Revisão Vetores em R n

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1 Revisão Vetoes em R Deiição O espaço vetoial R é o cojuto R : {( x1,, x) xi R, i 1,, } o qual deiimos as opeações: a) Se u ( x 1,, x ) e v ( y 1,, y ) estão em R temos que u + v ( x1 + y1,, x + y) ; b) Se u ( x 1,, x ) R e λ R temos que λ u λx,, λx ) ( 1 Deiição Dados u x,, x ) ( 1 e v y,, y ) ( 1 elemetos quaisque de R dizemos que eles são iguais, e escevemos u v, se x y i i i, 1,, Repesetação Geomética de Vetoes em R Dado um veto qualque u ( x1, x, x) R, podemos epesetá-lo po um segmeto oietado cuja oigem coicide com a oigem do sistema de coodeadas e a extemidade é o poto x, x, ): ( 1 x Deiição Se u ( x 1,, x ) vetoes em R deiimos : a) o poduto escala de u e v po u v x1 y1 + + x y xi yi ; i 1 e v y,, y ) ( 1 são 1

2 b) a oma ou compimeto de u po u Se u 1 u u x i i 1 dizemos que u é um veto uitáio Popiedades do Poduto Escala Paa quaisque u, v, w R e λ R são válidas: i) u u u ; ii) u w w u ; iii) u ( v + w) u v + u w ; iv) ( λ u) w λ( u w) u ( λw) 1 Popiedades da Noma Paa quaisque u, w R e λ R são válidas: i) u, u u (,,) ; ii) λu λ u ; iii) u + w u + w (Popiedade tiagula) Teoema 1 (Desigualdade de Schwaz) Paa quaisque, v R vale u v u v u

3 Note que se u e w são dieetes de etão u w e da desigualdade de Schwaz temos que u w 1 1, sedo assim, existe um úico θ [, π] tal u w u w que cos θ u w Deiição Dados u e w elemetos de R { } deiimos como âgulo ete u e w o úico θ [,π ] paa u w o qual vale cos θ Deotamos ( u, w ) θ u w Teoema Paa quaisque u, w R {} temos que u é otogoal a w se e somete se u w Deiição Se P x,, x ) e Q y,, y ) são potos ( 1 ( 1 quaisque de R, deiimos a distâcia ete P e Q como sedo a oma do veto P Q : d ( P, Q) P Q ( x1 y1) + + ( x y) Popiedades da Distâcia Sedo P,Q e R potos de R são válidas: i) d ( P, Q), d( P, Q) P Q ; ii) d ( P, Q) d( Q, P) ; iii) d ( P, Q) d( P, R) + d( R, Q)

4 Teoema Se P ( x 1,, x ) e Q ( y 1,, y ) temos paa todo i { 1,,, } : a) x y d( P, Q) P Q ; i b) P Q i i 1 x i y i Deiição Um cojuto L, de potos de se existiem um poto L { P + t u, t R} R, é uma eta P R e um veto ão ulo u tal que Isto é, P L t R tal que P P + t u A equação P P + t u é chamada de equação vetoial da eta que passa po P e tem dieção u Obsevação Se t [,1] a equação P( P + t ( Q P) deie o segmeto echado cotido em R, com extemos P e Q Aalogamete deiimos segmetos abetos ( t (,1) ), segmetos semi-abetos ( t [,1) ou t (,1] ) Notações: [ P, Q] deota o segmeto echado; ( P, Q) deota o segmeto abeto Se a equação P P + t u, t R tivemos P ( x, y, z), P ( x, y, z) e u ( a, b, c) etão as equações paaméticas da eta são : 4

5 x y z x y z + t a + t b + t c, t R Obsevação O mesmo pode se eito paa uma eta qualque cotida em R ( xi xi + t ai, t R i 1,,, ; ode P x,, x ), P ( x,, x ) e u a,, a ) ( 1 1 ( 1 Deiição Um cojuto Π, de potos de R, é um plao se e somete se existem um poto P e dois vetoes LI de Π P R / P P { R R, u e w, de modo que + t u + s w; t, s R } Isto é, P Π Existem t1 e s1 R tais que P P + t1 u + s1 w A equação P P + t u + s w ; t, s R é chamada de equação vetoial do plao Se P ( x, y, z), P ( x, y, z), u u, u, ) e w w, w, ) etão temos x y z ( 1 u x y z + t u 1 + t u + t u + s w 1 + s w + s w ( 1 w ; t, s R Estas são chamadas Equações Paaméticas do plao ) 5

6 Deiição O Hipeplao de R, que cotém P R e é pepedicula ao veto ão ulo, é o cojuto Π { P R ( P P ) } Note que se etão Π é uma eta e se etão Π é um plao Assim a deiição de Hipeplao cotém, como caso paticula, as deiições de eta e plao Deiição Se u ( x1, y1, z1) e w ( x, y, z) vetoes de R, deiimos o poduto vetoial u w po i j k u w x y z y z z y ) i + ( z x x z x 1 y 1 z 1 ( são ) j + + ( x y y x ) k 1 1 u Teoema Se θ é o âgulo ete u e w etão temos que w u w seθ Deiição O poduto misto de u,v e w é o seguite umeo eal u v w u v w cosθ ode θ é o âgulo ete u v e w Geometicamete u v w é o volume do paalelepípedo detemiado po u,v e w 6

7 Supeícies Falaemos bevemete de supeícies, diemos o essecial e ituitivo uma vez que tal coceito é, em geal, estudado omalmete a disciplia Geometia Dieecial Assim é que uma supeície seá dada po uma lei de geação ou aida como sedo os potos do espaço que obedecem a uma equação da oma F ( x, y, z) O plao (visto como um Hipeplao de R ) que passa po P ( x, y, z) e é pepedicula ao veto ão ulo u ( a, b, c) é o cojuto dos potos P ( x, y, z) paa os quais ( P P ) u ( x x, y y, z z) ( a, b, c) ax + by + cz + d F( x, y, z), ode d ax by cz Assim, o plao é uma supeície chamada Supeície Plaa Daemos agoa algumas supeícies po meio de lei de geação ecotado, a segui, suas equações Deiição Dados um poto P R e um úmeo eal >, a supeície eséica S de ceto P e aio é o luga geomético dos potos de R que distam do poto P, isto é, S { P R d P, P ) } ( Exemplo Ecote a equação da supeície eséica que dista uidades do poto ixo P ( 1,,) 7

8 Em geal temos que a equação: ( x x ) + ( y y) + ( z z), é a equação de uma supeície eséica de ceto ( x, y, z) e aio > Deiição Um subcojuto S R é uma supeície cilídica se existiem uma cuva C e uma eta tais que S é a euião de todas as etas paalelas à que passam po algum poto de C Chamamos C de dietiz e as etas paalelas à são chamadas geatizes de S Exemplo Desehe e ache a equação da supeície x + y 1 cilídica deiida pela cuva C : e pela eta z x : y z λ ; λ R Deiição Um subcojuto S R é uma supeície côica, se existiem uma cuva C e um poto V C tais que S é a euião das etas que passam po V e Q, ode Q C Obsevação A cuva C é a dietiz, o poto V é o vétice e cada eta cotedo V e passado po C é uma geatiz de S 8

