Cinemática de Mecanismos

Transcrição

1 iemáica de Mecaismos 5. álise de celeações Paulo Floes J.. Pimea lao Uivesidade do Miho Escola de Egehaia Guimaães 007

2 ÍNDIE 5. álise de celeações Defiição Movimeo uvilíeo celeação de um Poo Num Sisema Móvel celeação de um opo Rígido Méodos alíicos Méodos Gáficos álise de celeação de Mecaismos Elemeaes...

3 5. NÁLISE DE ELERÇÕES Iveig is mixig bais ad maeials. The moe bais you use, he less maeials you eed. hales Keeig 5.. DEFINIÇÃO aceleação mede a apidez com que um copo vaia a sua velocidade. omo a pópia velocidade é uma apidez, pode-se-á eede a aceleação como sedo a velocidade da velocidade. celea ou desacelea um copo é, pois, vaia a sua velocidade um ievalo de empo. aceleação é uma gadeza vecoial que em a mesma diecção do veco velocidade. No caso em que o é movimeo aceleado, os vecoes aceleação e velocidade êm o mesmo seido. o passo que, o movimeo desaceleado ou eadado, os seidos deses vecoes são coáios. aceleação média pode se defiida como sedo a azão ee a difeeça de velocidade e o ievalo de empo ecessáio paa que essa difeeça de velocidade acoeça. Quado ese ievalo de empo ede paa zeo, a aceleação deomia-se aceleação isaâea. Um valo de uso coee paa a aceleação é o da aceleação da gavidade, o qual paa o ível do ma e 5º de laiude é, apoximadamee, igual a 9,8 m/s. Na mecâica clássica ou ewoiaa, a aceleação esá elacioada com a foça e a massa pela seguda lei de Newo, ou seja, F ma (5.) em que F epesea a foça, m é a massa e a epesea a aceleação. Y P R P P R P R P Figua 5. Tajecóia de um poo. X figua 5. ilusa a ajecóia de um poo P, em que P e P epeseam duas posições do mesmo. ededo a que a velocidade média do poo P é dada po, R P V média (5.) eão, a coespodee aceleação liea média pode se escia como, Vmédia média (5.) Desaceleação é a aceleação que povoca a dimiuição do valo absoluo da velocidade. 5. NÁLISE DE ELERÇÕES

4 Do mesmo modo, como a velocidade isaâea é dada pelo limie ou deivada da seguie azão, R P dr P V lim R& P (5.) 0 d eão, a aceleação liea isaâea, ou simplesmee aceleação liea, é dada po, V dv lim V& R& P (5.5) 0 d De foma aáloga ao movimeo liea, paa o movimeo agula ou de oação exise a aceleação agula, α, a qual é defiida como, ω dω α lim & ω & θ (5.6) 0 d em que ω é a velocidade agula associada ao movimeo de oação e θ é a posição agula. INEMÁTI DE MENISMOS

5 5.. MOVIMENTO URVILÍNEO figua 5. mosa um poo que desceve uma ajecóia cuvilíea. Na mesma figua esão epeseados os vecoes uiáios associados aos eixos coodeados X e Y, bem como os vecoes uiáios elaivos às diecções adial e agecial da ajecóia efecuada pelo poo P. Y P R S ˆ R θ P ˆ ĵ θ R î Figua 5. Movimeo cuvilíeo. X O veco associado ao deslocameo descio pelo poo P ao logo da ajecóia P P é epeseada po S e pode se escia como, S ˆ + θˆ (5.7) sedo o módulo de R e ˆ e ˆ são os vesoes das diecções adial e agecial. velocidade do poo P é dada pela vaiação isaâea da posição em elação ao empo, iso é, V & ˆ + ωˆ (5.8) ode, d & (5.9) d dθ ω (5.0) d ˆ ˆicosθ + ˆj seθ (5.) ˆ ˆiseθ + ˆj cosθ (5.) Po defiição, a aceleação do poo P é dada pela deivada da velocidade em odem ao empo, ou seja, V & (5.) ssim, subsiuido as equações (5.8)-(5.) a equação (5.), após aameo maemáico, esula que, 5. NÁLISE DE ELERÇÕES

6 em que, (&& ω ) ˆ + ( & ω + & ω)ˆ V& (5.) d & (5.5) d dω d θ & ω (5.6) d d sedo os demais paâmeos já defiidos aeiomee. Da aálise da equação (5.) facilmee se obseva que a aceleação de um poo que desceve uma ajecóia cuvilíea é cosiuída po duas compoees, uma de magiude (& ω ) a diecção ˆ e oua de magiude ( & ω + & ω) a diecção ˆ. Uilizado o poduo vecoial, a equação (5.) pode se eescia como, ( ω R) + & ω + α R & ˆ + ω ˆ (5.7) em que α epesea a aceleação agula do poo P. Quado a oigem do sisema de coodeadas coicide com o ceo de cuvaua, eão os vecoes & e & & são ulos. om esa pemissa, a equação da velocidade do poo P é simplificada como, V ωˆ (5.8) em que o módulo desa velocidade é dado po, v ω (5.9) Do mesmo modo, a equação da aceleação (5.) é simplificada e escia como, O emo ω ( ω R) ( ω R) + α R ω (5.0) desiga-se aceleação ceípea e epesea a compoee da aceleação a diecção adial ou omal, e cuja seido apoa paa o ceo da cuvaua. O emo α R é deomiado aceleação agecial e, al como o ome sugee, epesea a compoee da aceleação que é agecial à ajecóia o poo P. om efeio, a equação (5.0) pode se eescia da seguie foma, em que, + (5.) ( ω R) ω α R Os módulos das compoees omal e agecial da aceleação são dados po, (5.) (5.) v ω ωv (5.) a a α (5.5) figua 5. mosa as compoees isaâeas de aceleação do poo P, bem como a sua velocidade, quado o ceo de oação coicide com a oigem do INEMÁTI DE MENISMOS

