FEITEP - PROFESSOR GILBERTO TENANI CÁLCULO III - PRIMEIRO BIMESTRE /2

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1 FEITEP - POFESSO GILBETO TENANI CÁLCULO III - PIMEIO BIMESTE - 206/2 Soma de iemann Estime o volume do sólido contido abaixo da superfície z = xy e acima do retângulo = {(x, y) 0 x 6, 0 y 4}. Utilize a soma de iemann com m = 3, n = 2 e tome o ponto amostra como o canto superior direito de cada sub-retângulo. 2 Se = [, 3] [0, 2], use a soma de iemann com m = 4, n = 2 para estimar o valor de (y 2 2x 2 )da. Tome os pontos amostra como os cantos inferiores esquerdos dos sub-retângulos. 3 Use a soma de iemann com m = n = 2 para estimar o valor de sen(x + y)da, onde = [0, π] [0, π]. Tome como pontos amostrais os cantos inferiores esquerdos. 4 Estime o volume do sólido que está abaixo da superfície z = x + 2y 2 e acima do retângulo = [0, 2] [0, 4]. Use a soma de iemann com m = n = 2, e escolha os pontos amostrais como os cantos inferiores direitos. 5 Encontre um valor estimado para a integral dupla (3y 2x 2 )da onde é a região retangular = [, ] [2, 3]. Tome uma partição de formada pelas retas x = 0, x = e y = 2. Tome como pontos amostrais os centros de cada retângulo. Integrais Iteradas 6 Calcule a integral iterada 7 Calcule a integral iterada 8 Calcule a integral iterada π/2 ( + 4xy) dxdy (x 2 + y 2 ) dydx xseny dydx Prof. Tenani

2 Calcule a integral iterada 0 Calcule a integral iterada Calcule a integral iterada 2 Calcule a integral iterada 3 Calcule a integral iterada 4 Calcule a integral iterada ln2 ln5 (x + y) dxdy (2x + y) 8 dxdy xe x y dydx (x + y) 2 dxdy ( x y + y x ) dydx e 2x y dxdy Integrais Duplas sobre etângulos 5 Calcule a integral dupla (6x 2 y 3 5y 4 ) da com = [0, 3] [0, ] 6 Calcule a integral dupla 7 Calcule a integral dupla 8 Calcule a integral dupla Calcule a integral dupla 20 Calcule a integral dupla cos(x + 2y) da com = [0, π] [0, π/2] xy 2 da com = [0, ] [0, ] x x 2 da com = [0, ] [ 3, 3] + y2 xsen(x + y) da com = [0, π/6] [0, π/3] xye x2y da com = [0, ] [0, 2] 2 Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano z = 2 3x 2y e acima do retângulo = {(x, y) 0 x, 2 y 3} 22 Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do paraboloide z = 4 + x 2 y 2 e acima do retângulo = {(x, y) x, 0 y 2} Prof. Tenani 2

3 23 Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do paraboloide elíptico z = x2 4 y2 e acima do retângulo = {(x, y) x, 2 y 2} 24 Determine o volume do sólido contido no primeiro octante (z 0) limitado pelo cilindro z = t 2 e pelo plano x = Determine o volume do sólido limitado pela superfície z = 6 xy e pelos planos x = 2, x = 2, y = 0, y = 3 e z = 0. Integrais sobre egiões Genéricas 26 Calcule a integral iterada 27 Calcule a integral iterada 28 Calcule a integral iterada x y e y 0 y (x + 2y)dydx (xy)dydx ( x)dxdy 2 Calcule a integral dupla x 3 y 2 da onde = {(x, y) 0 x 2, x y x} 30 Calcule a integral dupla 3 Calcule a integral dupla 32 Calcule a integral dupla 33 Calcule a integral dupla 4y da onde = {(x, y) x 2, 0 y 2x} x y x 2 + da onde = {(x, y) 0 x, 0 y x} e y2 da onde = {(x, y) 0 y, 0 x y} e x/y da onde = {(x, y) y 2, y x y 3 } 34 Calcule a integral dupla y 3 da onde é a região triangular com vértices (0, 2), (, ) e (3, 2). 35 Calcule a integral dupla 2xy da onde é a região triangular com vértices (0, 0), (, 2) e (0, 3). 36 Determine o volume do sólido que está abaixo do plano z = x + 2y e acima da região limitada Prof. Tenani 3

4 por y = x e y = x Determine o volume do sólido que está abaixo da superfície z = 2x + y 2 e acima da região limitada por x = y 2 e x = y Determine o volume do sólido que está abaixo da superfície z = 6 x 2 y 2 e acima da região limitada por y = 2 x, y = 4x 2 e o eixo x. 3 Determine o volume do prisma cuja base é o triângulo no plano xy delimitado pelo eixo x e pelas retas y = x e x = e cujo topo está o plano z = 3 x y. 40 Encontre o volume do sólido delimitado superiormente pelo paraboloide z = x 2 + y 2 e inferiormente pelo triângulo delimitado pelas retas y = x, x = 0 e y = 2 x no plano xy. Gabarito ) 288 ) ln2 2) -20 2) ln 4 3 3) π 2 2 3) 0, 5ln2 4) 44 4) 6 5) 25 6) 0 5) 0,5 6) -2 7) 6 3 7) ln2 8) π/3 8) 2 ) 0) ) 20) 2) 47,5 3 π (e2 3) Prof. Tenani 4

5 22) 2 23) 66/27 24) 36 25) 72 32) 33) 34) (e ) 2 2 e4 2e ) 20 35) ) 8 36) ) 4 e ) 20 2) 30) ln0 3 38) 3) ) 2 ln2 40) 4/3 Prof. Tenani 5