Escoamentos Compressíveis. Capítulo 06 Forma diferencial das equações de conservação para escoamentos invíscidos

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1 Escoamenos Compessíveis Capíulo 06 Foma difeencial das equações de consevação paa escoamenos invíscidos

2 6. Inodução A análise de poblemas na dinâmica de fluidos eque ês passos iniciais: Deeminação de um modelo paa o fluido. Aplicação dos pincípios básicos da física paa esse modelo de modo a obe equações maemáicas apopiadas embasadas nesses pincípios. Uso das equações esulanes paa esolve um poblema específico de ineesse.

3 6. Inodução As equações de consevação na foma inegal conduzem a equações algébicas que descevem as popiedades em difeenes seções ansvesais do escoameno. Tal fomulação, conudo, não é páica paa o esudo de efeios complexos, como no caso dos escoamenos ansienes e bi e idimensionais. 3

4 6. Inodução Idenidades veoiais úeis: A d S = A S S Φ d S = ( ) V ( Φ ) V dv dv onde A e Φ são funções veoial e escala, especivamene, do empo e do espaço, e V é o volume de conole cuja supefície de conole é S. 4

5 6. Equações difeenciais na foma consevaiva Equação da coninuidade: A pai da foma inegal: S ρv d S = ρdv Aplicando-se a pimeia idenidade veoial e após algumas manipulações obém-se: ρ + V ( ρv ) = 0 5

6 6. Equações difeenciais na foma consevaiva Equação do momenum: Foma inegal: ρv d S V + S ( ) ( ρv ) V dv Aplicando-se a segunda idenidade veoial e uilizando-se, po conveniência, um sisema caesiano de coodenadas, obém-se: = V ρ f dv ( ρu) ( ) p + ρuv = + ρ f x x S p d S 6

7 6. Equações difeenciais na foma consevaiva Equação do momenum: As demais componenes são: ( ρv) ( ) p + ρvv = + ρ f y ( ρ w) ( ) p + ρ wv = + ρ f z y z 7

8 8 6. Equações difeenciais na foma consevaiva Equação da enegia: Foma inegal: Empegando-se a pimeia idenidade veoial, obém-se: ( ) + ρ + + ρ = = ρ + ρ S S d S V V u d V u d V f d S pv d q & ' ' V V V V V V

9 9 6. Equações difeenciais na foma consevaiva Equação da enegia: ( ) ( ) V f q pv V V u V u & + ρ + ρ = + ρ + + ρ ' '

10 6.3 Deivada subsaniva Considee um elemeno de fluido que se move no espaço caesiano em dois insanes de empo difeenes. 0

11 6.3 Deivada subsaniva Nese caso, o campo de velocidades é dado po V = u i + v j + wk u = v = w = u v w ( x, y, z, ) ( x, y, z, ) ( x, y, z, ) E o campo de densidades é dado po ρ = ρ ( x, y, z, )

12 6.3 Deivada subsaniva No insane, a densidade do elemeno de fluido é ρ ( ) = ρ x, y, z,. No insane, o mesmo elemeno de fluido apesena densidade ρ ( ) = ρ x, y, z,. Como em-se que ρ = ρ( x, y, z, ), é possível expandi-se a função em uma séie de Taylo ao edo do pono, oiginando ρ z ρ ( x x ) + ( y y ) ( z z ) + ( ) + emos de odem supeio = ρ ρ + x ρ ρ y +

13 3 6.3 Deivada subsaniva Dividindo-se po ( ) e ignoando-se emos de odem supeio, em-se A quanidade (ρ ρ ) é a vaiação da densidade de um elemeno paicula de fluido ao se move do pono ao pono. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ρ + ρ + ρ + ρ = ρ ρ z z z y y y x x x

14 6.3 Deivada subsaniva Tomando-se o limie paa o lado esquedo da igualdade: ρ lim ρ Dρ D Esse valo epesena a axa insanânea de vaiação da densidade de um elemeno de fluido paicula que se move do pono ao pono. 4

15 6.3 Deivada subsaniva ( ) Tal valo é difeene de ρ, que é a axa empoal de vaiação da densidade em um pono fixo. Calculando-se o limie paa as demais pacelas e lembando-se que se esá seguindo um elemeno de fluido: lim x x u 5