7 sisema de coodeadas. Deve efei-se que a compoee omal da aceleação,, esá diigida paa o ceo da cuvaua, sedo esposável pela maueção da ajecóia. o passo que a compoee agecial,, é agee à ajecóia e é esposável pela vaiação da velocidade. O veco epesea a aceleação oal do poo P o isae cosideado e é igual à soma vecoial das compoees omal e agecial. Y α V P Tajecóia do poo P ω X eo de cuvaua Figua 5. ompoees omal e agecial da aceleação. s equações (5.8)-(5.5) são paiculamee úeis o cálculo das magiudes dos vecoes velocidade e aceleação de poos que descevam ajecóias ciculaes. Esa siuação ocoe com fequêcia o esudo de mecaismos em que o ceo de cuvaua é coicidee com a oigem do sisema de coodeadas. 5. NÁLISE DE ELERÇÕES 5

8 5.. ELERÇÃO DE UM PONTO NUM SISTEM MÓVEL figua 5. ilusa o movimeo de um poo elaivamee a um sisema de coodeadas móvel. O sisema de coodeadas XYZ é fixo, ao passo que o sisema de coodeadas xyz é móvel. P Y y R P ĵ R R O z kˆ î x X Z Figua 5. Movimeo de um poo um sisema efeecial móvel. Da aálise da figua 5., obseva-se que a posição do poo P em elação ao sisema de coodeadas XYZ pode se escio como, R P R O + R (5.6) em que R O epesea o veco posição da oigem do sisema de coodeadas móvel e R é o veco posição do poo P em elação a ese sisema de coodeadas. Em coodeadas caesiaas o veco R é escio como, x R ˆ y i ˆ z + j + kˆ (5.7) em que x, y e z são os módulos das compoees do veco R as diecções x, y e z, especivamee, e î, ĵ e kˆ são os vecoes uiáios coespodees às mesmas diecções. Deve efei-se que eses vecoes vaiam duae o movimeo associado ao sisema de efeêcia móvel. velocidade absolua do poo P, iso é, a velocidade expessa em elação ao sisema de coodeadas fixo XYZ, pode obe-se deivado em odem ao empo a equação (5.6), esulado em, V R& R& + R& P P O (5.8) Po ouo lado, deivado a equação (5.7) em odem ao empo vem que, R& x & & & & ˆ y i & ˆ z j & kˆ xˆ y i ˆ z j + kˆ (5.9) em que os ês pimeios emos do segudo membo epeseam a velocidade do poo P em elação ao sisema de coodeadas móvel xyz, a qual, po coveiêcia, pode se escia como, 6 INEMÁTI DE MENISMOS

9 x V ˆ y i ˆ z & + & j + & kˆ (5.0) osideem-se, agoa, os ês úlimos emos do lado dieio da equação (5.9). ssim, a velocidade do poo que epesea o emius de um veco R, que passa po um poo fixo e oda em oo dese poo com uma velocidade ω, é dada po, V ω R (5.) Po ouo lado, as deivadas dos vecoes uiáios podem se expessas po, & ˆ i ω ˆi (5.) ˆ & j ω ˆj & kˆ ω kˆ (5.) (5.) em que ω epesea a velocidade agula do sisema de coodeadas móvel xyz em elação ao sisema de coodeadas fixo XYZ. Uilizado as equações (5.), (5.) e (5.), pode esceve-se que, ou seja, ( ω ˆ y i) ( ω ˆ z + j) + ( ω kˆ ) x ˆ & y& i ˆ z & + j + kˆ x x ( ˆ y i ˆ z + j kˆ ) x& ˆ y& i ˆ z & + j + kˆ ω + ou aida, usado a elação dada pela equação (5.7), (5.5) (5.6) x& ˆ y& i + ˆ z & j + kˆ ω R (5.7) Deve oa-se que a equação (5.7) epesea a velocidade liea de um poo que oda em oo de eixo fixo. om efeio, pelo que acaba de se exposo, a equação (5.9) pode se eescia da seguie foma, R & V + ω R (5.8) assim, a velocidade do poo P dada pela equação (5.8) é escia como, em que, V P V O + V + ω R (5.9) V & (5.0) O R O Na equação (5.9) V P epesea a velocidade do poo P expessa o sisema de coodeadas fixo XYZ, V O é a velocidade liea da oigem do sisema de coodeadas móvel xyz em elação ao sisema de coodeadas fixo XYZ, V é a velocidade do poo P em elação ao sisema de coodeadas móvel xyz, ω epesea a velocidade agula do sisema móvel elaivamee ao sisema fixo e R epesea a disâcia da oigem do sisema de coodeadas xyz ao poo P. aceleação do poo P pode se obida po deivação da equação (5.9) em odem ao empo, esulado em, V & V& + V& + ω& R + ω R& P P O (5.) 5. NÁLISE DE ELERÇÕES 7

