3 Formulação Teórica. , com identidade fixa. As equações que governam o Equações de Conservação Conservação de Massa

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1 3 Fomlação Teóica Nese caílo seão aeseadas as eações e goveam o oblema físico: eações de cosevação de massa e de aidade de movimeo liea, de fação volméica e eações cosiivas aa os flidos ão ewoiaos. As eações de cosevação iliadas a mecâica dos flidos são alicadas seme a aíclas flidas. Esas odem se defiidas como ma eea massa de flido de volme ifiiesimal V oblema são descias a segi. 3.. Eações de osevação, com ideidade fia. As eações e goveam o 3... osevação de Massa A eação de cosevação de massa, o eação da coiidade, coesode à soma da aa de vaiação de massa deo desse volme de coole e do flo de massa e ca a sefície de coole igal a eo. Essa defiição ode se eessa ela e. 3-. ρ ( ρ) (3-) ode ρ é a desidade e é o veo velocidade. A e. 3- é a foma geal da eação da cosevação de massa e é válida aa escoameos comessíveis e icomessíveis. osideado as hióeses de flido icomessível em odo o domíio e o sisema de coodeadas caesiaas, obém-se a e. 3-. (3-)

2 aílo 3: Fomlação Teóica osevação da Qaidade de Movimeo Liea A eação de cosevação de aidade de movimeo liea (ª lei de Newo) eessa e o somaóio das foças eeas é igal ao odo da massa ela aceleação, cofome descio ela e ( ρ) ( ρ) T ρg F (3-3) ode g é a aceleação gaviacioal, F eesea as foças de coo eeas (da ieação ee as fases) e T é o eso das esões, devido as foças de sefície. O eso das esões ode se escio a ai da e T I (3-4) sedo e I é a mai ideidade, é a essão esáica e é o eso eaesão, e eesea a ae viscosa do eso das esões. Ao cessa o movimeo, ese emo cai à eo. O comoameo mecâico dos flidos é descio ela eação cosiiva, e elacioa a esão com a ciemáica (vide Aêdice A). Os flidos foam modelados como flidos ewoiao e ão ewoiao, ela eação de Flido Newoiao Geealiado (Bid e al, 987), dado elas e. 3-5 a 3-7: ( & ) & (3-5) T & v v (3-6) (& ) & & (3-7) ode é a fção viscosidade, & é o eso aa de defomação e & é a iesidade da aa de defomação. Eadido a eação de cosevação de aidade de movimeo em coodeadas caesiaas obém-se os segies comoees:

3 aílo 3: Fomlação Teóica 58 omoee g ρ ρ (3-8) omoee g ρ ρ (3-9) omoee g ρ ρ (3-) Nas e. 3-8, 3-9 e 3-, ρ é a desidade do flido e, e são os comoees caesiaos do gadiee de essão. Os comoees do eso eaesão esão eeseados as e. 3- a 3-6: ( ) & (3-) ( ) & (3-) ( ) & (3-3) ( ) & (3-4) ( ) & (3-5) ( ) & (3-6) Paa obe as ês eações comleas de cosevação de aidade de movimeo liea, basa sbsii as e. 3- a 3-6 as e. 3-8 a 3-.

4 aílo 3: Fomlação Teóica Abodagem Mlifásica Há dois ios de abodagem mlifásica: Ele-Lagage e Ele- Ele. Na abodagem de Ele-Lagage, a fase flida é aada como ma séie coía, eao a fase discea é esolvida aavés do camo de escoameo calclado. Na abodagem Ele-Ele, as fases difeees são aadas maemaicamee como coías Modelo VOF (Volme of Flid) Hi & Nichols (98) oseam o modelo VOF, e ilia a abodagem Ele- Ele, aa defii escoameos ode a ieface é bem defiida (fases seaadas). Nese modelo, cosidea-se e dois o mais flidos são imiscíveis. omo o volme de ma fase ão ode se ocado o oas fases, ilia-se o coceio da fação volméica ( α ). Sõe-se e esas fações de volme são fções coías do esaço e o emo e sas somas são igais a m. Os camos aa odas as vaiáveis e oiedades esão comailhados ee as fases e eeseam valoes baseados a média volméica (fação volméica). Assim, as vaiáveis e as oiedades em odas as céllas dadas são amee eeseaes de ma das fases, o eeseaes de ma misa das fases, deededo dos valoes da fação volméica. O seja, céllas com valoes de α ee e coêm a ieface. α : a célla esá vaia (com a -ésima fase). α : a célla esá eechida (com a -ésima fase); α < : a célla coém a ieface ee a fase e ma o mais fases. < Baseado o valo local de aibídas a cada volme de coole deo do domíio. α, as oiedades e as vaiáveis aoiadas são 3... osevação de Massa O maeameo da ieface ee as fases é ealiado ela solção da eação da coiidade (e. 3-7) aa a fação volméica de cada fase :

