INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz Departamento de Matemática Unesp/Bauru CAPÍTULO 2 ESPAÇOS VETORIAIS

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1 Luiz Facisco da Cuz Depatameto de Matática Uesp/Bauu CAPÍTULO ESPAÇOS VETORIAIS 1 Históico Sabe-se que, até pelo meos o fial do século XIX, ão havia ehuma teoia ou cojuto de egas b defiidas a que se pudesse da o ome de Álgeba Liea. Havia apeas ceta ituição po pate de algus matáticos, especialmete os séculos XVII e XVIII, que pecebeam que deveia existi alguma foma de coexão da Álgeba com a Geometia. O sugimeto da Álgeba Liea, como é cohecida atualmete, teve gade cotibuição dos matáticos Cal Fiedich Gauss ( ), William Rowa Hamilto ( ) e Athu Cayley ( ), que pecebeam que as opeações de adição (idicada po +) e de multiplicação (idicada po.), ditas usuais, quado aplicadas a detiados cojutos uméicos, ão satisfaziam detiadas popiedades. Foi o cosequete estudo dessas opeações aplicadas aos vetoes que culmiou uma séie de egas, que fomaam as bases da Aálise Vetoial, que, po sua vez, é a base do que atualmete se cohece como Álgeba Liea. Copo Defiição: Um cojuto ão vazio K, muido das opeações de adição (idicada po +) e de multiplicação (idicada po.) é um copo elação a estas opeações, se satisfaz os seguites axiomas: ( A ) elação à adição: ( ) 1 A quaisque que sejam x e y K, t-se: x + y K ( ) (isto sigifica que o cojuto K é fechado elação à opeação de adição) A quaisque que sejam x e y K, t-se: x + y y + x (popiedade comutativa) ( A 3 ) quaisque que sejam x, y e z K, t-se: x + ( y + z) ( x + y) + z (popiedade associativa) ( A 4 ) paa todo x K, existe K um eleto (existêcia do eleto euto) x tal que: x + x x + x x

2 Luiz Facisco da Cuz Depatameto de Matática Uesp/Bauu ( A 5 ) paa todo eleto x K, existe K um eleto x tal que (existêcia do eleto oposto ou simético) ( M ) elação à multiplicação: ( ) 1 M quaisque que sejam x e y K, t-se: x y K ( ) x + x x + x (isto sigifica que o cojuto K é fechado elação à opeação de multiplicação) M quaisque que sejam x e y K, t-se: x y y x (popiedade comutativa) ( M 3 ) quaisque que sejam x, y e z K, t-se: x ( y z) ( x y) z (popiedade associativa) x ( ) 4 M paa todo x K, existe K um eleto xˆ tal que: x xˆ xˆ x x (existêcia do eleto euto) ( M 5 ) paa todo eleto ão ulo x K, existe K um eleto ~ x tal que ~ ~ x x x x xˆ (existêcia do eleto iveso) ( D ) popiedades distibutivas da multiplicação elação à adição: paa quaisque x, y e z K, t-se: x ( y + z) x y + x z e ( y z) x y x + z x +. Obsevações: 1) Paa idica o copo K com as opeações ele defiidas, usa-se a otação: ( K, +, ). Po abuso de liguag, é comum fala-se apeas copo K. ) É possível da-se uma defiição mais geal de copo, s exigi que a multiplicação seja ecessaiamete comutativa. Nesse caso, a defiição ateio dá o coceito de copo comutativo. Explos: 1) São copos: (a) ( R +, ), : cojuto dos úmeos eais, com as opeações usuais de adição e multiplicação. Paa dosta essa afimação, é peciso mosta que se veificam os axiomas da defiição de copo. T-se:

3 Luiz Facisco da Cuz Depatameto de Matática Uesp/Bauu A elação à adição: ( ) ( A 1 ) paa quaisque úmeos eais x e y que se cosidee, a soma x + y é aida um úmeo eal. Logo, é satisfeito o axioma do fechameto elação à opeação de adição, isto é: quaisque que sejam x e y R, t-se que ( ) x + y R ; A dados dois úmeos eais quaisque x e y, t-se que x + y y + x e, potato, é satisfeito o axioma da comutatividade da opeação de adição de úmeos eais; ( A 3 ) tomado-se úmeos eais x, y e z quaisque, t-se que x ( y + z) ( x + y) + z potato, a opeação de adição é associativa; + e, ( A 4 ) é peciso mosta que, cosideado-se qualque úmeo eal x, existe um úmeo eal x tal que úmeo eal 0, pois: x + x x + x x. No caso da adição de úmeos eais, esse úmeo x é o x x x. Assim, existe o eleto euto paa a opeação de adição de úmeos eais e esse eleto euto é o úmeo eal 0 ; ( A 5 ) paa dosta que esse axioma é vedadeio, deve-se ecota, paa todo úmeo eal x que se cosidee, um úmeo eal x tal que x + x x + x 0 (isto é, somado-se x com x, o esultado deve se igual a 0, que é o eleto euto da adição). Dado um úmeo eal x, t-se que: + ( x) ( x) + x 0 existe seu eleto oposto, que é x x, ou seja, paa cada eleto x, ; coclui-se, assim, que é vedadeio esse axioma; ( M ) elação à multiplicação: ( M 1 ) paa quaisque úmeos eais x e y que se cosidee, o poduto x y é aida um úmeo eal. Logo, é satisfeito o axioma do fechameto elação à opeação de multiplicação, isto é: quaisque que sejam x e y R, t-se que ( ) x y R ; M dados dois úmeos eais quaisque x e y, t-se que x y y x e, potato, é satisfeito o axioma da comutatividade da opeação de multiplicação de úmeos eais; ( M 3 ) tomado-se úmeos eais x, y e z quaisque, t-se que x ( y z) ( x y) z opeação de adição é associativa; ; assim, a ( M 4 ) é peciso mosta que, cosideado-se qualque úmeo eal x, existe um úmeo eal xˆ tal que x xˆ xˆ x x. No caso da multiplicação de úmeos eais, esse úmeo xˆ é o úmeo eal 1, pois: x 1 1 x x. Assim, existe o eleto euto paa a opeação de multiplicação de úmeos eais e esse eleto euto é o úmeo eal 1 ; ( M 5 ) cosideado-se um úmeo eal ão ulo x, deve-se ecota um úmeo eal ~ x tal ~ ~ que x x x x 1 (isto é, multiplicado-se x po ~ x, o esultado deve se igual a 1, que é o eleto euto da multiplicação). 1 1 Dado um úmeo eal x 0, t-se que: x x 1, ou seja, paa cada eleto ão x x

4 Luiz Facisco da Cuz Depatameto de Matática Uesp/Bauu ulo x, existe seu eleto iveso, que é x 1 ; coclui-se, assim, que é vedadeio esse axioma. Esse eleto também pode se idicado po 1 x ; ( D ) cosideado-se úmeos eais quaisque x, y e z, t-se: x ( y + z) x y + x z e ( y + z) x y x + z x. Assim, val as popiedades distibutivas da multiplicação elação à adição de úmeos eais. Logo, o cojuto dos úmeos eais, com as opeações usuais de adição e multiplicação, é um copo. (b) ( C, +, ) : cojuto dos úmeos complexos, com