Torque Magnético Residual Médio com modelo de quadripolo

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1 Toue Maéico Residual Médio com modelo de uadipolo Maia Cecília Zaadi, Sheila Cisley de Assis Gupo de Plaeoloia e Diâmica de Guaaiueá, UNESP Depaameo de Maemáica, FEG/UNESP Av D. Aibeo Peeia da Cuha, -, Guaaiueá, SP sheilamidui@bol.com.b, cecilia@fe.uesp.b Hélio Koii Kua NPE, São José dos Campos,SP hkk@dem.ipe.b.odução O objeivo dese abalho é apesea os pocedimeos ecessáios paa obe as compoees do oue maéico esidual médio, paa um peíodo obial, em um sisema fixo o saélie, ideado um saélie esabilizado po oação em óbia cicula e o modelo de uadipolo paa o campo eomaéico. Esas compoees seão úeis paa popaa aaliicamee a aiude de saélies esabilizados po oação os uais possuem o eixo de oação alihado com o eixo loiudial), uado o oue maéico esidual médio é icluído as euações do movimeo oacioal. A aiude do saélie é descia po coodeadas esféicas: o módulo da velocidade de oação W ), ascesão ea α ) e decliação δ ) do eixo de oação do saélie. Seá ambém ideado ue a óbia do saélie ao edo da Tea é cohecida, dada iicialmee pela óbia Kepleiaa cicula, sedo poseiomee icluídas as picipais vaiações devido ao achaameo da Tea. A uilização do oue médio já iclui os picipais efeios associados com o oue maéico esidual.. O Campo Geomaéico O campo eomaéico pode se deemiado pelo adiee de um poecial escala V WERTZ, ), ou seja: B V sedo o poecial eomaéico V dado po: ) epeseam a disâcia eocêica, a co-laiude e a loiude de um poo o espaço especivamee. Em emos de coodeadas esféicas, o adiee do poecial é dado po: V V V B ˆ' φˆ θˆ ) ' ' φ 'seφ θ Assim as compoees B, B φ, B θ o sisema hoizoal local são dados po: B V ) ' φ V B - ) 'seφ φ θ V B - ) 'seφ θ Aoa subsiuido a euação ) ue defie o poecial V) as euações ) a ) e após evolui os cálculos obém-se Wez, ): k T B ) ' m m,m,m,m mθ h se mθ ) P B T φ ',m,m mθ h se m θ ),m d P dφ ) ) V k ) T m m m, φ, θ T mθ h se mθ ) P φ ) ' ) ' m ode T é o aio euaoial da Tea, m, h m são os coeficiees Gaussiaos, P m são poliômios associados de Leede Wez, ),,, φ,θ Bθ m se T φ ',m,m,m se mθ h m θ ) P )

2 .. Modelo do Quadipolo Maéico Paa o modelo de uadipolo idea-se vaiado de um a dois e m vaiado de zeo a dois os somaóios das euações ), ) e ). A difeeça dese modelo em elação ao modelo de dipolo é a iclusão de mais emos em B, B φ, e B θ. Poao aplicado os valoes de e m os somaóios das euações ), ) e ), após maipulações alébicas ecoa-se Zaadi & Real, ; Assis,): B T f, ) T θ φ f ) T T φ f f ) B sedo ue os coeficiees aussiaos,,,,h,h, h podem se obidos de Wez )... Campo Geomaéico o Sisema Euaoial e o Sisema do Saélie Nas euações do movimeo oacioal do saélie em eal é ecessáio deemia as compoees do campo maéico da Tea em um sisema fixo o saélie, aui deomiado sisema do saélie. Paa deemia-las, iicialmee obém-se as compoees do campo eomaéico o sisema Euaoial, ue são dados po Wez, ): BX B δ Bφ se δ) α Bθ se α ) T T Bθ { f f se φ T f φ, θ)} sedo f [ θ) hse θ) ] se [ θ) h se θ) ] f, s θ) - φse φ θ h se ) se ) ) ) BY B δ Bφ se δ)se α Bθ α ) B Z B se δ B φ δ ) ode α e δ são a ascesão ea e a decliação do veo posição do saélie, especivamee, as uais podem se deemiadas a pai dos elemeos obiais do saélie. Como cohece-se as compoees do campo maéico B ) o Sisema Euaoial, dados pelas expessões ) a ), pode-se obe suas compoees o Sisema de Saélie Quielli,; Zaadi & Quielli,): B Bx î B y ĵ B z kˆ ) f φ,) se φ [ θ) hse θ) ] φ f { φse φ [ θ) h se θ) ] θ) φ h seθ) se φ} [- se θ) h θ) ] se ) ) f ) [- se θ) h θ) ] f ) f {- seθ) h θ)} se φ ) em ue î, ĵ, kˆ são os vesoes do sisema do saélie. Uilizado a maiz de oação ue elacioa o sisema do saélie com o sisema eocêico, as compoees do campo eomaéico o sisema do saélie são dadas po Kua e al., ) Bx - BX seα BY α ) By -BX seδα BY se δse α BZ δ ) Bz -BX δα BY δse α BZ se δ ) em ue α e δ são a ascesão ea e a decliação do eixo de oação do saélie, especivamee. As compoees B x, B y e B z seão uilizadas a deemiação do oue maéico esidual.