9 x + z 1 Exemplo Dados a cuva C : e o poto y 1 V (,,), ecote a equação da supeície côica, S, detemiada po C e V Desehe S Execícios 1) Esboce as seguite supeícies cilídicas: i) x + z 1; ii) z x ; iii) y z 1 x + y + z a ) Cosidee C : e V (,, a), a >, dê z a equação e desehe o coe detemiado po C e V ) Tace um esboço do plao x + y + z 1 Supeícies Quádicas Uma Supeície Quádica é o luga geomético de uma equação da oma ( I) F( x, y, z) a1x + a y + az + a4xy + a5xz + a6 yz + + a 7 x + a8 y + a9z + a1, ode a i R, i {1,,,1 } e pelo meos um dete a 1, a,, a6 é ão ulo Uma equação do tipo (I) acima pode se simpliicada po otações e taslações Faemos o estudo de algus casos paticulaes da equação (I) 9

10 1) Elipsóide O luga geomético de uma equação da oma x y z + + 1, ode a, b, c R é a supeície quádica a b c cohecida como Elipsóide Obseve que o caso paticula em que a b c temos a supeície eséica Obseve, aida, que a itesecção do Elipsóide com os plaos coodeados são elipses (cicueêcias quado a b c ) Um esboço geal de sua oma geomética é: ) Paabolóide Elíptico O luga geomético de uma equação x y z da oma + a b, ode a, b, c R, é a supeície c quádica cohecida como Paabolóide Elíptico No caso paticula em que a b temos o Paabolóide Cicula Obseve que a itesecção do Paabolóide Elíptico com os plaos coodeados xz e yz são paábolas; já com plaos paalelos ao plao xy são elipses (quado a b), cicueêcias (quado a b) um úico poto ou o cojuto vazio Um esboço geal de sua oma geomética é: 1

11 ) Coe Elíptico O luga geomético de uma equação da x y z oma +, ode a, b, c R, é a supeície a b c quádica cohecida como Coe Elíptico No caso paticula em que a b temos o Coe Cicula Obseve que a itesecção do Coe Elíptico com os plaos coodeados xz e yz são paes de etas; já com o plao xy um poto Um esboço geal de sua oma geomética é: 4) Hipebolóide de Uma Folha O luga geomético de uma x y z equação da oma + 1, ode a, b, c R, é a a b c supeície quádica cohecida como Hipebolóide de Uma Folha Obseve que a itesecção de tal Hipebolóide com plaos paalelos ao plao xy são elipses (cicueêcias quado a b) e com plaos paalelos aos plaos xz e yz são hipéboles Um esboço geal de sua oma geomética é: 11

12 5) Hipebolóide de Duas Folha O luga geomético de uma z x y equação da oma 1, ode a, b, c R, é a a b c supeície quádica cohecida como Hipebolóide de Duas Folha Obseve que a itesecção de tal Hipebolóide de Duas Folha com os plaos coodeados xz e yz são hipéboles já com os plaos z k ode k > a são elipses (cicueêcias quado c b) Um esboço geal de sua oma geomética é: 6) Paabolóide Hipebólico O luga geomético de uma y x z equação da oma b a, ode a, b, c R, é a c supeície quádica cohecida como Paabolóide Hipebólico Obseve que a itesecção de tal Paabolóide Hipebólico com os plaos coodeados xz e yz são paábolas já com os plaos z k, k são hipéboles (paa z duas etas) Um esboço geal de sua oma geomética é: 1

13 Algus Subcojutos de R Deiição Um subcojuto A R é covexo se paa qualque pa de potos P, Q de A, o segmeto [ P, Q] está iteiamete cotido em A Popiedades i) é covexo; ii) Todo itevalo da eta é covexo; iii) A euião de covexos pode ão se covexo; iv) R é covexo; v) A itesecção de covexos é covexo Deiição Se P R, > etão a Bola abeta de ceto P e aio, deotada po ( P ), é deiida po B ( P < ) { P R / P P } Obsevações: Se 1, B ( P ) é o itevalo abeto ( P, P + ) ; Se, B ( P ) é o iteio de uma cícueêcia com ceto em P e aio ; Se, B ( P ) é o iteio da supeície eséica com ceto P e aio B 1

14 Deiição Se P R, > etão a Bola echada (ou Disco de ceto P e aio ), deotada D ( P ), é deiida ( po D P ) { P R / P P } Deiição Uma Bola (abeta ou echada) Peuada é uma bola (abeta ou echada) meos o seu ceto * ( P * ( P Notação: B ), D ) Deiição Se A R e P A etão P é dito se um poto iteio de A se existi > tal que ( P) A o A Notação: it A Dado Deiição Um cojuto potos são iteioes B A R deotaemos seu iteio po A R é abeto se todos seus Deiição Um cojuto F R é echado se c R F F (complemeta de F em R ) é abeto Obsevações i) Existem cojutos que ão são abetos em echados; ii) Existem cojutos que são abetos e echados ao mesmo tempo R Deiição A é limitado se existi > tal que A B ( P ), ode P (,,) é a oigem de R Deiição limitado K R é compacto se o echado e 14

15 Deiição Um subcojuto D R é coexo po camihos se dados quaisque dois potos de D existi uma cuva, ligado tais potos, iteiamete cotida em D Podemos ala com abuso de liguagem que um cojuto é coexo se tem um só pedaço Deiição Dizemos que o abeto e coexo D R é um domíio se D Deiição Sejam A R e P R Dizemos que P é poto de acumulação de A se paa todo > temos que * B ( P) A Obsevações: i) Deotamos po A ' o cojuto de todos os potos de acumulação de A; ele é chamado deivado; ii) Um poto de acumulação de A pode ão petece a A como é o caso de P paa o cojuto A (, 1) R; iii) Um poto do cojuto pode ão se de acumulação paa esse cojuto como é o caso de P paa o cojuto A { } (1,) R Deiição Dado A o cojuto A A A' R, a adeêcia (ou echo) de A é Obsevação Paa qualque A R, A é o meo cojuto echado que cotém A, isto é, se F R é echado e A F etão A F 15

16 Deiição Dado A R chamamos de oteia de A, e deotamos A, ao cojuto dos potos P R tal que é válido: B ε ( P) A e B ε ( P) A c, paa todo ε > Fuções Vetoiais Se P P + t u, t R é a equação de uma eta passado po P x, y, ) com dieção u u, u, ) etão a cada ( z ( 1 u t R coespode um poto P( R Assim, podemos pesa em P como uma ução que tem como domíio o cojuto R e como imagem a eta detemiada po P e u em R Uma vez que R é um espaço vetoial podemos pesa P ( como um veto, paa todo t R Deiição Uma Fução Vetoial é uma ução cuja imagem é um cojuto de vetoes Se deotamos P ( ( x(, y(, z( ) a equação vetoial da eta obtemos suas equações paaméticas x( x + t u1 y( y + t u, t R z( z + t u Fuções Vetoiais de uma vaiável eal em R Deiição Uma ução vetoial de uma vaiável eal em R é uma ução deiida em um subcojuto de R com imagem o espaço vetoial R 16

17 Notações: Algumas vezes utilizaemos um abuso de otação idicado a ução vetoial P po P ( Se P é uma ução vetoial em R deotaemos: D domíio de P, cotido em R; C P imagem de P, cotida em escevemos etão P : D R R ( 1 t P P R, Uma vez que t DP R e P( R podemos idica P ( x (, x (,, x ( )) ode, paa cada i 1,,, temos que xi : DP R R Assim, uma ução vetoial em detemia uções eais de uma vaiável eal R Exemplo Desehe a imagem, C P, P( ( 1+ t, 1 t ), t R ode Limite e Cotiuidade de Fuções Vetoiais em Seja P ( x (, x (,, x ( )) uma ução vetoial R, com ( 1 t DP t ; t um poto de acumulação de D P Deiição Diemos que P ( x1, x,, x ) é o limite de P ( quado t tede a t se paa cada i { 1,, } tivemos lim x ( e escevemos lim P( P t t i x i t t Deiição Dizemos que P é cotíua em lim P( P( t) t t t DP se 17

