Fisica I 2009/2010 Folha de Actividades para a Aula 03

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1 Questão nº Fisic I 9/ Folh de Actiiddes p Aul 3 ) A fiu most, do ldo esquedo o esultdo de um eificção expeimentl no lbotóio. N emissão de electões pelo núcleo (declínio β) diecção pefeencil de síd é n diecção do obsedo qundo este ê o núcleo i no sentido diecto. Do ldo dieito temos expeiênci ist o espelho. O esultdo dest expeiênci é o mesmo que o do lbotóio? Justifique Ao espelho ê-se o núceo i em sentido nti-diecto ou hoáio; os electões são emitidos no sentido indicdo, o que eltimente o sentido de otção do núcleo (ou o seu spin) é o contáio do que se obse no lbotóio. b) Temos o out expeiênci que no lbotóio está epesentd no ldo de bixo. Um fio conduto pecoido po um coente i sob cção de um cmpo mnético B, tl como indicdo, fic sob cção de um foç F popocionl i B, deslocndo-se p dieit. N expeiênci ist o espelho, em cim, o cmpo mnético tem o sentido contáio (isto poque é poduzido po coentes em cicuito fechdo; no espelho os sentidos de otção inetem-se e potnto tmbém o cmpo mnético). Tendo em tenção o sentido d coente (qul é?) e plicndo expessão dd p foç à expeiênci ist no espelho, obtemos p o deslocmento do conduto um imem o espelho do que se obse no lbotóio? B i F B Ao espelho coente está diiid p cá (como indicdo n fiu zul). Aplicndo o poduto exteno ê-se que foç está diiid p dieit, sendo tmbém o deslocmento nesse sentido, o que coesponde à imem o espelho do deslocmento obsedo no lbotóio. Questão nº Suponh que não conheci expessão d enei ssocid o moimento, ou sej enei cinétic. Sbe que é popocionl à mss e que depende d elocidde,. Tendo em tenção que est tnto pode se positi como neti (p indic o sentido eltimente um ddo efeencil), considei mis poáel enei cinétic se popocionl ou? Poquê A enei cinétic é diectmente poeitáel (tnsfeíel) sob fom de tblho. Ess cpcidde de poduzi tblho é independente do sentido d elocidde. Assim fi (como fz) mis sentido enei cinétic se popocionl.

2 Fisic I 9/ Folh de Actiiddes p Aul 4. Questão nº Comente seuinte publicidde um bebid: Tod Enei.Sem Açúc! Só 8 clois! Est fse le áis intepetções incoects: ) que só há clois ssocids o çúc; b) que enei (sudáel) nd tem e com clois (o que enod); c) tod enei tem de se nlisd fce o sinificdo de 8 clois em elção o que é suposto um dulto inei po di (cim de 5 clois). Questão nº Quis s foms de enei enolids no seuinte sistem bco moto moendo-se elocidde constnte num lo? Infomção dicionl, enei poduzid po unidde de tempo pelo moto depende d elocidde (n elidde p elociddes não muito eleds é poximdmente popocionl /3 ). Temos: ) queim de combustíel no moto, ou sej enei químic (ição ds eneis potencil e cinétic ssocid às moléculs do combustíel e oxiénio); b) enei cinétic d hélice (ou equilente) do bco; c) enei cinétic do bco; d) enei tnsfeid sob fom de clo p áu e, deido à esistênci d áu e os moimentos d hélice (só áu) e do bco (áu e ); enei tnsfeid sob fom de clo p os componentes móeis do moto que fz i hélice, deido o tito ente esss peçs e óleo (ou mss) de lubificção, clo depois tnsfeido p o ou áu).

3 Fisic I 9/ Folh de Actiiddes p Aul 5 Questão : Dus foçs hoizontis dds, em uniddes SI po y 4 F 3i 4 j e F i j 3 estão plicds num objecto. ) Sem fze cálculos di quis ds foçs epesentds no dim podem coesponde F e F. b) Qunto lem s componentes d foç 7 6 esultnte seundo x e y. 8 5 x ) Podem se s foçs 5 e 7, tendendo o sinl ds componentes ( F do 4º qudnte e F do teceio) e o seu tmnho eltio sem fze conts, tendendo só o lo ds componentes F é cec do dobo de F. b) F F + F (3 ) i + ( 4 ) j i 6 j F N F x y 6 N Questão : Nos dims d fiu estão epesentds s foçs hoizontis, com indicção de intensidde em uniddes SI, que em quto situções difeentes ctum sobe um copo de mss iul k. Sbendo que ctum pens ests foçs di: ) em que situção celeção tem componente seundo x b) em que situção celeção tem componente seundo y c) quis são os ectoes celeção p cd um ds situções. I 7 y 3 5 x 4 III y x 4 II 6 y 3 x 4 IV y x 5 4 ) Em I componente seundo x d esultnte ds foçs plicds é iul zeo, pelo que celeção tmbém seá (pel ª lei de Newton); em II, III, e IV celeção tem componente seundo x poque componente seundo x d esultnte ds foçs plicds é difeente de zeo. b) epetindo o ciocínio celeção tem componente seundo y em I, III, IV c) Em uniddes Si temos p I, II, III, IV, espectimente: F / m (5 3 ) i + (7 4) j 3 j F / m (3 ) i + (6 4 ) j i F / m (5 4) i + (6 4 3) j i j F / m (3 5) i + ( ) j i 4 j

4 Fisic I 9/ Folh de Actiiddes p Aul 6 Questão : P st um bloco de 75 k pelo chão, um elocidde constnte, tem de se pux com um foç hoizontl de 5 N. ) Qul é foç de tito execid pelo chão, sbendo que o tito e foç plicd são s únics foçs execids sobe o bloco. b) Qul é foç hoizontl que se tem de exece p o bloco te um celeção de m/s? ) Se o bloco se desloc elocidde constnte, esultnte ds foçs plicds tem de se iul zeo. Assim foç de tito tem de se iul e de sinl contáio à foç plicd; f c 5 N com sentido oposto à foç plicd F b) F m F + fc m F fc m F 5 75 F 4 N Questão Um objecto de k num mes sem tito é sujeito dus foçs uu uu uu hoizontis, F e F, dds po F $ i (N) e o o F ( 3sin 3 )ˆ i (3cos3 ) ˆ + j (N), como se pode e pel fiu. ) Clcule celeção do objecto. F x F 3 y uu b) Um tecei foç é plicd de modo que fic em equilíbio estático. Clcule F 3. ) F m F b) F + F + F F ( F + F ) F ( 5i 6 ) N + F m ( 5) i + 6 j (,5i +,6 j) m/s j