3 . Toue Maéico Residual O oue maéico esidual ocoe devido ao momeo maéico ao loo do eixo de oação do saélie, coibui paa uma lea pecessão do eixo de oação e pode se dado po Wez, ): N m x B ) em ue B é campo maéico eese local e m é a soma dos momeos maéi idividuais do saélie. Quado a pacela picipal do momeo maéico do saélie se aliha ao loo do eixo de oação, o oue maéico esidual isaâeo é obido po: N M s kˆ x B ) em ue M s é o módulo do momeo maéico do saélie ao loo do eixo de oação, kˆ é o veo uiáio ao loo do eixo de oação do saélie, e B é o campo maéico eese local Pela euação ) é ecessáio expessa o campo maéico B o sisema do saélie de modo a compua o oue maéico esidual N.. Toue maéico Residual Médio com o Modelo de Quadipolo O oue esidual médio é obido aavés da ieação do oue maéico esidual isaâeo dado po )), em um peíodo obial T). Cosidea-se aui o saélie em óbia cicula, de modo ue a média pode se desevolvida em emos do âulo: w w υ ) sedo w o aumeo do peiceo e ν a aomalia vedadeia. Paa o caso da óbia cicula, o módulo do veo posição é o semi-eixo maio da óbia e d w d ) com sedo o movimeo médio e dado po: π ) T de modo ue: T dw d ) π Assim o oue esidual médio é dado po: T w π i Nm N dw N dw T π w i ) Sem peda de eealidade, é aui ideado ue w i, o ue coespode ao saélie esa cuzado o plao do Euado. Cosideado o oue esidual isaâeo, dado po ), efeuado o poduo veoial, com campo maéico eese B expesso o sisema do saélie e dado po ), o oue esidual isaâeo o sisema do saélie é dado po: N N xî com: N y ĵ ) N x - B y ) N y B x. ) em ue B x e B y esão expessos as euações ) e ) especivamee. Subsiuido ) em ), o oue esidual médio é expesso po: M S Nm π sedo [ N iˆ N ˆj ] π xm ym ) N xm B y dw ) π Nym Bx dw ) Paa evolui as ieais ) e ) é ecessáio obe as compoees do campo maéico B x e B y em emos do âulo w, uilizado as maizes de oação ue elacioam os sisemas de coodeadas evolvidos Assis, ; Quielli, ) e popiedades de ioomeia esféica, como seá discuido a seui... Deemiação da compoee N xm Paa obe a compoee N xm do oue maéico esidual médio, dada po ), iicialmee subsiui-se B y em emos das compoees do campo eomaéico o sisema euaoial, uilizado ):

4 N xm δ B se δα B dw se δse α B dw π Z dw π X π Y ) em ue α e δ são a ascesão ea e decliação do eixo de oação do saélie. Subsiuido as compoees do campo eomaéico o sisema euaoial em emos das compoees o campo eomeéico o sisema hoizoal, dadas po )a ), a pacela N xm pode se expessa po: N xm sedo Aseδ α Bseδ seα C seδ ) A a a a a a a a ) B b b b b b b b ) C c c c c ) Com π a f φ ) δ ) π a f δ ) π a f se δ ) π a f se δ ) π a f se ) seφ π a f φ ) se ) se φ π a f φ ) se ) se φ π b f δse ) π b f δse ) π b f se δse ) π b f se δ se ) π b f ) se φ π b f ) se φ π b f ) se φ π c f se δ dw ) π c f se δ dw ) π c f δ dw ) π c f δ dw ) em ue as fuções f, f, f, f, f, f e f, são apeseadas em ), ), ), ), ), ) e ) especivamee.... Aálise dos emos evolvedo a ascesão ea α e decliação δ Paa calcula as ieais de ) a ) é ecessáio expessa odos os emos em fução do âulo w. Paa ao foam ecessáias as ideações a seui, elacioadas com os emos evolvedo a ascesão ea e decliação do veo posição do saélie: a) O veo posição do saélie pode se expesso o sisema euaoial aavés da ascesão ea α ) e decliação δ ), como mosa a Fiua, de modo ue ese sisema o veo posição OXYZ é dado po: δ α OXYZ δ se α ) se δ No sisema obial o veo posição é dado po: Oxyz )