18 Deiição Dizemos que P é cotíua em é cotíua em todo t A A DP se P Obsevação Se P( ( x1 (,, x( ) etão P ( é cotíua se e somete se x i ( é cotíua paa todo i 1,, { } Exemplos Estude o limite e a cotiuidade das uções vetoiais dadas os potos idicados os casos: ( ) i) P ( l(1 +, 1+ t, t ii) em t t 4 set P (,, em t t t e t ( em t R iii) P ( se t,cost, t ) Cuvas Equações Paaméticas Deiição Uma cuva em R é a imagem CP R de uma ução vetoial P que é cotíua e tem como domíio D um itevalo da eta R P Isto é, uma cuva em R é a imagem de uma ução cotíua P ( x (, x (,, x ( )), t I, I itevalo ( 1 t O veto P ( é chamado de veto posição e vaia quado t pecoe I 18

19 A equação P( ( x1 (, x(,, x( ), t I é chamada uma paametização de C P Já as equações x1 x1( ; x x( ;; x x( são as equações paaméticas de C P, as quais t é o paâmeto Notemos que a mesma cuva pode te váias paametizações como pode se visto com a cicueêcia x + y 1, esta pode se descita pelas paametizações: i) P ( (cost,se, t [,π ]; ii) P( (cosπ t, seπ, t [,1] Em R uma cuva tem as equações paaméticas x x( t ), y y( t ), t I Elimiado-se t as equações acima obtemos uma equação em x e y, chamada de equação catesiaa da cuva Em geal, o cojuto de potos que satisazem a equação catesiaa cotém (às vezes popiamete) a cuva em questão Exemplo1 Paa P ( (set,cos, t [, π ] Exemplo Paa P ( ( t,, t Notação Uma ução vetoial P também pode se epesetada a oma P( x( i + y( j, ode { i, j } é a base caôica do espaço R, isto é, i (1, ) e j (,1) Em R epesetamos uma cuva pelas equações paaméticas x x( t ), y y( t ), z z( t ), t I Aalogamete podemos elimia t as equações acima, obtedo agoa 19

20 duas equações em x, y, z chamadas equações catesiaas de C P Cada equação catesiaa epeseta uma supeície e C P é a itesecção das duas (ou está cotida essa itesecção) Notação: Também podemos epeseta equação P( x( i + y( j + z( k, t I a base caôica em R C P R pela i, j, k é ode { } Exemplos Desceve, geometicamete, a cuva dada os casos: i) P ( (cost,se ode a) t [, π] ; b) t [,π ] π (, t [, ] π P( (se i + (cos j, t [, ] x t ; y cost ; z set, t [,4π ] ii) P ( set, set, cost ) iii) iv) t v) P ( (set,se ), t R vi) P ( ( cost, set, 1), t R t t t vii) P ( e cost, e set, e ) (, t

21 Deivada de uma Fução Vetoial Deiição Se P é uma ução vetoial em R deiimos a deivada de P em t, que deotamos P '(, po P( t + h) P( P'( lim, quado tal limite existe h h Assim, P ' pode se pesada como uma ução vetoial cujo domíio é o cojuto dos t DP paa os quais tal limite existe Teoema Se P( ( x1 (, x(,, x( ) etão teemos P' ( ( x' 1 (, x' (,, x' ( ), e o domíio de P ' é a itesecção dos domíios de x, x',, x' ' 1 Obsevação Assim, P '( existe se existe x' i ( paa cada i { 1,,, } Exemplos: Detemia P '( paa: t i) P ( (set, cos ); t ii) P( ( e cost, lt, t, set ) 5 Teoema Se P ( é deivável etão P ( é cotíua 1

22 Itepetação Geomética Tagêcia Seja P : DP R R, C P a cuva em R descita po P A dieção do veto P( t + h) P( é a mesma do veto 1 [ P( t + h) P( ] h Se existe P '( a dieção de 1 [ P( t + h) P( ] h apoxima-se da dieção de P '(, pois P( t + h) P( P'( lim h h Simultaeamete, este pocesso, P( t + h) P( Assim, quado existe e é ão ulo, P '( é o veto tagete à cuva C o poto P ( P A eta detemiada po P ( e P '( é chamada de eta tagete à C P o poto P ( e é dada po L { P( + λ P'( / λ R } Quado P '( o veto tagete ão é deiido Exemplos: i) O gáico de uma ução eal cotíua pode se visto como a imagem da seguite ução vetoial P : D R / P( x) ( x, ( x)) ii) Ecote a equação da eta tagete à cuva C P, paa a P( cost, set, t [,π ] em t π qual ( )

23 iii) Ecote a equação da eta tagete à cuva C P, paa a P ( cost, set, set, t [,π ], o poto qual ( ) P,, Regas de Deivação Sejam P e Q uções vetoiais em φ : D R R, λ R φ R, Deiições: Em a) ( P ± Q)( P( ± Q( ; b) ( P Q)( P( Q( R ; c) ( P Q)( P( Q( R Em D P deiimos : d) ( λ P)( λ P(, λ R Em D D deiimos P D φ DP deiimos: e) ( φ P)( φ( P( Teoema Se P, Q, φ são deiváveis em t, etão λ P, P ± Q, φ P, P Q, P Q também o são e valem: i) ( P ± Q)'( P'( ± Q'( ; ii) ( λ P)'( λ P'( ; iii) ( P Q)'( P'( Q( + P( Q'( ; iv) ( P Q)'( P'( Q( + P( Q'( ; v) ( φ P)'( φ'( P( + φ( P'( Q

24 geal Obsevação: Em iv) a odem é impotate pois em u v v u Se P é uma ução vetoial deivável cuja imagem desceve o movimeto de uma patícula, digamos em R, a codição P( costate c, c >, impõe que esse movimeto se dê sobe uma esea de aio c e ceto a oigem Assim o veto tagete à cuva em um poto P (, deve se tagete á esea este poto, isto é, P' ( P( De ato: Isto demosta o seguite teoema Teoema Se uma ução vetoial P, deivável em I, tem compimeto costate (isto é, P ( c, c costate, paa todo t I ) etão P '( P(, qualque que seja t I Deiição Se a imagem de P desceve a tajetóia de uma patícula etão paa cada t D deiimos: P ( veto posição da patícula P '( veto velocidade da patícula P ''( veto aceleação da patícula P '( velocidade escala da patícula P ''( aceleação escala da patícula P 4

25 Repaametização Cosideemos a ução vetoial P :[ a, b] R e seja φ :[ c, d] [ a, b] bijetiva, com φ ' cotiua, φ ( s ) t Nessa situação podemos obte a composta Q Poφ :[ c, d] R Nestas codições dizemos que φ é uma mudaça de paâmetos e Q Poφ é uma epaametização de C P Caso Q' ( s) 1, s diemos que Q é uma epaametização D Q po compimeto de aco da cuva Seja P C P Compimeto de Aco C uma cuva de R dada pela ução vetoial P :[ a, b] R Se {, 1,, } é uma patição de [a,b], isto é, t a t1 t t b deotamos jt t j t j 1 o compimeto de [ t j 1, t j ] A oma dessa patição é deiida po max{ j t, j 1,, } [a,b] Idicamos po P o cojuto de todas as patições de A expessão L j 1 P( t ) P ( t dá o com- j j 1 ) pimeto da poligoal que passa pelos potos P t ), P ( t ),, P ( t ), uma vez ixada ( 1 5

