Física Geral I F semestre, Aula 4 Movimento em duas e três dimensões

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1 Físic Gel I F -18 semese, 1 Aul 4 Moimeno em dus e ês dimensões

2 Moimeno em D e 3D Cinemáic em D e 3D Aceleção consne - celeção d gidde Moimeno cicul - moimeno cicul unifome - moimeno helicoidl Moimeno elio

3 Veoes dependenes do empo N nuez há inúmeos eemplos de gndezs eoiis que im no empo. Esmos inessdos n posição e deslocmeno de um copo em moimeno bidimensionl ou idimensionl, e n elocidde e celeção dese copo. Posição e deslocmeno A jeói é o lug geoméico dos ponos do espço ocupdos pelo objeo (plne, come, foguee, co ec) que se moimen. Qulque pono d jeói pode se descio pelo eo posição que denomos po (). O deslocmeno ene os ponos P e Q é ddo po: Q P Noe que não depende d oigem. P P Q Q

4 Posição e deslocmeno O eo posição em D fic definido em emos de sus coodends cesins po ( ) ( ) i ( ) j No cso espcil, 3D, emos ( ) ( ) i ( ) j z( ) k Eemplo: um pono n jeói de um móel é ddo pels equções (em uniddes SI): (), 5,,5 () -1, 1,, ( 6) (3) Clcul em 3 s : (3) 17 m e (3) 3 m em 6 s : (6) 38 m e (6) 6 m Dí: ( 6) (3) (1 i 3 )m j

5 Velocidde j i ) ( ) ( m d d ) ( ) ( lim j i ) ( d d d d d d Como no cso unidimensionl, o eo elocidde médi é: O eo elocidde insnâne é: Em emos de componenes cesins: ou: j i (1) Decoêncis d definição (1): ) é sempe ngene à jeói; b) coincide com o módulo d elocidde escl definid neiomene. () ) ( jeói

6 Aceleção j i ) ( ) ( m d d ) ( ) ( lim j i ) ( d d d d d d Nomene como no cso 1D, celeção médi é: Em emos de componenes cesins: ou: A celeção insnâne é: ) ( d d d d j i ou: () Decoêncis d definição (): ) celeção esul de qulque ição do eo elocidde que sej do módulo, d dieção ou do senido de ); b) O eo celeção esá sempe oldo p o ineio d jeói.

7 Velocidde e celeção: componenes Volndo o eemplo do móel, s componenes do eo elocidde são: Em 3 s: d d d d d d d d 6, m / s d d d d 4, m / s d d d d ( 6, i 4,) j m/ s As componenes do eo celeção são: Módulo: d (, 5,,5),4 5, d d ( 1, 1,), 1 d (,4 5),4m/ s (, 1),m/ s (,4 i, ) j m/ s, 4, m / s g θ Ângulo: θ,,4 o 79 5,

8 O poblem ineso Conhecid celeção (), podemos inegá-l e obe elocidde: ( ) ( ) ( ) d que, se inegd, nos fonece o deslocmeno: ( ) d Ese pocesso dee se efeudo p cd componene cesin do eo considedo.

9 Aceleção consne Aceleção consne eemos um moimeno no plno definido pelos eoes elocidde inicil e celeço: Moimeno D Vmos escolhe os eios de l fom que o moimeno se dê no plno. Aceleção consne no plno : e ces poblems 1D independenes Teemos um MRUA n dieção e ouo n dieção.

10 Aceleção consne j i ) ( d d d d d d j i 1 1 componene de componene de componene de componene de

11 Cso Picul: Aceleção d gidde Nesse cso -g e. N dieção, é consne! componene de componene de componene de componene de Em : i i No: e são s condições iniciis do moimeno. j j consne 1 g g

12 Aceleção d gidde Se ommos (sindo d oigem): de emos: / Subsiuindo n equção p enconmos equção d jeói: 1 g (Equção de um pábol!) O moimeno n dieção não depende d elocidde. N figu o ldo, dus bols são jogds sob ção d gidde. A emelh é sol ( ) e mel em elocidde inicil hoizonl. Em cd insne els êm mesm lu! Foogfi esoboscópic do moimeno pbólico

13 Aceleção d gidde Eemplo: Bol si do penhsco com 1 m/s n hoizonl. ) desce o moimeno, ou sej, che (), (), () e (). As componenes d elocidde são: 1 m/s (-9,8 )m/s As componenes do eo posição são: 1 m (-4,9 ) m b) che os ângulos θ e θ de e com hoizonl em 1, s i (1 4,9 j ) m gθ, 49 ( 1 i 9,8 ) j m / gθ,98 s