10 O emo V & pode obe-se po deivação da equação (5.0), ou seja, V& x & & & && ˆ y i && ˆ z j && kˆ x & ˆ y i & ˆ z j + & kˆ (5.) em que os ês pimeios emos do segudo membo epeseam a aceleação do poo P em elação ao sisema de coodeadas móvel xyz, a qual, po coveiêcia, pode se escia da seguie foma, x ˆ y i ˆ z & + && j + & kˆ (5.) osideado, agoa, os ês úlimos emos do lado dieio da equação (5.), aededo às elações dadas pelas equações (5.)-(5.), pode esceve-se que, ou seja, ou aida, ( ω ˆ y i) ( ω ˆ z + & j) + & ( ω kˆ ) x& ˆ y& i ˆ z & + j + kˆ x & & & & (5.) x ( ˆ y i ˆ z & + & j & kˆ ) x& ˆ y& i ˆ z & & + & j + & kˆ ω + (5.5) x& & & & ˆ y i + & ˆ z j + & kˆ ω V (5.6) Uilizado as equações (5.) e (5.6), a equação (5.) pode se eescia como, V & + ω V (5.7) O úlimo emo da equação (5.) obém-se ecoedo à equação (5.8), ou seja, ( ω R) ω R & ω V + ω (5.8) ssim, subsiuido as equações (5.7) e (5.8) a equação (5.) esula que, + + ω V + ω& P O R + ω ( ω R) (5.9) em que, & (5.50) O V O O sigificado físico dos emos que sugem a equação (5.9) é o seguie, P - celeação do poo P em elação ao sisema de coodeadas XYZ; O - celeação da oigem do sisema de coodeadas móvel xyz em elação ao sisema de coodeadas fixo XYZ; - celeação do poo P elaivamee ao sisema de coodeadas móvel xyz; ω V - celeação de oiolis que mede o efeio combiado de P em elação ao sisema de coodeadas móvel e da oação dese mesmo sisema; ω - Velocidade agula do sisema de coodeadas xyz em elação ao sisema de coodeadas fixo XYZ; V - Velocidade do poo P o sisema de coodeadas móvel xyz; R - Veco posição do poo P o sisema de coodeadas móvel xyz; ω & R - Efeio da velocidade agula devida à oação do sisema móvel xyz; ω ( ω R) - Efeio da aceleação agula devida à oação do sisema de coodeadas xyz. Esa aceleação deomia-se ceípea. Os dois úlimos emos epeseam a aceleação de aspoe do sisema móvel. 8 INEMÁTI DE MENISMOS

11 Uma aplicação do que acaba de se exposo pode se visa ao esuda o movimeo do mecaismo ilusado a figua 5.5, em que a baa oda com uma velocidade agula cosae ω. velocidade do poo é, po isso, cohecida, a quesão que se coloca é a de sabe qual a velocidade do poo. O sisema de coodeadas fixo XY em a oigem em, ao passo que o sisema de coodeadas móvel xy em oigem em. ssim, a equação da velocidade do poo pode se escia como, V V + V + ω R (5.5) em que V é pepedicula a D e cujo módulo é descohecido, V é pepedicula a e em módulo igual a ω, V é um veco ulo poque o poo é fixo em elação ao sisema de coodeadas móvel e ω R é pepedicula a e em que ωω e o módulo de R é igual a. diecção do veco ω R pode obe-se pela aplicação da ega da mão dieia. Y y R x R ω R Figua 5.5 plicação do movimeo de um poo um sisema efeecial móvel. Efecuado, agoa, o cálculo das aceleações em-se que, D ( ω R) + + ω V + ω& R + ω (5.5) em que, a compoee omal da aceleação de,, em módulo igual a ω D, sedo a sua diecção a mesma que a da baa e o seido de paa D, a compoee agecial da aceleação de,, é pepedicula à baa D sedo descohecido o seu módulo. aceleação do poo em apeas compoee omal, uma vez que a maivela oda com velocidade agula cosae, sedo o módulo igual a ω, a diecção é a mesma que a da maivela e o seido é o de paa. O veco é um veco ulo poque o poo é fixo o sisema de coodeadas móvel xy. Pela mesma azão é ula a pacela ω V. O veco ω & R acua pepediculamee à baa, sedo descohecido o seu módulo. Po seu lado, o veco ω ( ω R) em módulo igual a ω, em que a diecção é a mesma da baa e o seido é o de paa. Deve oa-se que a diecção do veco ω & R pode se deemiado sabedo que a diecção do veco ω& é pepedicula ao plao xy. ssim, ao efecua o poduo vecoial de ω& po R, esula um veco que peece ao plao xy e é pepedicula ao veco R. X 5. NÁLISE DE ELERÇÕES 9

12 5.. ELERÇÃO DE UM ORPO RÍGIDO figua 5.6 mosa um copo ígido aimado de um movimeo geal, em que a aceleação do poo é cohecida. ssim, a aceleação do poo do mesmo copo ígido é dada pela seguie elação maemáica, + (5.5) em que / epesea a aceleação do poo em elação ao poo. / ω, α Figua 5.6 opo ígido aimado de um movimeo geal. Na figua 5.7a esá epeseado um copo ígido em que se cosideam dois dos seus poos, e. ssim, quado o copo é sujeio a um deemiado movimeo, a disâcia maém-se cosae, o que faz com que o movimeo do poo seja de oação em oo de, idepedeemee do ipo de movimeo do poo. Po ouo lado, como a ajecóia do poo elaivamee ao poo é cicula, eão o veco aceleação pode se epeseado pelas compoees omal e agecial, e / /, as quais são pepediculaes ee si, como se ilusa a figua 5.7a. Idepedeemee do movimeo do poo, o movimeo agula do copo em elação ao poo é o mesmo que o do copo elaivamee a um copo fixo, poque o poo ão desceve movimeo de oação. ssim, paa a ajecóia cicula de elaivamee a, a velocidade agula associada à cuvaua de aio é a mesma que a velocidade agula do copo. O mesmo sucede com a aceleação agula. Tajecóia do poo em elação ao poo Tajecóia do poo em elação ao poo / / ω, α ω, α / / (a) (b) Figua 5.7 Movimeo elaivo de dois poos de um copo ígido. 0 INEMÁTI DE MENISMOS