5 Questão Fisic I 9/ Folh de Actiiddes p Aul 7 Um objecto de k está peso po dois fios com o mesmo compimento. Cd um fz um ânulo θ com hoizontl, como most fiu. Clcule tensão dos fios, p θ e θ 6. F As foçs plicds no copo são s epesentds zul sobe fiu. A esultnte ds foçs tem de se iul zeo poque o copo está em equilíbio. Podemos equcion est fimção usndo s componentes ds foçs n hoizontl e n eticl: -T cosθ +T cosθ T T T +T sinθ +T sinθ - m Tsinθ m m T sinθ P θ º esp: T56 N P θ 6º esp: T N Questão Um cix nde, cuj mss é k, está em epouso sobe um plno sem tito. Um cedo pux cix com um foç de 5 N, que tem um diecção que fz um ânulo de 35º com hoizontl, tendo um componente eticl diiid p bixo. ) Qul é celeção d cix o moiment-se no chão? b) Sendo componente eticl d foç diiid p cim, qul sei p os mesmos ddos numéicos celeção d cix? F ) N b) N F F F ) As foçs são s epesentds. Temos usndo s componentes hoizontis e eticis ds mesms: N F F y Fx F cosθ Fx m m m 5cos35º Substituindo em: (m/s ) b) Temos o: N F + Fy se N F y F, o que é o cso* Fx F cosθ Fx m o que le o mesmo lo: (m/s ) m m * No cso contáio, cix deixi de est em contcto com o chão e existii um componente eticl d celeção dd po (F y -F )/m que tei de se consided tmbém.. θ T θ T

6 Questão Fisic I 9/ Folh de Actiiddes p Aul 8 Um ptícul desloc-se no plno xy com celeção constnte. No instnte zeo, ( ) ( ) ptícul está n posição x 4m, y 3m e tem elocidde m / s i + 9 m / s j. ( ) ( ) + A celeção é dd po 4 m / s i 3 m / s j. ) Detemine elocidde no instnte t s. b) Qul posição em t 4s? Indique intensidde e diecção do ecto posição. ) Com celeção constnte temos: i + j + t i + + x y ( ) ( t) ( m/s) ( m/s) x x y y j x + y ( t s) ( + 8) i + ( 9 + 6) j) ( t s) (i 3 j) m/s m/s x x y y j ( t 4s) i j (44i 9 j) b) x + t + t i + y + t + t ( m/s) ( ) ( ) m x + y 45m ; ânulo α com o eixo dos x: cosα 44/45 α Questão Um pojéctil é dispdo com um elocidde inicil de 53 m/s d ltu do sólo. Detemine o ânulo que o ecto elocidde inicil fz com o plno hoizontl, sbendo que ltu máxim do pojéctil é iul o seu lcnce hoizontl. P um mio elocidde inicil o ânulo sei mio ou mis pequeno? h mx y sin θ sin x y θ L t θ 4 θ 76º, independente d elocidde inicil..

7 Questão Fisic I 9/ Folh de Actiiddes p Aul 9 Um pz fz i um bol de,5 k, pes um fio, fzendo um cículo hoizontl de io,8 m. Qunts otções po minuto dee fze bol p que su celeção centípet sej? Qunto le tensão no fio? c f T π π π f,55 ot/s 33 ot/min c T y T T x θ F N fiu estão epesentds zul s foçs plicds e emelho s componentes d tensão seundo hoizontl e eticl. Aplicndo ª lei de Newton p cd um desss diecções, temos: T F T cosθ m y tn θ Tx mc T sinθ m Vemos que o cso de fio hoizontl, θ π/, é um limite p elocidde muito eled. Po outo ldo, com os ddos do poblem temos tn θ, pelo que θ é iul 45º. E temos, elendo s dus equções ns componentes de T o quddo e somndo, T m + c m 6,9 N Questão Um homem pux um cix de 4 k o lono de um plno sem tito. A cix inicilmente está em epouso. Ele inicilmente pux cix suemente e dulmente i umentndo foç execid, que i com o tempo tés d equção: F 8t(N). Pssdos 3 s, ele pá de pux cix. A foç é sempe execid n mesm diecção. ) Qul é elocidde d cix pssdos os 3s? b) Qul foi distânci que cix ndou, enqunto o homem pux, dunte os 3 s? ) Aplicndo seund lei de Newton à diecção hoizontl, temos: 8t t 8t + m dt (t3),5 m/s m 3 8t t 8t b) x x + m dt x x(t3),5 m 6m.

8 Questão Fisic I 9/ Folh de Actiiddes p Aul Um mulhe, com um pcote de k, pendudo po um fio que pode supot um tensão de 5 N, ent num eledo. Qundo o eledo começ subi, o fio quebse. Qul foi, no mínimo, celeção do eledo? Qul o lo d foç fictíci, F, que mulhe tei de supo p, no seu efeencil, explic o sucedido. (esumid) As foçs plicds no pcote são o seu peso (ou foç ític) e tensão no fio. Considendo positio o sentido p cim, que é tmbém o d celeção, temos: T m T m m 5, (m/s ) m No efeencil d mulhe o pcote está pdo. A mulhe sbe que o seu peso é de 98 N e que o fio se pte. Loo tensão lém de compens o peso tem de compens um foç dicionl diiid p bixo tl que: T m F' Compndo com expessão cim F m F 5 N Questão Um ião o com um elocidde de 5 km/h, eltimente o. Ao mesmo tempo, o ento sop 8 km/h n diecção nodeste, isto é, 45º leste d diecção note. ) Qul dee se diecção do ião p que se desloque p o note? b) Qul é elocidde do ião em elção o solo? ) Sej S As elocidde do ião em elção o solo que se petende que sej oientd p Note, sej s elocidde do em elção o solo, ou sej elocidde do ento, sej A elocidde do ião em elção o que em módulo é iul 5 km/h, temos então: As A + s A elocidde do ião em elção o solo que é iul à som dos outos dois ectoes não tem componente n linh EW; ssim chmndo x à diecção EW, temos: A x s x 5 sen θ 8 sen 45º θ 3º, no-nooeste b) As 5º cos 3 º + 8 cos 45º 3 km/h som ds componentes seundo y (NS) dos outos dois ectoes. W A θ N As s E

