Introdução às Equações Diferencias Parciais. Problemas com Valor de Fronteira e com Valores Iniciais

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1 Intodção às Eqações Dieencias Paciais Poblemas com Valo de Fonteia e com Valoes Iniciais

2 Conteúdo 1. Opeadoes Dieenciais. Condições iniciais e de onteia 3. Eqações Dieenciais Paciais 4. Sistemas de coodenadas. Pincípio da speposição 5. Eemplos 6. Séies de Foie 7. A eqação de calo 8. A eqação da coda

3 Deivadas Paciais Considee ma nção de das o mais vaiáveis po eemplo ). Podemos calcla as deivadas em elação a cada ma dessas vaiáveis: As deivadas paciais de maio odem podem se deinidas ecsivamente e inclem deivadas cadas: 1) δ δ δ δ ) ) lim ) 0 δ δ δ δ ) ) lim ) 0 δ δ δ δ ) ) lim 0

4 Considee a nção: ) a deivada pacial de em elação a no ponto 0 0 ) é denotada po 0 0 ). O númeo 0 0 ) é a inclinação da eta tangente no ponto ) á cva sitada na speície ). Esta cva é obtida pela intesecção do plano 0 com a speície ) Inclinação 00) Plano 0

5 Eqações Dieencias Paciais Uma eqação dieencial pacial EDP) é ma eqação qe contém deivadas paciais de ma nção incógnita de das o mais vaiáveis. O estdo das EDP po Newton e Leibni no séclo 17 th macaam o começo de ma nova ciência. Mecânica dos lidos Tanseência de calo Modelos em ágas asas Modelos atmoséicos Modelos oceanogaia Modelos poplacionais Modelos em cescimentos de tecidos..

6 Eemplos de qantidades dependentes do espaço e do tempo ct) densidade poplacional em m ponto t) em m instante de tempo St) concentação de ma sbstancia qímica em m ponto e em m instante t Tt) tempeata na posição ) e no instante t v t) velocidade na posição ) e no instante t

7 O gáico de c) pode se visaliado como sendo a alta coespondente a cada ponto do plano ) pela nção c. O gáico de é ma speície tidimensional c ) 1 4π log 1) ) 1) )

8 Como podeíamos visalia Tt)? Faendo o gáico da speície T) paa dieentes valoes de t. Tt) cosae bt c )e c ) )

9 Gaica c) k Cvas de nível qe epesentam pontos de igal densidade. c ) 1 4π log 1) ) 1) ) k

10 O qe é ma EDP? - Uma eqação contendo ma o mais deivadas paciais de ma nção incógnita) de das o mais vaiáveis independentes Qal é a odem de ma EDP? - A odem de maio deivada Homogênea vs. Não homogênea - Se cada m das pacelas de ma EDP contém a vaiável dependente da eqação o algma de sas deivadas a eqação é homogênea ; senão é não homogênea.

11 ) b a b v a v a k t a 0 c v b v a v Homogênea Não Homogênea Homogênea

12 EDP s lineaes) : c t One-dimensional wave eqation c t One-dimensional heat eqation 0 Two-dimensional Laplace eqation ) Two-dimensional Poisson eqation c t Two-dimensional wave eqation 0 Thee-dimensional Laplace eqation Onda 1-D Calo 1-D Laplace Poisson Onda -D Laplace 3-D

13 Clasiicação de EDPs de a Odem Classiicamos as cônicas a bc de0 como sendo elipses/paábolas/hipéboles segndo o al do disciminante: b -4ac. Analogamente classiicamos as EDPs de a odem a b c d e g0: b -4ac < 0 elíptica eqilíbio) b -4ac 0 paabólica disão) b -4ac > 0 hipebólicas ondas) Em geal EDPs podem mda de ponto a ponto

14 Paa m poblema deteminado ma solção única pode se obtida pela aplicação de : condições de onteia condições iniciais Pincípio de Speposição lineaidade ): Se 1 e são solções de ma EDP linea e homogênea em ma egião R então c também é solção. c 1 1

15 Poblema com valo de Fonteia 0 Detemine a and e b o the paa soltion a eqação to the de -D Laplace -D Eqation. The given Solção: soltion is ) aln ) b. The soltion mst satis the given bonda conditions : 0 on the cicle 1 AND 3 on the cicle 4. Soltion: a ln1) b 0 a ln4) b 3 so b a 0 3/ ln4).1640

16 Solção:

17 Opeadoes Dieenciais Um veto qe contém as pimeias deivas o o gadiente de ma nção: Assim nabla deine o gadiente: A soma das segndas deivadas de ma nção ) omalmente obtida como o podto escala de dois gadientes é chamado de Laplaciano: Δ

18 A divegência de ma nção vetoial )[ 1 ) ) 3 ))] é a soma das pimeia deivadas o eqivalentemente o podto escala de com nabla: O oto de ma nção vetoial é o podto vetoial com nabla: Váias igaldades podem se deivadas a pati dos opeadoes gadiente divegência oto e Laplaciano. ) 3 1 div [ ] k j i ) ) ) ot

19 Eemplos: Dinâmica dos Flidos A Eqação de Navie-Stokes Eqação de Navie-Stokes : onde : campo de velocidades p: pessão; v :Viscosidade d : densidade; : oças etenas Consevação de Massa :

20 Eemplo lo alededo de m copo sólido A imagem mosta o lo em volta dos dois obstáclos

21 Uma asa - 06 Mach

22 Eemplos: Eletomagnetismo As Eqações de Mawell. B E ρ/ ε E t E B 0 B με t E onde : campo elético B : campo magnético ρ: densidade de caga ε: pemissividade e μ : pemeabilidade do médio.

23 Otos Sistemas de Coodenadas Deinimos os opeadoes dieenciais nas coodenadas Eclidianas. Entetanto as vees é mais conveniente ao so de otos sistemas como o sistema de coodenadas eséico φ) paa poblemas com simetias eséicas o coodenadas cilíndicas ρφ) paa poblemas com simetias cilíndicas. Usando as identidades: Coodenadas cilíndicas

24 Em coodenadas cilíndicas obtemos E em eséicasl: ρ ρ ρ ρ cos 1 1 cos coodenadas eséicas cos cos cos cos cos cos

25 O Laplaciano em coodenadas cilíndicas e eséicas cilíndicas eséicas: 1 1 Δ ρ ρ ρ ρ Δ