Problemas de Valor de Contorno para Equações Diferenciais Ordinárias

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1 EQE-358 MÉTODOS NUMÉICOS EM ENGENHI QUÍMIC OFS. EVISTO E GIMIO Caítlo 9 oblema de Valo de Cotoo aa Eqaçõe Dfeea Odáa Codee o eemlo ltatvo da dfão-eação em ma atíla atalíta eféa e ooa: Balaço de maa: etado etaoáo otémo Codçõe de otoo: d dc D < < d d dc d meta e C C o oetação fa a efíe ode D é a dfvdade odeada otate e =.fc ode é a otate da eação. d dc D f C d d ode-e ada def m fato de efetvdade da atíla foma teal:

2 9. OBLEMS DE VLO DE COONO EQUÇÕES DIFEENCIIS ODINÁIS C dv V f C d taa de eação méda a atíla Co dv V f C o d taa da eação máma baeada a efíe Ito é C a taa méda de eação o volme da atíla. o Defdo também o admeoal: D oedo omo módlo de Tele eação dfão aa ma eação de mea odem o f Co aa ma eação de qalqe odem. DC Ota defção aa o Módlo de Tele é a a veão eealzada: ˆ Co L Módlo de Tele Geealzado Co D C dc ode L é o ommeto aateíto da atíla defdo omo o volme da atíla dvddo ela a efíe etea qe aa o ao da efea L = /3. Com eta defção tem-e 3ˆ aa ma eação de mea odem a efea. ode-e etão eeeve a eqação dfeeal a foma: dc f Cd Dd d e bttí-la a eeão do fato de efetvdade eltado em: dc D d d 3 3 f C o d 3 dc Co d dc D d D dc f C 3 3 o f Co d 3 d d dc d d d o?? foma dfeeal C ode e. O ea aa alla o fato de efetvdade da atíla tato a Co foma teal qato a foma dfeeal é eeáo oee o efl de oetação o teo da atíla qe é obtdo atavé da olção do oblema de valo de otoo: d d < < d d d d e oblema de valo de otoo

3 9. MÉTODOS ITETIVOS 3 ode f Co. f C o aa o ao de ma eação de mea odem: = o oblema ama tem omo olção aalíta a eqação de Beel modfada: e 3 e t Nota: é fto e e lm e 3 : e : < evdea o efeto da tafeêa de maa. aa eação de odem o : = deve-e ba a olção méa do oblema de valo de otoo. l método méo oíve ão: - dfeeça fta - volme fto - elemeto fto - oot - aomação olomal Como o tê meo método eão abodado o ómo aítlo vamo tata aq do método de oot e da aomação olomal. 9. Método teatvo déa dete método é tafoma o oblema de valo de otoo em m oblema de valo al VI; atb m valo al aa a vaáve om valo al deoedo; eolve o VI; e vefa e a odçõe fa foam atfeta; eão atb-e m ovo valo aa a odçõe a deoeda e ea-e o oedmeto teatvo até eta odçõe eem atfeta. aa o eemlo da atíla atalíta defem-e a ova vaáve: d v e = d Geado o ete tema de eqaçõe dfeea odáa de mea odem: d v d dv v d v

4 4 9. OBLEMS DE VLO DE COONO EQUÇÕES DIFEENCIIS ODINÁIS O oedmeto teatvo deto ama é oedo omo método da tetatva-e-eo o método de oot. Uma vaate dete método é o múltlo oot ode o oblema é deomoto em btevalo. No ao atla de eqaçõe dfeea leae ode-e a o método de oot om o ío da eoção de olçõe obtedo-e a olção aalíta: Eemlo: f a b a ; b L [ ] f oeado lea L[ ] L[ ] L[ ] L [ ] L [ ] a oot: a e a a a eoção: = + L[] = = L [ ] L [ ] = = + ; a = α = a + a b = β = b + b b b b b L [ ] L [ ] b oot: a e a a a γ e γ ta qe b b. eoção: L[] = = L[ ] L[ ] a = α = a + a b = β = b + b + = b b

5 9. MÉTODOS ITETIVOS 5 b b b b b b ; b b b b aa eqaçõe dfeea ão-leae: d d F d d a ; b a alação do método de oot ea m oedmeto teatvo abtado-e m valo al aa a odção deoeda o oblema ama: a ado o oblema de valo al = : F a a Ca olção o fal do tevalo ão deve atfaze a odção de otoo b =. β α β β β a b Etão e ode a m oblema aa o állo da az da eqação: fγ = b;γ β = o eemlo ado o método de Newto-eate: b b b =...

6 6 9. OBLEMS DE VLO DE COONO EQUÇÕES DIFEENCIIS ODINÁIS 9. Método da aomação olomal Codeado m oblema eéo de valo de otoo om eqaçõe dfeea odáa de eda odem: d d f d d d d d d E alado a aomação olomal: o ode = < < <... < < + = tem-e o eído da aomação a eqação dfeeal: ; f ; f o ode d e d d d No oto oda temo: B ode d e d B d d Defdo o olômo odal: a a + Cea-e em:

7 9. MÉTODO D OXIMÇÃO OLINOMIL 7... B 3... B otato dado o oto oda... ode-e obte e aa o állo de e B. Nota-e qe ão é eeáo obte a + o teme eme a azão de olômo. Uma foma efete de obte ete olômo é atavé de a fómla de eão: 3... om om q om q q q om ode ; q ; ; eta eole a foma de obteção de =... e o állo do oefete da aomação olomal. Método do eído odeado: = 3... ; d H w ode H ão a odeaçõe do eído e w é a fção eo aoada a eqação dfeeal. Método da oloação: H = δ = ; = om abtáo Fazedo qe aa =... to é eído lo o oto teo tem-e: ;

8 8 9. OBLEMS DE VLO DE COONO EQUÇÕES DIFEENCIIS ODINÁIS... va.. B f eq eado m tema ão-lea de eqaçõe aléba aa e eolvdo. Método do mometo: H = Método do mímo qadado: ; H Método de Gale: ; H Método da oloação otooal: ão aíze de m olômo otooal e om elação a fção eo w: w d E.: w = β α olômo de Jaob Eemlo: Dfão-eação eação de odem m etaoáo. m d d d d : fato eométo eféa eometa lída eometa laa eometa CC: d d meta CC: = Fato de efetvdade da eação: m d d d Fazedo a mdaça de vaável: = tem-e:

9 9. MÉTODO D OXIMÇÃO OLINOMIL 9 d d d CC: fto d CC: / m ode / d d d d d d / m d m d d / fção eo aoada à eqação dfeeal é: w = omação olomal: Utlzado... omo oto de oloação e + = omo oto de teolação. 4 ela CC: deta foma ode-e eeeta d Método do mometo: Método de Gale: / d d / d d =... / Método da oloação otooal: d d Com o olômo otooa de Jaob: ode. Obeva-e qe método do mometo método de Gale O olômo de Jaob odem e eto a foma: ode γ = e =... O ela fómla eva:

10 9. OBLEMS DE VLO DE COONO EQUÇÕES DIFEENCIIS ODINÁIS =... om e ; ; 3 3 Qe a foma matal tem-e: M I ode M 3 3 e a aíze de ão o valoe aateíto de M : I M = =... Sbttdo a aomação olomal o oblema tem-e:... m B to é m tema de eqaçõe aléba leae m = e o ão-leae m e.