9 Fisic I 9/ Folh de Actiiddes p Aul Questão Um bloco de mss m, k está em epouso sobe um cix de mss M, k, como most fiu. Um foç F é plicd sobe cix e est desliz sobe um supefície sem tito. Se o coeficiente de tito estático ente cix e o bloco fo µ s.5 detemine o lo máximo de F p que o bloco não deslize. f ' m M f F Ao pux cix p dieit eltimente o bloco (em cim) pece um foç de tito que ctu sobe cix f ',opondo-se o moimento; po cção-ecção pece sobe o bloco um foç iul em intensidde ms de sinl contáio f. Então: Bloco f m Cix F-f M F(M+m) F/f (M+m)/m f µ s N f µ s m F (M+m) µ s Vlo máximo 4,7 5 N A ecção N é que ctu sobe o bloco, sendo iul em intensidde o peso do mesmo (isto não he moimento n eticl). Questão Um bloco, sobe um supefície hoizontl sem tito, desloc-se p esqued, sob cção ds tês foçs epesentds. P um pecuso de 3, m, detemine: ) o tblho elizdo pelo conjunto ds foçs; b) ição d enei cinétic do copo. Est é neti ou positi? Comente. Ddos: F 5, N; F 9, N; F 3 3, N F 6 F 3 F ) Como s foçs são constntes o tblho em iul o poduto inteno d foç pelo deslocmento, sendo positio qundo foç tem o sentido do deslocmento e netio em cso contáio. Assim W F d-f cos6 d 5x3-4,5 x 3 (5-4,5) x 3,5 J b) Pelo teoem de tblho-enei cinétic, o tblho d foç esultnte é iul à ição d enei cinétic. E c,5 J, poque o peso e noml não elizm tblho; é positi, já que o tblho esultnte é positio, o que implic tnsfeênci de enei p o sistem..

10 Questão Fisic I 9/ Folh de Actiiddes p Aul Um bol de chumbo de k está suspens dum cod de 5, m, de mss despezáel, fix no ponto O. A bol é ld sem elocidde inicil d posição indicd A, em que difeenç de níel eticl em elção à situção B, é de, m. A cod pte-se se tensão excede 3 N. B O θ P t T A Pn, m P ) Onde é que tensão tem o máximo lo? b) Qul é o lo máximo d elocidde que bol pode lcnç, p cod não pti? b) A cod pte? Justifique espost. ) Em qulque ponto d tjectói, um ânulo θ bitáio, s foçs que ctum n bol (peso e tensão) estão epesentds zul e s componentes noml e tnencil do peso emelho. Podemos escee seuinte equção (po plicção d ª lei de Newton) p noml: T P cosθ mn m T m + P cosθ em que l é o compimento d l l cod. Po consideções de conseção de enei, elocidde seá máxim, qundo bol está à ltu mínim possíel, isto é qundo cod está n eticl; p ess posição o temo Pcosθ tem o lo máximo iul P, pelo que T iá te o lo máximo possíel. b) Usndo expessão nteio p θ e T 3 N, em m l lt 5 T P cosθ l 5 5 5m/s m c) Usndo conseção de enei mecânic p s condições dds, em: m mh h 4,5 m/s pelo que cod não pte.. Questão Um lnçdo de bols de um máquin de joos, como se most n fiu, tem um mol com um constnte de foç. N/cm. A supefície em que bol se moe tem um inclinção de º em elção à hoizontl. Se mol está inicilmente compimid de 5. cm, detemine elocidde de lnçmento de um bol de qundo o lnçdo é solto. Despeze o tito e mss d mol.

11 Fisic I 9/ Folh de Actiiddes p Aul Considendo enei potencil ític iul zeo no ponto de equilíbio d mol, em que enei potencil elástic é nul tmbém, temos p o instnte inicil U mxsin, sendo x compessão inicil d mol, e enei potencil elástic (cumuld n mol) é U el /kx. A enei cinétic n posição inicil é nul. No ponto de lnçmento, ponto de equilíbio d mol, só há enei cinétic. Consequentemente, s expessões p enei mecânic, inicil e finl, são: Aplicndo conseção d enei mecânic,.

12 Questão Fisic I 9/ Folh de Actiiddes p Aul 3 Um ptícul pode desliz o lono de um pist com s extemiddes eleds e um pte centl pln de compimento L como se most n fiu. Não há tito ns ptes cus ms, n pte pln, o coeficiente de tito cinético é,5. A ptícul é bndond sem elocidde inicil no ponto A, um ltu h o L/. Em que ponto d pte pln iá p ptícul? h o A L A ição d enei mecânic é iul o tblho feito pel foç de tito. E i mh E f já que enei cinétic inicil é nul poque enei cinétic finl tmbém é nul e escolhemos o níel que ptícul pá como o níel zeo p enei potencil ític. Temos então: -m h -f c d e d nl+x, sendo d distânci totl pecoid pel ptícul n pte pln té p, n um númeo inteio e x < L. Neste cso o tblho é iul o simético do poduto d foç de tito pel distânci pecoid, poque foç é constnte, com mesm diecção do deslocmento e sempe com sentido oposto. m h f c (nl+x) m L/ µ c m(nl+x) L µ c (nl+x) L/( µ c ) nl x 3,33 L nl x n 3 e x,33 L, distânci contd pti do ldo dieito d pte pln.. Questão O copo epesentdo seue tjectói cu, pssndo de um níel p outo mis eledo. Em todo o pecuso cuo seue sem tito. No níel mis lto ent num tjecto ectilíneo de tito cinético iul,4 ( isco osso) e pá o fim de um distânci pecoid iul d. Considee 6, m/s, h, m. Fç m/s. ) Detemine d. b) Detemine celeção no toço com tito. c) Detemine o tempo sto nest pte do tjecto. µ h d µ,4

13 Fisic I 9/ Folh de Actiiddes p Aul 3 ) A ição d enei mecânic é iul o tblho d foç de tito. Considendo p enei potencil ític o níel zeo, como o níel de que pte o copo, temos: E W 6 8d t µ mh m fcd h c d d, m b) f c /m µ 4, m/s com sentido netio c) t, em que é eloci dde inicil no tjecto com tito, que se pode clcul po conseção de enei m mh + m ' h + ' ' 4, m/s 4 4t t,s.