13 Os módulos das aceleações elaivas omal e agecial do poo em elação ao poo podem se calculadas como, a / ω (5.5) a / α (5.55) figua 5.7b epesea as compoees da aceleação do poo em elação ao poo, em que as magiudes e seidos de ω e α são os mesmos da figua 5.7a. ida a figua 5.7b esá ilusada a ajecóia do poo elaivamee ao poo. Nesas cicusâcias, deve oa-se que, / / (5.56) / (5.57) em que o sial meos sigifica que os vecoes êm seidos oposos. No caso em que, po exemplo, o poo em uma dada aceleação, al como ilusado a figua 5.8, cosideado o poo como sedo o ceo da cuvaua do movimeo do poo, eão, / / (5.58) / / ω, α / / / Figua 5.8 Polígoo de aceleações de dois poos de um mesmo copo. Pelo que acaba de se exposo, dois coceios impoaes devem esa pesees. Em pimeio luga, veifica-se que a compoee omal da aceleação de um poo, elaivamee a ouo poo peecee ao mesmo copo ígido, é fução da velocidade agula do copo e da disâcia ee os dois poos cosideados, sedo a diecção a da liha de uião dos dois poos e o seido apoado paa o poo de efeêcia. Em segudo luga, obseva-se que a compoee agecial da aceleação de um poo, em elação a ouo poo peecee ao mesmo copo ígido, é fução da aceleação agula do copo e da disâcia ee os dois poos, edo diecção pepedicula à liha de uião dos poos e o mesmo seido da aceleação agula. 5. NÁLISE DE ELERÇÕES

14 5.5. MÉTODOS NLÍTIOS Méodo lgébico figua 5.9 mosa o mecaismo biela-maivela, em elação ao qual se peede deduzi uma equação maemáica que pemia calcula em cada isae a aceleação da coediça, iso é, a aceleação do poo. Na pesee siuação, cosidea-se que o mecaismo é accioado pela maivela, a qual oda com uma velocidade agula cosae igual a ω. dmie-se, aida, que os compimeos da maivela e da biela são cohecidos à paida, sedo epeseados po e, especivamee. ω θ θ D Figua 5.9 Repeseação esquemáica do mecaismo biela-maivela. ssim, da aálise de posição do mecaismo biela-maivela da figua 5.9 sabe-se a expessão que aduz, em cada isae, a posição da coediça é dada po, ω ou, de foma simplificada, iso é, quado / </, cosω + se (5.59) se ω cosω + (5.60) alisado as equações (5.59) e (5.60), obseva-se que a posição da coediça depede diecamee da vaiável empo, bem como das popiedades geoméicas do mecaismo. Po isso, deivado uma e oua vez, em odem ao empo, esas duas equações obêm-se as expessões que pemiem calcula a aceleação da coediça, iso é, a ω ( cos ω se ω ) ω se ω cos ω ω cosω (5.6) ( ) se ω se ω + cos ω cosω ω (5.6) a íulo de cuiosidade deve efei-se que o emo ω epesea a aceleação ceípea. INEMÁTI DE MENISMOS

15 5.5.. Méodo da Noação omplexa Na figua 5.0 esá epeseado esquemaicamee o mecaismo biela-maivela, em que as baas foam subsiuídas po vecoes posição equivalees. Eses vecoes cosiuem uma cadeia ciemáica fechada. ssim, uilizado a oação complexa em coodeadas polaes, a equação que aduz a cadeia ciemáica cosiuída pelos vecoes R, R e R pode se escia como, iθ iθ iθ e + e e 0 (5.6) θ R R θ R Figua 5.0 Repeseação vecoial do mecaismo biela-maivela. Tal como aeiomee, ese mecaismo o ógão moo é a maivela que oda com velocidade agula cosae, ou seja, θ ω. om efeio, peede-se ambém calcula a aceleação da coediça pelo que a equação (5.6) deve se deivada duas vezes. ededo a que, e θ são cosaes, as especivas deivadas são ulas, pelo que deivado a equação (5.6) em odem ao empo esula que, iθ iθ iθ i ω e + i ω e v e 0 (5.6) Deivado agoa a equação (5.6) obém-se, em que, dω i d + ω dθ d + dω d dθ + ω d iθ iθ iθ iθ iθ e i e i e i e e dω 0 d dω d α dv d 0 (5.65) (5.66) (5.67) dv a (5.68) d Eão, a equação (5.65) pode se simplificada e eescia como, iθ iθ iθ iθ i ω e + i α e + i ω e a e 0 (5.69) s icógias de equação (5.69) são α e a, pelo que, uilizado a fómula de Eule, sepaado as paes eal e imagiáia e esolvedo o sisema daí esulae vem que, 5. NÁLISE DE ELERÇÕES