26 Deiição O compimeto de aco da cuva C P de P (a) até P (b) é deiido po lim L L( a, b), ode vaia em P Desde que o limite exista Obsevação Se L é um úmeo eal, dizemos que uma cuva etiicável C P é Teoema Se P é uma ução vetoial deivável com P ' cotíua em [a,b], o compimeto L ( a, b) é dado po b P'( dt L ( a, b) v( dt a b a Obsevação Se uma cuva C é dada como gáico de uma ução :[ a, b] R, esta com deivada cotíua em [a,b], etão o compimeto de C é dado po b P'( dt 1+ L ( a, b) ' ( dt, ode P( ( t, ( ), t [ a, b] a Exemplo1 Detemia o compimeto de aco de C P, os casos: a) P ( ( t,t ), t [,] ; b) P ( (cost, set, t ), t [,4π ] Execício Na costução de uma bobia, vamos usa um cilido de aio cm e altua h cm, uma ceta quatidade de io de espessua despezível, a se eolado o cilido em oma de hélice Calcula o compimeto total do io, sabedo que o passo da hélice é p, 1cm, isto é,,1 z t π b a 6

27 Fuções Reais de Váias Vaiáveis Deiição Uma ução eal de vaiáveis eais é uma ução cujo domíio é um subcojuto A R, com valoes eais, escevemos etão : A R R Notações D Domíio de ; Im Imagem de caso Exemplo 4 R : R 4 R / ( x D e Im [, + ) 1, x, x, x 4 ) 4 x i i 1 Neste Notação z x, x, x, ) ( 1 x4 Exemplos: 1) Ecote o domíio de: a) ( x, y x + 1 y ; b) ( x, x y ; se x x c) ( x, ; d) ( x, ; 1 x + y x + y xy e) ( x, y, z) x + y + z 1 ) Ecote a imagem de: a) ( x, y, z) 4 x y z ; x b) ( x, ; c) ( x, se xy x + y 7

28 Gáicos de uções de duas vaiáveis Cuvas de ível Deiição Dada uma ução Gáico de : D R R o é o seguite subcojuto de +1 R : + 1 { x, x, z) R / ( x, x ) D e z ( x,, x ) } G ( No caso em que, como G R +1, ão podemos visualiza tal Gáico O caso iteessate é quado, este o G seá, em geal, pate de uma supeície e podeemos aze uma epesetação geomética Exemplos Esboce o gáico de z ( x, paa: i) ii) iii) iv) v) z 4 x y, com D : x + y 4 z x + y, com D : x + y 16 z x + y, com D R z 4 y, com D : x, y z 1+ x + y, com D : x + y 8 Um coceito impotate que auxilia a taça o esboço do gáico de uma ução é o de cuvas de ível Deiição A cuva de ível C k, o plao, de uma ução z ( x,, associada ao valo z k é o subcojuto C { ( x, D / ( x, k } k 8

29 Exemplo Ecote as cuvas de ível o plao paa x ( x, + y Deiição A cuva de ível o espaço de z ( x,, deotada também po C, é o cojuto: k Ck { ( x, y, z) R / ( x, D e ( x, z k Uma vez que C G ( plao z k) teemos que o k gáico de é, etão, a euião das G U C k ( k Im ) } C k o espaço, isto é, Exemplos 1) No exemplo ateio tíhamos x ( x, + y Ecote agoa as cuvas de ível o espaço paa tal ução ) Use o coceito de cuva de ível o espaço paa taça um esboço do gáico de z ( x, 9 x y ode D { ( x, R / x + y 4 } ) Idem paa z ( x, x + y 4, com D : 4 x + y 9 Execício Ecote as cuvas de ível e tace um esboço do gáico de z ( x, x y e de z ( x, y x, compae tais gáicos 9

30 Podemos, também, te uções cuja lei de omação muda coome seja a pate do domíio que cosideamos como é o caso, po exemplo, de : R R deiida po x + y + 1 se x + y 1 ( x, se 1 < x + y 4 x + y se x + y > 4 Sejam Opeações com Fuções : D R R, g : D R R e φ : D R R, temos as seguites opeações: de φ a) ( ± g)( P) ( P) ± g( P), D ± g D Dg b) ( g)( P) ( P) g( P), D g D Dg ( ) c) ( P )( P), D g { P D Dg / g( P) } g( P) g d) ( φo )( P) φ( ( P)), D P D / ( P) D } φo Limites g { φ Seja : D R R, P um poto de acumulação D A otação lim ( P L tem o sigiicado: (P) ) P P apoxima-se abitaiamete de L desde que P apoxime-se suicietemete de P

31 Deiição Dizemos que L é o limite de em P e escevemos lim ( P) L se e somete se paa cada ε >, P P existe δ > tal que ( P) L < ε sempe que P P < δ, P D < Exemplos Moste que: i) lim 5x y ; ( x, (,4) ii) lim x x, e que lim y y ( x, ( x, y ) ( x + ( x + ) iii) lim ( x, (,) ( x + ( x, ( x, y ) ; Teoema Sejam paa as quais lim ( P) P Teoemas sobe Limites P P ( D D )' etão : g : D R R, g : D R R e lim g( P) P P a) lim ( ± g)( P) lim ( P) ± lim g( P) ; P P P P P P b) lim ( g)( P) lim ( P) lim g( P) ; P P P P P P g existem, 1

32 c) a) b) lim lim ( P P )( P) P P g tehamos lim g( P) ( P) lim g( P P e P ( ) P) P P D Exemplo Calcule os limites dados: lim x ( x, ( x, y ) lim + ( x, ( x, y ) x y ;, ode N g, desde que Teoema Se ( P) g( P) h( P) paa todo P B ( P ) e se lim ( P) lim h( P) L etão lim g( P) L P P P P P P Teoema Se lim ( P) e se g( P) M, paa P P todo P B P ), etão lim( g)( P) ( P P Exemplo Calcule lim ( x, (,) xcos x 1 + y Teoema Sejam : D R R com lim ( P L, ) P P φ : D R R cotíua em L Se P ( D )' etão lim φ P P ( φ o )( P) φ( lim ( P) ) φ( L) P P φo

33 b) Exemplo Calcule os limites: a) lim x + lim ( x, (1,1) (x + y ), ode N ( x, (1,1) y ; Teoema(Cosevação de Sial) Se lim ( P) L, etão existe P ) P P (P) coseva o sial, isto é: B ( a qual ( ( D B ( P i) Se L >, ( P) >, P D B ( P )); ii) Se L <, ( P) < Seja, P )) Limites Atavés de Subcojutos : D R R, R A tal que A D A estição de a A D, deotada A, é a ução : A D D R dada po A ( P) ( P), A D P A Deiição Se estição de a P ( A D )' dizemos que o limite da A D é L, quado P L lim A ( P) P P lim ( P se L ) P P P A D P, e deotamos

34 Limites ao logo de Cuvas Tataemos agoa de um caso paticula da situação descita acima quado tivemos que A C cuva de R Seja P : D R R e cosideemos a ução vetoial cotíua P : I R R tal que P P( t ) esteja o iteio de D, com t I Podemos cosidea o limite lim ( P) P P P C P D lim ( P) lim ( P( ) e este depede de uma úica C P P P t t vaiável de Exemplo Se z ( x, tem (,) como poto iteio D cosideemos o lim ( x, os casos: ( (, ) (,) x y x, A D i) A {( x, R / x y } ; ii) A {( x, R / x } Teoema Nas codições da deiição ateio se P é um poto de acumulação de D etão temos que L lim ( P) se e somete se L lim ( P), P P paa todo R A, tal que P ( A D )' P P P A D 4

