O sistema constituído por um número infinito de partículas é vulgarmente designado por sólido.

Transcrição

1 Capíulo CINEMÁTIC DE UM SISTEM DE PRTÍCULS. INTRODUÇÃO Po sisema de paículas, ou sisema de ponos maeiais, designa-se um conjuno finio ou infinio de paículas, de al modo que a disância ene qualque dos seus ponos pemanece inaiáel duane o moimeno. Iso significa que apenas se iá considea sisemas de paículas ígidos. O sisema consiuído po um númeo disceo ou finio de paículas é ulgamene designado po sisema de paículas disceo ou simplesmene po sisema de paículas. O sisema consiuído po um númeo infinio de paículas é ulgamene designado po sólido. Noe-se que a noção de copo ígido é uma absacção cienífica poque na ealidade se sabe que não exisem copos compleamene indefomáeis. Nese capíulo seá abodado a cinemáica de copos ígidos, inesigando-se as elações exisenes ene o empo, as posições, as elocidades e as aceleações das áias paículas que fomam um copo ígido. Os áios ipos de moimeno de copos ígidos podem se agupados da seguine maneia: Moimenos simples Tanslação: quando qualque linha eca no ineio do copo se manie na mesma diecção duane o moimeno. 48

2 Capíulo Roação em ono de um eixo fixo: as paículas moem-se em planos paalelos e segundo cicunfeências em ono do mesmo eixo fixo, designado po eixo de oação as paículas siuadas nesse eixo êm elocidade e aceleação nulas. Moimenos composos Moimeno plano geal: odas as paículas se moem em planos paalelos podendo, os seus moimenos, se decomposos nos dois moimenos simples anslação e oação. Moimeno em ono de um pono fixo: aa-se de um moimeno idimensional de um copo ígido ligado num pono fixo po exemplo, o moimeno de um pião numa supefície ugosa. Moimeno geal: qualque moimeno de um copo que não se enquade em nenhum dos aneioes.. MOVIMENTO DE TRNSLÇÃO.. Definição e caaceísicas Figua. Moimeno de anslação. Considee-se um sisema de paículas em moimeno e sejam e duas paículas quaisque. No insane de empo, os ecoes posição de e em elação a um sisema de efeência fixo designam-se po e, especiamene, designando o eco que liga a. 49

3 Cinemáica de um sisema de paículas ssim, o eco posição pode se obido a pai do eco posição, se fo conhecido, da seguine maneia:. Se o moimeno do sisema de paículas é de anslação ecilínea ou cuilínea, enão o eco em diecção e gandeza consane. Iso é, um segmeno que une dois ponos quaisque de um sisema de paículas em moimeno de anslação maném-se com um compimeno consane e paalelo a si mesmo. Deiando a expessão. em odem ao empo,, em: d d d. d d d endo em cona que é consane no empo, poano, d d 0, e d d, enão:,.3, poano, num sisema de paículas em anslação, a elocidade é igual em odos os ponos. Deiando uma ez mais: a a,.4, idenicamene, a aceleação é igual em odos os ponos. ssim, quando um sisema de paículas se encona em anslação, odos os ponos do copo êm, em qualque insane, a mesma elocidade e a mesma aceleação. Poano, a caaceização cinemáica do moimeno de anslação de um copo ígido é a mesma paa uma paícula qualque desse copo. 50

4 Capíulo.. Casos paiculaes do moimeno de anslação º caso Tanslação com elocidade ecoial insanânea consane Figua. Tanslação ecilínea e unifome. Se em qualque insane, a elocidade é consane em diecção, senido e gandeza em odos os ponos do copo ígido, iso é:,, : consane.5 enão as ajecóias de odos esses ponos são ecilíneas. Nese caso, o moimeno é designado de anslação ecilínea e unifome. º caso Tanslação com elocidade ecoial insanânea consane em gandeza Tanslação cuilínea Figua.3 Tanslação unifome cuilínea. Como só a gandeza da elocidade é consane, iso é:,, : consane.6 enão o senido e a diecção podem aia. Nese caso, o moimeno é designado de anslação unifome cuilínea. 3º caso Tanslação com elocidade ecoial insanânea não consane Nese caso, como a elocidade é aiáel no empo, a anslação diz-se aiáel. 5