5 Assim a pai de ), os valoes de δ α, δ seα e se δ ue apaecem as ieais ) a ) são dados em emos dos elemeos obiais po: δ α Ω w se Ωse w ) δ se α se Ω w Ωse w ) se δ se w se ) Fiua Repeseação do veo posição, a ascesão ea α ) e decliação δ ) de. A maiz de oação R, ue elacioa o sisema obial e euaoial, é dada po: R ) sedo: Cos Ω C os ω υ) Se Ω Se ω υ) Se Ω Cos ω υ) Cos Ω Se ω υ) Se ω υ) Se Cos Ω Se ω υ) Se Ω Cos ω υ) Se Ω Se ω υ) CosΩ Cos ω υ) Cos ω υ) Se Se Ω Se Cos Ω Se Cos Cos Cos Cos Cos ) Uilizado a maiz de oação R, dada acima, o veo posição o sisema euaoial é ambém obido a pai de: OXYZ em ue R ) R epesea a asposa da maiz R. Compaado ) e ) obém-se: δ α δse α ) se δ em ue, e esão apeseados em ). b) Paa se obe os demais emos das ieais ) a ), é ecessáio uiliza coceios de ioomeia esféica. Com base o iâulo esféico da Fiua, sabe-se ue: a se b se a bc se ca ) c a b se a se b C ) Fiua - Tiâulo Esféico No caso em esudo: a w, b α Ω, c δ, A o, C, de modo ue: w se α Ω ) se w α Ω) se δ A expessão ) pode se colocada a seuie foma: ) α Ω) w ) A solução de uma euação do ipo Boczko,): y p x ) é dada po: y x se x se x sex... ) p desde ue: < ) p Obsevado ) em-se ue: p, x w, y α Ω )

6 com edo a seuie caaceísica: ) Dese modo a solução de ) é dada po: α Ω w se w) se w) sew) se w)... ) Paa baliza a odem de ucameo da solução ), pode-se obseva a abela ), ode os valoes de são compuados paa divesos valoes da icliação obial. Como ese abalho seá aplicado aos saélies de colea de dados basileios, os uais possuem icliação obial de o, ese abalho são ideadas expasões aé a odem de. emos do âulo w. Pela a Fiua, pode-se obseva ue: θ α θ G ) em ue θ G é a ascesão ea de Geewich, a ual pode se epeseada po: θ θ θ& ) G G sedo & θ a velocidade de oação da Tea, θ G a ascesão ea de Geewich o isae iicial ideado e o empo. O empo pode se epeseado em emos do âulo w aavés da ieação de ), ideado w w paa : w w o ) T / ),,,,, - T / ),,,,, - T / ),,,, - T / ) -,,, TABELA Avaliação dos emos em Com as duas ideações aeioes, odos os emos associados com a ascesão ea α e decliação δ ue apaecem as ieais ) a ) podem se expessas em fução do âulo w, possibiliado o cálculo da média paa um peíodo obial.... Aálise dos emos evolvedo a loiude local θ e co-laiude local φ As fuções f, f, f, f, f, f e f, ue apaecem as ieais ) a ) depedem da loiude local θ e co-laiude local φ. Paa o cálculo das ieais é ecessáio epesea esas fuções em Fiua Sisema Euaoial: ascesão ea α, decliação δ, loiude local θ e ascesão ea de Geewich Subsiuido ) em ), a ascesão ea de Geewich é dada po: θ θ w ) G em ue: θ θ G θ& w θ G ) θ & ) com dado em ). A pai das ideações acima, após alumas maipulações alébicas e aplicação de popiedades iooméicas é possível expessa θ,se θ e se θ em emos do âulo

