) 1 tividdes Proposts e ) (por rzões equivlentes). tenção: m, 1m, z m plindo s proporções: 1m; 1m z 0 ( + ) 0 (1 + 1) 0.. m 0,m, 1m, z 1,m, w m Oserve o desenho: e ordo om o desenho e plindo proporção, temos: m (por rzões equivlentes) 0 0 1m, P 0m, PQ m 1m.m m m Oserve que Q.. 1m P.. 0m PQ.. m 0 1, P Q 0m. Podemos onluir, então, que: plindo proporção e oservndo que + : e ),; ) 1; ) ( ) plindo proporção do Teorem de Tles nos triângulos, temos: ) ) ) 1. 1, 1 (por rzões equivlentes) + + ( + ). + + ( ) m, G,m Oservndo o desenho e plindo proporção temos: 0m m m 11m 1m z w 0m m 1m G m m H o no nsino undmentl II

5 VOLU 1 GOTRI 0,m 1m G G G G, m G hmndo ltur d árvore de e plindo o Teorem de Tles, temos: 10, 10, 10, 0,, m,, plindo o Teorem de Tles, temos:, omo é ongruente, G 1 1 G m G ote que G é equilátero, logo G m 0 Oserve o desenho: plindo o Teorem de Tles, temos: omprndo os perímetros, temos: (ividindo mos os memros por ) + Sustituindo n proporção, otemos: ( ). ergulhndo undo ( ) ( )( ) 01 G m 1 +, plindo o Teorem de Tles nos triângulos, temos: Rzão:,,, 1, G G G 1m Logo G 1 + m 0 0 m, L 1 k.k k.k k k k m, 0 m k I 1 k J K L k 1 K K 0 1m Oserve o trpézio io: // // PQ P 1 Seprndo os triângulos, temos: Q Q G H d 1, e são proporionis,. e, isto é,, e são d form k,.k e k, respetivmente. Temos: I. k k k k k k k k G k G k G JK JK 1 JK k k II. nlogmente, enontrmos: JI k; IH k 1 KL k, L k e k III. + G + HK + K k 0 k 0 IV k m L m m,, Q plindo o Teorem de Tles nos triângulos, otemos: ( + ) 1 I + 1 ( + ) II + omprndo I e II, otemos: 1 1 1, 1 m, 1, 1 nlogmente: m Logo, + 1m o no nsino undmentl II

6 VOLU 1 GOTRI pítulo 01, 1 Teorem d issetriz intern plindo o teorem d issetriz intern, temos: + + (Por rzões equivlentes) plindo o teorem d issetriz, temos: S Testndo seus onheimentos 0 0 S (Por rzões equivlentes) 01 plindo o teorem d issetriz intern, temos: ( ) m m. 1 m tividdes Proposts plindo o teorem d issetriz intern, temos: m 0, Oserve que + e. S 1 1 S ( ) e 0 1m, 1m Oserve o desenho: 0 m m, n 1m ote que: m+ n m+ n m n 1 1 n n n n n. ( n) n 1 11n 1 n 1me m 1 m 0 ) 1; ) ) plindo o teorem de Tles nos triângulos, temos: 1 1 ) 1 1 (Por rzões equivlentes) (Por rzões equivlentes) Se o perímetro é m, então + +. Logo e + 0. Oserve que 0. plindo o teorem d issetriz intern, temos: 0 0 ( ) m e 0 1 1m ) ) m Oserve figur: 0 1m, m, m Oserve:.0m 0m S + m.0m. plindo o teorem d issetriz intern, otemos: 0 0 ( ) S S 1 1 e. 1 m o no nsino undmentl II

7 VOLU 1 GOTRI 0 m, 0m, 1m Oserve figur: P e P são hmdos segmentos ditivos. ou podem ssumir o vlor 1. plindo o teorem d issetriz intern, temos: m Se o perímetro é m, então m 1m 0m plindo o teorem d issetriz intern, temos: 1 1 P P 1 m ou (Por rzões equivlentes) 1m 1 0 m e m Oserve figur:. ( ) 1m e 1 m m.m 0 m Oserve figur: 0m 0 m m P plindo o teorem d issetriz intern: ote : 11m (Usndo propriedde d sutrção) plindo o teorem d issetriz intern, temos: ( 0 ) m e 0 0 m m e m Oserve figur: e 1 1 1m e 1m Perímetro m m m 0,m,,m Oserve figur: ote que : + m e m m m plindo o teorem d issetriz intern, temos: plindo o teorem d issetriz intern: ( )... 1, m 1,, m. ( ) m e m ergulhndo undo m ou 1m Oserve o desenho:. G P 1 1 o no nsino undmentl II

