Pró-Reitoria de Graduação Curso de Licenciatura em Matemática Trabalho de Conclusão de Curso

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1 3 ó-reioia de Gaduação Cuso de iceciaua em aemáica Tabalho de Coclusão de Cuso [Digie o íulo do documeo] [Digie o subíulo do RÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO documeo] TRABAHO DE CONCUSÃO DE CURSO ROBABIIDADE AICADA À TEORIA DE FIAS: SISTEA DE FIAS // Sheley aemáica Auo: hilip Rodigues Saaa CIFRA DE HI Oieadoa: of. sc. Aa Sheila edigão Faleios Auo: Elaie da Silva aovai Oieado: Sival Baga de Feias Basília - DF

2 4 HII RODRIGUES SANTANA ROBABIIDADE AICADA À TEORIA DE FIAS: SISTEAS DE FIAS // Aigo apeseado ao cuso de gaduação em aemáica da Uivesidade Caólica de Basília, como equisio pacial paa obeção do Tíulo de iceciado em aemáica. Oieadoa: of. sc. Aa Sheila edigão Basília

3 3 Aigo de auoia de hilip Rodigues Saaa, iiulado ROBABIIDADE AICADA À TEORIA DE FIAS, apeseado como equisio pacial paa obeção do gau de iceciado em aemáica da Uivesidade Caólica de Basília, em 4 de juho de, defedido e apovado pela baca examiadoa abaixo assiada: ofª. Sc. Aa Sheila edigão Faleios Oieadoa aemáica UCB ofª. Sc. Adiaa Babosa de Souza aemáica - UCB ofª. Sc. Valéia da Silva Cuz Shigui aemáica UCB Basília

4 3 ROBABIIDADE AICADA À TEORIA DE FIAS: SISTEAS DE FIAS // HII RODRIGUES SANTANA Resumo: Ese abalho mosa como a Teoia de Filas pode se aplicada a modelagem de caais de aedimeo visado à edução de cogesioameos o sisema e a melhoia da qualidade do seviço pesado. Tedo como foco o modelo mais simples de fila, com capacidade ilimiada e com apeas um caal de aedimeo (//), um esudo dos coceios básicos e o desevolvimeo das picipais equações associadas a ese modelo são apeseados. alavas-chave: Teoia de Filas; Cogesioameo; odelo de sisema de fila //.. INTRODUÇÃO O cogesioameo de cliees em filas paa aquisição de poduos ou pagameos de coas de seviços elefôicos, bacáias, de coexão à iee, ou aida, cogesioameo de aefas a seem execuadas po um equipameo, são poblemas admiisaivos ieos que oda empesa deve evia, pois o empo de espea a fila é um dos ies que eaa a qualidade de seviço do esabelecimeo ou do opeado de seviços. Com objeivo de dimesioa adequadamee o úmeo de caais (aedees ou equipameos pesadoes de seviços), paa que os posos de aedimeos ão fiquem ociosos ou o úmeo de cliees de uma fila ão seja pemaeemee gade, a Teoia de Filas busca a modelagem de poblemas, buscado melhoias de aedimeo os sevidoes, com o iuio de ameiza as siuações esessaes que espeas demasiadas podem causa. Quado, po exemplo, exise um cogesioameo, ese é cosideado um poblema que pode se esolvido com a Teoia de Filas, ópico de esquisa Opeacioal (ciêcia que esuda méodos cieíficos e poblemas complexos paa auxilia o pocesso de omadas de decisões), e que evolve ivesigações ligadas ao esudo das disibuições de pobabilidades. Seão apeseados o pesee abalho, os picipais coceios e paâmeos de sisemas de filas, poém o foco é o sisema de filas mais simples, o // (pocessos de chegada e de aedimeo do ipo makoviao com um caal opeado o sisema, po isso segue a oação). O abalho busca apesea as picipais demosações das equações do sisema de filas // e mosa as elações ee os paâmeos da fila.. HISTÓRICO Age Kakup Elag ascido a Diamaca em 99 foi o pimeio maemáico a abalha a aplicação das eoias de pobabilidades a poblemas de elefoia, obsevou a oca