16 6 6.3 Deivada subsaniva Dese modo, em-se paa o limie de v y y lim w z z lim z w y v x u D D ρ + ρ + ρ = ρ

17 6.3 Deivada subsaniva Define-se, enão, a noação D D + u x + v y + w z = + ( V ) como deivada subsaniva. A axa de vaiação de qualque quanidade associada ao movimeno de um elemeno de fluido paicula é dado pela deivada subsaniva. 7

18 6.4 Equações difeenciais na foma não-consevaiva Equação da coninuidade: A pai da equação: ρ + ( ρv ) = 0 Expandido-se o emo que apesena o divegene e após algumas manipulações em-se: Dρ D + ρ V = 0 8

19 6.4 Equações difeenciais na foma não-consevaiva Fisicamene, em-se que a massa de um elemeno de fluido consiuído po um conjuno fixo de paículas (moléculas ou áomos) é consane ao longo do movimeno do fluido aavés do espaço. Equação do momenum: A pai da equação: ( ρu) ( ) p + ρuv = + ρ f x x 9

20 6.4 Equações difeenciais na foma não-consevaiva Expandindo-se o emo que apesena o divegene, bem como a deivada empoal e ealizando-se algumas manipulações, obémse a elação: ρ Du D = p x + ρ f x Analogamene, obém-se: ρ Dv D = p y + ρ f y 0

21 6.4 Equações difeenciais na foma não-consevaiva ρ Dw D = Ou na foma veoial: DV ρ D = Essas equações se consiuem em fomas difeenes das equações de Eule. p z p + ρ + ρ f z f

22 6.4 Equações difeenciais na foma não-consevaiva As equações de Eule epesenam fisicamene a segunda lei de Newon aplicada a um elemeno de fluido de idenidade fixa movendo-se em um escoameno. Equação da enegia: A pai da equação: V ρ u' + V + ρ u' + ( pv ) + ρq& + ρ( f V ) V =

23 6.4 Equações difeenciais na foma não-consevaiva Expandido-se o emo que apesena o divegene e ealizando-se manipulações adequadas, obém-se ρ D ( u' + V ) ( p V ) q ( = + ρ & + ρ f V ) D Esa é uma foma de se aplica a pimeia lei da emodinâmica a um elemeno de fluido de idenidade fixa em movimeno; noa-se, conudo, que a enegia paa o elemeno em movimeno é a enegia oal. 3

24 6.4 Equações difeenciais na foma não-consevaiva Fomas alenaivas da equação da enegia: Baseada na enegia inena: ρ Du' D Baseada na enalpia: ρ Dh D = p V = D p D + ρq& + ρ q& 4

25 6.4 Equações difeenciais na foma não-consevaiva Baseada na enalpia oal (ou de esagnação): ρ Dh D p Da fomulação aneio, obseva-se que a enalpia oal de um elemeno fluido em movimeno em um escoameno invíscido pode sofe vaiações devido a: Efeios ansienes: 0 = + ρq& + ρ p 0 ( f V ) 5

26 6.4 Equações difeenciais na foma não-consevaiva Tansfeência de calo: q& 0 Foças de copo: f V 0 No caso de um escoameno compessível, adiabáico e sem efeios de foças de copo, em-se: ρ Dh D 0 = p 6

27 6.4 Equações difeenciais na foma não-consevaiva A pai da expessão aneio, no caso de egime pemanene, um esulado impoane é que h = cons 0 Nese caso, paa um escoameno invíscido, adiabáico e em egime pemanene, a enalpia oal é consane ao longo de uma dada linha de coene. 7

28 6.4 Equações difeenciais na foma não-consevaiva Baseada na enegia inena e no volume específico: De D Dυ + p q& D = 0 As fomas não-consevaivas das equações govenanes envolvem as popiedades de um elemeno de fluido que se move ao longo do escoameno, apesenando, po isso, deivadas subsanivas. 8