5 Cinemáica de um sisema de paículas.3 MOVIMENTO DE ROTÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO.3. Definição e caaceísicas Figua.4 Roação em ono de um eixo fixo. Diz-se que um sólido execua um moimeno de oação quando exisem ponos de uma dada linha eca,, que se enconam fixos em epouso duane o moimeno. esa diecção,, de ponos fixos dá-se o nome de eixo de oação. Todas as paículas que não se enconam sobe o eixo de oação desceem uma ajecóia cicula cujo plano é nomal ao eixo e cujo ceno se siua sobe esse eixo. Poano, odas as paículas do copo ígido êm a mesma elocidade angula no mesmo insane, podendo, odaia, se difeene de insane paa insane. Po isso, o moimeno de oação de um sólido é mais facilmene descio em emos de deslocamenos angulaes e de elocidades angulaes, uma ez que eles são, num dado insane, iguais ene as difeenes paículas. O moimeno de oação é, usualmene, descio de dois modos alenaios: aaés do ângulo de oação, θ; ou, aaés do eco oação ou eco elocidade angula, ω..3. Descição do moimeno de oação aaés do ângulo de oação θ Considee-se um copo ígido em moimeno de oação e sejam e duas paículas quaisque não peencenes ao eixo de oação. Sejam θ e θ os ângulos de oação nesses ponos medidos em elação a um plano de efeência que coném o eixo de oação Oz e o eixo Ox, e seja ϕ o ângulo de desfasameno dos planos 5

6 Capíulo empoais que conêm, especiamene, e e o eixo de simeia. O ângulo de oação θ pode se definido po: θ θ ϕ,.7, a Repesenação no sisema Oxyz. b Coe po um plano pependicula ao eixo de oação Oz. Figua.5 Moimeno de oação em ono do eixo Oz. Como o moimeno do copo ígido é de oação, enão o ângulo de desfasameno, ϕ, é consane duane esse moimeno. Poano, deiando a expessão em odem ao empo, em: dθ dθ dϕ ω.7 d d d como o ângulo ϕ é consane no empo, a deiada dϕ d é igual a zeo, logo: ω ω ;.8, ou seja, as elocidades angulaes insanâneas são iguais em odas as paículas. Face ao exposo, fica eidene que as gandezas cinemáicas, como a elocidade ecoial insanânea,, e a aceleação ecoial insanânea, a, de um copo ígido em moimeno de oação, podem se definidos de foma idênica àquela abodada paa a cinemáica da paícula, uma ez que o ângulo de oação, a elocidade angula e, consequenemene, a aceleação angula é igual em odos os ponos do copo. 53

7 Cinemáica de um sisema de paículas ssim, a elocidade ecoial insanânea de um copo ígido sujeio a um moimeno de oação é definida po e: Diecção: angene à ajecóia no pono consideado, que se encona localizado num plano pependicula ao eixo de oação passando pela paícula consideada. Senido: Gandeza: o da pogessão do moimeno associado à ajecóia cicula de cada paícula. ω θ Da mesma foma, a aceleação ecoial insanânea de um copo ígido sujeio a um moimeno de oação é definido po: a a a n ; d d s a u u α u d d an n ω n R.9 Diecção: é definida de foma a que g δ a a. n Senido: Gandeza: paa o ineio da ajecóia. a a an 4 α ω.3.3 Descição do moimeno de oação aaés do eco oação Quando se esudou o moimeno cicula de uma paícula iu-se que a elocidade ecoial insanânea pode se expessa po: ω ;.0 Também se iu no pono aneio que num copo ígido em oação as elocidades angulaes em odas as paículas desse copo são iguais num dado insane, iso é:, ω ω. Iso significa que a elocidade angula de qualque paícula de um copo ígido em oação designa a elocidade angula do sólido. 54