16 α ω seθ + ω seθ (5.70) cosθ ( cosθ + seθ gθ ) ω ( cosθ seθ g ) ω θ a + (5.7) ode α e a são, especivamee, a aceleação agula da biela e a aceleação liea da coediça. Os valoes de θ e de ω ecessáios paa o cálculo desas aceleações obêm-se da aálise de posição e velocidade, especivamee, ou seja, seθ θ acse (5.7) ω Méodo da Noação Maicial ω cosθ (5.7) cosθ O mecaismo biela-maivela epeseado a figua 5. é uilizado paa demosa a aplicação do méodo da oação maicial o cálculo da aceleação. Na figua 5., al como aeiomee, as baas que cosiuem o mecaismo foam subsiuídas po vecoes posição, os quais fomam uma cadeia ciemáica fechada. Y θ R R θ R Figua 5. Repeseação vecoial do mecaismo biela-maivela. Da aálise da cofiguação geoméica da figua 5., pojecado os vecoes R, R e R as diecções X e Y vem, especivamee, que, cosθ + cosθ 0 (5.7) seθ seθ 0 (5.75) Deivado esas duas expessões em odem ao empo obém-se, ω seθ ω seθ v 0 (5.76) ω cosθ ω cosθ 0 (5.77) s equações (5.76) e (5.77) pode se eescias a foma maicial como, seθ cosθ ω ω seθ 0 v ω cosθ X (5.78) INEMÁTI DE MENISMOS

17 Deivado, agoa, as equações (5.76) e (5.77) obém-se, especivamee, ω cosθ α seθ ω cosθ v 0 (5.79) ω seθ α cosθ ω seθ 0 (5.80) Esas duas equações fomam um sisema de duas equações a duas icógias, α e a, o qual em oação maicial pode se escia como, seθ cosθ α ω cosθ 0 a ω seθ + ω cosθ + ω seθ plicado, po exemplo, a ega de ame a ese sisema esula que, a seθ α ω seθ + ω seθ (5.8) (5.8) cosθ ( ω seθ + ω seθ ) + cosθ ( ω cosθ + ω cosθ ) (5.8) cosθ em que α e a são, especivamee, a aceleação agula da biela e a aceleação liea da coediça. Os valoes de θ e ω ecessáios paa o cálculo desas duas aceleações obêm-se, especivamee, da aálise de posição e de velocidade, seθ θ acse (5.8) ω ω cosθ (5.85) cosθ Deve oa-se que, quado se uiliza o méodo da oação maicial o cálculo das velocidades e das aceleações, a maiz dos coeficiees é igual em ambos os casos. Esa paiculaidade é basae úil e ieessae quado se peede esceve um pogama compuacioal paa o efeio, uma vez que se pode aumea a eficiêcia compuacioal a medida em que, paa cada isae, é ecessáio apeas calcula uma úica vez a maiz dos coeficiees Méodo da Decomposição do Movimeo O méodo da decomposição do movimeo, al como o ome sugee, baseia-se a popiedade que qualque movimeo geal pode se cosideado como a soma de um movimeo de aslação e um movimeo de oação. Esa popiedade é cohecida como lei de hasles. Ese méodo de aálise do movimeo é paiculamee úil e ieessae o esudo dos movimeos dos mecaismos de uso coee. O méodo da decomposição do movimeo é aplicado ao mecaismo biela-maivela como exemplo de demosação o cálculo de aceleações. figua 5. epesea um mecaismo biela-maivela em elação ao qual se peede deemia a aceleação da coediça. Nese mecaismo, a maivela, sedo o ógão moo, oda com um velocidade agula cosae igual a ω, a coediça ealiza um movimeo de aslação ecilíea e a biela desceve um movimeo geal ou miso. 5. NÁLISE DE ELERÇÕES 5

18 Y ω θ θ Figua 5. Mecaismo biela-maivela em que esão epeseadas as aceleações dos poos e. ssim, paa o mecaismo epeseado a figua 5. sabe-se que é ula a compoee agecial da aceleação do poo, em viude de se e cosideado que a maivela oda com velocidade agula cosae. compoee omal da aceleação do poo esá epeseada a figua 5. e pode se calculada como, a ω (5.86) em que ω e epeseam a velocidade agula e o compimeo da maivela. X Figua 5. ompoee omal da aceleação do poo que peece à maivela. Dado que a biela desceve um movimeo geal, ese pode se decomposo uma aslação com o poo e uma oação em oo do eixo que passa o mesmo poo, como se ilusa a figua 5.. ededo a que o poo é um poo comum à maivela e à biela, a sua aceleação é a mesma quado se cosidea como peecee a um ou ouo copo. O mesmo sucede com o poo, mas agoa em elação à biela e à coediça. θ θ + ω, α Movimeo geal ou miso aslação + oação / Figua 5. Decomposição do movimeo da biela como sedo a soma de uma aslação e de uma oação. / 6 INEMÁTI DE MENISMOS

19 ssim, a equação gáfica da figua 5. pode, vecoialmee, se escia como, + (5.87) Pojecado esa equação segudo as diecções X e Y obém-se o seguie sisema de equações, / a (5.88) acosθ a/cosθ + a/seθ em que, 0 a a cosθ (5.89) seθ + a/seθ + / a ω (5.90) a / ω (5.9) a / α (5.9) O valo do âgulo θ é cohecido à paida, uma vez que θ ω, sedo o âgulo θ calculado pela aálise geoméica do mecaismo, pelo que aplicado a lei dos seos ao iâgulo obém-se a seguie elação, seθ θ acse (5.9) om efeio, obseva-se que as equações (5.88) e (5.89) cosiuem um sisema de duas equações a duas icógias, α e a, pelo que da sua esolução vem que, α ω seθ ω seθ (5.9) cosθ seθ a ω cosθ + ω ( cosθ + seθgθ) cosθ (5.95) 5. NÁLISE DE ELERÇÕES 7