29 6.4 Equações difeenciais na foma não-consevaiva No caso da foma consevaiva, as equações foam obidas paa um volume de conole fixo no espaço. O emo não-consevaivo não significa que o pincípio físico da consevação de popiedades seja violado. Fisicamene, ano a foma consevaiva quano a nãoconsevaiva são descições eóicas válidas e equivalenes de um escoameno. 9

30 6.4 Equações difeenciais na foma não-consevaiva Os emos consevaivo e nãoconsevaivo esão elacionados à dinâmica de fluidos compuacional (CFD), paa a qual a foma consevaiva é a mais empegada, pois gaane a consevação das popiedades do escoameno na disceização do modelo maemáico, algo que não ocoe esponaneamene paa as equações na foma não-consevaiva. 30

31 6.5 Equação da enopia Combinando-se a pimeia e a segunda leis da emodinâmica e aplicando-as a um elemeno de fluido em movimeno obém-se T Ds D = De D Dυ D A equação aneio é chamada de equação da enopia e é válida ambém paa escoamenos não-adiabáicos viscosos. 3 + p

32 6.5 Equação da enopia No caso de um escoameno invíscido e adiabáico, em-se Ds D = 0 ou cons Paa a solução da maioia dos poblemas de escoamenos compessíveis, as equações da coninuidade, do momenum e da enegia são suficienes. s = 3

33 6.5 Equação da enopia A equação da enopia só é necessáia paa calcula a dieção de algum pocesso que possa ocoe. Paa escoamenos isenópicos, conudo, po conveniência pode se ineessane subsiui a equação da enegia ou do momenum pela equação da enopia. 33

34 6.6 Teoema de Cocco Consideando-se um elemeno de fluido que se move ao longo de um escoameno. Nese caso, o movimeno de al elemeno é composo po uma pacela anslacional e uma oacional. A anslacional é denoada pela velocidade V. A oacional é denoada pela velocidade angula ω, que se elaciona com a velocidade aavés da elação ω = V 34

35 6.6 Teoema de Cocco O emo V é denominado voicidade do fluido e é igual ao dobo da velocidade angula. Deseja-se obe uma elação ene a voicidade do fluido e popiedades emodinâmicas do mesmo. Paa ano, empega-se a equação de Eule, sem efeio de foças de copo: ρ DV D = p 35

36 6.6 Teoema de Cocco Combinando-se, enão, a pimeia e a segunda leis da emodinâmica, bem como a definição de enalpia oal, em-se ( ) V T s = h0 V V + A elação aneio foi oiginalmene obida po L. Cocco em 937, sendo po isso chamada de eoema de Cocco. 36

37 6.6 Teoema de Cocco Paa egime pemanene, o eoema de Cocco se ona T s = h0 Reaanjando-se: V V ( V ) ( V ) = h 3 0 T s { 3 voicidade gadiene de enalpia oal gadiene de enopia 37

38 6.6 Teoema de Cocco Quando um escoameno em egime pemanene apesena gadienes de enalpia e/ou de enopia, o escoameno é oacional. Iso em consequências páicas sobe o escoameno a jusane de uma onda de choque cuva. 38

39 6.6 Teoema de Cocco 39

40 6.6 Teoema de Cocco Na egião, a monane do choque, odas as linhas de coene são paalelas e apesenam a mesma enopia oal. Com elação à enalpia oal, noa-se que ela é a mesma nas poções aneio e poseio ao choque. Assim, o gadiene de enalpia deve se nulo. 40

41 6.6 Teoema de Cocco As linhas de coene, conudo, passam po difeenes egiões do choque: po exemplo, a linha (b) aavessa uma poção do choque mais cuva que a linha (d), que aavessa uma egião mais faca do choque. Assim, a linha de coene que passa po (b) sofe uma maio vaiação de enopia que a linha que passa po (d). 4

42 6.6 Teoema de Cocco Dese modo, o gadiene de enopia na egião não é nula, ou seja, pelo eoema de Cocco V V ou seja, a jusane do choque. ( ) 0 V 0 4

43 6.6 Teoema de Cocco Tem-se, assim, pelo eoema de Cocco, que um campo de escoameno a jusane de um choque é oacional (infelizmene). Iso, pois, um escoameno oacional é muio mais difícil de se analisado que um escoameno ioacional. 43