8 Capíulo Sabendo que o eco elocidade angula em diecção pependicula ao plano do moimeno cicula ou seja, a diecção do eixo de oação, enão esse eco pode se definido como: ω ω u. onde u é o eso do eixo de oação. Defoma idênica, o eco aceleação angula, α, do sólido em oação é definido po: Figua.6 Definição do moimeno de oação aaés do eco oação. dω dω α u α u.3 d d Veifica-se que a elocidade ecoial insanânea do sólido em oação é sempe dada po: d ω.4 d independenemene da oigem do sisema de eixos caesiano, desde que eseja siuado no eixo de oação. jusificação da afimação aneio pode se obida definindo o eco posição ilusado na figua.6 aaés da seguine adição ecoial: enão, ' O' O.5 d ω ω ω d [ ' O' O] ω ' O' O.6a como os ecoes ω e O' O são paalelos, enão o poduo ecoial ω O' O é igual ao eco nulo. Veifica-se poano que: 55

9 Cinemáica de um sisema de paículas 56 ', ; ' O O d d ω ω.6b ssim, a deeminação do eco elocidade insanânea pode se obida a pai do eco oação e do eco posição, independenemene da oigem, O ou O', consideada no eixo de oação. De igual modo, a aceleação ecoial insanânea de qualque paícula P de um copo ígido em moimeno de oação é definida como: [ ] d d d d d d d d a P P P p p ω ω ω p P ω α.7 aceleação ecoial insanânea p a pode se definida aaés da soma das seguines duas pacelas: com ; a a a a a p n P n p P P P P ω α Opeado de oação, ω Como se iu aneiomene, a elocidade ecoial insanânea,, de um sólido em oação é dada po: ω.9 independenemene da posição do pono de oigem siuado no eixo de oação. Como, po definição: d d.0 enão igualando as expessões.9 e.0, em: d d ω.

10 Capíulo Iso significa que o opeado maemáico d d de deiação empoal é equialene ao opeado maemáico ω, desde que o opeando nese caso sobe o qual o opeado acua seja um eco de gandeza consane. Na ealidade, num copo ígido em oação, odas as paículas manêm a mesma disância ao eixo de oação, emboa a diecção e o senido de se alee. NOT: Em geal, o moimeno de oação de um sólido apesena uma elocidade ecoial insanânea de gandeza aiáel. Po isso é que: d ω. d No enano, quando o moimeno cicula é unifome iso é, consane enão eifica-se a seguine igualdade: d ω.3 d De faco, iu-se aneiomene que no moimeno cicula unifome o eco aceleação insanânea só em componene nomal dada po: a n ω.4 Mais uma ez se confima que o opeado de oação ω em o significado do opeado maemáico d d quando o opeando em gandeza consane. Execício de aplicação 57

11 Cinemáica de um sisema de paículas 58

12 Capíulo 59

13 Cinemáica de um sisema de paículas.4 MOVIMENTO GERL DO SÓLIDO.4. Velocidade e aceleação O moimeno geal de um copo ígido no espaço pode se decomposo em moimenos simples elemenaes independenes consiuídos po moimenos de anslação e oação. O moimeno de um copo ígido pode se caaceizado po um dos seguines moimenos-ipo: Moimeno plano: Todas as paículas se deslocam em planos paalelos. Moimeno em ono de um pono fixo: O copo efecua a designada pecessão em ono de um pono fixo po exemplo, o pião a gia em ono de um pono de conaco com o solo. Moimeno de oação e deslizameno moimeno oo-anslaóio: Os ponos do eixo de oação deslocam-se sobe ele, pemanecendo sobe essa diecção exemplo: moimeno de um paafuso ou moimeno helicoidal. Sejam e duas paículas de um copo ígido. Como se iu aneiomene, o eco posição pode se obido da seguine maneia:.5 Figua.7 Moimeno geal. Desa foma, o eco elocidade em,, é po definição igual a: d d d d d d.6 60

14 Capíulo Ou seja:.7 em que é a elocidade de elaiamene ao efeencial x'y'z', ligado ao pono e de oienação fixa. Dado que o pono esá fixo nese efeencial, o moimeno do copo elaio a x'y'z' é o moimeno de um copo com um pono fixo. ssim, a elocidade pode obe-se como a elocidade em ono do pono fixo, ou seja, do moimeno cicula, com eco oação ω, em ono do eixo de oação que passa pelo pono : ω.8 Poano, a elocidade num pono qualque,, de um copo ígido com um moimeno geal é dado po: ω.9 em que a pimeia pacela da soma ecoial,, epesena a componene de anslação e a segunda pacela, ω, epesena a componene de oação. aceleação de obém-se po um aciocínio idênico. Pimeio escee-se: a a a.30 em que a é a aceleação de elaiamene ao efeencial x'y'z' ligado a e de oienação fixa. ssim, a aceleação a pode obe-se como a aceleação em ono do pono fixo, ou seja, do moimeno cicula em ono do eixo de oação que passa po e é caaceizado pelo eco oação ω : a a a n α ω α ω [ ω ].3 Poano, a aceleação num pono qualque,, de um copo ígido em moimeno geal é dado po: a a α ω [ ω ].3 6

