CAP 13 GRAVITAÇÃO: Quantitativamente, cada partícula atrai qualquer outra partícula com uma força gravitacional cuja intensidade é dada por: F r r

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1 Cp. Gvitção Pof. Wldii.. INTODUÇÃO: CAP GAVITAÇÃO: A vitção explic foç que tu ente os copos devido s sus sss. A foç vitcionl ente u cinhão e u nde edifício é insinificnte, s foç que nos nté pesos Te é bstnte sinifictiv, ssi coo inteção ente os copos celestes (plnets, estels, láxis)... LEI DE NEWTON DA GAVITAÇÃO: 5 Isc Newton () ostou que es foç que ti Lu ti tbé os deis copos (çã). Est tendênci dos copos de se ovee uns e dieção os outos é chd de vitção. Quntittivente, cd ptícul ti qulque out ptícul co u foç vitcionl cuj intensidde é dd po: F G F F onde e são s sss ds ptículs e. N. G,7x0 ou G,7x0 é constnte vitcionl de Newton. k k. s é distânci ente s ptículs... GAVITAÇÃO E O PINCÍPIO DA SUPEPOSIÇÃO: Pincípio el que diz que o efeito esultnte e so dos efeitos individuis. n F, es F i i F, es F, + F, +... A foç vitcionl de u objeto el de diensões finits sobe u ptícul seá: F df F,i F, F,, F es,,, Execício:

2 Cp. Gvitção Pof. Wldii E. Qul deve se sepção ente u ptícul de 5,k e u ptícul de,4k p que su tção vitcionl tenh u intensidde de,x0 - N? (esp. 9). y 8P. Tês esfes de 5,0k estão loclizds no plno xy coo ostdo n fiu o ldo. Qul intensidde d foç vitcionl esultnte sobe esfe n oie povocd pels outs dus esfes? (,x0-8 N ; 0 0 ) 0, 0,4 x.4. GAVITAÇÃO PÓXIMA A SUPEFÍCIE DA TEA: A intensidde d foç vitcionl d Te sobe u ptícul de ss, loclizd fo d Te u distânci do cento d Te é: Pel Lei de Newton, F M F G, teos: GM vi co ltitude: Altitude (k) (/s ) Exeplo 0 9,8 Supefície édi d Te 8,8 9,80 Monte Eveest, 9,7 Blão tipuldo is lto 400 8,70 Óbit do ônibus espcil ,5 Stélites de counicção A elção ente N e ( c ) ( c ) difee de pois: v ω ( c ) sbeos que c ω A Te não é unifoe; Não é u esfe pefeit; A Te está indo. N c

3 Cp. Gvitção Pof. Wldii c ω ω coo,7x0 e (,4) ω π 7,7x0 T 8400s 5 d s 9,8 / s 9,8 / s (7,7x0 5 s ).(,7x0 ) 9,8 0,04.5. GAVITAÇÃO NO INTEIO DA TEA: No cso d Te, foç sobe ptícul uent qundo ptícul coeç desce, tine u vlo áxio nu cet pofundidde e coeç diinui. M int F G 4 M int ρ V int ρ π 4πGρ loo: F Veific-se que intensidde d foç depende lineente d distânci e elção o cento d Te. epesentndo F k 4πG ρ k teeos: onde o sinl (-) é devido F e tee sentidos contáios.. ENEGIA POTENCIAL GAVITACIONAL (U): A Enei Potencil Gvitcionl diinui co edução d sepção ente os copos. Coo U0 no infinito, então U<0 p qulque sepção finit e se ton cd vez is netiv qundo s ptículs se poxi. A enei potencil está elciond co foç vitcionl pel expessão: du F loo U d F( ). d co F ( ). d F( ) dcosθ GM Assi, U F( ) d d GM d GM Aplicndo os liites de inteção, U GM GM U W GM

4 Cp. Gvitção Pof. Wldii 4 Velocidde de Escpe: É velocidde inicil íni que fá co que u copo eessdo se ov sepe p ci. Sej u copo de ss eessdo p ci co velocidde de escpe v : Qundo ele si d Te : K v, GM Qundo ele tine o infinito: U Assi: K +U 0 GM v 0 GM GM v v GM loo v é velocidde de escpe. Ex. Clcule velocidde de escpe d Te: (.90/s) 4 M 5,98x0 k ;,7x0 ; G,7x0 / k. s É is fácil tini velocidde de escpe dispndo u copo n dieção e que Te se ove..7. PLANETAS E SATÉLITES: LEIS DE KEPLE. O oviento dos plnets é otivo de estudos e obsevções desde uito tepo tás, coo po exeplo, o oviento de Mte, fondo u lço e su óbit. Johnes Keple (57-0) onizou s leis epíics que oven estes ovientos. Tycho Bhe (54 0) stônoo que copilou u extens bse de ddos que uxiliou Keple deduzi s tês leis do oviento plnetáio (lei ds óbits, ds áes e dos peíodos). Newton (4 77) ostou que su lei d vitção conduz às leis de Keple.

