TRABALHO E POTENCIAL ELETROSTÁTICO

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1 LTOMAGNTISMO I 5 TABALHO POTNCIAL LTOSTÁTICO Nos capítulos ateioes ós ivestigamos o campo elético devido a divesas cofiguações de cagas (potuais, distibuição liea, supefície de cagas e distibuição volumética de cagas, a pati da Lei de Coulomb, da Lei de Gauss e seu coseqüete Teoema da Divegêcia. No pimeio caso, as epessões paa o veto itesidade de campo elético eam obtidas à custa de itegações que, cofome a compleidade do poblema, podeiam se toa bastate complicadas. Já a Lei de Gauss, mais simples de se utiliada, eque o cohecimeto da simetia do poblema. Nos casos em que isso ão acotecia, a solução pela Lei de Coulomb aida seia a mais ecomedável. Aida quado a simetia ão podia se atedida, o Teoema da Divegêcia ea aplicado potualmete, uma etesão da Lei de Gauss aplicada a todo um volume evolto po uma supefície fechada. amos agoa pocua outa maeia de se esolve poblemas de eletostática, dessa ve a pati de uma fução escala, cohecida como potecial eletostático, ou campo potecial.. - TABALHO NOLIDO NO MOIMNTO D UMA CAGA PONTUAL M UM CAMPO LÉTICO Imagie um campo elético devido à peseça de uma cofiguação de cagas qualque (desde a mais sigela caga potual até as mais compleas distibuições de cagas lieaes, supeficiais ou voluméticas. Desta foma, uma caga potual de pova é colocada esta egião e sobe ela estaá agido uma foça de oigem eletostática, dada po: = (N (. F e Se esta caga fo deiada em um poto desta egião de campo elético ela seá aceleada e se deslocaá até uma distâcia ifiita, ode a ação da foça agete sobe ela ão se faça mais seti. Se quisemos move essa caga cota a ação do campo elético, temos de eece uma foça míima de itesidade igual àquela eecida pelo campo elético, mas com dieção oposta, isto é, a dieção do movimeto. Isso eige o dispêdio de eegia, ou seja, a ealiação de um tabalho (esistete pela foça etea aplicada a caga. Se o movimeto desta caga se dá o setido do campo elético, o dispêdio de eegia é egativo, ou seja, a fote etea ão ealia tabalho; este é ealiado pelo campo elético. amos supo agoa o movimeto da caga de uma distâcia elemeta dl o campo elético uifome, cofome pode se mostado pela figua.. O gasto desta eegia icemetal dw seá epesso pelo poduto escala da foça aplicada F = pela distâcia: Assim, F e dw = dl (. F F e Figua.. Caga em um campo elético. UNSP Naasso Peeia de Alcataa Juio Claudio aa de Aquio

2 LTOMAGNTISMO I 6 Como uma coseqüêcia e pela equação acima, podemos pecebe facilmete que se desejamos move a caga pepediculamete ao campo elético, o tabalho ealiado seá ulo. Cosideado uma tajetóia fiita, o tabalho ealiado pela foça etea paa move uma caga potual imesa um campo elético é dado pela itegal: emplo. Dado o campo elético W= = 3.â +.â +.â fial iic..dl (J (.3 (N/C, detemie o tabalho ealiado paa se move uma caga de µc ao logo de um pecuso icemetal - m de compimeto, a dieção de,6.â +,8.â,6. â localiado o poto (,, 5 m. No poto (,, 5 = 3.(.â +.(.â +.(.â =.â.â.â (N / C v Paa dw = q dl vem: Como,6.â +,8.â,6.â dw=. (,6.â = dw= 6.(.â +.8.â 9.â,6.â.â.( 7,,8+,56 = 8,88J. - INTGAL D LINHA Na aálise vetoial, uma itegal de liha é defiida como sedo a itegal do poduto escala de um campo vetoial po um veto deslocameto difeecial dl ao logo de um camiho detemiado, como é o caso da equação.3 epesso a seção ateio. Paa etede melho esse coceito, imagie que queiamos calcula o tabalho paa move uma caga em um campo elético v patido do poto B e se diigido ao poto A, pecoedo uma tajetóia detemiada a figua.. L L L L 3 L L3 A L B L Figua. Caga potual movedo-se de B até A po um camiho estabelecido. O camiho é etão segmetado po iúmeos compimetos elemetaes etilíeos L. A compoete do campo elético ao logo de cada segmeto icemetal é multiplicada pelo tamaho deste segmeto, e os esultados paa todos os segmetos são somados. Obviamete isso é um somatóio. A itegal é obtida quado o compimeto de cada segmeto tede a eo. UNSP Naasso Peeia de Alcataa Juio Claudio aa de Aquio