8 VOLU 1 GOTRI 0 O entro do írulo é o inentro do. Sejm,, G os pontos de tngêni d irunferêni om os ldos, e, respetivmente. Temos: G.; G ( ; ) 1 1 O entro do írulo insrito é inentro do, donde tirmos issetriz de Â. ntão: // Pelo teorem d issetriz intern, temos: I Pelo teorem de Tles nos triângulos: II Logo de I e II, temos: 1 0 1( 1 ) e º (Trigonometri) Usndo o oneito de que o teto oposto o ângulo de.0º mede metde d hipotenus, temos: e plindo o teorem d issetriz intern, temos: 1 0 1m, 0m ote que: + 1 e 1 plindo o teorem d issetriz intern no triângulo, vem que: z z 0 z 0 z z 0 z z plindo o teorem d issetriz intern no triângulo, vem que: 0 0 I 0. 0 z z 0 0 IS pítulo Z I S Z 0 Teorem de issetriz etern Testndo seus onheimentos 1 Pelo teorem d issetriz intern, temos: Sustituindo, otemos: + ( ) ( 1 ) ( + ) m 0m 01 plindo o teorem d issetriz etern, temos: (Por rzões equivlentes) P P ) 1; ) plindo o teorem d issetriz etern, temos: ) P (Por rzões equivlentes) P 1 + ) ( + 1) P P e 0 Oserve o desenho: plindo o teorem d issetriz etern temos: + ( + ) + o no nsino undmentl II

9 VOLU 1 GOTRI 0 0m Oserve o desenho: ( + ) + + plindo o teorem d issetriz etern, temos: 1 ( + ) m 0 0m Teorem d issetriz intern:. 1m 0 1m tividdes Proposts 01 Sej, de ordo om o Teorem d issetriz etern, temos que P plindo o Teorem d issetriz etern, temos: + Teorem d issetriz intern: m 0 0m, 0m Oserve o desenho: e são segmentos sutrtivos. plindo o teorem d issetriz etern, temos: 1 1 ( 0 + ) me 0m 0 m, m, m Oserve o desenho: 1 0 S 1 Pelo Teorem d issetriz etern, temos: dm 0 zendo,. plindo Teorem d issetriz etern, temos: Teorem d issetriz intern: 1 1 Teorem d issetriz etern: Portnto + m 11, 0 1 m e são segmentos sutrtivos e m. Se o perímetro é 0m, e 1. plindo o teorem d issetriz etern, temos: 1 1 ( 1 ) m 1 m e m 1m 1m S P Oservndo os ddos olodos n figur, e plindo: 1 o ) Teorem d issetriz intern o ) Teorem d issetriz etern: + + e 1 o ) e o ) temos: 1 + S m + o no nsino undmentl II

10 VOLU 1 GOTRI 0 Sej S, e. (Teorem d issetriz intern) + (Teorem d issetriz etern) + os dois Teorems otém-se: + S m. +.m m S pítulo Semelhnç Testndo seus onheimentos 01 1, 1 Oservndo os ldos homólogos epq; eqr; epr, podemos formr um proporção PQ QR PR 0 1 (Por rzões equivlentes) 0 Oservndo propriedde dos perímetros n semelhnç, temos: Permetro í Permetro í 1 Permetro í Perm í etro 01 ergulhndo undo ),m; ),m ) Oservndo propriedde dos perímetros e dos ldos homólogos, temos: Perímetros: e 0 0m e.0m. O menor ldo do triângulo menor:. plindo semelhnç, temos: 1 0 1, m 0 ) Oserve os desenhos: h 0,m Teorem d issetriz intern: Teorem d issetriz etern: 1 os teorems temos que: + 0 ujs rí- 1 zes são e. Se, 1 e 1 serão vlores negtivos. Portnto e rzão 0 1m Oserve figur: 1 1.m 0,m 0m 0, m mesm unidde 0m 0, m semelhnç, montmos proporção: h 0, h h 1 h, m 0, 0 0m Oservndo propriedde dos perímetros n semelhnç, temos: Permetro í 0 0 0m Permetro í 0 00 (Por rzões equivlentes) P. Q P é issetriz intern. Q é issetriz etern. Q 0 1m ior ldo do primeiro triângulo: 1m Perímetro do primeiro triângulo: + 1, + 1 m m (Por rzões equivlentes) Oserve que os ângulos e são ongruentes (prlelogrmo). Seprndo os triângulos, temos n semelhnç seguinte proporção: Pelo teorem d issetriz intern: I Q Pelo teorem d issetriz etern: Q e I e II, temos: Q + ( + ) Q + 1m II o no nsino undmentl II