5 4 de ligações de um pequeo vilaejo, e a pai de al obsevação, ciou uma fómula cohecida como a fómula de Elag, paa calcula a fação das ligações em espea, equao odas as lihas esavam ocupadas. Elag publicou o pimeio abalho povado que as ligações elefôicas eam disibuídas aleaoiamee e seguiam a lei de disibuição de oisso, e po isso, é cosideado o pai da Teoia de Filas, que usa coceios básicos de pocessos esocásicos e maemáica aplicada paa aalisa o feômeo de fomação de filas e suas caaceísicas. 3. TEORIA DE FIAS Segudo Adade (99), A Teoia de Filas aa de poblemas de cogesioameo de usuáios à espea de aedimeo, ode a caaceísica picipal é a peseça de cliees. (Quado o emo cliee é mecioado), ão se efee ecessaiamee a um cliee humao, mas em poblemas de fluxos de áfego ou auomóveis pesees as filas, ou aida avios ou aviões á espea de seviços de maueção. A azão pela a qual os geees de esabelecimeos e do pode público ão aumeam suas capacidades de aedimeo povavelmee de modo que a fila ão se eseda muio povável se deve à iviabilidade ecoômica ou limiação de espaço. Dessa foma a Teoia de Filas busca um poo de equilíbio e que saisfaça o cliee e que seja viável ecoomicamee paa o povedo de seviço. aa o esudo de filas é possível desaca ês elemeos básicos: a foe de usuáios, a fila e o sevido. De acodo com aco Césa (), a figua ilusa os compoees básicos de um sisema de filas. Figua Compoees básicos de um sisema de filas Foe de usuáios Fila Sevido Associado a esses compoees básicos é possível veifica cico elemeos pobabilísicos: o modelo de chegadas dos usuáios, o modelo de seviço, o úmeo de caais dispoíveis, a capacidade de aedimeo e a disciplia da fila, defiidos a segui: i) odelo de chegadas dos usuáios: É especificado pelo úmeo de cliees que chegam ao sisema em um ievalo de empo e epeseado pela a disibuição discea de oisso, ode é o úmeo de cliees que chegam ao sisema o ievalo de empo (, ). Dessa foma, a pobabilidade de x cliees chegaem ao sisema o ievalo de empo é dada pela elação: BAEIRO, A.C; FIGUEIREDO,.A, Iodução à esquisa Opeacioal. Goiâia: Ed. Da UCG,.

6 5 x) x ( ) ( ) x! e (, x Z () O paâmeo é obido pelo ievalo (, ) e pela axa de chegada, que epesea a velocidade com que os cliees chegam ao sisema e pode se calculada pela elação: úmeo de usuáios que chegam, () ievalo de empo ii) Caais de aedimeo: ocesso ou pessoa que ealiza o aedimeo ao cliee. Cosideamos que a duação do aedimeo T é uma vaiável aleaóia, modelada pela disibuição coíua expoecial egaiva, ode é a axa de aedimeo dos usuáios po uidades de empo. A pobabilidade ( T < ) expessa a chace do aedimeo ão dua mais que uidades de empo. ( T ) ( ) d e d, >. O empo médio de aedimeo é dado pela espeaça maemáica da disibuição T. E ( T ). ( ) d e d. (3) A axa de aedimeo epesea a velocidade que os cliees são aedidos e pode se obida pela expessão: úmeo de usuáios aedidos (4) ievalo de empo iii) Númeo de caais dispoíveis: efee-se ao úmeo de aedees que efeuam o aedimeo aos usuáios. iv) A capacidade de aedimeo: pode se fiia (limiada), ese caso o esabelecimeo ão supoa aede a um úmeo maio que C cliees, ou a capacidade pode se ifiia (ilimiado), quado ão há esições quao à capacidade de aedimeo do sisema. v) Disciplia da fila: é o cojuo de egas que deemiam a odem que os cliees seão aedidos. Essa odem ocoe cofome os seguies ciéios: FIFO ( fis i fis ou ): o pimeio a ea a fila é o pimeio a se aedido. IFO ( las i fis ou ): o úlimo a ea a fila é o pimeio a se aedido. SIRO ( seved i ado odem ): a odem o aedimeo é escolhida de maeia aleaóia. RI (ioiy): esipula-se uma pioidade de aedimeo.