3 LTOMAGNTISMO I 7 Matematicamete paa segmetos etilíeos: W= (. L +. L L (. L L L ou, em otação vetoial: Se o campo fo uifome: W= ( L + L L (.5 = =... = = (.6 W=. ( L ++ L L (.7 A soma dos segmetos vetoiais ete paêtesis coespode ao veto deslocameto, diigido do poto B ao poto A, L BA. Potato: W =. (.8 Devemos ota que este caso, ode o campo elético é uifome, o tabalho ealiado paa movimeta a caga do poto B ao poto A idepede do camiho tomado, depededo apeas de, e L BA, o veto que vai de B até A. eemos mais tade que isso é vedade paa qualque campo elético estático, ivaiate o tempo. emplo. Calcula o tabalho ealiado paa move uma caga = - -5 C, imesa em um campo elético =.â +., ao logo do camiho defiido pela eta + =, e ao logo do camiho defiido â pelas etas = me = m. Solução L BA (,, tajeto tajeto (,, Figua.3 Caga movedo-se po dois camihos. Paa o tajeto temos: dw=.dl d= d dw = ( ( ( d + d = (+ d dw= (.â +.â.(d.â + d.â dw = ( d+ d + = = W= (+ d= (+ Paa o tajeto : W = W + W = 6 dw = ( â.dâ = d= d (J UNSP Naasso Peeia de Alcataa Juio Claudio aa de Aquio

4 LTOMAGNTISMO I 8 W = d= = (J W = d= = dw = (.â.d.â = d= d W= W + W = 6 (J emplo.3 Calcula o tabalho ealiado paa move uma caga potual positiva C, imesa o campo elético de uma liha de caga de desidade ρ l C/m do poto m ao poto m, cofome a figua abaio. ρ l dl = da Figua. Caga imesa o campo de uma liha de cagas. Sabemos que o campo elético devido a uma liha de cagas possui apeas a compoete a dieção adial. m coodeadas cilídicas: =.â =.â πε (N / C Logo: dw=. dl=. πε W = πε d.d O compimeto difeecial do camiho em coodeadas cilídicas é dado geeicamete po: d L + = d.â + dφ.â φ d. â O tabalho difeecial seá etão: W= πε l (J Como é maio que, l ( / é positivo e o tabalho ealiado é egativo. Ou seja, a fote etea que move a caga ecebe eegia..3 - DIFNÇA D POTNCIAL POTNCIAL LTOSTÁTICO Se tomamos a equação paa o tabalho ealiado paa se move uma caga em um campo elético, e a dividimos pelo valo da caga, Teemos uma ova gadea que deomiaemos de difeeça de potecial. Matematicamete: W fial Difeeça depotecial= = dl iic. (.9 m outas palavas, a difeeça de potecial (ddp pode se defiida como sedo o tabalho ealiado paa se move uma caga uitáia de um poto a outo em um campo elético. Fisicamete idica a difeeça ete dois íveis de eegia passíveis de uma ealiação de tabalho uma egião de campo elético, sobe uma caga quado aí colocada. A sua uidade é Joule po Coulomb, ou olt (. Se A é o poto fial e B o poto iicial, a difeeça de potecial AB é dada po: UNSP Naasso Peeia de Alcataa Juio Claudio aa de Aquio