14 Questão Fisic I 9/ Folh de Actiiddes p Aul 4 Um bloco de, k, foi empudo de modo compimi 5 cm um mol idel, hoizontl, de constnte iul N/m. O sistem mol-bloco está em cim de um mes. Libetdo n posição cim indicd, o bloco, tido pel mol, desliz sobe mes té p um distânci de 75 cm d posição inicil. Qul é o coeficiente de tito cinético ente o bloco e mes. Qunt enei se pedeu sob fom de enei témic? ) Sbendo que: i) ição d enei mecânic é iul o tblho d foç de tito; ii) n situção finl enei mecânic é nul, poque mbs s eneis, potencil e cinétic, são nuls e no início enei mecânic é iul à enei potencil elástic d mol compimid; iii) o tblho d foç de tito, sendo est constnte e opost o deslocmento é netio e em lo iul o poduto d foç pel distânci pecoid; temos: - (/)kx - f c d (/)kx µ c Pd µ c,5 b) Foi pedid tod enei potencil mzend n mol compimid, ou sej: (/)kx,5 J. Questão Um cix de k é puxd o lono de um supefície po um moto. O coeficiente de tito cinético ente cix e supefície é.4. ) Qul é potênci fonecid pelo moto p moe cix 5. m/s? b) Qul o tblho elizdo pelo moto dunte 3. min? ) O módulo d foç de tito é f c µ c P.4 k m/ s 8. N. Vmos supo que celeção d cix é nul. Como foç do moto e foç de tito têm mesm diecção ms sentidos opostos, o módulo d foç do moto esult de F f c F 8. N O tblho dest foç dunte um seundo ( potênci do moto) é P 8. N 5.m/ s 4. 3 J/ s 4. 3 W b) W P t 4. 3 W 8 s 7. 5 J..

15 Questão Fisic I 9/ Folh de Actiiddes p Aul 4 Um bloco de, k, foi empudo de modo compimi 5 cm um mol idel, hoizontl, de constnte iul N/m. O sistem mol-bloco está em cim de um mes. Libetdo n posição cim indicd, o bloco, tido pel mol, desliz sobe mes té p um distânci de 75 cm d posição inicil. Qul é o coeficiente de tito cinético ente o bloco e mes. Qunt enei se pedeu sob fom de enei témic? ) Sbendo que: i) ição d enei mecânic é iul o tblho d foç de tito; ii) n situção finl enei mecânic é nul, poque mbs s eneis, potencil e cinétic, são nuls e no início enei mecânic é iul à enei potencil elástic d mol compimid; iii) o tblho d foç de tito, sendo est constnte e opost o deslocmento é netio e em lo iul o poduto d foç pel distânci pecoid; temos: - (/)kx - f c d (/)kx µ c Pd µ c,5 b) Foi pedid tod enei potencil mzend n mol compimid, ou sej: (/)kx,5 J. Questão Um cix de k é puxd o lono de um supefície po um moto. O coeficiente de tito cinético ente cix e supefície é.4. ) Qul é potênci fonecid pelo moto p moe cix 5. m/s? b) Qul o tblho elizdo pelo moto dunte 3. min? ) O módulo d foç de tito é f c µ c P.4 k m/ s 8. N. Vmos supo que celeção d cix é nul. Como foç do moto e foç de tito têm mesm diecção ms sentidos opostos, o módulo d foç do moto esult de F f c F 8. N O tblho dest foç dunte um seundo ( potênci do moto) é P 8. N 5.m/ s 4. 3 J/ s 4. 3 W b) W P t 4. 3 W 8 s 7. 5 J.

16 Questão 3 Fisic I 9/ Folh de Actiiddes p Aul 4 Um bloco de 5 de mss é ldo eticlmente de enconto um mol de constnte elástic k,5 Ncm -, tl como se most n fiu seuinte. Após o bloco fic em contcto com mol, est sofe um compessão de cm. ) De que ltu medid pti d extemidde supeio d mol (não-compimid) é que ci o bloco? b) Qul é o lo d elocidde do bloco no instnte em que toc n mol. h ) Pode se usdo o pincípio de conseção de enei cm plicdo às situções inicil e finl epesentds. N inicil, com o copo em epouso, só há enei potencil ític; n finl com o copo de noo em epouso só há enei potencil elástic (tomndo est posição como o níel zeo d enei potencil ític). Então: inicil finl Ei E f m( h +,) kx,5 9,8( h +,),5 5,,45h,8,94 h,6 m b) O ciocínio é o mesmo. Tomndo como inicil mesm situção d líne ) e finl situção em que o bloco toc n mol depois de te descido ltu h (í só tem enei cinétic, já que potencil ític se pode conside nul e potencil elástic é tmbém nul, poque mol não está compimid), em: Ei E f mh m 9,8,6,5 3,5 m/s

17 Questão Fisic I 9/ Folh de Actiiddes p Aul 5 Um ptícul de mss iul,x - k tem um moimento hmónico simples de peíodo iul,x -5 s e tem um elocidde máxim de,x 3 m/s. ) Qul é fequênci nul do moimento? b) Qul é mplitude do moimento? ) π ω π 5 d/s T, 3 b) ωasin( ω t + φ) mx ωa A,59 m 5 π. Questão Um copo que desliz sem tito peso um mol de constnte iul 4 N/m, tem num ddo instnte t os loes seuintes p su posição (medid pti d posição de equilíbio), elocidde e celeção: x, m; -3,6 m/s ; -3 m/s. Detemine: ) fequênci de oscilção; b) mss do bloco; c) mplitude do moimento. x Acos( ω t + φ) ωasin( ω t + φ) ω Acos( ω t + φ) ω x ω ω 35, d/s x ω f 5,58 Hz π 3 b) k ω x ω m x m 4 3,35 k x A cos ( ω t + φ) c) ω A sin ( ω t + φ) x + / ω A A, +,5,4 m.