15 Cinemáica de um sisema de paículas em que a pimeia pacela da soma ecoial, a, epesena a componene de anslação e as segunda e eceia pacelas epesenam a componene de oação, coespondendo a segunda pacela, α, à componene angencial e a ω ω, à componene nomal. eceia pacela, [ ] s equações de elocidade e de aceleação de um copo ígido em moimeno geal mosam que esse moimeno é equialene, num dado insane, à soma de uma anslação, na qual odas as paículas do copo êm a mesma elocidade e a mesma aceleação que a paícula de efeência, e um moimeno de oação no qual a paícula se considea fixa..4. Teoia do campo das elocidades de um copo ígido Como se iu no pono aneio, a elocidade absolua da paícula em moimeno geal, no efeencial absoluo ou fixo, é dada po: d d d d di ' dj' dk ' x y z.33 d d d sendo a elocidade no pono do efeencial móel elaiamene ao efeencial fixo. Po ouo lado, de acodo com o conceio de opeado de oação, iso em.3.4, o opeado maemáico d d de deiação empoal é equialene ao opeado maemáico ω desde que os opeandos nese caso i ', j' e k ' sobe o qual o opeado acua, sejam ecoes de gandeza consane. ssim, di ' ω i '.34a d dj' ω j'.34b d dk ' ω k '.34c d epesenando esas ês expessões as fómulas de Poisson. ssim, 6

16 Capíulo x i ' y j' z k ' ω.35 ou seja, como se iu aneiomene: ω.36 epesenando esa expessão a designada lei das elocidades de um copo ígido, onde epesena o eco do campo de elocidades. ssim, Velocidade absolua de peencene ao sólido móel em moimeno geal, no efeencial fixo ou absoluo. Velocidade ecoial insanânea no efeencial fixo do pono do sólido móel e, poano, do efeencial móel; como se o sólido não odasse no espaço, iso é, como se o sólido apenas esiesse submeido ao moimeno de anslação independene da elocidade de odas as paículas dada po. ω Velocidade ecoial insanânea de qualque paícula do sólido móel, deido ao moimeno de oação insanâneo do sólido em ono do seu eixo de oação insanâneo caaceizado pelo eco ω. NOTS: O eco do campo de elocidades do moimeno geal de um sólido coném os casos paiculaes de anslação pua e oação pua.. Tanslação pua moimeno geal de um copo ígido sem oação:, ω Roação pua moimeno geal de um copo ígido sem anslação: 3. ω é um eco lie, 0 ω.38 Veifica-se que a expessão.36 é sempe a mesma qualque que seja o efeencial consideado: ω.39a 63

17 Cinemáica de um sisema de paículas 64 C C ω.39b subaindo as expessões.39a e.39b obém-se: C C ω C C ω.40 ou seja, ω é um eco lie. Execício de aplicação

18 Capíulo 65

19 Cinemáica de um sisema de paículas.5 MOVIMENTO PLNO DO SÓLIDO.5. Definição a Moimeno paalelo a um plano fixo π. O moimeno plano de um copo ígido é um moimeno duane o qual odos os ponos do copo se deslocam paalelamene a um plano fixo. Duane o moimeno plano, odos os ponos do copo siuados sobe uma pependicula ao plano deslocam-se do mesmo modo Po isso, paa se esuda o moimeno do copo basa esuda o moimeno de qualque secção, S, obida pela inesecção do copo po um plano paalelo ao plano fixo de efeência. b Coe obido pelo plano β paalelo ao plano π. Figua.8 Moimeno plano de um sólido. Figua.9a Decomposição do moimeno plano exemplo. 66