7 w, ecessáias as fuções f i θ, φ ), i,,.., dadas pelas euações ), ), ), ), ), ), e ).. Como odos os emos pesees as ieais ) a ) esão dados em fução do âulo w, é possível desevolvê-las. Ese desevolvimeo evolve dezeas de ieais sedo ue, como ilusação, o desevolvimeo de b esá apeseado o apêdice.... Deemiação da compoee N ym Paa obe a compoee N ym do oue esidual médio, dada po ), subsiui-se B x em emos das compoees do campo eomaéico o sisema euaoial, uilizado ): π N se ym B X α B π y dw ) Assim de modo simila ao cálculo de N xm, a pacela N ym pode se dada po: N ym D seα E δ ) em ue α e δ são a ascesão ea e decliação do eixo de oação e : D a a a a a a a ) E b b b b b b b ) Com a i e b i, i,,..., dados po ) a ), especivamee, as uais são ambém ecessáias o cálculo da compoee N xm.. Comeáios Fiais Nese abalho os pocedimeos ecessáios paa a deemiação das compoees médias do oue maéico esidual em um sisema fixo o saélie foam discuidos, ideado saélies esabilizados po oação em óbias ciculaes. O modelo de uadipolo foi uilizado paa epesea o campo maéico da Tea. Os desevolvimeos evolvem um ade volume de cálculos alébi, o ue acaeou em limiações a abodaem aalíica ealizada. Po exemplo as expasões esão ucadas em emos da odem de, as uais apeseam uma boa pecisão paa icliações meoes do ue o. Os esulados aui obidos seão úeis a popaação aalíica a aiude de saélies esabilizados po oação em óbia cicula e podem se uilizados as aálises de missão dos saélies de colea de dados basileios. Refeêcias [] H. K. Kua, W. C. Silva, U. T. V. Guedes, Diâmica de aiude paa saélies esabilizados po oação, Relaóio Técico do NPE, NPE- -NTE/,. []. M. P. Quielli, Popaação Aalíica da Aiude de Saélies Aificiais Esabilizados po Roação, Disseação de Mesado, UNESP Guaaiueá,. [] J. R. Wez, Spacecaf aiude deemiaio ad cool, Lodo, Reidel,,. [] M. C. Zaadi,. M. P. Quielli, H. K. Kua, Aalyical Aiude Popaaio of he Spi Salized Eah Aifiial Saellie, Poceedis of he h eaioal Symposium of Space Flih Dyamics, CD-ROM, Moscou - Rússia,. [] M. C. Zaadi, F. F. Real, Toues Maéi com Moelo de Dipolo e Quadipolo paa o Campo Geomaéico, Aais do DNCON, v., pp. -, Rio de Jaeio,. [] O. Bouwe. ; G. M. Clemece, Mehods of celesial mechaics, Academic Pess, New Yok,. [] R. Bosczko, Coceios de Asoomia, Ed. Edad Bluche Lda, São Paulo,. [] S. C. Assis, Popaação da Aiude de Saélies Aificias Esabilizados po Roação: Toue Residual com Modelo de uadipolo paa o Campo eomaéico, Relaóio de Exame de Qualificação, FEG, UNESP,. [] S. C. Assis, M. C. ZANARD, Abodaem Pelimia a Deemiação do Toue Residual Médio com Modelo de Quadipolo, Resumos do XXV Coesso Nacioal de Maemáica Aplicada e Compuacioal, CD-ROM, São José do Rio Peo,.

8 Apêdice: Deemiação da pacela b Paa calcula a pacela b, dada pela euação), é ecessáio subsiui a euação ) e ) em ). Após ealiza a muliplicação, aplicado popiedades iooméicas e ealizado aupameos ecessáios e simplificações aé a odem de, a pacela b é expessa po π b { Ω Ω se [ w)] se θ w )) [se θ w ) se Ωθ w )) se Ω θ w ) se Ω θ w se Ω θ w se Ω θ w se Ω θ w se θ w se θ w se θ w )) )) )) se Ω θ w se θ Ω w se θ w se θ w )) )) )) )) )) )) )) se θ Ω w se Ω θ w se θ Ω w se Ω θ w )) )) )) )) se θ w se θ w )) se Ω θ w )) ] h [ θ w ) )) )) Ωθ w )) Ω θ w ) θ w )) θ w )) θ w )) Ω θ w )) Ω θ w )) Ω θ w )) Ω θ w )) θ w )) Ω θ w )) θ w θ w Ω θ w θ w )) Ω θ w Ω θ w )) Ω θ w Ω θ w θ w Ω θ w Ω θ w Ω θ w θ Ω w Ω θ w )) )) ) )) )) )) )) )) Ω θ w )) )) θ w Ωθ w )) Ω θ w )) )) Ω θ w )) )) )) θ w ]} dw em ue os emos i depedem apeas da icliação, sedo dados po: ) ) ) ) ) ) )) )

9 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

10 ) ) ) ) ) ) A ieal b esaá cocluída após calcula a ieal de cada emo em elação a w. o ue esá sedo ealizado o momeo. O cálculo das demais pacelas ai,bi,e c i, sedo i,,,,,, seuem a mesma liha de cálculo.