as opeações usuais de adição e multiplicação. (c) ( Q, +, ) : cojuto dos úmeos acioais, com as opeações usuais de adição e multiplicação. Obsevação: com pocedimeto aálogo ao do it (a), é possível mosta que ( C, +, ) e ( Q, +, ) são copos. ) Não são copos: (a) ( Ζ, +, ): cojuto dos úmeos iteios, com as opeações usuais de adição e multiplicação. De fato, sabe-se que o eleto euto da multiplicação paa o cojuto Ζ é 1, pois, paa todo úmeo iteio z, t-se: satisfeito o axioma ( ) 5 z 1 1 z z. Obseve-se que, este cojuto, ão é M, pois, qualque que seja o úmeo iteio z, com z 0 e z 1, ão existe Ζ um eleto ~ ~ ~ z tal que z z z z 1, ou seja, ão existe o eleto iveso de z (é evidete que, paa que este axioma fosse vedadeio, se deveia te z 1 1 z 1 z z ; etetato, qualque que seja z 0 1 e z 1, ão petece a Ζ ). z ~ 1 z, pois: z (b) ( Ν, +, ): cojuto dos úmeos atuais, com as opeações usuais de adição e multiplicação. De modo aálogo ao que se desceveu o it (a) deste explo, o axioma ( M 5 ) ão é satisfeito, pois, paa todo úmeo atual, sedo 0 e 1, ão existe Ν um eleto ~ ~ ~ tal que 1, ou seja, ão existe o eleto iveso de (deve-se-ia te ~ 1, que ão petece ao cojuto Ν ). Da mesma foma, ão é vedadeio, paa a opeação de adição, o axioma ( A 5 ), pois, qualque que seja o úmeo atual ão ulo que

5 Luiz Facisco da Cuz Depatameto de Matática Uesp/Bauu se cosidee, ão existe Ν um eleto tal que + + 0, ode 0 é o eleto euto da opeação de adição de úmeos atuais. Isto sigifica que ão existe o eleto oposto (ou simético) de (obseve-se que, paa que se some com e se ecote como esultado o eleto euto 0, deve-se te, que ão petece ao cojuto dos úmeos atuais). 3 Espaço Vetoial Defiição: Um cojuto ão vazio V, muido das opeações de adição (idicada po +) e de multiplicação po escala (idicada po ) é um espaço vetoial sobe um copo K, se são satisfeitos os seguites axiomas: ( A ) elação à adição: ( ) 1 A quaisque que sejam u e v V, t-se: u + v v + u (popiedade comutativa) ( A ) quaisque que sejam u, v e w V, t-se: u + ( v + w) ( u + v) + w (popiedade associativa) ( A 3 ) paa todo u V, existe V um eleto u tal que: u + u u + u u (existêcia do eleto euto) ( A 4 ) paa todo eleto u V, existe V um eleto u tal que (existêcia do eleto oposto ou simético) ( M ) elação à multiplicação po escala: u + u u + u ( M 1 ) quaisque que sejam α e β K e qualque que seja u V, t-se: α ( β u) ( α β ) u ( M ) quaisque que sejam u e v V e qualque que seja α K, t-se: α ( u + v) α u + α v ( M 3 ) paa todo u V e paa quaisque α e β K, t-se: ( α + β ) u α u + β u ( ) 4 M paa todo eleto u V, t-se: 1 u u u Obsevações: 1) Dize que o cojuto V é um espaço vetoial sobe um copo K sigifica que os escalaes