18 Questão Fisic I 9/ Folh de Actiiddes p Aul 6 Um pêndulo simples de compimento l, é ldo em epouso um ânulo θ com eticl. ) Assumindo que o seu moimento consequente é hmónico simples, detemine (em temos de l, e θ ) su elocidde p θ ; b) Ptindo do pincípio de conseção de enei mecânic, detemine (em temos de l, e θ ) su elocidde p θ e moste que expessão encontd em ) é equilente à de b) se θ fo um ânulo pequeno, o que implic cosθ θ ; c) clcule difeenç ente os esultdos de ) e b) p l, m e θ, d e p l, m e θ, d e comente; fç m/s. ) ω ; θ θ m cos( ω t + φ) ; p s condições iniciis dds em l dθ θ θ cos( ω t) l lωθ sin( ω t) p θ cos( ω t) e dt sin( ω t) l ωθ lθ b) Chmndo h à ltu de que o copo pte el pode se dd po h l l cosθ ; plicndo o pincípio de conseção de enei mecânic, em m mh h l( cosθ ) expessão exct; p pequenos ânulos cosθ θ nteio., então c) P θ, d (θ,5 ) l ( θ ) lθ iul à expessão lθ,4m /s e l( cosθ ),398 m /s P θ, d (θ 57 ) lθ,m /s e l( cosθ ),9m A pimei situção coesponde um ânulo pequeno (o fstmento ente os dois esultdos é de 5 em mil, em el bixo d pecisão com que se conseue medi; no seundo cso já há um fstmento de 8% em, de 4% em. /s Questão Um copo de, k desliz peso um mol de constnte iul 4 N/m, tendo um mplitude inicil de 3, cm. A su enei mecânic decesce % po peíodo (ntul).

19 Fisic I 9/ Folh de Actiiddes p Aul 6 Detemine: ) enei mecânic inicil; b) constnte de motecimento b; c) fequênci de oscilção. ) E ka (,3),8J b b b) E ka k[ A exp( t)] E exp( t) m m p t T π/ω, em E b π E b m exp( ) ln( ) π ln(,99), b b,45 k/s E m ω E m k c) ω b k b 4 ω ( ) ( ),65 4d/s m m m (ω 4 d/s).

20 Questão Fisic I 9/ Folh de Actiiddes p Aul 7 Tês bols A, B e C com msss iuis 3 k, k e k, espectimente, ocupm num ddo momento s posições no plno XY: (,); (,3); e (4,), espectimente, sendo s coodends dds em meto. ) Clcule o cento de mss do sistem. Sbendo que s sus elociddes em m/s são no mesmo momento, 3 i + j ; i j ; i + 4 j, detemine elocidde do cento de mss. A mi i i ) CM [ 3 (i + j) + ( i + 3 j) + 4i ] (i + j) m m 6 i i mii i b) [ 3 (3i + j) + (i j) + ( i + 4 j) ] (i + j) m/s CM Questão i m i 6 Considee o sistem de ptículs, e, de msss iuis k e k, espectimente, tis que: ptícul tem elocidde constnte, dd em m/s po i j, ptícul tem celeção constnte, dd em m/s po 4 j. No instnte inicil mbs s ptículs estão n posição (,) e ptícul tem um elocidde inicil, dd em m/s po i. Detemine p o instnte t s, elocidde do cento de mss e posição do cento de mss. i j e i + 4t j P t s i + 8 j mii i CM [(i j) + (i + 8 j) ] (i + 5 j) m/s m 3 i i t i t j e t i + t j P t s 4i j e 4i + 8 j mi i 4 i CM [(4i j) + (4i + 8 j) ] (4i + j) m/s m 3 3 i i Podi se eduzido um poblem de cinemátic de ptícul únic, o cento de mss, p o qul se deduzii elocidde inicil ( CM i (/ 3) j ), posição inicil (,) e celeção F CM 8 j : CM CM + CM t m 3 3 CM i CM i t + CM t B C

21 Fisic I 9/ Folh de Actiiddes p Aul 8 Questão. Um bl de 3, é dispd cont dois blocos de mdei em epouso sobe um mes polid (n qul eles se podem moe com tito despezáel). A bl pss tés do pimeio bloco, de, k de, m/s mss, e incust-se no seundo, que tem,8 k de mss. Os blocos ficm com elociddes iuis, e,6 m/s, espectimente. Despezndo mss emoid do pimeio bloco detemine: ) elocidde com que bl si do pimeio bloco; b) elocidde inicil d bl. c) A colisão d bl com o pimeio bloco é elástic? Justifique.,6 m/s ) N intecção bl-bloco há conseção do momento line (despezndo o efeito d idde sobe bl, o que está explícito n fiu d tjectói d mesm) A elocidde com que bl si do pimeio bloco é elocidde inicil com que intectu com o seundo bloco. Então, tendo em cont os sentidos ds elociddes, usndo o índice b p bl e p o seundo bloco m m + m ),3,83,6 36 m/s b b ( b f b b b) Considendo colisão com o pimeio bloco, temos mb mbb + m,3,3 36+, 76m/s c) P colisão se elástic é peciso he conseção d enei cinétic. Eci mb, J Ecf mbb + m,3 36 +,6 96 J A enei cinétic finl é infeio à inicil, pelo que colisão não é elástic. Questão Um bol de 6 é lnçd com um elocidde de m/s n pependicul cont um pede, indo em seuid no sentido oposto 8, m/s. ) Qul o impulso (lo, diecção e sentido) tnsmitido à pede? Admitindo que intecção ente bol e pede se dá num intelo de tempo de 3, ms, qul é foç médi (lo, diecção e sentido) execid pel bol sobe pede? c) A bol é de seuid pnhd pel mão do jodo que pá. Neste pocesso, no qul se pode conside que foç execid pelo jodo é constnte, su mão ecu 5, cm. Qul é o impulso (lo, diecção e sentido) ecebido pelo jodo? d) Qul é foç (lo, diecção e sentido) execid sobe o jodo pel bol. N esolução dest questão despeze o efeito d idde sobe bol. ) Conside-se inicilmente o sistem bol-pede. Despezndo idde, i he conseção do momento line do sistem. Considendo o eixo X como pependicul à pede, sendo o sentido positio o do moimento inicil d bol:

22 Fisic I 9/ Folh de Actiiddes p Aul 8 pi,6 i,6i km/s p f,6 8i + p pede J p,8i km/s pede p pede (,6 +,48) i km/s b) J F t,8i F,3 F 36i N c) Conside-se o sistem bol-jodo. Despezndo idde, i he conseção do momento line do sistem. pi,6 8i,48i km/s p jodo,48i km/s p f + p jodo J p,48i km/s jodo d) Com foç constnte celeção d bol é constnte. Assim: t 64 x p x 64 m/s t t, F m,6 64 m/s 384 N Tendo em tenção que celeção, opost à elocidde, tem o sentido positio, foç execid pelo jodo sobe bol pode escee-se: 384i N A foç execid pel bol sobe o jodo (po cção-ecção) é opost est: 384i N F bj F jb

23 Questão Fisic I 9/ Folh de Actiiddes p Aul 9 Um disco de cm de io od em tono do seu cento, n hoizontl, com um celeção nul de 8, d/s. ) Sbendo que no instnte inicil est em epouso, qul é su elocidde nul p t 5, s? b) Qunto lem su celeção tnencil e centípet no mesmo instnte? Qunto le elocidde de um ponto do disco 5, cm do cento do mesmo? ) ω ω + α t ω 8t ω( t 5) 4d/s b) t α t c ω c 8,,96 m/s 6, 9 m/s c) ω ' 4,5, m/s. Questão Um disco de 5 cm de io od um elocidde nul de 6πd/s. Num ddo instnte é-lhe plicdo n peifei um tão, que lhe impime um celeção tnencil, que conti o moimento, com o lo de π/ m/s. Qunto tempo demo o disco p e qunts olts dá nesse tempo? π α t α d/s 5 π ω ω α t 6π t t 3s 5 π 9π θ ω t α t θ 8π 9 θ 9π d nº deolts 45 π.

24 Questão Fisic I 9/ Folh de Actiiddes p Aul Um copo de mss m está lido um fio idel po su ez enoldo em tono de um oldn com io e momento de inéci eltimente o seu eixo iul I. O eixo d oldn está fixo. O copo desliz num supefície hoizontl com um coeficiente de tito cinético iul µ. Aplic-se foç F tl como indicdo n fiu. ) epesente s foçs plicds no copo e n oldn. b) Detemine o momento ds foçs plicds n oldn eltimente o seu cento de mss (só s expessões, sem cálculo numéico). Esce seund lei de Newton p otção d oldn. c) Esce seund lei de Newton p tnslção do copo. Detemine celeção nul d oldn. d) Qunts olts dá oldn em s? Use os seuintes ddos:, m; I,8 km ; m, k; µ,; F 3, N. Fç m/s. ) N N T T F P F P A zul s foçs plicds n oldn e emelho s plicds no copo. TT. b) O peso e ecção noml do poio do eixo têm momento nulo eltimente o cento de mss d oldn, já que n expessão do momento τ P, o ecto efeente o peso é nulo, poque o peso está plicdo no ponto de efeênci do momento (neste cso o CM); em elção à ecção noml, o ecto é plelo, pelo que o momento tmbém é nulo. Sob pens o momento d tensão: τ T τ τ T pependicul o plno d fiu e diiido no sentido oposto o obsedo τ I α τ Iα T Iα c) T + F + N + P + F m F F T m e P N F F T m F µ N T mα T Iα T Iα / 3 (,8/, +,4) α α,5 d/s F µ N ( I / + m) α d) Sendo elocidde inicil nul pode escee-se θ,65t nº de olts θ /π olts θ,65 6,5 d θ αt

25 Questão Fisic I 9/ Folh de Actiiddes p Aul Um foç constnte, hoizontl, de N, é plicd à od epesentd, que tem k de mss e,3 m de io. A N od ol (sem desliz) sobe supefície hoizontl sendo celeção do seu cento de mss iul,6 m/s. ) Qunto le e qul é diecção d foç de tito que ctu n od? b) Qunto le o momento de inéci d od efeido o eixo de otção que pss pelo seu cento de mss (use s leis d dinâmic e do olmento)? c) Qul é enei cinétic d od pós, s, supondo que no instnte t od est em epouso. ) Como od nç p dieit com elocidde cescente, tem de od elocidde nul cescente no sentido hoáio. Loo celeção nul e esultnte dos momentos ds foçs eltios o cento de mss têm de pont pependiculmente à fiu no sentido oposto o obsedo ( τ I α ). Como o peso, noml e foç plicd têm momentos nulos eltios o cento de mss, celeção nul tem de se poidencid pelo tito. Então tendo em cont definição de momento de foç τ F, eltio o CM, em que é um ecto diiido do cento de mss p o ponto de plicção d foç, foç de tito tem sentido oposto o d foç epesentd. Po outo ldo, se n hoizontl só ctusse foç epesentd o copo tei um celeção do cento de mss iul /, m/s. Como celeção é infeio est, isto most que foç de tito tem um sentido contáio à foç plicd. Qunto o lo podemos escee então F F m F 6 F 4, N CM b) D elção dinâmic p otção em tono de um eixo e d elção ente cm e celeção nul p o cso do olmento puo, temos τ F τ F F Iα F I CM,6,3 4, I I,6 km,3 c) A enei cinétic seá dd po CM CM E c mcm + Iω 5CM +,3 5,3 8,33 CM + com CM efeido o instnte t,s, que se pode clcul de: Cte + t CM CM CM,6,, m/s CM CM E 8,33 c CM J. CM

26 Fisic I 9/ Folh de Actiiddes p Aul Questão Um oldn de, k de mss e,4 m de io, pode od (sem tito) em tono de um eixo pependicul à fiu pssndo pelo seu cento. Um cod idel, sem mss, está enold em tono d peifei d oldn e sustent um copo de 3, k de mss. No instnte inicil, qundo o copo é ldo, o sistem está em epouso. ) epesente s foçs que ctum no copo e n oldn. b) Detemine celeção do copo suspenso. Detemine tensão n cod. c) Qul elocidde que o copo tine pós um descid de,4 m? d) Qul é elocidde nul d oldn no instnte efeido em d)? N P T T : ) As foçs estão epesentds n fiu. b) P o copo suspenso temos: P + T m P T m P oldn, como o seu peso e noml têm momento nulo eltimente o cento de mss temos: τ Iα T m α T t m T isto que celeção tnencil dos pontos n peifei d oldn é iul à celeção do copo suspenso. Substituindo T n expessão do copo obtemos m 3 m T T m m 8,6 m / m + m / 3 +,5 m mm m + m / m,5 8,6 4,3 N 4,3 N ou c) Po cinemátic, nlisndo o moimento do copo suspenso, unidimensionl, o lono do eixo dos Y oientdo p bixo, ptindo do ponto y, com elocidde inicil iul zeo, em: C y te y,4 m t y t 7,,4 6,85,6 m / s ALTENATIVAMENTE, p se esolido po consideções de tblho e enei, usndo po exemplo o copo suspenso, e peciso não esquece que Tensão tmbém eliz tblho. P o copo suspenso, o tblho d esultnte ds foçs que ctum sobe ele é iul à ição d su enei cinétic. A esultnte é um foç constnte diiid p bixo iul : F P T 3 4,3 5, 7 N Sendo constnte e diiid o lono do eixo dos Y o tblho que eliz num deslocmento y le: W F y s m P