5 Cp. Gvitção Pof. Wldii 5. A Lei d Óbits: Todos os plnets se ove e óbits elíptics, co o Sol e u de seus focos. F foco d elipse distânci do félio p distânci do peiélio e excenticidde d elipse M Mss do Sol ss do plnet sei-eixo io d elipse b sei-eixo eno d elipse U excenticidde nul coesponde u cículo. A óbit dos plnets são quse cículos. P Te e0,07.. A Lei ds Áes: U linh que li u plnet o Sol ve áes iuis no plno d óbit e tepos iuis, ou sej: da k dt (constnte) P fiu o ldo, e t t t. A ( θ ) da dt θ d dt ω da ω dt E teos d quntidde de oviento nul L; L p ( v ) ( ω) Assi: da ω ω dt L ω da dt L. A Lei dos Peíodos: O quddo do peíodo de qulque plnet é popocionl o cubo do sei-eixo io d su óbit. Considendo u óbit cicul de io, e plicndo lei de Newton teos: F GM v ω c então GM ω π π sbeos que ω T ssi; π 4π GM T ω T T Isolndo o peíodo, teos:

6 Cp. Gvitção Pof. Wldii T 4π GM, que é lei dos peíodos. P u óbit elíptic, bst tocos o po : T 4π GM Isto iplic que zão plnets. T te poxidente os esos vloes p todos os Execício esolvido 4. (coet Hlley) (98) T7nos p 8,9x0 0? + p Plnet (0 0 ) T(nos) Usndo Lei de Keple (encont-se ) e, e seuid. Qul excenticidde d óbit do coet? e p (enconte e ). T 4 (0 Mecúio 5,79 0,4,99 Te 5,0,9 Mte,8,88,98 Júpite 77,8,9,0 nos / ).8. SATÉLITES: Óbits e Eneis. A enei ecânic de u stélite e óbit d Te se consev. Coo ss do stélite é uito eno que d Te, tibui-se U e E do siste stélite-te pens o stélite. Enei potencil: U GM é o io d óbit (cicul) M é ss d Te é ss do stélite Enei Cinétic: Usndo novente Lei de Newton: F c GM v GM v usndo K v GM K Copndo s eneis veos que:

7 Cp. Gvitção Pof. Wldii 7 U K (óbit cicul) A enei ecânic seá: GM GM E K + U GM E E K ou sej, GM Se óbit fo elíptic, E Execícios:. Qul deve se sepção ente u ptícul de 5, k e u ptícul de,4k p que tção vitcionl ente els tenh u ódulo de,x0 - N?. Tnto o Sol qunto Te exece u foç vitcionl sobe Lu. Qul é zão F Sol /F Te ente ests dus foçs? (A distânci édi Sol-Lu é iul distânci édi Sol-Te). y 4. N fiu, tês esfes de 5,00k estão loclizds distânci d 0, 00 e d 0, 400. Quis são () o ódulo e (b) o sentido (e elção o sentido positivo do eixo x) d foç vitcion esultnte sobe esfe B de vid às esfes A e C? 0,. N fiu o ldo, u quddo co 0,0c de ldo é fodo po quto esfes de sss 5, 00,, 00,, 00 e 4 5, 00. E notção de vetoes unitáio, qul é foç vitcionl esultnte execid po els sobe u esfe centl co ss 5, 50? 9. Confoe é ostdo n fiu o ldo, dus esfes de sss e u tecei esfe de ss M fo u tiânulo eqüiláteo, e u qut esfe de ss 4 se encont o cento do tiânulo. A foç vitcionl esultnte sobe ess esfe centl execid pels outs tês esfes é nul. () Qunto vle M e teos de? (b) Se dobásseos o vlo de 4 qul sei então o ódulo d foç vitcionl esultnte sobe esfe centl? 0,4 5. E que ltitude ci d supefície d Te celeção vitcionl é iul 4,9/s? 7. U odelo p u ceto plnet conside-o possuindo u núcleo de io e ss M cicunddo po u cd exten de io inteno e exteno e 4 ss 4M. Se M 4,x 0 k e,0x0, qul é celeção x