20 Capíulo Figua.9b Decomposição do moimeno plano exemplo. Como se pode obsea nos dois exemplos das figuas.9 a e b, o moimeno plano geal de um sólido pode se consideado como a soma de uma anslação com uma oação..5. Velocidade absolua e elocidade elaia no moimeno plano No pono aneio iu-se que qualque moimeno plano de uma placa pode se subsiuído po uma anslação, definida pelo moimeno de qualque pono de efeência e, simulaneamene, po uma oação em ono de. elocidade absolua de uma paícula da placa obém-se a pai da fómula da elocidade elaia deduzida em.4.:.4 Figua.0 Velocidade absolua e elocidade elaia. 67

21 Cinemáica de um sisema de paículas elocidade coesponde à anslação da placa com o pono, enquano que a elocidade elaia esá associada à oação da placa em ono do pono e é medida em elação ao efeencial cenado em e com oienação fixa. Repesenando po o eco posição de elaiamene a, e po ω ou ω k a elocidade angula da placa em elação aos eixos com oienação fixa enão, a elocidade elaia,, pode se definida po: ω ; com ω.4 na qual é a disância do pono ao pono. Subsiuindo na expessão.4, em: ω k.43 caaceização da cinemáica do moimeno plano aaés das epesenações ecoiais com poduos ecoiais é, de ceo modo, mais abalhosa que ouos ipos de epesenação cinemáica do moimeno plano que ecoem a ouas caaceísicas do moimeno plano. ssim, como a eoia do campo de elocidades TCV, iso é a cinemáica, é uma eoia de campo de momenos TCM do eco campo de elocidade, ambém exise uma popiedade pojecia da TCV obida de modo análogo à popiedade pojecia da TCM isa na disciplina de Mecânica I: ω Figua. Popiedade pojecia. ω.44 como os ecoes ω e são pependiculaes, enão o seu poduo escala é nulo, indo: cos β cosα cos β cosα.45 68

22 Capíulo Po inemédio desa elação, se fo conhecido o eco elocidade num pono e a diecção da elocidade nouo pono, a gandeza dessa oua elocidade é deemináel pelo eoema das pojecções das elocidades. caaceização cinemáica do moimeno plano pode enão se feio aaés das ajecóias dos ponos da secção plana, das suas elocidades e aceleações, como já efeido aneiomene. Equações paaméicas duas equações empoais paa a localização no espaço, paa cada insane, e uma equação empoal paa defini a aiação angula, ϕ, em cada insane : x x y y ϕ ϕ.46 O ângulo de oação de qualque diecção seá: θ ϕ ϕ ; gealmene s elocidades de qualque pono seão ais que: ω k.48 s aceleações seão: d a a α k ω k [ ω k ].49 d em que a pimeia pacela da soma ecoial, a, epesena a componene de anslação e as segunda e eceia pacelas epesenam a componene de oação, coespondendo a segunda pacela, α k, à componene angencial e a eceia pacela, ω k ω k, à componene nomal. [ ] 69

23 Cinemáica de um sisema de paículas Execício de aplicação 70

24 Capíulo.5.3 Ceno insanâneo de oação CIR no moimeno plano O conceio de ceno insanâneo de oação CIR pemie aplica um pocesso alenaio ao aneio de descee o campo de elocidades de uma secção plana em moimeno geal. Figua. Ceno insanâneo de oação CIR. Define-se ceno insanâneo de oação como sendo o pono do plano da secção que num deeminado insane em elocidade nula. 7

