2 Formulação Matemática

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1 Fomlação Matemática. Descição do poblema A fim de aalisa o escoameto atavés de m meio pooso, foi cosideado m meio pooso ideal, com ma geometia composta po caais covegetesdivegetes. Dessa foma, obtém-se ma ciemática do escoameto semelhate àqela qe ocoe o meio pooso eal, qado o flido escoa atavés de gagatas e epasões. A Fig.. mosta m esqema de m meio pooso eal. Na Fig.. mosta-se a geometia do meio pooso ideal composto po caais covegetes-divegetes, aalisado este tabalho. Fig.. Meio pooso eal. L L R 0 R R Fig.. Meio pooso idealizado. As eqações de cosevação paa o escoameto são apesetadas abaio, tilizado o sistema de coodeadas cilídicas. Paa modela o escoameto foam

2 feitas as hipóteses de egime pemaete, escoameto ai-simético, flido icompessível e foças eteas despezíveis. A eqação de cosevação de massa é dada po: ( v = 0 Eq. (. ode é a coodeada aial, é a coodeada adial e e v são as compoetes da velocidade as dieções adial e aial espectivamete. As eqações de cosevação de mometo as dieções aial e adial são mostadas a segi: v p = Eq. (. v v p v v v = g Eq. (.3 ode é a desidade, é a fção viscosidade, p é a pessão, g é a aceleação da gavidade. Foi tilizada a eqação costittiva de Flido Newtoiao Geealizado, obtida a pati de ma simplificação da eqação costittiva paa a modelagem de flidos viscoelásticos poposta po Thompso et al.999, e qe seá apesetada a segi.. Eqação costittiva A eqação costittiva poposta po Thompso et al. 999 cosidea qe o teso das tesões, T, seja ma fção do teso da taa de defomação, D, e do teso taa de otação elativa, W : T = T(D, W Eq. (. Um teso simético apeseta fções isotópicas da segite foma:

3 T = 0 D W 3 D.( D W W D 5 ( W D W ( D W W D ( W D W W D W 6 Eq. (.5 ode os coeficietes i, i =,, 3..., 7 são fções escalaes. 7.3 As fções i Thompso et al. 999 fez ma iteessate avaliação paa eplicita as fções i em fção do módlo do teso taa de defomação & t D e de m paâmeto classificado do tipo de escoameto R. de foma a simplifica a eqação (5, e possibilita a implemetação méica da eqação costittiva. O teso taa de tesão é defiido como: D [v (v T ]/, o teso, é o teso taa de otação do teso D a patícla. Se e i são os vetoes de D (o seja, vetoes itáios a dieção dos picipais eios de D, a defiição de é: De i /Dt =. e i, i =, e 3. Ode D/Dt é a deivada mateial com elação ao tempo. O teso taa de otação elativa W é defiido da segite foma: W = W - Ode W é o teso voticidade defiido como [v - (v T ]/. Uma vez defiido ma medida paa a taa de otação, ASTARITA (979 popôs o segite citéio paa classificação de escoameto. R - t W ² / t D² R é cosideado m classificado ciemático po difeecia escoameto de pa etesão, qado R = 0, de escoameto cisalhate, paa R =, e aida paa escoameto de copo ígido qado D 0 e coseqüetemete R. As fções i = i (&,R sgeidas po Thompso et al. 999 apesetam a segite foma: 0 = -p Eq. (.6 ( & = Eq. (.7 (R. a [ ( & ( &] Eq. (.8 = 3 = 0 Eq. (.9