6 Luiz Facisco da Cuz Depatameto de Matática Uesp/Bauu são tomados K. ) Paa idica o espaço vetoial V sobe o copo K, com as opeações defiidas, usa-se a otação: ( V, +, ). 3) Quado o copo K sobe o qual se defie o espaço vetoial é o cojuto R dos úmeos eais, o espaço é chamado espaço vetoial eal; quado o copo cosideado é o cojuto C dos úmeos complexos, o espaço é chama espaço vetoial complexo. Salvo efeêcia expessa cotáio, seão cosideados, esse texto, espaços vetoiais eais. 4) Os eletos do espaço vetoial V são chamados vetoes, idepedetete de sua atueza. Pode paece estaho o fato de se chama de vetoes os úmeos, quado V fo um cojuto uméico, as matizes, quado V fo um cojuto de matizes, os poliômios, quado V fo um cojuto de poliômios e assim po diate. A justificativa está o fato de que se efetuam as opeações de adição e multiplicação po escala com esses eletos de atueza tão distita de foma aáloga à que se opea com vetoes do R (cojuto dos paes odeados de úmeos eais, cuja epesetação geomética é o plao de coodeadas catesiaas otogoais) ou do 3 R (cojuto das teas odeadas de úmeos eais, cuja epesetação geomética é o espaço tidimesioal de coodeadas catesiaas otogoais). É peciso lba que, a todo poto do R, associa-se um veto, chamado veto-posição, com oig o poto ( 0, 0 ) e extidade o poto cosideado, cujas coodeadas são as mesmas do pópio poto. Aalogamete, a todo poto 3 R, associa-se um veto, chamado vetoposição, com oig o poto ( 0 0, 0 ) são as mesmas do pópio poto., e extidade o poto cosideado, cujas coodeadas Explo: são espaços vetoiais: (a) ( ( R ), +, ) P : cojuto de todos os poliômios com coeficietes eais de gau meo ou igual a (icluido o poliômio ulo), com as opeações usuais de adição de poliômio e multiplicação po escala. (b) ( ( R ), +, ) M mx : cojuto de todas as matizes de dimesão m, com eletos eais, com as opeações usuais de adição de matizes e multiplicação po escala. Se esceve-se: ( ( R ), +, ) M. m, (c) ( F, +, ): cojuto de todas as fuções eais de uma vaiável eal, com as opeações de adição e multiplicação po escala assim defiidas: ( f g)( x) f ( x ) + g ( x ) +, quaisque que sejam as fuções f e g F (e paa todo x R ).

7 Luiz Facisco da Cuz Depatameto de Matática Uesp/Bauu α f x αf x, quaisque que sejam f F e α R (e paa todo x R ). ( )( ) ( ) 3.1 Popiedades dos espaços vetoiais Seja V um espaço vetoial sobe um copo K. É possível dosta as afimações que se segu. a) Existe um úico veto ulo V, deotado po 0 (que é o eleto euto da adição). b) Cada veto V v admite apeas um simético ( v) V. c) Qualque que seja v V, t-se: 0 v 0. Natualmete, o pimeio zeo que apaece essa expessão é o úmeo eal zeo e o segudo, é o veto ulo 0 V. d) Qualque que seja α K, t-se: α 0 0. Neste caso, o zeo do pimeio mbo desta equação é o mesmo do segudo mbo e é o veto ulo de V. e) Paa quaisque u, v, w V, se u + w v + w, etão u v (esta é a chamada lei do cacelameto). f) Qualque que seja V v, t-se: ( v ) v, isto é, o oposto de v é v. g) Qualque que seja V v, t-se: ( ) v v 1. h) α v 0 implica α 0 ou v 0. i) Se α v 0 e α 0, etão v 0. j) Quaisque que sejam v V e R α, t-se: ( ) v α ( v) ( α v) α. k) Quaisque que sejam u, v V, existe um, e somete um, x V tal que: u + x v. Esse veto x seá epesetado po: x v u. 3. O Espaço Vetoial R O cojuto de todas as -uplas de úmeos eais, isto é, o cojuto R {( x, x,, x ) / x, x, L, x R} 1 L 1, muido das opeações de adição vetoial e multiplicação po escala, defiidas po: adição vetoial: paa quaisque eletos ( x 1, x, L, x ) e ( y, y, L, y ) 1 R, t-se:

8 Luiz Facisco da Cuz Depatameto de Matática Uesp/Bauu x 1, x, L, x + y1, y, L, y x1 + y1, x + y, L, x + y ( ) ( ) ( ) multiplicação po escala: paa qualque ( x, x, L ) t-se: α ( x, x,, x ) ( αx, αx, L, α ) 1 L 1 x, 1, x é um espaço vetoial sobe o copo R dos úmeos eais. É usual idetifica uma -upla de ( x, x, L, ) u 1 x. R com um veto -dimesioal e esceve: R e qualque úmeo eal α, Explos: 1) No espaço vetoial paes odeados de úmeos eais: {(, x ) / x, x R} R x 1 1, que, comumete, é escito a foma R {( x, y ) / x, y R} R cosideado acima, seja, isto é, cosidee-se o cojuto dos. Mosta-se-á que este espaço, com as opeações: adição vetoial, ou seja, adição usual de paes odeados de úmeos eais, defiida po: ( x, y ) ( x, y ) ( x + x, y + ) y ; multiplicação po escala, defiida po: ( x, y ) ( α x, α y) é um espaço vetoial sobe o copo R dos úmeos eais. α, ode α R, É peciso mosta que são válidos os axiomas da defiição de espaço vetoial sobe um copo K. Neste explo, t-se que K R. ( A ) Em elação à adição: ( A 1 ) tomado-se dois vetoes quaisque u 1 ( x1, y 1 ) u 1 + u ( x1, y 1 ) + ( x, y ) ( x1 + x, y 1 + y ) ; y e u ( x, ) R, t-se: uma vez que os eletos dos paes odeados são úmeos eais e a adição de úmeos eais é comutativa, segue-se que: ( x1 + x, y 1 + y ) ( x + x1, y + y1 ) ( x, y ) + ( x1, y 1 ) u + u1 Potato, u1 + u u + u1 e coclui-se que a opeação de adição satisfaz a popiedade comutativa; ( A ) sejam u 1 ( x1, y 1 ), u ( x, y ) e u 3 ( x3, y 3 ) R ; t-se: u1 + ( u + u3 ) ( x1, y 1 ) + ( x, y ) + ( x3, y 3 ) x1, y 1 + x + x3, y + y3 ( x + ( x + x ), y + ( y + )) y3. [ ] ( ) ( ) Sedo a adição de úmeos eais associativa, pode-se esceve: ( x ( x + x ), y + ( y + y )) (( x + x ) + x, ( y + y ) + ) y3 ( x1 + x, y 1 + y ) + ( x3, y 3 ) [( x1, y 1 ) + ( x, y )] + ( x3, y 3 ) ( u1 + u ) + u3.

9 Luiz Facisco da Cuz Depatameto de Matática Uesp/Bauu u1 + u + u3 u1 + u + u ; logo, a adição vetoial é associativa; u x, y um eleto qualque de R. É peciso mosta existe um eleto Potato, ( ) ( ) 3 ( A 3 ) seja ( ) u ( x, y ) R tal que u + u u + u u, ou seja, é peciso mosta que existe um eleto euto paa a opeação de adição de vetoes. Uma vez que o úmeo eal 0 é o eleto euto da adição de úmeos eais, é atual que o veto 0 ( 0, 0 ) seja o eleto euto da adição vetoial. De fato, t-se: u + 0 x, y + 0, 0 x + 0, y + 0 x, y ( ) ( ) ( ) ( ) u e 0 + u 0, 0 + x, y 0 + x, 0 + y x, y. ( ) ( ) ( ) ( ) u Logo, u u u e, potato, o veto ulo 0 ( 0, 0 ) ( A 4 ) seja u ( x, y ) um eleto de R tal que + u u + u 0 u, ode 0 ( 0, 0 ) é o eleto euto da adição vetoial; R R. É peciso mosta existe um eleto u ( x, y ) é o eleto euto da adição de vetoes. Uma vez que