7 6 3. SISTEAS DE FIAS Os sisemas de filas são descios po uma sequêcia de símbolos do ipo A/B//Y/Z/W que compõem a oação mais usual, poposa po Kedall em 953, e que deemiam as caaceísicas dos compoees básicos do sisema de filas acima descios. Os símbolos A e B idicam disibuições pobabilísicas do empo ee chegadas e o empo ee aedimeos especivamee, é o úmeo de caais em aividade, Y epesea a capacidade do sisema de aedimeo, Z apoa a disciplia da fila e W o amaho da foe dos usuáios. Na maioia dos casos, os sisemas são desigados apeas pelos ês pimeios símbolos, a omissão dos ês úlimos, sigifica que o sisema em capacidade ilimiada e a disciplia da fila coespode ao ciéio FIFO. ossuem chegadas e aedimeos esocásicos do ipo makoviao. I- Sisemas de filas //, um caal opeado o sisema e capacidade ilimiada. Figua Sisema de fila e caal. Chegada de Cliees... CANA E Saída Fila II- Sisemas de filas //s, s caais opeado o sisema e capacidade ilimiada. Figua 3 Sisema de fila e s caais CANA E Chegada de Cliees... CANA E Saída Fila CANA E Figua 4 sisema de filas idepedees com caais paalelos, modelo //s CANA E...

8 7... Fila.. Fila CANA E Os sisemas de filas são diaiamee uilizados pelos esabelecimeos empesaiais, mas dificilmee pecebidos pelos cliees. Ao ve sisemas de filas idepedees (uma fila paa cada sevido, figua 4) com caais de aedimeo paalelos, é possível pesa que o empo de espea é bem meo, quado compaado com sisema de fila úico (apeas uma úica fila paa odos os caais, figua 3). Qualque poblema os caais de aedimeo do sisema de filas idepedees, os cliees devem diecioa-se paa filas vizihas e de fao o empo de espea seá maio, coáio do sisema de fila úico, pois cada cliee fica o seu especivo luga sem ecessidade de locomove-se paa a fila ao lado. III - Sisemas de filas ///C, que êm apeas um caal opeado com capacidade limiada C. IV - Sisemas de filas //s/c, que êm s caais opeado e capacidade limiada C. Os sisemas de filas III e IV difeeciam-se dos sisemas I e II apeas pelas suas capacidades, pois o sisema exige um valo máximo de cliees. V Sisemas de filas Complexo, pode se mosado pela figua 5 que epesea um sisema de filas complexo composo po caais em séie e em paalelo. Figua 5 Sisema complexo de filas Chegada de Cliees... CANA E... CANA E CANA E Saída Fila CANA E Fila CANA E