8 Cp. Gvitção Pof. Wldii 8 vitcionl de u ptícul nos pontos distâncis () e (b) do cento de ss do plnet? 4. U esfe sólid unifoe possui u ss de,0 x0 k e u io de,0. Qul é o ódulo d foç vitcionl execid pel esfe sobe u ptícul de ss loclizd u distânci de (),5 e (b) 0,5 do cento de ss d esfe?. A fiu o ldo ost, fo de escl, u seção tnsvesl tvés do inteio d Te. E vez de se totlente unifoe, Te está dividid e tês zons: u cost, u nto e u núcleo inteno. As diensões dests tês zons e s sss contids e seus inteioes são ostds n fiu. A Te possui u ss de 4 5,98x0 k e u io de 70k. Despeze otção d Te e suponh que el sej esféic. () Clcule n su supefície. (b) Suponh que sej feit u pefução té intefce cost-nto u pofundidde de 5,0k; qul sei o vlo de no fundo do buco? (c) Suponh que Te fosse u esfe unifoe co es ss totl e o eso tnho. Qul sei o vlo de u pofundidde de 5k? (Medids peciss de são sondens sensíveis d estutu inteio d Te, ebo os esultdos poss se scdos pels vições locis n distibuição de ss.). As tês esfes d fiu o ldo, co sss A 80, B 0, C 0, tê seus centos sobe u linh, co L c e d 4c. Você desloc esfe B o lono d linh té que su sepção cento cento d esfe C sej d 4c. Qul é o tblho elizdo sobe esfe B () po você? e (b) pel foç vitcionl sobe B devid s esfes A e C? 0 5. Dus estels de nêutons estão sepds po u distânci de,0x0. Cd 0 5 u dels te u ss de,0x0 k e u io de,0x0. Els se encont inicilente e epouso eltivo. Confoe s edids nesse efeencil, co que velociddes els estão se ovendo qundo () sepção ente els fo etde do seu vlo inicil e, (b) els estivee n iinênci de colidi? 9. O stélite de Mte, Phobos, se ove e u óbit poxidente cicul de io 9,4x0, co u peíodo de 7h 9in. Clcule ss de Mte pti dests infoções O Sol, que está,x0 do cento d Vi Lácte, coplet u evolução e tono deste cento cd possu u ss iul ss do Sol de 8,5x0 nos. Supondo que cd estel n láxi 0,0x0 k, que s estels estão

9 Cp. Gvitção Pof. Wldii 9 distibuíds unifoeente e tono do cento d láxi e que o Sol se enconte n bod dess esfe, estie o núeo de estels n Gláxi. 44. O cento do Sol está loclizdo e u dos focos d óbit d Te. A que distânci desse foco se enconto o outo foco, () e etos e (b) e teos de 8 io sol,,9x0? A excenticidde d óbit d Te é 0,07 e o sei-eixo io é iul,50x U stélite e óbit elíptic, está 0k ci d supefície d Te e seu ponto is fstdo e 80k no seu ponto is póxio. Clcule () o seieixo io e (b) excenticidde d óbit. 48. E 94, espçonve Glileu enviou à Te u ie do steóide 4 Id e de u inúscul lu (o conhecid coo Dctyl), o pieio exeplo confido de u siste steóide-lu. A lu, que te,5k de lu, está 00k do cento do steóide, que possui 55k de copiento. A fo d óbit d lu não é be conhecid; suponh que el sej cicul co u peíodo de 7h. () Qul é ss do steóide? (b) O volue do steóide, edido pti ds iens d Glileu é de 400k. Qul é densidde (ss po unidde de volue) do steóide? 49. E u siste de estels bináis, cd estel possui es ss do Sol e els i e tono do seu cento de ss. A distânci ente els é es que distânci ente Te e o Sol. Qul é o peíodo de evolução dels e nos? U steóide, cuj ss é,0x0 k vezes ss d Te, i e óbit cicul e tono do Sol u distânci que é o dobo d distânci Te-Sol. () Clcule o peíodo de evolução do steóide e nos. (b) Qul zão ente enei cinétic do steóide e enei cinétic d Te? 59. U stélite está e u óbit cicul de io e tono d Te. A áe A deliitd pel óbit de pende de pois A π. Deteine de que fo s seuintes popieddes do stélite depende de : () O peíodo, (b) enei cinétic, (c) o oento nul e (d) velocidde escl. 8. U stélite está e óbit elíptic co u peíodo de 8,0x0 s e tono de u plnet de ss 7,0x0 4 k. No félio, e u io de 4,5x0 7, velocidde nul do stélite é de 7,58d/s. Qul su velocidde nul no peiélio?