35 Cooláio Se existiem subcojutos A e B de R paa os quais tehamos lim ( P) lim ( P), ode P P P P P P A D P B D ( A D )' e P ( B D )' etão ão existe lim ( P) P P Obsevação O cooláio acima é útil paa se veiica a ão existêcia de um limite a) Exemplos Estude a existêcia dos limites: x x y lim ; b) lim x + y x + y ( x, (,) ( x, (,) Sejam temos a seguite: Cotiuidade : D R R, P D ( D )' etão Deiição Dizemos que é cotíua em P lim ( P) ( P ) P P se Teoema Se e g são cotíuas em P, P ( D Dg )', λ R, etão são cotíuas em P as uções: a) ± g ; b) g ; c) λ ; d) ( desde que g ( P ) g ); e) Se é cotíua em P e φ é cotíua em ( P ) etão φ o é cotíua em P 5

36 Um poliômio homogêeo em duas vaiáveis, de gau 1 1, é da oma P( x, a x y + a x y + + a x y 1 Um poliômio em duas vaiáveis é uma soma iita de poliômios homogêeos em duas vaiáveis Uma ução é dita poliomial se existi um poliômio p ( x, tal que ( x, p( x,, ( x, D Uma ução é chamada de acioal se é da oma P( x, ( x,, ( x, D, ode P e Q são poliômios Q( x, em duas vaiáveis Obsevação: Temos deiições aálogas paa poliômios, uções poliomiais e acioais de tês ou mais vaiáveis eais Paa qualque que seja o úmeo de vaiáveis é válido o seguite teoema: Teoema i) Uma ução poliomial é cotíua; ii) Uma ução acioal é cotíua em seu domíio 6

37 Exemplo 1 Discuta a cotiuidade da ução x, se ( x, (,) ( x, x + y, se ( x, (,) Exemplo Detemie a egião de cotiuidade da ução ( x, x x + + y y, +, se se x x + + y y 4 > 4 Deivada Diecioal Deivadas Paciais Gadiete Se z ( x,, ão se deie em um poto P D uma úica taxa de vaiação de Esta depede da dieção segudo a qual P move-se paa P A taxa de vaiação de em P, a dieção de u ( P + t u) ( P ) (uitáio) é dada po : D u ( P) lim e t t é chamada de Deivada Diecioal de em P, a dieção do veto uitáio u Notações: D u ( P ); ( P ); u ( P ) u 7

38 Obsevações Se veto uitáio de R : : D R R, P D e u é um i) A deiição é aáloga, isto é, ( P + t u) ( P ) D u ( P) lim ; t t ii) Se φ ( ( P + t u) etão teemos que ( P + t u) ( P ) φ( t ) φ() D u ( P) lim lim t t t t φ '() A obsevação (ii) os dá um meio de calcula D u ( P ) utilizado apeas cohecimeto de deivadas de uções eais de uma vaiável eal Exemplo 1 Calcula D u P ) ode P x, ); ( x, x xy + y e u (1, ) ( ( y Exemplo Mosta que a ução: x y, se ( x, (,) ( x, 4 x + y é descotíua em, se ( x, (,) (,), poém as deivadas diecioais existem em P (, ), paa qualque dieção u escolhida 8

39 Deivadas Paciais Seja : D R R, P D A Deivada Pacial de em P, em elação a j-ésima coodeada, deotada ( P ), é dada po ( P ) D e ( P ) x j x j j ( P + t e j ) ( P ) lim, ode e (,,,1,,), 1 a t t j-ésima posição e as demais Notações: De j ( P ); ( P ); ( P ) x j j j x Obsevação Se z ( x1, x,, x), a deivada pacial de em elação a x j,, o poto P ( y 1,, y ) é x j obtida deivado-se ( x1, x,, x) como se toda x i, i j osse costate e somete x vaiasse Após esta opeação substituímos x i po y i, paa todo j i 1,,, Exemplo Da as deivada paciais de : i) ii) ( x, x + y em P (1, ) ; ( x, y, z) z e x se y em P (, π, 1) Deiição Dizemos que é Deivável em P se existem em P todas as deivadas paciais 9

40 Exemplos: 1) Estude a deivabilidade de ( x, y + x ; ) Estude se é deivável em P (, ) a ução ( x, y + x Deiição Seja : D R R, tal que D é abeto em R, P D e é deivável em P O Gadiete de em P, deotado ( P ), é o veto deiido po: ( P ) ( ( P ),, ( P ) ) x x 1 Exemplo Calcula ( P ) ode P (, π, 1), e ( x, y, z) z e x se y Deivadas Paciais de Odem Supeio Teoema de Schwaz Se como uma ução : D R R etão x j pode se pesada : A D R, ode A é deiido po x j A P D / existe ( P), caso possua deivadas x j x j paciais estas seão chamadas as deivadas paciais de odem 4

41 dois de e assim, sucessivamete e sempe que possível, obtemos as deivadas paciais de odem tês, quato, de Notações A -ésima deivada pacial de em elação à x j é deotada Po x j x i x, D ( D e ) i e j ou x j x i j deotaemos as deivadas paciais de a odem de, po, D ( D ( D e )) i e j e ou k x x x i j k deotaemos as xk x j xi deivadas paciais de a odem de e assim sucessivamete Exemplo Da as deivadas paciais de a x ução ( x, e se y + cos x odem da Deiição Uma ução é de classe m C em um abeto Ω R, e deotamos C (Ω), N, se todas as deivadas paciais até odem existem e são uções cotíuas em Ω Teoema (Cauchy-Schwaz) Se é uma ução de classe C em um abeto cotedo o poto P x, ) etão temos que ( y ( x, y) ( x, y) x y y x 41

42 Um exemplo bem cohecido de ução paa a qual ( P ) ( P ) é dada po: x y y x xy, se ( x, (,) ( x, x + y em P (, ), se ( x, (,) Dieeciabilidade É ácil mosta a seguite caacteização de dieeciabilidade paa uções eais de uma vaiável eal Teoema Se φ : I R R, I abeto, x I, temos que φ é dieeciável em x a R tal que φ( x + h) φ( x) a h lim, e este caso a φ' ( x) h h Este teoema sugee-os como deii dieeciabilidade paa uções : D R R Deiições: Seja : D R R, D abeto de R i) Dizemos que é dieeciável em P D se ela satisaz : d1) Existem todas as deivadas paciais x (P), j 1,,, ; j 4

43 H ( P + H ) ( P) ( P) H d) lim, ode temos H H ( h 1,, h ) R e ( P + H ) D ii) Dizemos que é dieeciável em um cojuto A se ela o dieeciável em todo poto de A D iii) Dizemos que é dieeciável se ela é dieeciável em seu domíio Notações Nas codições das deiições ateioes: 1) O temo ( P) H chama-se dieecial de em P e H, e deotamos d ( P, H ) ou '( P) H, assim temos d ( P, H ) '( P) H ( P) H ( ( P),, ( P) ) ( h1,, h ) x x 1 h1 ( P) + + h ( P) hi ( P) x x x 1 i 1 i ) O temo (P) (gadiete de em P) é chamado deivada de em P e deotamos D (P) ou '( P), assim ( P) D ( P) '( P) ( ( P),, ( P) ) x x 1 4