9 8 3. SISTEAS DE FIAS // Dee os sisemas apeseados aeiomee um maio desaque e dealhameo seá dado ao sisema //, muio comum em esabelecimeos de pequeo poe com apeas um caixa ou apeas uma máquia (po exemplo, uma impessoa) paa aede a divesos usuáios do seo. Ese sisema ambém pode modela a disciplia de aedimeo de eegas a domicílio com apeas um mooisa. A segui esão mosadas algumas das picipais equações do modelo //l de aedimeo com capacidade ilimiada, baseadas as caaceísicas dos pocessos de chegadas e de aedimeo aos cliees. Cofome Balleio Alves () seja o úmeo de usuáios o sisema o isae é um pocesso esocásico depedee das axas ee chegadas ( ) e aedimeos ( ) ode e são axas cosaes ais que <, pois se supõe que a velocidade de aedimeo dos cliees é maio do que a velocidade de chegada dos mesmos o sisema. Dado que o úmeo de cliees que chegam e o empo de aedimeo são vaiáveis aleaóias com disibuições, oisso e Expoecial Negaiva especivamee, o pocesso cujo esado é caaceizado po é um pocesso de akov. Acoselha-se ao leio que ão eha familiaidade com pocessos de akov cosula Balleio Alves (). As pobabilidades de asição ee os esados dese pocesso são ilusados pela Figua 6. Figua 6 - Diagama de Tasição Sisema // A pobabilidade de o sisema aumea em uma uidade o úmeo de cliees é dada pela axa de chegada : p ( ), A pobabilidade de o sisema dimiui em uma uidade o úmeo de cliees é dada pela axa de aedimeo : p ( ), Com base o diagama de asição dado pela Figua 6, pode-se defii as seguies pobabilidades:

10 9 obabilidade do esado zeo: Repesea a chace de ão have cliees o sisema o isae : ( ). aa ão have cliee algum o sisema o isae, ou ão havia cliee o isae aeio e ão chegou cliee algum ( ( ) ) ou havia um cliee o isae aeio e ese foi aedido : ( (5) ) obabilidade do esado qualque: Repesea a chace de have cliees o sisema o isae, com : ( ). Tal pobabilidade é obida a pai de ês siuações possíveis, disjuas ee si: ) Have cliees o sisema o isae aeio e um cliee ea o sisema: ( e ) ( ( ) ( ) p, / ) ) Have cliees o sisema o isae aeio e ão have eada em saída de cliees o sisema: ( e ) ( ( ) ( ) p ( ), / ) 3) Have cliees o sisema o isae aeio e um cliee sai do sisema: ( e ) ( ( ) ( ) p, / ) Da jução desas ês siuações, segue que a chace de exisiem exaamee cliees o sisema é dada pela equação: [ ( )],. (6) As equações (5) e (6) pemiem a ciação de um sisema de equações ode o veo das pobabilidades,,,...,,,, v [,,,...,,, ], pode se obido pela equação maicial v v E. A maiz E é dia uma maiz esocásica (Figua 7), ode a soma dos emos de cada liha somam %.

11 Figua 7 - aiz Esocásica E ( ) ( ) ( ) ( ) O O E Desevolvedo a equação (5) obêm-se a pobabilidade de have um cliee o sisema em fução de. (7) aido das Expessões (6) e (7) pode-se calcula em fução de : ( ) [ ] Escevedo em fução de, em-se:, ogo, (8) Coiuado esse pocedimeo obêm-se a foma geal de,, paa,,... (9) Noe que é a pobabilidade de exisiem exaamee cliees o sisema e que, paa saisfaze a codição de que oda pobabilidade é um úmeo ee zeo e um, é ecessáio que (axa de chegada) seja meo que (axa de aedimeo). ode-se ambém acha uma expessão paa o cálculo de usado-se o fao de que o modelo é do ipo //, e que : ) (

12 Cosideado a hipóese de que a axa de chegada é ifeio à axa de aedimeo, em-se que a séie geoméica covege paa. Dessa foma, pode se escio como: Demosação: Cosideado:, emos: S S K K K K K uliplicado S po, emos: S 3 K Fazedo S S, obemos: lim lim lim S S S S S S Quao paa S como paa S o limie ede a W, logo: ( ) W W W W ogo a expessão paa a pobabilidade do esado zeo é dado po: () Algumas impoaes elações podem se demosadas a pai da elação ():