4 3 ( = a R ( & Eq. (.0 5 = 6 = 7 = 0 Eq. (. ode p é a pessão, ( &, ( & ( & e epesetam a fção viscosidade, o pimeio e o segdo coeficietes de tesão omal, espectivamete. Estas gadezas são os paâmetos eológicos do flido, qe são obtidos a pati de dados epeimetais. Os escalaes a e a são paâmetos adimesioais. Assim, a eqação costittiva simplificada assme a segite foma: T = D W.( D W W Eq. (. 0 D ode os coeficietes i, i =,, são dados pelas eqações (6 a (9. A fim de simplifica a implemetação méica, este tabalho decidi-se ão cosidea os temos qadáticos da eq. (0. O compotameto viscoelástico do flido seá etão limitado aos efeitos etesioais. Esta simplificação se jstifica, pois cosidea-se qe a geometia aalisada os efeitos etesioais são pedomiates, devido a ciemática do escoameto. Desta foma, a eqação costittiva assme a foma do cohecido modelo de Flido Newtoiao Geealizado (Bid et al., 987: T ( D, W = p D Eq. (.3 ode, a fim de cosidea os efeitos etesioais o flido, a fção viscosidade é modelada como ma média geomética ete as viscosidade de cisalhameto e etesioal ( & e ( &, espectivamete (Soza Medes et al. (995: s & & & Eq. (. R R (, R = s (. ( As fções viscosidade de cisalhameto e etesioal são caacteísticas dos flidos aalisados. No pesete tabalho, cosideamos a viscosidade cisallhate costate. Foam tilizadas das leis de potêcia paa modela a viscosidade etesioal, a pimeia foi eqação de Caea eq. (.5, e a segda foi a eqação powe-law eq. (.6. 0 ( ( / = & Eq. (.5 = K & Eq. (.6

5 . Codições de Cotoo O escoameto atavés do caal covegete-divegete é cosideado como peiodicamete desevolvido. Assim, o domíio comptacioal é costitído po apeas m bloco covegete-divegete, de acodo com a Fig..3 e cosideamos como codição de cotoo a etada do escoameto (=0 m pefil de velocidade igal ao da saída (=L. Nas paedes do caal cosideam-se as codições de impemeabilidade e ão deslizameto (v=0. Na liha de ceto cosideamos a codição de simetia. L R 0 R Fig..3 - Domíio.5 O Modelo Teóico: Soza Medes e Naccache (00 popseam ma elação simplificada ete vazão e qeda de pessão, paa escoametos de flidos viscoelástico atavés de meio pooso, semelhate a Lei de Dacy paa flidos Newtoiaos. A elação foi desevolvida em das etapas. Pimeiamete a elação peda de caga / vazão de m meio pooso ideal foi obtida tilizado m caal covegete-divegete e cosideado m flido pamete etesioal, ode a viscosidade é dada po: = K & Eq. (.7 ode K e são os paâmetos eológicos e & é a taa de etesão. A vazão volmética de m flido Newtoiao deto de m tbo cicla é epessa po:! R dp Q = Eq. (.8 8 dz

6 5 Cosideado ma apoimação de lbificação, a eqação pode se estedida paa tbo covegete-divegete da segite foma:! R( z dp Q = Eq. (.9 8 dz ode R( é o aio do caal, dado po: " R0 ( R R0., 0 # # L $ R( L = % $ ( L R ( R0 R, L # # L $& L Assmido flido ão Newtoiao, modelado pela eqação costittiva de Flido Newtoiao Geealizado, com a viscosidade dada pela eqação (5, e a taa de defomação igal a taa de etesão, covegete-divegete é epessa po: & ' d& dz, a vazão atavés do tbo Q = N! R ( ( 3" 3 ( L, % (( p ( 3( cycle K ( R & Eq. (.0 ode, 3A ( R N = ; (( p ( 0 ( ; / 0; L 3 cycle = p p L R = R R L = e! R ( R ( R0 R 0 = Poosidade Aalogamete à Lei de Dacy, podemos epessa a eqação da segite foma: Q P = M ( A L Eq. (. ode Q é a vazão e ( p L = (( p ciclo L é a média do gadiete de pessão (L é o compimeto total da amosta do poo. A mobilidade M é epessa da segite foma: Eq. (. M 3 ( ( ( ( R, " 3(, "( p, 3 % 3( % ( R L R0 ( R ( R & L " R % 6R 0 L - & &

7 6 O pimeio fato é pamete geomético, eqato o segdo fato é pamete eológico. O teceio e qato fatoes são espectivamete iteações geomético-eológico e gadiete de pessão-eológico.