5 LTOMAGNTISMO I 9 A(fial AB = A B = dl ( B(iicial (. No eemplo da liha de caga da última seção, o tabalho paa se desloca a caga de paa é: W= l (J (. πε O campo elético desta liha de caga cia uma difeeça de potecial ete e dada po: W = = l ( (. πε emplo. Calcula a difeeça de potecial ete os potos e, >, devido a uma caga potual de Coulombs positivos. Mosta que ela idepede das posições θ e φ. = dl ( m coodeadas esféicas dl = dâ + dθâ + seθdφâ =..â ; dl= d.â θ dl= d. φ = d d = = πε ( = πε O potecial absoluto pode se defiido tomado um potecial de efeêcia especificado que é cosideado como tedo potecial eo. Usualmete esse potecial é tomado a supefície da tea ou o ifiito. No eemplo ateio, se um dos potos (poto, po eemplo estive o ifiito, o potecial (absoluto o poto seá: = ( (.3 Se o potecial absoluto de A é A, e o potecial absoluto de B é B, a difeeça de potecial AB seá etão a difeeça ete estes poteciais, ou seja: AB = ( (. A B. - O POTNCIAL D UM SISTMA D CAGAS Paa duas cagas potuais, tomado-se o efeecial dos poteciais o ifiito, o potecial absoluto seá: UNSP Naasso Peeia de Alcataa Juio Claudio aa de Aquio

6 LTOMAGNTISMO I 3 stededo o aciocíio paa cagas vem: Substituido cada caga po ρ v : Faedo : Paa uma distibuição supeficial de cagas: Paa uma distibuição liea de cagas: = ( + (.5 πε i = ( (.6 i= i ρ v = ( (.7 i= i ρdv = ( (.8 πε vol = ρ sds ( (.9 s ldl = ( ρ (. πε L emplo.5 Calcula o potecial em um poto o eio de um ael de aio a m, cofome mostado a figua.5, com uma distibuição liea de caga ρ l C/m. = dl (.dl = = πε dl a + a + =. πa a + = ε ρ.a l a + ( UNSP Naasso Peeia de Alcataa Juio Claudio aa de Aquio

7 LTOMAGNTISMO I 3 P a ρ l Figua.5 Ael de cagas. emplo.6 esolve o eemplo ateio, cosideado uma cooa cicula de aio iteo a m, aio eteo b m e desidade supeficial ρ s C/m. = πε ρ s S.dS ( ds =. dφ. d ; = + = = πε ρs πε π dφ ρ. dφ. d s a b + d + = ρ d b s ε a ρ = s + ε + b a ρs = b + a + ε ( P ρ s Figua..6 Ael com distibuição supeficial de cagas. UNSP Naasso Peeia de Alcataa Juio Claudio aa de Aquio