25 Cinemáica de um sisema de paículas ssim, as elocidades de odas as paículas da secção são as mesmas que se obeiam pela oação dessa secção em ono de um eixo pependicula ao plano e que passasse pelo pono CIR: ω.50 CIR em que CIR epesena a disância ene o pono genéico e o ceno insanâneo de oação CIR. Noe-se que os ecoes e CIR são pependiculaes. Figua.3 Deeminação da posição do CIR. posição do CIR pode defini-se aaés da consideação das diecções dos ecoes elocidade de duas paículas, e, da secção. O CIR obém-se pelo açado da pependicula a passando po e da pependicula a passando po e deeminando o pono de inesecção desas duas linhas. Paa eifica que de faco o pono assim deeminado é o ceno insanâneo de oação, considee-se, po edução a uma hipóese absuda que a elocidade no CIR não ea nula, iso é, CIR 0. Po aplicação do eoema das pojecções das elocidades em-se que: como os ecoes e CIR cos α 0, enão: cosα cos β.5 CIR são pependiculaes, ou seja α é igual a 90 poano, cos α 0 cos β 0.5 como se consideou po hipóese que a elocidade no CIR não ea nula CIR 0 enão a segunda igualdade expessa em.5 só seia possíel se cos β 0, ou seja, se β fosse igual a 90. Nese caso, a elocidade no CIR eia que se pependicula a. CIR Consideando o mesmo aciocínio ene e CIR, e manendo a mesma hipóese absuda inicial, concluí-se que a elocidade em CIR ambém eia que se pependicula a CIR. Como CIR e CIR não êm a mesma diecção, enão a igualdade: CIR 7

26 Capíulo só é possíel se a elocidade no CIR fo nula 0. cos β 0.53 CIR O gande ineesse na aplicação do conceio de ceno insanâneo de oação consise na possibilidade de deemina de foma expedia a elocidade em qualque pono da secção, uma ez conhecida a localização do CIR. Nesa siuação, a elocidade em qualque pono da secção pode se obida muliplicando unicamene a elocidade angula com a disância desse pono ao CIR. De faco, pela lei geal das elocidades em-se que: como CIR 0, enão: CIR ω.54 CIR CIR ω.55 k CIR ou seja: ω.56 CIR Poano, a gandeza das elocidades em dois quaisque ponos são popocionais às suas disâncias ao CIR: ω ω CIR CIR CIR CIR.57 lguns casos paiculaes de localização do CIR º Moimeno plano de olameno, sem deslizameno, de um cilindo qualque sobe uma supefície fixa O ceno insanâneo de oação em qualque insane CIR siua-se no pono de conaco do copo com a supefície fixa sup.fixa 0: 73

27 Cinemáica de um sisema de paículas Figua.4 Localização do CIR na supefície fixa de conaco. Nese caso, a supefície fixa é a ajecóia dos CIR s luga geoméico dos ponos insanâneos com elocidade nula º Localização do CIR quando as elocidades em dois ponos quaisque e são paalelas e a diecção não é pependicula à diecção comum das elocidades Figua.5 Localização do CIR dum copo em anslação insanânea. Pelo eoema das pojecções das elocidades, em: cosα cos β.58 como o ângulo α é igual ao ângulo β, enão os especios co-senos são iguais, logo, a igualdade.58 só seá álida se as elocidades em e foem iguais: α β cosα cos β ;.59, Ese caso coesponde a uma siuação de anslação insanânea pua, logo as elocidades em qualque pono são iguais e, consequenemene, o CIR encona-se no infinio. 3º Localização do CIR quando as elocidades em dois ponos quaisque e são paalelas e a diecção pependicula à diecção comum das elocidades 74

28 Capíulo Como se iu aneiomene, CIR.60 CIR Figua.6 Localização do CIR. Pelo eoema de Tales é possíel deemina a posição do CIR. Execício de aplicação 75

29 Cinemáica de um sisema de paículas.6 CINEMÁTIC DO MOVIMENTO RELTIVO.6. Consideações geais e definições O objecio dese sub-capíulo é esuda as caaceísicas do moimeno de uma paícula ou de um sisema de paículas num efeencial móel, conhecida a descição desse moimeno num efeencial pseudo-fixo em elação ao qual o moimeno do efeencial móel é deecado. Exisem inúmeas aplicações dese ipo de moimeno, como po exemplo: moimeno de um passageio num comboio em moimeno elaiamene à esação; moimeno de um asonaua elaiamene à nae em moimeno elaiamene à Tea; moimeno de zonas amosféicas ou oceânicas elaiamene a ouas zonas amosféicas ou oceânicas em moimeno; ec. Nese ipo de moimenos consideam-se dois efeenciais: um efeencial S x, y, z consideado absoluo ou fixo e um efeencial Sx, y, z consideado móel em elação ao efeencial S fixo. O moimeno absoluo de uma paícula M, ou de um sisema de paículas, em elação ao efeencial fixo S, pode se consideado como a esulane cinemáica do moimeno de condução e do moimeno elaio, assim definidos: Moimeno elaio moimeno de qualque paícula M em elação ao efeencial móel S. Moimeno de condução, anspoe ou aasameno moimeno do efeencial móel S elaiamene ao efeencial fixo S, como se as paículas M não se moessem no efeencial móel S, iso é, como se peencessem a um copo que esá colado ao efeencial S. 76