11 VOLU 1 GOTRI 0 Seprndo os triângulos, temos: Ângulo omum ( ) tividdes Proposts 1 Pel semelhnç, temos:.. 1 (Por rzões equivlentes) 01 0 so L.. L. ~ omum semelhnç ) ; ) 1 ) ) Seprndo os triângulos, temos: 0, 1 + α α ote que  é ângulo omum. ontndo proporção, temos: + ( + ) Oserve os seguintes triângulos semelhntes:. 1 ote que  é ngulo omum. 1 ontndo proporção, temos: hmndo de o ldo do qudrdo, temos: ontndo proporção, temos: ( ~ ) Se oservrmos, temos semelhnç entre três triângulos: ~ ~ ( ) 1, SR ( iguis α) SR~ SR ( omum) SR S 0 1, 1 ( retos) ( omum) S 1 1 ( 1, ) 1 e possuem ldos respetivmente perpendiulres. í: ( retos) ~ , 0 1m Sejm,. ntão: + 0º G + G 0º G + 0º G G~ m Logo, o perímetro do qudrdo é igul 1m R ontdo proporção, temos: ( ) 1 1 G o no nsino undmentl II 11

12 1 VOLU 1 GOTRI 0 ( retos) ~ ( orrespondentes) 0 0m Oserve os triângulos e : 0 Temos que: é o ldo do qudrdo e o diâmetro do írulo. R 0 R 0 ~ 0 R R R R R R R 00 R R 00 R R R )1; ) 0; ) 1 plindo o teorem de Tles nos triângulos, temos: ) ) ) Oserve s perpendiulres trçds dos pontos R e S. Q Os triângulos R, S e P são semelhntes. R R 0 ergulhndo undo S P S P ; Oserve: 1 R R S R 1 S S Áre do triângulo RS S R S Áre RS 1 R P Logo, o omprimento do írulo R é igul.0 0m V(L/min) 0 0 p V Oserve os triângulos e : t(min) ~, log o : min γ.min omo os triângulos são semelhntes, temos: V 0 V L/min 0 ) // lternos ( OP.. V. ) ( ) ~ 0 Oserve os triângulos semelhntes β e β (issetrizes): ) semelhnç do item, temos: 1 β I β II 1 o no nsino undmentl II

13 VOLU 1 GOTRI Temos, nos triângulos I e II, ângulos ordendmente ongruentes, 1 o so de semelhnç, logo: β β β e β 0 Oserve figur: 0 Oserve os triângulos semelhntes m e m (medins): O 1 O O. R Temos os triângulos semelhntes (1º so de semelhnç): m I α r + r R + R ` m` II ` ` α Logo: r+ r ( r+ ) ( R ) ( R + ) ( r) R + R Rr Rr+ Rr R r Temos, nos triângulos I e II, dois homólogos proporionis e os ângulos ompreendidos por esses ldos ongruentes, o so de semelhnç, logo: m e m m m 0 Oserve os triângulos semelhntes h e h (lturs): h I ` h` II ` ` Temos, nos triângulos I e II, dois ângulos ordendmente ongruentes, 1 o so de semelhnç, logo: h e h h h 0 h Rr R + r Pelo ponto tremos, om //. O 1 O ( OP.. V. ) O 1 O ( retos) O 1 ~ O O 1 O 1 O O R R h Rr h r h r R+ r O 1 R h h R r h R O r h o no nsino undmentl II 1