os eletos x e y do pa odeado são úmeos eais, exist seus eletos opostos x e y x, y, que seá idicado po u.. Assim, pode-se cosidea o veto ( ) T-se, etão: u + u x, y + x, y x + x, y + y 0, 0 ; ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) 0 aalogamete, mosta-se que ( ) 0 Potato, todo eleto do u + u. ( M ) Em elação à multiplicação po escala: R admite um eleto oposto ou simético. ( M 1 ) coside-se dois úmeos eais α e β e um eleto u ( x, y ) α ( β u) α [ β ( x, y )] α ( β x, β y) ( α ( β x ), α ( β y) ) (( α β ) x, ( α β ) y) ( α β ) ( x, y ) ( α β ) u ( M ) sejam u 1 ( x1, y 1 ) e u ( x, y ) α ( u1 + u ) α ( x1, y 1 ) + ( x, y ) α α ( x + x ), α ( y + y ) α x + α R e um úmeo eal α ; t-se: [ ] ( x1 + x, y + y ) ( 1 1 ) ( 1 x, α y1 + α y ) ( α x1, α y1 ) + ( α x, α y ) α ( x1, y 1 ) + α ( x, y ) α u1 + α u α u ; 1 + u α u + α u Potato, ( ) 1 ( M 3 ) sejam u ( x, y ) um eleto de R e dois úmeos eais α e β. T-se: ( α + β ) u ( α + β ) ( x, y ) (( α + β ) x, ( α + β ) y) ( α x + β x, α y + β y) ( α x, α y) + ( β x, β y) α ( x, y ) + β ( x, y ) α u + β u α ; Potato, ( + β ) u α u + β u ( M 4 ) cosidee-se um eleto u ( x, y ) do R. T-se: R. O úmeo eal 1 é o eleto euto da

10 Luiz Facisco da Cuz Depatameto de Matática Uesp/Bauu multiplicação de úmeos eais e, potato, t-se: 1 u 1 x, y 1 x, 1 y x, y. v Logo, 1 u u. ( ) ( ) ( ) u ) Cosidee-se ovamete o cojuto dos paes odeados de úmeos eais: R {( x, y ) / x, y R}. Cosideado-se as opeações e, defiidas po: v v u1 u u1 u ; ou seja, se u 1 ( x1, y 1 ) e u ( x, y ), etão: u 1 u ( x1, y 1 ) ( x, y ) ( x1, y 1 ) ( x, y ) ( x1 x, y 1 y ) ; v α u αu u x, y e α R, etão: ; ou seja, se ( ) α u αu α ( x, y ) ( αx, αy ). Mosta-se-á que este cojuto, com as opeações defiidas acima, ão é um espaço vetoial sobe R. Paa isso, deve-se mosta que pelo meos um dos axiomas da defiição de espaço vetoial sobe um copo K ão é satisfeito. Po explo, o axioma ( A 1 ) ão é satisfeito, isto é, a opeação ão é comutativa, pois, tomado-se dois eletos quaisque u ( x, ) e u ( x, ) u v 1 1 y 1 v y ( x, y ) ( x, y ) ( x, y ) ( x, y ) ( x x, y ) 1 u y ; R, t-se: po outo lado, t-se: u u 1 ( x, y ) ( x1, y 1 ) ( x, y ) ( x1, y 1 ) ( x x1, y y1 ). Vê-se, assim que u1 u u u1 R,, ão é um espaço vetoial sobe o copo R dos úmeos eais.. Potato ( ) Obsevação: os explos ateioes evideciam que, paa afima que um detiado cojuto V é um espaço vetoial sobe um copo K, é peciso que estejam b defiidas V as opeações de adição e multiplicação po escala. 4 Subespaço Vetoial Defiição: Seja V um espaço vetoial sobe um copo K, com as opeações de adição e multiplicação po escala. Um subcojuto W V é um subespaço vetoial de V se: (a) 0 W, ou seja, o eleto ulo do espaço V petece a W; (b) paa quaisque eletos w 1 e w W, t-se que w 1 + w W, ou seja, W é fechado elação à opeação de adição; (c) paa qualque w W e paa qualque escala α K, t-se que é fechado elação à opeação de multiplicação po escala. α w W, ou seja, W