20 5.6. MÉTODOS GRÁFIOS Méodo do Polígoo de celeações O méodo do polígoo de aceleações, al como o méodo do polígoo de velocidades, baseia-se a cosução e esolução gáfica de equações vecoiais. Ese méodo é aplicado ao mecaismo biela-maivela a íulo de demosação. ssim, cosidee-se o mecaismo biela-maivela ilusado a figua 5.5, em que o ógão moo é a maivela, a qual oda com velocidade agula cosae ω. À semelhaça dos casos aeioes, peede-se deemia a aceleação liea da coediça, ou seja a aceleação liea do poo. Y ω θ θ Figua 5.5 Mecaismo biela-maivela em que esão epeseadas as aceleações dos poos e. Po defiição de aceleação elaiva ee dois poos que peecem a um mesmo copo ígido, sabe-se que paa os poos e é válida a seguie elação, / + (5.96) Subsiuido esa equação as compoees omais e ageciais vem que, (5.97) ode a 0 poque a ajecóia da coediça é de aslação ecilíea e a 0 uma vez que a maivela oda com velocidade agula cosae. Sabe-se aida que, / / a ω (5.98) a / ω (5.99) a / α (5.00) ssim, é possível aça, a uma escala coveiee, o polígoo de aceleações dado pela equação (5.97). Tomado, eão, uma escala adequada, e a pai da defiição do poo O como sedo a oigem das aceleações, epesea-se o veco, cuja diecção é a mesma da maivela e o seido é o da apoa de paa. Respeiado, a sua colocação em elação a, as egas da adição e subacção de vecoes, e seguido a equação (5.97), é possível cosui o polígoo de aceleações ilusado a figua 5.6. Medido diecamee sobe o polígoo de aceleações, afecado a medida pelo faco de escala, é possível deemia a aceleação liea da coediça, bem como as compoees da aceleação do poo em elação a. X 8 INEMÁTI DE MENISMOS

21 O / / Figua 5.6 osução gáfica do polígoo de aceleações Méodo da Imagem de celeações O méodo da imagem de aceleações uiliza os mesmos picípios que o méodo da imagem de velocidades, iso é, é possível obe uma imagem da aceleação de um copo quado ese em uma cofiguação geoméica complexa, como po exemplo, foma iagula. es de aplica o méodo da imagem de aceleações covém elemba que, do módulo da adição de vecoes em-se que, e como, / ( ) a ( a ) a + (5.0) / / a ω (5.0) / eão, da equação (5.0) vem que, a α (5.0) / a / ω + α (5.0) Da aálise da equação (5.0) pode coclui-se que, como ω e α são cosaes, eão a aceleação de cada poo elaivamee a ouo, um copo ígido, é popocioal à disâcia ee eles. É ambém possível demosa que a oieação da imagem de aceleações, de cada copo, depede da aceleação agula desse mesmo copo. Deve oa-se que se a aceleação agula fo ula, a imagem de aceleações ecoa-se-á odada de 80º em elação à posição do especivo copo, o seido da velocidade de oação. Po ouo lado, exisido uma compoee de aceleação agula, a imagem ecoa-se-á odada de um valo de [80-g(α/ω )] em elação à posição desse copo, o seido da aceleação agula. íulo de demosação, o méodo da imagem de aceleações é aplicado ao mecaismo biela-maivela ilusado a figua 5.7a, em que os copos e êm fomas iagulaes. osideado a iexisêcia de aceleação agula do copo (α 0), a coespodee imagem de aceleações ecoa-se epeseada a figua 5.7b. Deve oa-se que a imagem de aceleações do copo, que ão em aceleação agula, apesea uma oação de 80º. Po seu uo, o copo, aimado de uma aceleação agula o seido dieco, a sua imagem apaece com uma oação meo que 80º. 5. NÁLISE DE ELERÇÕES 9

22 D E ω (a) E/ E/ E O / E/ / E/ D (b) Figua 5.7 (a) Mecaismo biela-maivela; (b) Imagem de aceleações Méodo dos eos Isaâeos de celeação Da mesma foma que um mecaismo podem se localizados ceos isaâeos de oação ou de velocidade, iso é, os poos paa os quais a velocidade elaiva é ula, é ambém possível localiza os ceos isaâeos de aceleação (I) ou ceos de aceleação. Emboa a sua uilização páica a aálise de mecaismos seja basae eduzida, é impoae aboda, aida que de foma simples, ese coceio. om efeio, ceo isaâeo de aceleação pode defii-se como sedo o local isaâeo de dois poos coicidees e peecees a copos ígidos difeees, paa os quais a aceleação absolua é igual. Quado um dos copos esá fixo e ouo desceve um movimeo plao, o ceo isaâeo de oação é o poo do copo que se move, paa o qual a aceleação absolua, paa o isae cosideado, é ula. Na figua 5.8 esá epeseado um copo ígido, em que o poo é o ceo isaâeo de aceleação, paa o qual a aceleação absolua é ula e cuja localização é descohecida. osideado que o poo em aceleação absolua e que ω e α 0 INEMÁTI DE MENISMOS