5 aílo 3: Fomlação Teóica 6 ρ ( α ρ ) ( α ρ ) (3-7) A eação da fação volméica seá comada baseada a segie esição: α (3-8) álclo das Poiedades As oiedades e aaecem as eações de asoe são deemiadas ela eseça dos comoees das fases em cada volme de coole. No sisema em esão, bifásico, a desidade em cada célla é dada ela e ( α ) ρ α (3-9) ρ ρ Todas as oiedades esaes são comadas desse modo osevação de Qaidade de Movimeo Liea Um úico cojo (ma eação aa cada comoee) de eações de cosevação da aidade de movimeo é esolvido aa odo o domíio, e o camo eslae da velocidade é comailhado ee as fases. A eação da aidade de movimeo liea, e. 3-, é deedee das fações volméicas de odas as fases aavés das oiedades ρ e, viso e ( & )&. ( ρ) ( ρ) ρg (3-) 3.3. Modelo Reológico Foam esdados divesos modelos eológicos iliados o ocesso de efação de oços de eóleo, cofome descios o Aêdice A. No esee abalho, ilio-se o modelo SMD aa desceve o comoameo viscolásicos deses flidos. Ese modelo foi ooso o Medes & Da (4), aa eesea a viscosidade cofome e. 3-:

6 aílo 3: Fomlação Teóica 6 [ k& ] & e (3-) Esa fção foi desevolvida a ai do modelo de Paaasasio (987), e ilia m emo eoecial aa baias aas de defomação, aa acola egiões escoadas e ão escoadas. Poao, esa fção coía em a vaagem de ode se iliada em simlações de escoameos com o méodo dos volmes fiios. O modelo SMD aesea m aama de viscosidade aa baias esões de cisalhameo, segido o ma eda bsca da viscosidade (esão limie de escoameo), e ma egião sbseee de owe-law (Figa 3.). Figa 3. Gáfico comaaivo ee os modelos eológicos A ai do modelo SMD ode-se eai os valoes de asições da aa de cisalhameo ( & e & ), cofome e. 3-e 3-3. & (3-) & k (3-3) Ese modelo eológico ão esá disoível a biblioeca do FLUENT. Logo, é ecessáio ilia ma fção defiida elo sáio (UDF - Use-Defied Fcio), cofome descio o Aêdice B.

7 aílo 3: Fomlação Teóica Adimesioaliação O ocesso de adimesioaliação é ealiado aa deemia ais são os aâmeos, evolvidos o escoameo, e goveam o oblema. Além disso, ao deemia os aâmeos e vaiáveis adimesioais, ode-se ealia o esdo do escoameo em dimesões edidas. Uma dificldade aa a geação de eslados eeimeais se deve ao ecessivo úmeo de gos adimesioais goveaes. Em eeiêcias com flidos ão ewoiaos, as medidas são ealiadas em difeees vaões. Eeao, os aâmeos e eeseam aidades eológicas adimesioais mdam com a vaão. Iso se deve ao fao de e a velocidade caaceísica escolhida é ma aidade do flo (ma velocidade elaiva o ma velocidade média). Esa escolha cod a gos adimesioais e evolvem ambas as oiedades do flido e do escoameo. O ocedimeo de adimesioaliação, ooso o Medes (7), sgee e a velocidade caaceísica seja elacioada aos dados eológicos ao ivés de ma aidade do flo. A aa de defomação caaceísica escolhida deve esa deo da faia da aa de defomação ealmee obsevada o escoameo. Logo, esa aa escolhida ambém seá caaceísica ao óio escoameo. Paa flidos com viscosidades deedees da aa de cisalhameo, ma escolha aoiada seia ma das asições da aa de cisalhameo, e aaecem a fção da viscosidade, iso é, & o &, defiidos as e. 3- e 3-3. Uma ve escolhida a aa de cisalhameo caaceísica ( & ) e o comimeo caaceísico ( L ), odem se deemiadas as demais vaiáveis caaceísicas, cofome e. 3-4 a 3-7. Velocidade caaceísica & (3-4) L Viscosidade caaceísica ( & ) (3-5) Tesão caaceísica & (3-6)

8 aílo 3: Fomlação Teóica 63 Temo caaceísico A ai desas vaiáveis, deemiam-se as vaiáveis adimesioais, cofome e. 3-8 a omimeo adimesioal & (3-7) L ; L ; L (3-8) Temo adimesioal & (3-9) Velocidade adimesioal & L (3-3) Gadiee adimesioal L (3-3) Pessão adimesioal & (3-3) Tesão cisalhae adimesioal & (3-33) osevação de Massa Paa escoameos icomessíveis, a adimesioaliação da eação de cosevação de massa é ivial (e. 3-34), ão oigiado aâmeo adimesioal. (3-34)

9 aílo 3: Fomlação Teóica osevação de Qaidade de Movimeo Liea A eação da cosevação da aidade de movimeo liea (e. 3-3) ode se adimesioaliada sbsiido as vaiáveis caaceísicas, eslado a e d g Re Ga (3-35) d g Desa eação, obêm-se os aâmeos adimesioais abaio (e e 3-37): Númeo de Reolds eológico Re ρ& L (3-36) Númeo de Galilei eológico Ga ρgl & (3-37) Modelo Reológico SMD A eação de viscosidade (e. 3-), segdo o modelo eológico SMD (Soa Medes e Da), ode se adimesioaliada sbsiido as vaiáveis caaceísicas, ode & & (e. 3-), eslado a e { e( ( J ) & )}[ & ] (3-38) A ai desa eação, ode-se eai oo aâmeo adimesioal (e. 3-39). Númeo de salo (J) J & & ( ) & k (3-39) Gos adimesioais vaiáveis Aós o ocesso de adimesioaliação, obiveam-se os gos adimesioais/ Ga, Re, J e.