14 Moimeno de um pojéil Objeo lnçdo com elocidde um ângulo θ com hoizonl. cosθ consne g sen g θ Tempo p ingi lu máim h (qundo ): sin θ h g g Alu máim h : 1 h sin θ h gh ( sin θ ) g (, ), fomndo Noe que o moimeno é siméico: o copo le um empo h p subi e o mesmo empo h p ci o mesmo níel. R

15 Alcnce: disânci hoizonl pecoid é o objeo ol à lu inicil : R ( h ) R R sin θ ( h ) cosθ sin θ sin θ g Alcnce P um ddo módulo d elocidde inicil, o lcnce seá máimo p θ π / θ 45 o g g Enão: R m g

16 Eemplo Um cnhão i bols com elocidde. O lcnce máimo é R m g. Mose que p ingi um lo um disânci D < Rm eisem dois ângulos θ possíeis. Use 1 m/s e D 8 m. sin θ gr R R m Usndo os ddos numéicos emos: R m 119 m, pono: 8 sin θ, θ 5, θ 18 1 θ 6, θ 64 1

17 Moimeno cicul unifome Ese moimeno em elocidde de módulo consne, poém su dieção mud coninumene. Eemplos: Moimeno de sélies ificiis; Ponos de um disco de iol; Ponos de um disco ígido de compudo; Poneios de um elógio; Nós, gindo com o moimeno d Te.

18 Moimeno cicul unifome P descee o MCU usmos s coodends poles e θ O co sobe jeói que subenende um ângulo θ é: A posição ngul θ é um função do empo, θ (). O co descio em d é ddo po ds R dθ. Enão: ds d dθ R d Definimos ssim elocidde ngul dθ: ω Enão: ω R d d θ Se ω ce : d Fequênci e peíodo: (: elocidde ngencil) θ θ ω f 1 T ω T π ω R R. θ s ω π f s Rθ dθ

19 Moimeno cicul unifome D figu: (Tiângulos Semelhnes) Aceleção médi: No limie : lim lim ω (celeção insnâne)

20 Moimeno cicul unifome Aqui mbém podemos us um eo uniáio: (noe que ese eo i com o moimeno) A celeção fic: Ou: ω ( celeção em dieção do eo posição e pon p o ceno d cicunfeênci. Es é celeção cenípe).

21 Eemplo Um pião od unifomemene com fequênci de 16 Hz. Qul é celeção cenípe de um pono n supefície do pião em 3 cm? A elocidde ngul é: ω π f ω π d (16 Hz) 11 d/s Dí celeção fic: ω 36 m s

22 Moimeno helicoidl (opcionl) É um moimeno idimensionl que pode se iso como composição de um MCU no plno (,) com um moimeno unifome n dieção z. O eo posição de um pícul com ese moimeno seá: ( ) Rcos( ω ) i Rsin( ω ) j k, com R, ω e z consnes. A elocidde seá: ( ) Rω sin( ω ) i Rω cos( ω ) j z zk E celeção seá: ( ) Rω cos( ω ) i Rω sin( ω ) j

23 Moimeno helicoidl (opcionl) No plno pícul em s coodends: ( ) Rcos ( ω ) ( ) Rsin( ω ), que cceizm um MCU de peíodo e em elocidde: e celeção: Veoilmene: ( ) R ω ( ) ω ( ) ω R T ( ) Em um peíodo T do moimeno no plno, pícul pecoe um disânci h no eio z: z h zt π (psso d hélice no ω moimeno helicoidl) π ω

24 Poblem: Moimeno elio Conhecido o moimeno de um pícul P em um ddo sisem de coodends (efeencil) B, que se moe em elção ouo efeencil A, como descee o moimeno d pícul nese ouo efeencil (A)? A BA B PA PB P Posição eli: PA que é função do empo: PA ( ) ( ) ( ) A elocidde eli é: d d PA PA PB dpb d d d PB BA BA BA PB AB BA, B A

25 Moimeno elio Aceleção eli: dpa d d d PA PB PB BA d d BA A B PA PB Em efeenciis ineciis (os que se moem um em elção o ouo em nslção eilíne e unifome): BA BA PA PB ( celeção é mesm qundo medid em dois efeenciis ineciis). BA PA PB

26 Eemplo Um indiíduo dei ci um objeo deno de um eledo que sobe com elocidde consne de,5 m/s. Pede-se:,5 m/s g z ) A celeção do objeo eli o eledo ão logo deie mão do indiíduo b) A elocidde do objeo com elção o solo pós,1 s. ) PA PB BA; BA g 1 zm/ s PB PA z A B b) PA PA PA PA PB BA ( PB PB) BA 1,k m/ s (,1s ),5z m/ s,5m/ sk