23 epeseam, especivamee, a velocidade e a aceleação agulaes do copo, eão, a difeeça de aceleações ee os poos e é dada po, ω R + α R 0 (5.05) Resolvedo a equação (5.05) em odem a, vem que, ω ˆ α ( kˆ ˆ ) (5.06) ededo a que os vecoes ˆ e k ˆ ˆ são pepediculaes, os dois emos do segudo membo da equação (5.06) epeseam as compoees ecagulaes do veco, como se ilusa a figua 5.8. Y R R ω α k ˆ ˆ ˆ ω R γ α R X Figua 5.8 eo isaâeo de aceleação. Da obsevação da figua 5.8, a diecção e a magiude do veco R podem se calculadas de acodo com as seguies expessões, α γ acg (5.07) ω a a cosγ (5.08) ω + α ω em que a é o módulo da aceleação. Da aálise da equação (5.08) pode coclui-se que a disâcia de um qualque poo de um copo ígido ao ceo isaâeo de aceleação pode se calculada se a magiude da aceleação desse poo fo cohecida. localização dos ceos isaâeos de aceleação é uma aefa basae abalhosa, especialmee em mecaismos que apeseem opologias complexas. Há, o eao, méodos gáficos que pemiem, de foma simples e expedia, deemia a localização dos ceos isaâeos de aceleação, ee os quais se desaca o méodo das quao cicufeêcias. Ese méodo, é paiculamee úil quado se cohecem duas aceleações absoluas de dois poos do mesmo copo, como é caso dos poos e da figua 5.9 que peecem à mesma baa. ssim, o pocedimeo gáfico coducee à localização do ceo isaâeo de aceleação pode se esumido os seguies passos, Refia-se, a íulo de cuiosidade que, apesa do ome adopado, ese méodo apeas são usadas duas cicufeêcias. 5. NÁLISE DE ELERÇÕES

24 - Pologa os vecoes das aceleações e, aé que eses se iesecem o poo I; - Deseha a cicufeêcia que passa pelos poos, e I; - Deseha a cicufeêcia que passa pelos poos defiidos pelos emius dos vecoes e e pelo poo I; - Ieseca as duas cicufeêcias aeiomee desehadas, esulado daí o ceo isaâeo de aceleação (I). I I Figua 5.9 Localização do ceo isaâeo de aceleação uilizado o méodo das quao cicufeêcias Méodo da Difeeciação Gáfica Os picípios aplicados o méodo da difeeciação gáfica com o popósio de efecua o cálculo de aceleações são os mesmos já euciados aquado da aálise de velocidades, pelo que esa secção apeas se apeseam os esulados gáficos das aceleações da coediça do mecaismo biela-maivela, em que o diagama de deslocameo da coediça é cohecido. ssim, po sucessivas difeeciações gáficas obêm-se as cuvas de velocidade e de aceleação, como ilusa a figua 5.0. x x ω x Figua 5.0 plicação do méodo da difeeciação gáfica ao mecaismo biela-maivela. INEMÁTI DE MENISMOS

25 5.7. NÁLISE DE ELERÇÃO DE MENISMOS ELEMENTRES Mecaismo de Quao aas figua 5. mosa o mecaismo de quao baas em que o ógão moo é a maivela, a qual oda com velocidade agula cosae igual a ω. ida a figua 5. esão ilusados os vecoes posição coespodees a cada um das baas que cosiuem o mecaismo. R θ θ ω R θ R R d R D Figua 5. Mecaismo de quao baas. om base a oação complexa pola, a equação que aduz a cadeia ciemáica fomada pelos vecoes R, R, R e R é escia como, iθ iθ iθ iθ e + e + e + e 0 (5.09) Deivado duas vezes esa equação em odem ao empo obêm-se as expessões que pemiem calcula as aceleações das baas dese quadiláeo aiculado. ssim, da pimeia deivada da equação (5.09) vem que, iθ iθ iθ iω e + iω e + iω e 0 (5.0) Deve efei-se que,,, e θ são paâmeos que ão vaiam com o empo. Uilizado a fómula de Eule a equação (5.0), sepaado as paes eal e imagiáia e esolvedo o sisema esulae, em odem a ω e ω, obém-se, ω se( θ θ) ω (5.) se( θ θ ) ω se( θ θ) ω se( θ θ ) Deivado, agoa, a equação (5.0) em odem ao empo vem que, (5.) iθ iθ iθ iθ iθ i ω e + iα e + i ω e + iα e + i ω e 0 (5.) s icógias desa equação são α e α, pelo que aplicado a fómula de Eule, sepaado as paes eal e imagiáia e esolvedo o sisema daí esulae esula, 5. NÁLISE DE ELERÇÕES

26 ω cos α ω cos α ( θ θ ) + ω cos( θ θ ) se( θ θ ) ( θ θ) + ω cos( θ θ ) se( θ θ ) + ω + ω (5.) (5.5) ededo a que a maivela oda com velocidade agula cosae, eão o valo do âgulo θ é dado po, θ ω (5.6) Po seu lado, os valoes dos âgulos θ e θ podem se obidos da aálise de posição do mecaismo de quao baas, dode esula que, em que θ d e d são dados po, d + θ θd m acos (5.7) d d + θ θd ± acos (5.8) d θ d acse seθ (5.9) d d Mecaismo de oediça + cosθ (5.0) Na figua 5.a esá epeseado pelas suas baas o mecaismo de coediça, equao a figua 5.b esão apeseados os coespodees vecoes posição, os quais cosiuem uma cadeia ciemáica fechada. Nese mecaismo cosidea-se que o ógão moo é a maivela, a qual oda com velocidade agula cosae ω. Nesa secção, usado o méodo da oação complexa, é apeseada a aálise de aceleações liea e agula da maivela. ω R R θ θ θ R θ (a) (b) Figua 5. (a) Mecaismo de coediça; (b) Repeseação vecoial equivalee. INEMÁTI DE MENISMOS