27 Fisic I 9/ Folh de Actiiddes p Aul P o deslocmento de,4 m tendendo que o copo pte do epouso temos F y m 5,7,4,5,6 m / s Podei ind se esolido po conseção d enei mecânic, não esquecendo oldn. A enei mecânic inicil é iul à potencil ític do copo suspenso; finl é iul à som ds eneis cinétics do copo e d oldn: m h m + Iω mh m + m ω mh m + m 4 4 Qundo o copo suspenso tem elocidde, tmbém os pontos d peifei d oldn têm ess elocidde, pelo que oldn teá um elocidde nul dd po /. Assim m h m + m 3,4,5 +,5,6 m/s 4,6 d) ω ω 6,5 d / s,4 ALTENATIVAMENTE, p oldn, que está tmbém inicilmente em epouso: α C te ω αt ω t ω 6,5 d / s Questão A um bol de bowlin de io é dd um elocidde e um elocidde nul inicil ω 3 /. O coeficiente de tito cinético ente bol e pist é µ c. ) Qul é elocidde d bol qundo começ ol sem desliz? b) Dunte qunto tempo é que bol desliz ntes de ent em olmento puo? c) Que distânci pecoe nesse tempo? : A elocidde nul inicil é mis eled do que que coesponde o olmento. O tito ctu no sentido de cele o moimento de tnslção (já que o ponto de contcto i tende desliz p tás) e descele o de otção. Considendo foç de tito constnte e, potnto, tmbém celeção, em p tnslção f m f m µ N m µ m m c c c c µ c + t + µ c t (eq.) O momento d foç de tito eltimente o cento d bol le τ f τ µ N τ m e τ Iα em que c c µ c I m, indo 5 µ c m α µ cm α e µ ω ω t ω ω c t (eq )

28 Fisic I 9/ Folh de Actiiddes p Aul Qundo se inici o olmento puo ω, pelo que clculndo o tempo pel eq e substituindo n eq, tendo em cont que ω e / 3 ω, em ) ( c c + µ µ ω b) D eq. em t µ c. Usndo o esultdo nteio em t µ c 7 4 c) A distânci pode se clculd po cinemátic: x t t x t t x c c c c c µ µ µ µ µ 73,

29 Questão Fisic I 9/ Folh de Actiiddes p Aul Um íid, de mss despezáel, tem dus esfes lids às sus extemiddes (e fiu). As esfes, mbs com io 5 cm, têm msss m 3 e m e os seus centos de mss distm d 4 cm. Este sistem, inicilmente n eticl, está sujeito pens à cção d idde e pode od liemente em tono do ponto médio d que está fixo. Um bl de e que se pode conside pontul, tine, com elocidde iul 4 m/s, esfe m onde fic incustd. ) Considee que o pocesso de incustção é instntâneo. Detemine o ecto (diecção, sentido e intensidde) momento nul totl do sistem em elção à oiem do efeencil, imeditmente depois d bl fic incustd n esfe. b) Tendo em cont que o momento de inéci do sistem -esfes-bl não difee sinifictimente do momento de inéci do sistem -esfes, clcule elocidde nul do sistem e elocidde line do cento de mss de cd um ds esfes no instnte que se efee líne nteio. m y m y m x θ m x Antes d bl tini esfe Depois d bl tini esfe ) Como o pocesso de incustção é instntâneo o momento nul do sistem imeditmente depois d incustção d bl é iul o momento nul d bl no instnte d incustção. Clculdo eltimente à oiem do efeencil ele é: diecção : pependicul o plno xy (plno d folh) Lb mb sentido : "p cá" d folh o intensidde : m sen(9 ) b onde é o ecto posicionl do ponto de incustção (e fiu). d 4 Lb mb 4 8, km s b) A elocidde nul do sistem num ddo instnte elcion-se com o momento nul nesse instnte tés de L I ω, onde I é o momento de inéci do sistem eltimente o eixo de otção, isto é, o eixo com diecção de L e que pss n oiem do sistem de efeênci d fiu. O momento de inéci do sistem -esfes clculdo eltimente este eixo é: d I m + m + m + m d 5 5 Cd um dos temos ente pêntesis ectos é o momento de inéci deido cd um ds esfes eltimente o eixo de otção clculdo usndo o teoem dos eixos plelos.

30 Fisic I 9/ Folh de Actiiddes p Aul d 3 I ( m + m ) + 5 ( + 4 ),5 km 5 Petendemos clcul elocidde nul no instnte em que L Lb (clculdo n líne nteio). Temos, potnto: L 8, ω b ω 4ds I,5 A diecção e o sentido são os mesmos que de L b Como os centos de mss ds esfes estão nesse instnte inici moimentos cicules de io d/ com elocidde nul 4 d s -, su elocidde line é d CM ω 4,,8 m/s Questão P o mesmo sistem d questão, pti d elção ente ição do momento nul e o momento ds foçs exteioes que ctum no sistem (tenh em cont fiu), obtenh expessão p celeção do sistem pós incustção d bl: d θ dt (m m ) sinθ d (m + m ) Comente seuinte fimção efeindo-se à elção ente o momento ds foçs exteioes e elocidde nul: Se m m o sistem odá com elocidde nul constnte. O momento nul totl do sistem eltimente à oiem do efeencil é : L L + L m + m d d dθ d d dθ L m ez m e z e L m ez m ez dt dt Tl como n líne b) foi usd elção ente elocidde line e elocidde nul p cd d d dθ um ds ptículs, ω. O eso tem diecção pependicul o plno do moimento dt (xy) e pont p cá d folh. d dθ dl d d θ L L + L ( m + m ) ez ( m + m ) e z () 4 dt dt 4 dt O momento esultnte dos momentos ds foçs exteioes plicds um sistem, clculdo eltimente um ponto é esponsáel pel ição do momento nul totl do sistem em elção dl esse ponto: τ () dt As foçs exteioes plicds o sistem em estudo que têm momento eltimente à oiem são s foçs ítics que ctum ns ptículs e, espectimente P e P. Os seus momentos são: d d τ P m sen( θ ) e z e τ P m sen( θ ) ez d τ τ + τ sen( θ ) ( m m ) e z (3)

