Análise do método de criptografia HCA baseado em Autômatos Celulares segundo a Teoria dos Grafos

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1 Aálise do méodo de cipogafia HCA baseado em Auômaos Celulaes segudo a Teoia dos Gafos Auo: Daielli Aaújo Lima Oieadoa: Gia ia Babosa de Olieia Pogama de Pós-Gaduação em Ciêcia da Compuação Uiesidade Fedeal de Ubelâdia Ubelâdia, MG Basil daielli@comp.ufu.b, gia@facom.ufu.b Níel: Mesado Ao de igesso o pogama: 2010 Época espeada de coclusão: Agoso/2012 Resumo: O picipal objeio da cipogafia de dados é possibilia que duas eidades se comuiquem ao logo de um caal iseguo, de al foma que ehum opoee cosiga decifa a mesagem que é eiada. Muios méodos de cipogafia clássica já foam iesigados paa miimiza ese poblema. Uma oa abodagem paa ese ema são os Auômaos Celulaes (ACs), que esão sedo esudados pela simplicidade de implemeação e ambém po sua capacidade de pocessa dados em paalelo.um modelo basae pomisso é o HCA que usa o cálculo de pé-images de ACs paa ealiza a cipogafia. Veifica a seguaça desse modelo a pai da asfomação do AC em um gafo e em seguida associa esse modelo a um poblema NP-Compleo é a picipal aiidade que seá ealizada a Disseação de Mesado. Palaas-Chae: Auômaos Celulaes, Cipogafia, HCA, Teoia dos Gafos.

2 1. Iodução e Moiação A cipogafia é muio esudada aualmee deido à ecessidade global de asmii ifomações em odos os isaes, muias dessas ifomações são impoaes e po isso deem e um aameo especial. Uma abodagem paa a cipogafia é o uso de Auômaos Celulaes (ACs), deido a simplicidade de seus compoees e ao pocessameo local. A picipal impoâcia desses esudos a áea de cipogafia é deido à capacidade de pocessameo paalelo dos auômaos celulaes, pemiido a implemeação de sisemas cipogáficos com alo houghpu. Váios modelos de cipogafia baseados em ACs foam iesigados. Um modelo basae pomisso é o HCA, poposo po [cedo 2007] e paa o qual foi soliciada uma paee o INPI [Olieia e cedo, 2007]. Esse modelo é mais eficiee em elação aos seus aecessoes deido à peseação do amaho do exo plao, popiedade obida gaças à uilização de duas chaes paa a ealização da cifagem. Algumas écicas são uilizadas paa eifica se um algoimo de cipogafia é seguo. Das écicas adoadas emos: peubação do bi do exo plao e a aálise da eopia, [Shao 1948], que pemie eifica se uma dada sequêcia possui disibuição aleaóia. A abodagem picipal do abalho seá esuda a seguaça do modelo de cipogafia HCA do poo de isa eóico aaés da asfomação desse modelo em um gafo que é esposáel pela ealização da cipogafia. 2. Fudameação e Tabalhos Relacioados 2.1 Auômaos Celulaes Auômaos Celulaes (ACs) podem se eedidos como um cojuo de uidades pocessadoas simples (células) que ieagem ee si, com coeciidade local, e ao logo do empo apeseam um compoameo global. Um AC é composo po um eiculado com uma dimesão d diidido em células, sedo que, cada célula coém um símbolo ou esado. As células modificam seus esados a cada passo de ieação de acodo com uma fução de asição. Podemos aplica a fução de asição po T passos de empo (execução fowad). Essa fução de asição, os ACs é chamada de ega de asição. A ega de asição idica o oo símbolo a se escio a célula do eiculado de acodo com seu esado aual e dos esados de suas izihas (ega local). A cada passo de empo uma célula de eiculado de N células é aualizada. A dimesão mais esudada é a uidimesioal, a qual um oo esado depede de m células izihas, al que m = (2 x + 1) e é o aio do AC. A Figua 1 mosa a ega de aio 1 sedo execuada po 3 passos de empo.