27 ssim, com base a oação complexa, a cadeia ciemáica fechada fomada pelos vecoes R, R e R pode se escia como, iθ iθ iθ e + e e 0 (5.) Deivado em odem ao empo esa equação vem que, iθ iθ iθ iω e & e iω e 0 (5.) plicado, agoa, a fómula de Eule à equação (5.), sepaado as paes eal e imagiáia e esolvedo em odem a & e ω vem que, & ω se( θ ) (5.) θ ω ω cos( θ θ) Deivado, agoa, a equação (5.) em odem ao empo obém-se, ω (5.) iθ iθ iθ iθ iθ & e & iω e & iω e iα e i ω e 0 (5.5) iθ i e s icógias desa equação são & & e α, pelo que ao aplica a fómula de Eule, sepaado as paes eal e imagiáia, vem que, ω cosθ & cosθ + & ω seθ + α seθ + ω cosθ 0 (5.6) ω seθ & seθ & ω cosθ α cosθ + ω seθ 0 (5.7) s equações (5.6) e (5.7) cosiuem um sisema de duas equações a duas icógias, cujas soluções são, α ( θ ) & & (5.8) ω ω cos θ ω se ( θ θ ) & ω (5.9) em que θ é cohecido à paida, uma vez que a baa é o ógão moo, sedo θ dado pela seguie equação obida da aálise de posição, θ seθ acg (5.0) cosθ Po seu lado os valoes elaivos às velocidades & e ω podem se calculados uilizado as equações (5.) e (5.), especivamee Mecaismo iela-maivela com Exceicidade figua 5. mosa o mecaismo biela-maivela com exceicidade ee o eixo de oação da maivela e a liha eca que defie a diecção de aslação da coediça. maivela é o ógão moo, a qual oda com velocidade agula cosae igual a ω. plicado o méodo algébico ao mecaismo ilusado a figua 5., obém-se a seguie expessão paa a posição da coediça, ( se ) x ω ω + (5.) cos + e 5. NÁLISE DE ELERÇÕES 5

28 em que, e e são caaceísicas geoméicas do mecaismo, ω é a velocidade agula da maivela e é a vaiável empo. ssim, deivado duas vezes a equação (5.) em odem ao empo, e após aameo maemáico, obém-se uma expessão que pemie calcula a aceleação liea da coediça em cada isae, a qual é expessa como, a ω ( cos ω se ω ) ω se ω cos ω ω seω (5.) ( seω + e) [ ( ) ] seω + e Y ω θ e X Figua 5. Mecaismo biela-maivela com exceicidade Mecaismo iela-maivela Iveido figua 5. ilusa um mecaismo biela-maivela iveido, em que as baas foam subsiuídas po vecoes posição equivalees, os quais cosiuem uma cadeia ciemáica fechada. dmie-se que, a pesee siuação a maivela é o ógão moo e oda com uma velocidade agula cosae igual a ω. R θ R R ω D θ θ R θ Figua 5. Mecaismo biela-maivela iveido. Da aálise geoméica do mecaismo ilusado a figua 5., e uilizado a oação complexa pola, pode esceve-se que, iθ iθ iθ iθ e e e e 0 (5.) Po ouo lado, da aálise de posição são válidas as seguies elações, + ( cosθcosθ + seθseθ) (5.) 6 INEMÁTI DE MENISMOS

29 ode β ±. a (5.5) cosθ cosθ θ θ 90 (5.6) + β a + θ acg (5.7) a + ededo a que, e θ são cosaes, deivado em odem ao empo a equação (5.), vem que, iθ iθ iθ iθ iω e & e iω e iω e 0 (5.8) plicado a fómula de Eule a equação (5.8), sepaado as paes eal e imagiáia e eaajado as equações daí esulaes obém-se o seguie sisema de equações, cos θ seθ seθ & ω seθ (5.9) seθ cosθ + cosθ ω ω cosθ Ese sisema pode se esolvido, uilizado, po exemplo, a ega de ame aeiomee apeseada, em odem às velocidades & e ω. Os esaes paâmeos da equação (5.9) são peviamee cohecidos ou calculados usado as equações (5.)-(5.7). Pocededo de módulo aálogo paa o cálculo das aceleações, iso é, deivado em odem ao empo a equação (5.8), a após aameo maemáico obém-se que, cosθ seθ seθ seθ && cosθ + cosθ α ωcosθ + ω cosθ + & ωseθ + ω cosθ ω seθ + ω seθ & ωcosθ + ω seθ (5.0) O sisema dado pela equação (5.0) deve se esolvido em odem às icógias & & e α, em que os esaes paâmeos evolvidos são cohecidos pela aálise de posição e velocidade aeiomee apeseada. Deve saliea-se que as maizes dos coeficiees das equações (5.9) e (5.0) são iguais. Ese faco é basae úil e ieessae quado se peede esceve um pogama compuacioal paa o efeio, uma vez que se pode aumea a eficiêcia compuacioal a medida em que, paa cada isae, é ecessáio apeas calcula uma úica vez a maiz dos coeficiees. 5. NÁLISE DE ELERÇÕES 7

30 8 INEMÁTI DE MENISMOS

31 5. NÁLISE DE ELERÇÕES 9