8 LTOMAGNTISMO I 3 XCÍCIOS Calcule o tabalho ecessáio paa movimeta uma caga potual = - mc o campo = (+.â 8.â ( / m da oigem ao poto (6,, m, ao logo do pecuso =9. + Calcule o tabalho ecessáio paa movimeta uma caga potual = 5 mc de (5 m, π, a 5 5 (3 m, π/. 3 m, coodeadas cilídicas, o campo = (.â +.â ( / m. 3 Uma caga potual de,6 C está localiada o poto (3,6,6 m. Calcule a difeeça AB, ete os potos A(3,3,6 m e B(-3,3,6 m. Se a efeêcia de potecial ulo está em = m, e uma caga potual =.6 C ocupa a oigem, ecote os poteciais em = 8 m e = m. 5 Supoha que em um dia sujeito a istabilidades atmosféicas, a difeeça de potecial ete a supefície da tea e a eletosfea (digamos 5 km acima da supefície teeste seja de 6 k. Um avião com m de evegadua em suas asas está voado a 6 m de altitude, com uma icliação de 5 de suas asas. Calcule a difeeça de potecial ete as etemidades das suas asas. 6 Tês cagas potuais de C ocupam os vétices de um tiâgulo eqüiláteo de m de lado. Calcule o potecial em um poto m acima do plao do tiâgulo e o eio de seu ceto geomético. 7 Uma distibuição liea de cagas com desidade ρ l = C/m ocupa o peímeto de um quadado de 5 m de lado. Calcule o potecial o poto situado 6 m acima do quadado, o eio de seu ceto. 8 Desevolva uma epessão paa o potecial um poto distate adialmete d m do poto médio de uma distibuição liea de cagas fiita, de compimeto L m e de desidade uifome ρ l (C/m. Compove a dedução da epessão, pelo desevolvimeto empegado o eecício ateio. 9 Um disco a m, =, φ π, possui uma desidade supeficial de cagas ρ = a (C/ m. cote (,, o espaço live. s ρ Uma película plaa uifomemete caegada com ρ s = C/m está localiada em =, 5π e uma seguda película plaa, com ρ s = C/m está localiada em = m. Calcule 5 π AB, BC e AC paa A (,, m, B (,, m e C (-,, m. Calcule o tabalho ecessáio paa movimeta uma caga potual e positiva de 5 µc ete a oigem de um sistema de coodeadas esféicas e o poto ( m; π/; π/, ode o campo elético é dado po = 5e â + â φ ( / m. seθ UNSP Naasso Peeia de Alcataa Juio Claudio aa de Aquio

9 LTOMAGNTISMO I 33 Tês cagas potuais de µc cada uma, localiam-se os vétices de um tiâgulo eqüiláteo de lado,5 mm situado o vácuo. ue tabalho deve se ealiado paa desloca uma das cagas até o poto médio do segmeto detemiado pelas outas duas? 3 Dado o campo elético = (k / â em coodeadas cilídicas, moste que o tabalho ecessáio paa movimeta uma caga potual de qualque distâcia adial paa um poto cuja distâcia adial seja o dobo da iicial, idepede da coodeada. Calcule o potecial de um poto A ( m; φ;, em elação a um poto B (3 m; φ ;, usado coodeadas cilídicas, ode o campo elético devido a uma distibuição liea de cagas ao v = 3 â (/m. logo do eio vale ( 5 cote AB ete A = ( m; π/; e B = ( m; π; 5 m, dado pela caga distibuída uma supefície cilídica com aio a = 5 cm e uma desidade de (/π C/m. Detemie também a difeeça de potecial BC, ode C = m. Obteha em seguida AC e compae o esultado com a soma de AB e BC. = 6 / â 6 Dado o campo ( ( m; π; π/ em elação ao poto ( m; ; π. (/m em coodeadas esféicas, calcule o potecial o poto 7 Calcule o potecial de A = 5 m em elação ao de B = 5 m devido à eistêcia de uma caga potual = 5 pc, localiada a oigem e com efeêcia eo o ifiito. 8 Um disco cicula de aio m cotém uma caga total de (/3 C distibuída uifomemete sobe a sua supefície. Calcule o potecial geado po esta caga em um poto a m de altua do disco e o eio do seu ceto. m seguida, compae esse potecial com o aquele que esultaia se todas as cagas estivessem cocetadas o ceto do disco. 9 Uma liha eta de compimeto fiito L cotém uma distibuição uifome de cagas. Moste que paa dois potos eteos bem póimos do poto médio desta liha, tal que < e bem meoes se compaadas ao compimeto L, a difeeça de potecial é igual àquela que se obteia se a distibuição fosse liea e ifiita. UNSP Naasso Peeia de Alcataa Juio Claudio aa de Aquio