44 Obsevação Uma ução z ( x, é dieeciável em P x, ) se, e somete se, são válidas as codições: ( y d1) Existem ( P ) e ( P ) ; x y ( x + h, y + k) ( x, y ) ( P )( h, k) d) lim ( h, k ) (,) ( h, k) este caso temos H ( h, k) Equivaletemete vale o que deotamos po d ), isto é, lim ( x, ( x, y ) ( x, ( x, y ) ( P )( x x ( x x, y y ), y y ) Ates de itepetamos a dieeciabilidade geometicamete, açamos o seguite teoema Teoema Uma ução z ( x, é dieeciável em P x, ) se e somete se existe um plao Π, passado ( y (, ( P )) ( x, y, ( x, y po P )), tal que são válidas i) Π z ( x, y ) + a( x x ) + b( y y ); P : ( x, z ii) lim x, ( x, y ) ( x x, y y ) ( Neste caso a x, y ) e b x, y ) x( y( Geometicamete temos o esquema: P 44

45 Exemplos 1) Dada a ução ( x, x y xy pedimos: i) moste que é dieeciável em todo poto P R ; ii) calcule d ( P, H ); iii) detemie a equação de, plao tagete ao gáico Π P de, em P (, ) po meio de seu veto omal ( (,), (,), 1) x y xy, se ( x, (,) ) Estude se ( x, x + y é, se ( x, (,) dieeciável em (,) ) Estude a dieeciabilidade da ução do Exemplo acima em um poto ( x, y ) R {(,)} Execício Estude a dieeciabilidade de ( x, ( x + y ) em (,) Teoema Se e g são uções dieeciáveis em P R etão ± g ; g ; g ( g( P) ) são dieeciáveis em P e são válidas : i) d ( ± g)( P, H ) d ( P, H ) ± dg( P, H ); ii) d( g)( P, H ) ( P) dg( P, H ) + g( P) d ( P, H ); 45

46 iii) d( g )( P, H ) g( P) d ( P, H ) ( P) dg( P, H ) g ( P) Teoema Se é dieeciável em P etão é cotíua em P O último teoema é utilizado, algumas vezes, paa mosta que uma ução ão é dieeciável em um poto Mosta-se que ela ão é cotíua esse poto Exemplo Estude a dieeciabilidade da ução x y, se ( x, (,) ( x, 4 x + y, se ( x, (,) A existêcia das deivadas paciais ão é suiciete paa gaati a dieeciabilidade como podemos ve o póximo exemplo Exemplo Dada a ução: x + y, se x 1 ou y 1 ( x, Mosta que as, se x 1 e y 1 deivadas paciais (1,1), (1,1 ) x y é dieeciável em ( 1,1) existem, poém ão 46

47 Euciamos a segui codições suicietes paa dieeciabilidade Teoema Se tem deivadas paciais de 1ª odem cotíuas em um abeto etão é dieeciável esse abeto Isto é, se C 1 ( Ω) etão é dieeciável em Ω Segue que toda ução poliomial é dieeciável Exemplo Estude a dieeciabilidade de ( x, ( x + y ) em R -{(,)} A ecípoca do último teoema ão é válida, isto é, pode se dieeciável em P e as deivadas paciais (que existem!) podem ão se cotíuas em P Exemplo A ução 1 ( x + y )se ( x, ( x + y ),, se se ( x, (,), ( x, () é dieeciável em (,) poém x e y ão são cotíuas em (,) 47

48 Dieeciais (i) (ii) Exemplos Calcule d ( P, H ) os casos: ( x, x ; ( x, y Motivados po estes exemplos usaemos a seguite otação: H dp ( dx1,, dx ) e d d ( P, H ) d ( P, dp) ( P) dp ( P) dx1 + + ( P) dx x x 1 Se z ( x, é costume esceve z z dz d dx + dy dx + dy ; etededo-se que x y x y as deivadas paciais são calculadas em um dado poto P ( x, De modo aálogo se w ( x, y, z) é dieeciável temos que: w w w dw d dx + dy + dz dx + dy + dz x y z x y z Exemplos: Calcule dz se z l( 1+ x + y ) z x y xe w + e dw se 48

49 Acéscimos Seja z ( x,, se é dieeciável em P ( x, y) etão: i) existem ( P ) e ( P ); x y ii) vale que ( x + x, y + ( x, y ) ( P ) ( x, lim ( x, (,) ( x, Assim, se dz d d ( P, H ) ( P ) x + ( P ) y, x y ode H ( x, e z ( x + x, y + ( x, y) z dz ( P + H ) ( P ) teemos lim e ( x, y ) (,) ( x, podemos dize que dz é uma apoximação da vaiação de quado P vai de P paa P + H, ( z) Ou seja temos: z x + x, y + ( x, y ) dz x + y x y ( Usado a otação x dx e y dy teemos z dz dx + dy, paa dx e dy suicietemete x y pequeos (ote que as deivadas paciais são todas calculadas em P ) 49

50 Podemos utiliza este ato paa apoxima a vaiação de z coespodete a pequeas vaiações de x e y Obsevação: A extesão ao caso de uções de ou mais vaiáveis é óbvia Exemplos: 1) Supoha que a tempeatua de uma placa metálica seja dada po T ( x, x xy Utilizado dieeciais obteha uma apoximação da dieeça de tempeatua ete os potos (1,) e (1,1, 1,98) ) Supoha que as dimesões (em polegadas) de um paalelepípedo etâgulo vaiem de 9 ; 6 e 4 paa 9, ; 5,97 e 4,1 espectivamete Utilizado dieeciais obteha uma apoximação da vaiação do volume Qual a vaiação exata do volume? Rega da Cadeia Seja : D R R, D abeto em R Seja também C uma cuva em R descita pela ução vetoial P : I R R tal que C D, isto é P( D, t I Temos etão a ução composta dada po ( o P)( ( P( ), t I Teoema (Rega da Cadeia) Nas codições acima se e P são dieeciáveis etão ( o P) também o é e vale: ( o P) ( ( P( ) P (, t I 5

51 Obsevação Se P( ( x1(,, x ( ) etão temos que d d dt dt dx ( ( )) 1 dx P t P ( + + x dt x dt vale ( o P)( [ ( x1 (,, x ( )] Exemplo Sejam ( x, xy e P( ( t,t ) 1 cosidee a composta F( ( o P)( e : i) Calcule F (; (ii) Calcule F (; iii) Veiique que F ( ( P( ) P ( Obsevações: 1ª) Se z ( x, e x x( t, s), y y( t, s) podemos cosidea z F( t, s) ( x( t, s), y( t, s)) e daí obtemos z t F t x x t + y y t e z s F s x x s + y y s ª) Se z ( x,, y y(x) podemos cosidea z F(x) ( x, y( x)) daí obtemos: z dy F ( x) + x x y dx 51

52 y Exemplos: 1) Dada u ( x, y, z) xy + xz + yz; x, u u cost, z se t ecote e t ) Se é uma ução dieeciável as vaiáveis x e y ; u ( x, ; x cosθ ; y seθ moste que: i) u x u cos θ u θ seθ, e que ii) u y u seθ + u cosθ θ O póximo teoema dá uma ómula simples paa calcula deivadas diecioais de uções dieeciáveis em temos das deivadas paciais Teoema Se é dieeciável em P, etão possui deivadas diecioais em todas as dieções u e vale P ) ( P ) u d ( P, u), u 1 D u ( Cooláio Se é dieeciável em P e ( P ) etão, o máximo e o míimo valo da deivada diecioal de ( P ) em P ocoem a dieção e setido de u1 e ( P ) ( P ) u, espectivamete ( P ) 5