30 Capíulo No exemplo aás efeido de um passageio em moimeno num comboio em moimeno elaiamene à esação fixa, as analogias são as seguines: Moimeno elaio é o moimeno do passageio em elação ao comboio ou seja, esá ligado ao efeencial móel; Moimeno de condução, anspoe ou aasameno é o moimeno do comboio elaiamene ao exeio ou à esação ou seja, é o moimeno que o passageio eia em elação ao exeio se esiesse amaado à cadeia; Moimeno absoluo ou esulane é o moimeno do passageio que se encona sobe um comboio que, po sua ez, ambém esá em moimeno elaiamene à esação fixa. Figua.7 Moimeno elaio. Nese caso, a posição de um pono M qualque pode se obido da seguine foma: ou seja, x ; M, M O O O M O.6 i y j z k x i y j z k.6 O O 77

31 Cinemáica de um sisema de paículas onde i, j e k são os esoes espacialmene e empoalmene fixos; e, i, j e k são os esoes de oienação espacial aiáel no empo. De seguida ai-se idenifica quais as aiáeis e as consanes associadas aos moimenos absoluo, elaio e de anspoe ou condução. Moimeno elaio: aiáeis x, y, z, x, y, z, consanes i, j, k Moimeno condução, anspoe ou aasameno: aiáeis i, j consanes x, y, z Moimeno elaio: aiáeis x, y, z consanes i, j k,,, O O k, O O i, j k,, O O.6. Teoema da composição das elocidades Po definição, a elocidade absolua é dada po: ou enão, abs d & & &.63 d M O abs x i y j z k [ ] d O O M O d d O O d [ x i y j z k ] d d d O O di dj dk x& i x y& j y z& k z d d d d 78

32 Capíulo d O O d x& i y& j z& k x di y dj z dk d d d.64 Mas, po sua ez, a elocidade elaia é: d d M O el [ x i y j z k ] d d x& i y& j z& k.65 el Compaando com a elocidade absolua e endo em cona que,.66 abs enão conclui-se que a elocidade de condução ou de anspoe, cond do O di dj dk cond x y z d d d d el cond, é dada po:.67 Tendo em cona as fómulas de Poisson, apesenadas nas expessões.34, sabe-se que: di ω d dj ω d dk ω d cond cond cond i j k.68 onde ωcond é o eco oação associado à oação do copo ígido e, poano, do efeencial móel que lhe esá associado, com moimeno de condução de elocidade angula ωcond. Dese modo, do O di dj dk cond x y z d d d d d O O x ωcond i y ωcond j z ωcond k d d O O ωcond x i y j z k d 79

33 Cinemáica de um sisema de paículas 80 d d O M cond O O ω.69 ou seja, é uma expessão do ipo: 0 O M cond cond ω.70 que aduz a cinemáica do moimeno geal do copo ígido. Resumindo, o eoema da composição das elocidades efee que a elocidade ecoial absolua de uma paícula M que se encona em moimeno em elação a um efeencial fixo é a soma ecoial da elocidade elaia dessa paícula em elação ao efeencial móel com a elocidade do efeencial móel em elação ao efeencial fixo elocidade de anspoe, condução ou aasameno, ou seja: cond el abs k z j y i x el & & & 0 O M cond cond ω.6.3 Teoema da composição das aceleações ou eoema de Coiólis Po definição, a aceleação absolua é dada po: k z j y i x d d a O M abs && && &&.7 ou enão, d k d z d dk z d dk z k z d j d y d dj y d dj y j y d i d x d di x d di x i x d d d dk z k z d dj y j y d di x i x d d d d a O O O O abs & & && & & && & & && & & &