3 Figua 1: (a) Rega de asição de aio 1. (b) Execução fowad po T=3 passos de empo. Algumas popiedades esudadas os ACs são exploadas em cipogafia, sedo uma dessas popiedades a sesiiidade da ega. A sesiiidade exise em uma ega quado a aleação de um bi exemo da izihaça pooca ecessaiamee aleação do bi de saída. Se a aleação fo feia o exemo esquedo da izihaça e esa pooca aleação os bis de saída, emos sesiiidade à esqueda. Seão emos sesiiidade à dieia. A ega da Figua 1 apesea sesiiidade à esqueda; po exemplo, a izihaça 000 lea o esado da célula ceal a 0, equao a izihaça 100 lea a 1. Em odos os quao paes de izihaças similaes da ega, difeeciadas apeas pelo pimeio bi da ega, a saída é complemea. Dessa foma, a ega da Figua 1 é sesíel à esqueda. O méodo de cipogafia HCA, iesigado essa disseação, faz pae de uma família de méodos que uilizam ACs com egas sesíeis e o cálculo de pé-imagem a eapa de cifagem [Guowiz, 1995; Lima, 2005; cedo, 2007; Olieia e al. 2004]. Uma pé-imagem de um eiculado abiáio R 1 é um ouo eiculado R 2 que quado é submeido à ega de asição esula em R 1. Ou seja, R 2 é pé-imagem de R 1 se é um possíel aecesso de R 1. O cálculo de pé-imagem é baseado a pai de uma cofiguação iicial do eiculado L o isae, e em po fialidade descobi qual eiculado L o isae - 1 pode da oigem ao eiculado L o isae, após aplica a ega de asição. Nesse caso, esse pocedimeo pode se epeido po T passos de empo. Essa eolução do eiculado do AC é chamada backwad. Algus méodos de cipogafia baseados em ACs eolem o cálculo de pé-imagem como pocesso de ecipação, como o méodo pecuso de Guowiz (1995). 2.2 Auômaos Celulaes em Cipogafia O pimeio abalho cohecido eoledo o uso de ACs paa a ealização da cipogafia foi poposo po Wolfam (1986). Nesse modelo pecuso, a ega de asição é fixa e apesea diâmica caóica. A chae é uilizada como eiculado iicial a pai do qual a ega é aplicada po um úmeo fixo de passos. Os modelos que empegam o cálculo de pé-imagem sugiam poseiomee: [Guowiz 1995; Olieia e. al. 2003]. Nesses modelos, a ega de asição coespode à chae cipogáfica, o exo oigial defie o eiculado iicial e o cálculo de pé-images cosecuias coespode à eapa de cifagem, equao a decifagem é feia uilizado-se a eolução adicioal do AC (fowad). Paa a gaaia de exisêcia de pé-imagem paa qualque eiculado, egas com a popiedade de sesiiidade são empegadas esses modelos. Eeao, eles geam um exo cifado maio que o exo plao. Em [Lima 2005], uma abodagem que pesea o amaho do eiculado, oado o exo cifado do mesmo amaho que o oigial, foi iesigada. Eeao, ela em a desaagem de que em odo exo foecido como eada pode se cipogafado. O modelo HCA poposo oigialmee em [cedo 2007] e paeeado [Olieia e cedo, 2007], ambém faz uso do cálculo de pé-images e de egas sesíeis, mas

4 ele em a aagem em elação aos aecessoes po cifa qualque exo foecido e o exo cipogafado fial e exaamee o mesmo compimeo do exo plao. Paa que isso seja possíel, o modelo faz o uso de duas egas sesíeis: a ega de cooo e a ega picipal. 2.3 Modelagem po Máquia de Mooe A eolução empoal paa fee de um Auômao Celula pode se asfomado em uma máquia de Mooe seqüecial, idepedee da ega aplicada. Essa máquia possui um cojuo fiio de esados Q, um esado iicial S, um alfabeo = {0,1} e um cojuo de asições : Q x Q. Cada esado possui uma saída, os m pimeios esados pecoidos após o esado S possuem saída azia. A pai do m-ésimo esado pecoido a saída é a mesma do bi de saída da ega. A Figua 2 epesea a máquia de Mooe esposáel paa execução paa fee de um AC de aio 1. Como exemplo, se a ega fosse a uilizada pela Figua 1(a), eíamos as seguies saídas paa cada um dos esados: {0 0, 1 1, 2 1, 3 1, 4 1, 5 0, 6 0, 7 0} os demais esados em ciza eiam saída azia ( ). O ema da disseação aqui discuida paiu da cosaação que o cálculo de pé-imagem uilizado o méodo HCA ambém é possíel se ealizado po uma máquia de Mooe. A máquia de Mooe paa a execução backwad o méodo HCA é cosuída de acodo com o Algoimo 1. Algoimo 1 1. Se ega possui sesiiidade à esqueda : 2. Vaiáel: i = 0 3. Aay: [amaho da ega] 4. Paa cada izihaça da ega faça leiua da esqueda paa dieia: 5. cocaee: bi de saída da ega + odos os bis da izihaça exceo o bi sesíel. 6. [i] = Tabela 1(a)[ asfome a sig cocaeada o biáio coespodee ] 7. i = i Se ega possui sesiiidade à dieia : 9. Vaiáel: i = Aay: [amaho da ega] 11. Paa cada izihaça da ega faça leiua da esqueda paa dieia: 12. cocaee: odos os bis da izihaça exceo o bi sesíel + bi de saída da ega 13. [i] = Tabela 1(b)[ asfome a sig cocaeada o biáio coespodee ] 14. i = i + 1 Tabela 1: (a) Tabela padão paa egas com sesiiidade à esqueda. (b) Tabela padão paa egas com sesiiidade à dieia. (c) e (d) Exemplos paa egas com sesiiidade à esqueda e dieia especiamee. Esados Ledo 0 Go o 0 Go o 0 Go o 1 Go o 1 Go o 2 Go o 2 Go o 3 Go o 3 Ledo 1 Go o 4 Go o 4 Go o 5 Go o 5 Go o 6 Go o 6 Go o 7 Go o 7 (a) Rega 240 Ledo 0 Go o 0 Go o 2 Go o 4 Go o 6 Go o 0 Go o 2 Go o 4 Go o 6 Ledo 1 Go o 1 Go o 3 Go o 5 Go o 7 Go o 1 Go o 3 Go o 5 Go o 7 (b) Rega 170 Ledo 0 Go o 0 Go o 2 Go o 3 Go o 3 Go o 2 Go o 0 Go o 1 Go o 1 Ledo 1 Go o 4 Go o 6 Go o 7 Go o 7 Go o 6 Go o 4 Go o 5 Go o 5 (c) Rega 30 Ledo 0 Go o 2 Go o 0 Go o 4 Go o 6 Go o 2 Go o 0 Go o 6 Go o 4 Ledo 1 Go o 3 Go o 1 Go o 5 Go o 7 Go o 3 Go o 1 Go o 7 Go o 5 (d) Rega 89