53 Obsevação O veto ( P ) dá a dieção e setido em que cesce mais apidamete, e ( P ) dá a dieção e o setido de maio decescimeto de o poto P Exemplo Dada a ução ( x, y, z) ( x + + ( y + z) + ( x + z) Qual a dieção de maio cescimeto da ução o poto (-1,)? Qual é a deivada diecioal de essa dieção, esse poto? Plao Tagete a uma Supeície Deiição A supeície de ível S k, de uma ução w F( x, y, z), coespodete ao valo w k, k costate, é o subcojuto de R : Sk { x, y, z) DF / F( x, y, z) k} ( Exemplo Se w F( x, y, z) x + y + z etão a supeície de ível da ução F, coespodete ao valo w, > é S { ( x, y, z) R / x + y + z } que é uma supeície eséica com ceto a oigem e aio Deiição Seja F : Ω R R e S uma supeície dada po S {( x, y, z) Ω / F( x, y, z) c} Se C P é uma cuva descita po uma ução vetoial P : I R R dizemos que C está em S se F( P( ) c, t I P Nas mesmas codições da deiição acima obsevamos: 5

54 (i) Se F é dieeciável em Ω e P é deivável em I, temos F( P( ) P'(, t I De ato, deivado F ( P( ) c, em elação a t, o esultado segue da ega da cadeia (ii) Se P é um poto de S, C P uma cuva qualque em S passado po P, isto é, existe t I tal que P ( t ) P, etão pela obsevação (i) temos que F ( P ) P'( t), isto é, F( P ) P'( t) Como a cuva C P é abitáia, vemos que as tagetes a todas as cuvas de S, que passam po P, estão em um mesmo plao, a sabe, aquele detemiado po F( P ) e pelo poto P Pelo que oi dito acima é atual a deiição: Deiição Seja S uma supeície da oma 1 S {( x, y, z) Ω \ F( x, y, z) c}, com F de classe C o abeto Ω R Se P S e F ( P ), o plao tagete à S em P, deotado Π P, é o plao que passa po P e tem F( P ) como veto omal Sua equação é Π P : ( P P ) F( P ) Se deotamos P (,, ) x y z e P ( x, y, z) o um poto abitáio desse plao, a equação pode etão se posta a oma: ( x x ) F ( P ) + ( y y) F ( P ) + ( z z) F ( P ) x y z Obsevação: Se F ( P ) ão deiimos o plao tagete à S em P 54

55 Exemplos: (1) Seja S a supeície dada po S {( x, y, z) R \ z ( x,, ( x, D abeto de R }, com de classe em D Ecote a equação do plao tagete à S em P x, y, ( x, )) ( y () Da a equação do plao tagete à S, ode S é dada po x + y z, o poto P (1,,6 ) () Ache a equação do plao tagete à supeície z x xy + y que seja paalelo ao plao 1 x 7 y + z (4) Ache as equações paaméticas da eta tagete à cuva de itesecção das seguites supeícies o poto idicado S : xy + z ; S : x + y + z 9 em P (,1, ) 1 1 C Máximos e Míimos de Fuções de Váias Vaiáveis Máximos e Míimos Locais Deiição Uma ução : D R R tem um máximo (míimo) local em P D se existe uma bola abeta B ( P ) tal que ( P) ( P ) ( ( P) ( P )), paa todo P B ( P ) D 55

56 Dizemos que P é um extemo local de se P é um poto de máximo ou de míimo local, e ( P ) é um valo extemo se P é um extemo Obsevações: i) Se tem máximo (míimo) local em P, etão tem um míimo (máximo) local em P ii) Se é uma ução ão egativa são equivaletes: a) P é poto de máximo (míimo) local de ; b) P é poto de máximo (míimo) local de No gáico acima temos que P 1 e P são potos de míimo local, já P e P 4 são potos de máximo local Nos potos ( P 1, ( P1 )); ( P, ( P )); ( P, ( P )) os plaos tagetes são paalelos ao plao xy, seá que tal compotameto epete-se paa todos os potos extemos de? Não! Obsevado ( P 4, ( P4 )) otamos que aí ão existe o plao tagete Teoema Se : D R R, D abeto de R, tem um valo extemo em P D e é deivável esse poto etão ( P ), paa todo i { 1,,, } x i 56

57 de Deiição Chamamos potos cíticos de os potos D paa os quais todas as deivadas paciais de 1 a odem se aulam, ou pelo meos uma dete elas ão existe Exemplos: 1) Ecote os potos cíticos de ( x, x + y ) Idem paa ( x, e x se y e paa g( x, x + 4y x + y Obsevação: Do último teoema cocluímos que o cojuto dos potos extemos de uma ução, deiida em um cojuto abeto, está cotido o cojuto de seus potos cíticos Pode, o etato, ocoe de ehum poto cítico se poto extemo Deiição Um poto cítico P é dito poto de sela se ( P ) ão é valo extemo de Cosidee, po exemplo, a ução ( x, x etão todo poto da oma (, y ) é poto cítico paa poém, ão são potos extemos paa Exemplos: 1) Ache os extemos de ( x, x + y ) Idem paa ( x, 1+ x + y ) Idem paa ( x, y x 57

58 Obsevação O último teoema e a última obsevação os dizem ode pocua os potos extemos de uma ução, ete seus potos cíticos, poém ão os dizem como idetiica os potos cíticos que são extemos Caacteização de Máximos e Míimos Locais Seja z ( x, uma ução com deivadas paciais cotíuas até a odem um abeto Ω R ução Hessiaa de, H : Ω R po: Deiimos a H ( x, ( x, ( x, ( x, ( x, xx xy xy yy ( x, Teoema Nas codições acima seja P ) ( P ) Etão temos x ( y P Ω tal que ( P ) > I) xx( P ) > P é poto de míimo local de ; ( P xx ( P ) > ) < P é poto de máximo local de ; II) ( P ) < P é poto de sela; III) ( P ), ada se pode coclui 58

59 Exemplos : 1) Detemie os extemos de ( x, x 4xy + y + 4y ) Idem paa ( x, xse y Máximos e Míimos Globais Deiição Uma ução : D R R tem um máximo global (míimo global) em P D se P) ( P ) ( ( P) ( )), paa todo P D ( P Exemplo Acha os extemos de cujo domíio é D {( x, R / x + y 4 } ( x, 9 x y Uma codição suiciete paa a existêcia de máximos e míimos globais é: Teoema Se é uma ução cotíua, deiida em um cojuto compacto, etão possui pelo meos um poto de máximo global e um poto de míimo global Obsevação Um poto P A R é poto de oteia de A se ão o poto iteio de A 59

60 Exemplos: 1) Ecote os valoes extemos de D {( x, R / x + y 1} ( x, y x se ) Uma compahia plaeja abica caixas etagulaes echadas com 8 pés cúbicos de volume Se o mateial da tampa e do udo custa o dobo do mateial dos lados, dimesioe a caixa de modo a miimiza o custo Multiplicadoes de Lagage O método de Lagage oece codições paa obteção de cadidatos à potos de máximo e míimo de uções de R em R, com estições do tipo g ( x, y, z) Teoema Sejam, g: Ω R R, com deivadas paciais cotíuas o abeto Ω Se P ( x, y, z) Ω e tem um valo extemo em P sujeito a codição g ( x, y, z), com g ( P ) etão existe λ R tal que P ) λ g( ) (I) ( P Obsevações: i) O teoema também vale paa uções de vaiáveis ii) Paa se miimiza ou maximiza uma ução, sujeita às codições de vículo g 1, g, devemos estuda a ução λ g λ 1 1 g 6