13 () () (3) (4) (5) (6) a) obabilidade de have cliees o sisema: b) obabilidade de que o úmeo de cliees o sisema seja supeio a ceo valo k: > k k c) obabilidade de que o sisema eseja ocioso: d) obabilidade de que o sisema eseja ocupado: > k 3.3 ARÂETROS DA FIA 3.3. aâmeos Relaivos à Quaidade de Cliees i) Númeo médio de cliees o sisema (NS): aa deemiamos o úmeo espeado de usuáios o sisema ecoemos à expessão desceve o valo espeado: ( ) E Ode NS é o úmeo médio de cliees o sisema. Sabedo que k k S K Temos, S Deivado a expessão (5) em elação à de ambos os lados emos:

14 3 ( ), uliplicado po em ambos os lados, emos: ( ) ( ) ( ), ogo: ( ) ( ) ( ) ( ) NS NS (7) ii) Númeo médio de cliees a fila (NF): Calcula-se NF ecoedo à expessão ( ) ( ) q s NF E, com >, ode NF epesea úmeo médio de cliees a fila e s o úmeo de aedees. Como o foco é o sisema //, há apeas um aedee, eão: ( ) ( ) ( ) NF Recoedo a expessão (4) emos: ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) NF (8) iii) Númeo médio de cliees a fila (paa fila >) (N) N (9)

15 aâmeos Relaivos aos Tempos Gasos pelos Cliees o Sisema e a Fila i) Tempo médio gaso o sisema po cliee (TS) NS TS TS () ( ) ii) Tempo médio de pemaêcia o sisema (TF) aa calcula TF ecoemos às expessões (3) e (9). TF TS () ( ) ( ) 4. REAÇÕES ENTRE OS ARÂETROS DA FIA Compaado as expessões obidas, podemos esceve algumas elações ee elas. Aalogamee podemos esceve: NF.TF () NS.TS (3) Já o empo médio de espea a fila (TF) é o empo médio gaso meos a média do empo de aedimeo. TF TS (4) Recoedo a expessão (), () e (3), muliplicado ambos os lados po emos a elação ee NF e NS. TF TS NF TS NF NS ogo, NF NS (5)

16 5 5. ETODOOGIA aa a elaboação do efeecial foam feias pesquisas a pai de livos, aigos e ecusos ecológicos. Os coeúdos maemáicos esudados a pesquisa paa o auxilio o desevolvimeo do abalho esão ligados às áeas da Teoia de obabilidade e Cálculo. Os coeúdos elacioados são vaiáveis aleaóias, disibuição coiua Expoecial Negaiva e disibuição discea de oisso, deivadas e séies geoméicas. Dessa foma, fazedo um eelaçameo ee os especivos assuos, um dos objeivos do abalho foi coceizado, os possibiliado demosa de foma algébica a pobabilidade dos esados o sisema e compaa os paâmeos da fila. 6. CONSIDERAÇÕES FINAIS O esudo da Teoia de Filas além de egloba odo o cohecimeo eóico sobe a Teoia de obabilidade, ambém aa da ivesigação e da aálise do compoameo de divesos ipos de sisemas de filas, amplamee ligados à logísica e à admiisação. Como poposo iicialmee, demosou-se o decoe dese abalho as equações que modelam os sisemas de filas e elacioam seus divesos paâmeos. Emboa algumas das equações mosadas sejam geais, o foco picipal foi o modelo // que eve suas axas e medidas dealhadamee esudadas em elação ao desevolvimeo maemáico. oém sugee-se paa os ieessados o esudo de filas a aplicação eal das equações aqui demosadas ou uma ampliação eóica quao ao desevolvimeo das demosações de sisemas mais amplos, como os sisemas com váios caais. De foma geal, fica clao que paa o esudo de filas ecessia-se de um cojuo amplo de cohecimeos e coceios maemáicos. Espea-se que o pesee abalho despee o ieesse dos gaduados em aemáica e que auxilie os eveuais ieessados um apofudameo dese ema. eede-se aida que ese abalho siva de efeecial eóico paa pesquisadoes iiciaes o esudo de Teoia de Filas aplicada às áeas geeciais, paa admiisadoes, que de al foma pecebam qual o sisema de filas melho modela o sisema vigee em seu esabelecimeo. 7. AICAÇÃO Um poo-socoo médico pesa seviços de aedimeo aos acideados duae as 4 hoas do dia. Em média, em um dia ípico, 5 paciees ecoem aleaoiamee ao aedimeo desse poo-socoo. Um paciee eque em média 5 miuos paa ecebe os pimeios socoos, seviço que é feio po uma úica equipe de pofissioais. Supoha que o modelo é de uma fila // e efeue os seguies cálculos. a) A axa média de chegada e a axa média de aedimeo; b) A pobabilidade de que, em um ievalo de empo de 3 hoas, paciees cheguem ao poo-socoo;