31 Fisic I 9/ Folh de Actiiddes p Aul Substituindo em () os esultdos () e (3), obtemos equção do moimento: d θ ( m m ) sen( θ ) dt d( m + m ) P m m, os momentos deidos cd um dos pesos cncelm-se. Sendo nulo o momento ds foces extens o momento nul do sistem não i no tempo e consequentemente elocidde nul é um constnte do moimento. Note-se que, p m m, expessão que obtiemos n d θ líne nteio p celeção nul α conduz lo zeo como é de espe tendo em dt cont discussão nteio.

32 Questão Fisic I 9/ Folh de Actiiddes p Aul 3 Cd um dos objectos com distibuição de mss homoéne, com o cento de mss indicdo pelo símbolo +, é suspenso do tecto po um fio do o ponto mcdo po x. Fç o dim dos objectos n su situção de equilíbio, justificndo. 3 cm cm 7 ctn(/4) x +7 4 cm + x x 4 cm 7 + CM fic /3 d ltu pti do ldo mio 4 cm Qundo qulque dos objectos está suspenso, s foçs plicds sobe ele são o seu peso (plicdo no CM e tensão do fio (plicd no ponto de suspensão). A tensão se x iul o peso só nte o equilíbio de tnslção. É peciso tmbém que esultnte dos momentos ds dus foçs sej nul. Como o momento do peso eltimente o cento de mss é nulo, é peciso que o momento d tensão sej tmbém nulo, o que só se conseue se tensão fo plel o ecto posicionl do ponto de suspensão eltimente o CM, o que implic o linhmento destes dois pontos n mesm eticl. Tendo em tenção eometi, e n fiu cim zul, os objectos em equilíbio estim ns seuintes posições: x x Questão Um bloco de 8 N de peso está suspenso, po meio de um cbo com tensão T, de um te, com mss despezáel, que ticul no ponto A com um supote eticl, peso um pede. Est te é supotd po um seundo cbo, com tensão T, fixo o supote eticl. ) Quis são s tês foçs que ctum n te. b) Moste que componente eticl de T tem de le 8 N. c) Qul é o lo d foç execid pelo supote eticl sobe te. T T 9 3 A T T ) As foçs estão epesentds zul n fiu. São tensãot, tensão T e foç de ecção execid pelo supote eticl, com um ânulo que à ptid desconhecemos. O peso d te é despezáel. b) O bloco suspenso está em equilíbio pelo que esultnte ds foçs nele plicds (o seu peso e tensão do fio) tem de se iul zeo. Note-se que est tensão de lo iul T é opost à epesentd n fiu. Loo p o bloco podemos escee T P 8 N. P te, como só s tensões têm momento eltimente o ponto de ticulção podemos escee p o equilíbio de otção (sendo l o compimento d te) lt y lt T y T 8 N. P tnslção temos dus equções de equilíbio, um n eticl e out n hoizontl. A equção n eticl, y + T y T tendendo à iuldde nteio i implic que y e que potnto é um foç hoizontl. c) N hoizontl em: T x T y /tn3 39 N

33 Questão Fisic I 9/ Folh de Actiiddes p Aul 4 A fiu epesent, embo não à escl, s difeentes cmds que compõem o inteio d Te, com s espectis dimensões e msss. A Te tem um mss totl de 5,98x 4 k e um io de 637 km. Inondo otção d Te e considendo- esféic, clcule celeção d idde à pofundidde de 5 km, n fontei ente Cust e o Mnto. Qul sei o lo obtido se consideássemos Te com um densidde de mss unifome? 6345km 5 km Núcleo (,93x 4 k ) 349 km Mnto (4,x 4 k ) Cust (3,94x k) [Medids peciss d idde difeentes pofundiddes constituem um dinóstico d estutu d Te, embo os esultdos possm se fectdos po ições locis.] Aplicndo o pincípio de sobeposição, foç itcionl execid sobe um objecto de mss m, colocdo ente cust e o mnto, seá dd pel som ds foçs execids pelo núcleo e pelo mnto. A cust de espessu d exece um foç iul zeo, já que o objecto está no seu inteio. Vem então: mm mm F G nucl mnto ) F M M + G nucl + mnto ) T d T d ( ) ( ) m T d ( ) 4 4,93 4, 6, ,84 m/s 6 (6345) Sendo Te homoéne ii: mm F G ' ( T d) F M G m ( 3M m ) 4π G d) T T ) 3 T T 3 T ( 4 π ( 3 T d) T d) 3 ) mm G T ( T 3 T d) ) 4 3 5, ,673 9,8 m/s 3 9 (637)

34 Fisic I 9/ Folh de Actiiddes p Aul 4 Questão Moste que elocidde de escpe de um ddo objecto de um plnet está elciond com elocidde do mesmo objecto num óbit cicul loo cim d supefície do plnet tés d seuinte expessão, em que e e c são s elociddes de escpe e d óbit cicul, espectimente: e c A elocidde de escpe coesponde à elocidde inicil que se tem de d um copo p que ele se consi libet d intecção itcionl, ou sej, consi tini elocidde nul distânci infinit. N situção inicil temos o copo com elocidde e, à supefície do plnet de mss M e io. N situção finl, enei cinétic é nul e potencil tmbém. Temos então Situção inicil E Situção finl E f i m e GmM D conseção d enei mecânic esult m GmM e e m GmM e GM Num óbit cicul de io, o objecto tem um elocidde,, tl que su celeção centípet multiplicd pel su mss sej iul à foç itcionl. Temos mm m G e GM GM