61 O Método Nas codições acima, a elação (I) oece tês equações e quato icógitas O poblema ica detemiado usado-se a equação g x, y, z ) ( Assim obtém-se um cadidato a poto de máximo ou míimo P x, y, ) ( z Potato, o estudo dos valoes extemos de w ( x, y, z), sujeita a codição g ( x, y, z), vamos estuda a ova ução F( x, y, z, λ ) ( x, y, z) λ g( x, y, z), pocuado seus potos cíticos po meio das equações: F x x λ gx ; F λ g ; y y y z z λ gz F e F g( x, y, z) λ Exemplos : 1) Detemia o poto do elipsóide x + y + z 1 cuja soma das coodeadas seja máxima ) A iteseção do paabolóide z x + y com o plao x + y + z 5 é uma elipse C Detemie qual o poto de C mais póximo e o mais aastado da oigem 61

62 EXERCÍCIOS 1) Classiica a Supeície (cilídica, côica etc) e aze um esboço da mesma, os seguites casos: a) e) z 4 y b) z 16 x c) y x ) y sex g) x 9 y d) x + z 4 x + z y h) x i) y + z j) x + y + z 1 k) z x + 1 l) y z 1 m) 9x + y + z 9 ) x y z o) z x y 1 p) q) y + z x 1 z 18 x 9y ) Faça um esboço do cojuto A Diga se ele é abeto, echado, covexo, coexo, compacto Ecote: it A, A ', A, A Ode: a) A : x > e y b) A : < y x e y x + y < 4y c) A : x + y < 1 ou x + y 4 d) A : x + y < e) A : x, z < e y x x A R ) Faça um esboço das cuvas de equações paaméticas dadas, obteha as espectivas equações catesiaas, idique a oietação das cuvas com eeêcia a valoes cescetes dos paâmetos Ode ão houve especiicação etede-se que o paâmeto assume todos os valoes eais a) x 1 t, y 1+ t ; b) x + 5cost, y 1 cost ;, 6

63 c) x t 1, y t + ; d) x + cost, y + set, t π ; e) x cost, y set, z cost; t π 4) Cosidee a cuva C obtida como itesecção das supeícies dadas Pede-se: ecote uma paametização da cuva C ; detemie uma equação da eta tagete o poto idicado; aça um esboço das supeícies destacado a cuva C, os casos: a) Supeícies (,, 8) b) Supeícies ( 1,, ) z z x + y e z 4 x 4y Poto 1 x y e x + y x Poto c) Supeícies 4 x + y e z x Poto (,, ) d) Supeícies z y x e x + y 1 Poto ( 1,, 1) 5) Esboça o gáico das seguites uções, idicado o mesmo sistema de coodeadas o domíio e a imagem a) z 6 x y, D: x + y 9 b) z 9 y, D: x, y c) z x, D: x, y 4 d) z x, D: x, y 5 6

64 6) Paa as uções listadas a segui: detemie a imagem, desehe as cuvas de ível, obteha e desehe as iteseções do gáico da ução com os plaos coodeados, e esboce o gáico, idicado o mesmo sistema de coodeadas o domíio e a imagem a) ( x, 9 x y, D: x + y 4 b) (x, 5 x y, D: x + y 5 c) x - y, D ( x, R 7) Estude a existêcia dos limites: a) x - y lim (x, (,) 1+ x + y ; b) lim y ( x, (,) x + y c) lim x l (1+ x ( x, (,) x + y + y ) ; d) lim xy ( x, (,) x + y e) lim x + y ( x, (,) x + y ; ) x - y lim (x, (,) x + y 8) Discuti a cotiuidade das seguites uções: (x, xy l xy a) ( ) 64

65 b) (x, x 4 x + y y se (x, se (x, (, ) (, ) c) (x, 9-x -y se x se x + + y y > 4 4 9) Ecote, ode existi, as deivadas paciais das uções dadas a segui: a) (x, x x + + y y se se ( x, ( x, (,) (,) b) 4y + x y (x, + c) (x, x + y y x 1) Moste, usado a deiição, que a ução (x, x y é dieeciável o poto ( 1,) xy 11) A ução (x, x + y dieeciável em (,)? Justiique se se ( x, ( x, (,) (,) é 65

66 1) Moste que existem x (1,1 ) e y (1,1 ) poém ão é dieeciável em ( 1,1) a ução x + y se x 1 ou y 1 (x, se x 1 e y 1 1) Diga, justiicado, se são dieeciáveis em seguites uções: R as a) b) (x, (x, 4 x x + y x y x + y se se se se (x, (, ) (x, (, ) (x, (, ) (x, (, ) 14) Calcula a dieecial de cada uma das uções dada x a) z ; b) (x, l x + y y 15) A tempeatua T o poto P ( x, y, z) é dada po T(x,y,z) x + 4y + 9 z Utilizado dieeciais obteha uma apoximação da dieeça de T ete os potos ( 6,, ) e ( 6,1,,, 1,98 ) Qual é a vaiação exata da tempeatua? Qual é o eo cometido usado dieeciais? 66

67 16) Use a ega da cadeia paa calcula: z a) - cos θ - se θ, x y x cosθ e y se θ z z y b) x + y se z x se x y x paa z ( x,, com 17) Se é uma ução dieeciável de u, tome u bx-ay e veiique que z (bx a satisaz a equação z z a + b, ode a e b são costates x y 18) Calcule as deivadas diecioais das seguites uções, os potos e dieções idicados 1 4 a) g(x,, em P ( 1, ) e v, ; x + y 5 5 b) (x, x y -x y em P ( 1, ) e a dieção do veto tagete uitáio à cuva y x + 1 x 19) Seja (x, y e Dê a dieção em que cesce mais apidamete o poto (,) Calcule a deivada diecioal de essa dieção, esse poto ) Ache as equações paaméticas da eta tagete à cuva de itesecção das supeícies S : x + z + 4y e S : x + y + z 6z o poto P (,, ) 1 67

68 1) Ache a equação do plao tagete e equação da eta omal à supeície dada, o poto idicado: a) x + y + z 49; P (6,,); π b) sexy + seyz + sexz 1; P 1,, ) Ache a equação do plao tagete ao gáico da ução (x, e x cos y, π, (,ππ o poto ( ) ) Detemia os potos cíticos das uções dadas e veiica quais são de máximo e quais são de míimo os casos: a) (x, 5 x y ; b) 1+ x + y (x, e 4) A distibuição de tempeatua a chapa etagula limitada pelas etas x, x, y -, y é dada po T(x, x + y - x - y Acha as tempeatuas máxima e míima, e os potos ode elas ocoem Diga poque existem máximo e míimo absolutos 5) Ecote os potos sobe a cuva xy 1, < x 4, < y 1 que estão mais aastados, e os que estão mais póximos da oigem Poque existem tais potos? (Usa multiplicadoes de Lagage) 6) Acha as dimesões de uma caixa etagula sem tampa com volume u e de áea míima (Usa multiplicadoes de Lagage) 68

69 7) A tempeatua T de uma placa D: x + y 4, y é dada pela ução + T(x, x y - y Ecote os potos de máximo e de míimo local de T Ecote os potos mais quetes e mais ios da placa e suas espectivas tempeatuas 8) Ecote os potos da supeície y - xz 4 que estão mais póximos da oigem e ecote a distâcia míima 9) O custo total do mateial utilizado a abicação de uma caixa etagula sem tampa deve se R$ 1, Se o mateial paa o udo da caixa custa 15 cetavos po cm e o mateial paa os lados custa cetavos po cm ecote as dimesões da caixa de volume máximo que pode se abicada 69