17 6 c) A pobabilidade de que um paciee selecioado aleaoiamee ecoe o poosocoo desocupado; d) A pobabilidade do poo-socoo esá ocupado; e) Qual o úmeo espeado de paciees o poo socoo; f) Qual o empo médio de pemaêcia do paciee o poo-socoo; Resolução a) As axas e são deemiadas pelas as expessões () e (4) especivamee, iso é, 5 paciees / hoa 5,4 paciees po miuo,4 6, 4 paciees / hoa 5 b) Como o modelo de chegada dos paciees é uma disibuição de oisso com axa média igual a, e o ievalo de empo é cohecido, vamos aplica a expessão (). ( x α α x) e x! aa 3 6. Fazedo x, emos a seguie pobabilidade: ( ) 6 e! 3 ( ),896 c) ela expessão () ecoamos a pobabilidade do sisema esá desocupado,,4,4,666 d) A pobabilidade do poo-socoo esá ocupado é dada pela expessão (3),,4 >,8333 e) O úmeo espeado de paciees o poo-socoo ecoe à expessão (6), NS,4 NS 5 ogo o úmeo espeado de paciees o sisema é 5.

18 7 f) O empo médio gaso o poo-socoo po paciee ecoe à expessão (9), TS TS,4,4,5 hoas. REFERÊNCIAS BIBIOGRÁFICAS ABUQUERQUE, José. de A.; FORTES, José..; FINAORE, W. A. obabilidades, vaiáveis aleaóias e pocessos esocásicos. Rio de Jaeio: Ieciêcia: UC - Rio, pp. AVES, Caaia R. D. ocessos Esocásicos. oo/ougal, 997. Faculdade de Ecoomia Uivesidade do oo. ANDRADE, E.. Iodução à esquisa Opeacioal. Rio de Jaeio, RJ: TC 99. BAEIRO, A.C; FIGUEIREDO,.A, Iodução à esquisa Opeacioal. Goiâia: Ed. Da UCG,. FIGUEIREDO, D.D; ROCHA, S.H. Aplicação da eoia de filas a oimização do úmeo de caixas: Um esudo de caso. Iiciação Cieífica CESUAR, JU./ DEZ, v.,., p FIHO, C.. Iodução à Simulação de Sisemas. São aulo, S: UNICA, 995. JAES, B.R, obabilidade em um cuso em ível iemediáio/ 3.ed. Rio de Jaeio: IA 4 (Coleção ojeo Euclides). EITHOD,, Cálculo com Geomeia Aalíica. São aulo, S: HABRA, 994. EYER,.. obabilidade: Aplicação a Esaísica. Rio de Jaeio, RJ: TC, 9. SIVA,.S; GONÇAVES, V; UROO, A.C, esquisa Opeacioal paa os cusos de Ecoomia, Admiisação e Ciêcias Coábeis, São aulo, S: ATAS. S.A, 998. hilip Rodigues Saaa (hilip.ucb@homail.com) Cuso de aemáica, Uivesidade Caólica de Basília