5 Figua 2: (a)execução Fowad do AC. (b) Máquia de Mooe paa a ega (c)máquia de Mooe paa a ega Uilizado-se o Algoimo 1 e a Tabela 1 foam cosuídas as máquias de Mooe paa as egas (sesíel à esqueda) e (sesíel à dieia) idicadas a Figua 2b e 2c. 2.4 Seguaça O RSA [Ries 1978] é um algoimo de cipogafia de chaes assiméicas fudameado a eoias dos úmeos. A seguaça do RSA adém da dificuldade de se faoa úmeos gades, sedo ese um poblema NP-compleo. De foma simila, o objeio dessa disseação é aalisa o algoimo de cipogafia HCA e compoa sua seguaça buscado associá-lo a um poblema NP-Compleo. Ou seja, dee-se eduzi o poblema a um poblema NP-compleo, fazedo a seguie aalogia: se é difícil compuacioalmee esole um poblema NP-Compleo, ambém seá difícil queba a seguaça do algoimo de cipogafia. Como foi possíel modela a picipal opeação da eapa de cifagem, o cálculo de péimagem, como um gafo, acediamos que poblemas esudados a Teoia dos Gafos, possam os ajuda a ecoa essa associação a um poblema NP, compoado a seguaça desse modelo cipogáfico. Uma popiedade que já foi ecoada é o fao de que o gafo das egas sesíeis possui um cicuio Hamiloiao. 4. Meodologia de Pesquisa Seá ealizado um esudo os picipais abalhos sobe poas de sisemas cipogáficos e esudos que eolam a compeesão e aálise de gafos paa a esolução de um oo poblema. 5. Coogama do abalho 1. Dedicação exclusia às disciplias do Pogama de Mesado em Ciêcia da Compuação 2. Esudo de aigos e lios paa fudameação eóica. 3. Cosução e fomalização da poa do sisema cipogáfico HCA. 4. Elaboação de aigos paa submissão em cogessos cieíficos, a fim de eifica a iabilidade e cofiabilidade da poposa.

6 5. Elaboação e eisão da disseação. 6. Defesa da disseação. Tabela 2: Coogama de Execução. Ea - pa Ag o Se Ao 2010 Ao 2011 Ao 2012 Ou No De z Ja Fe Ab i l Ag o Se Ou No De z Ja Fe Ab i l Refeêcias Guowiz, H. (1995) Cypogaphy wih Dyamical Sysems, I: Cellula Auomaa ad Coopeaie Pheomea, Eds: E. Goles ad N. Boccaa, Kluwe Academic Pess. Lima, M. J. L. Cipogafia baseada o cálculo geéico de pé-images de auômaos celulaes Disseação (Mesado em Egehaia Eléica) Uiesidade Pesbieiaa ckezie, ckpesquisa - Uiesidade Pesbieiaa ckezie. cedo, H. Um oo méodo cipogáfico baseado o cálculo de pé-images de auômaos celulaes caóicos, ão-homogêeos e ão-adiios Disseação (Mesado em Ciêcia da Compuação). Olieia, G.., Coelho, A.. e Moeio, L.. (2004) Cellula Auomaa Cypogaphic Model Based o Bi-Diecioal Toggle Rules, I. J. of Mode Physics C, 15: Olieia, G. M. B. ; cedo, H. Sisema cipogáfico baseado o cálculo de péimagem em auômaos celulaes ão-homogêeos, ão-adiios e com diâmica caóica. Depósio de Paee o INPI sob o úmeo PI em Seembo de R. Ries, A. Shami ad L. Adlema. A Mehod fo Obaiig Digial Sigaues ad Public-Key Cyposysems. Commuicaios of he ACM, 21 (2), pp , Febuay 1978, Wolfam, S. (2002) A New Kid of Sciece. U.S.A.: Wolfam Media. Wolfam, S. (1983a) Cellula Auomaa. Los Alamos Sciece, 9:2-21.