34 Capíulo a d O O d di dj dk x& y& z& d d d && x i && y j && z k d i d j d k x y z d d d abs.7 Po sua ez, a aceleação elaia é: a el del d k d d a el [ x& i y& j z& ] && x i && y j && z k.73 Também po definição, a aceleação de anspoe é: dcond d d do d d O acond di dj x y z d d dk d d k d d.74 d d d O O d i d j acond x y z Idenificando os emos especios com a expessão.7, eifica-se que: a abs a el a cond di dj dk x& y& z&.75 d d d onde a pacela adicional que suge nesa expessão e que não apaece na coespondene expessão da elocidade é designada de aceleação complemena ou aceleação de Coiólis: a co di dj dk x& y& z&.76 d d d ou aplicando as fómulas de Poisson.34: a co x& ωcond i y& ωcond j z& ωcond k ω x& i y& j z& k cond.77 el 8

35 Cinemáica de um sisema de paículas assim a aceleação de Coiólis pode se definida condensadamene pela seguine expessão: a co ω.78 Enão, o eoema da composição das aceleações diz que: a abs el cond cond el a a a.79 Noe-se que esa pacela adicional da aceleação a aceleação de Coiólis é calculada a pai de caaceísicas dos moimenos elemenaes ais como a elocidade angula ω cond do moimeno de condução e a elocidade el do moimeno elaio. Logo, em qualque copo móel, num efeencial móel em moimeno elaiamene a um efeencial fixo exisiá aceleação de Coiólis, a qual implicaá o desenolimeno de uma foça adicional ou complemena sobe o copo de acodo com o pincípio fundamenal da dinâmica: F m a, que é designada de foça de Coiólis, F co. Ene as aplicações e as consequências da exisência da foça de Coiólis em poblemas de cinemáica de moimeno elaio, menciona-se alguns exemplos: senido de oação dos óices amosféicos nos hemisféios noe e sul; foças de Coiólis associadas ao moimeno do asonaua epaando um saélie no espaço; foças de Coiólis associadas a deeminados fenómenos maíimos; aiação eese das maés; esudo da eolução de fenómenos meeoológicos. co.6.4 Casos paiculaes Pincípio da elaiidade newoniana Se o sisema efeencial móel S ie um moimeno de anslação em elação ao efeencial fixo S, enão os esoes i, j e k, bem como qualque diecção consideada no efeencial móel, ocupaão duane o moimeno posições paalelas ene si, pelo que os esoes i, j e k, seão ecoes consanes. Logo: 8

36 Capíulo di d dj d dk d 0.80 e os eoemas da composição das elocidades e da composição das aceleações seão expessos, especiamene, po: ; em que el cond x& i y& j z& k do O d abs el cond.8 a && && && el x i y j z k d O O a abs ael acond ; em que acond.8 d aco 0 aceleação de Coiólis é nula aendendo ao faco dos esoes i, j e k, seem ecoes consanes, ou seja, as especias deiadas são nulas, como esá expesso em.80, esulando, de acodo com a expessão.76, no anulameno da aceleação de Coiólis. Noe-se que d O O d e d O O d epesenam, especiamene, as elocidades e as aceleações do ceno do efeencial móel em moimeno de anslação, as quais coincidem com as elocidades e as aceleações do designado moimeno de anspoe condução ou aasameno do efeencial móel S elaiamene ao efeencial fixo S. Se paa além das pemissas aneioes, o moimeno de anslação do efeencial móel S elaiamene ao efeencial fixo S, fo um moimeno ecilíneo e unifome, enão d O O d 0 e o eoema da composição das aceleações seá: a abs a el.83 Desa expessão conclui-se que um copo eá a mesma aceleação em dois efeenciais que execuem, um em elação ao ouo, um moimeno de anslação 83

37 Cinemáica de um sisema de paículas ecilíneo e unifome. Iso aduz o designado Pincípio da Relaiidade Newoniana. ssim: º Um moimeno de anslação ecilíneo e unifome comum aos apaelhos de medida e aos obseadoes, não alea as obseações mecânicas; º É impossíel jusifica com expeiências mecânicas, ealizadas num sisema de paículas mecânico, se ese esá em epouso ou em moimeno ecilíneo e unifome. Ou seja, epouso e moimeno ecilíneo e unifome são duas faceas equialenes da mesma ealidade mecânica. 84